四3函数的增减性

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1、4.3 函数的单调性xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf一、单调性定理：一、单调性定理：，则有，则有内可导内可导在在若函数若函数),()(baxfy abBA内单调增加；内单调增加；在在，那末，那末如果如果）（),()()(baxfyxf01单调减少。单调减少。内内在在，那末，那末如果如果),()()()(baxfyxf02证：证：上满足拉氏定理条件，上满足拉氏定理条件，在在都都对对 )( 2121,xxxfbaxx),()()()()(211212xxxxfxfxf 012 xx001)()( fxf）（012)()(xfxf内单调增加。内单调增加。在在 ),

2、()(baxfy 002)()( fxf）（012)()(xfxf内单调减少。内单调减少。在在),()(baxfy 例例1 1、解解:的单调性的单调性讨论函数讨论函数1xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单减；函数单减；,), 0(内内在在, 0 y函数单增。函数单增。注意注意: :单调性是函数在一个区间上的性质，要用导数在这一区单调性是函数在一个区间上的性质，要用导数在这一区 间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来 判别。判别。).,(D函函数数定定义义域域00012 2xxxxxxf,sin)(如如0112100)si

3、n(lim)(/xxfx 012141 xxxxxf,cossin)(但但02121)( kf02241221 kkf)(k 可以任意大，故在可以任意大，故在0点的任何邻域内，点的任何邻域内，)(xf都不单调。都不单调。二、单调区间求法二、单调区间求法通常函数在定义区间上不一定单调，但会在部分区间内单调。通常函数在定义区间上不一定单调，但会在部分区间内单调。定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间 导数为零的点（驻点）和不可导点，可能是函数单调区间导数为零的点（驻点）和不可导点，可能是函数单调区间的分界点。的分界点。称为函数的称

4、为函数的单调区间单调区间。单调区间求法：单调区间求法：可疑点，解解出出可可疑疑点点；数数求求导导)()(/xf2(1) 确定函数定义域；确定函数定义域；(3) 用可疑点划分函数定义区间为部分区间，列表；用可疑点划分函数定义区间为部分区间，列表；(4) 在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的单调区间。在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的单调区间。例例2 2、解：解：的的单单调调区区间间确确定定函函数数3129223xxxxf)(),(D函数定义域函数定义域12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx21 21xx,可疑点只有驻点可疑点只有驻点)(xf )(xf单增区间为单增区间为，)

5、,(1单减区间为单减区间为 ),(21),(2),(21，),(1),(2例例3 3、解：解：),(D函函数数定定义义域域333111xxxxf)(10 21xx,可疑点可疑点单减区间为单减区间为，),(0单增区间为单增区间为 ),(10)(xf )(xf),(1),(10),(0),(1的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxxf3223)( 例例4 4、证：证：)ln(xxx1 0 时，恒有时，恒有试证试证),1ln()(xxxf 设设)()(001xxxxf则则,),)(上单调增加上单调增加在在0 xf)()(00fxfx时时，,)ln(01 xx即即成立。成立。时，时，)ln(xxx1

6、 0注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响函数在该区间的单调性不影响函数在该区间的单调性如：如：,3xy , 00 xy上是单调增加的。上是单调增加的。而函数在而函数在),(三、小结三、小结1、单调性判别法则来源于拉格朗日中值定理。、单调性判别法则来源于拉格朗日中值定理。2、定理中的区间换成闭区间或无限区间，结论也成立。、定理中的区间换成闭区间或无限区间，结论也成立。3、利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和、利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式。证明不等式。一、一、填空题：填空题： 1 1、 函数函数xxxy12623的单增区间为的单增区间为_；

7、2 2、 函数函数212xxy 在区间在区间 - -1,11,1上单调上单调_， 在在_上单调递减；上单调递减； 3 3、函数、函数22ln xxy 的单增区间为的单增区间为_， 单减区间为单减区间为_ 二、二、确定下列函数的单调区间：确定下列函数的单调区间： 1 1、 xxxy1292123； 2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )； 3 3、 xxy2sin. . 练练 习习 题题 四（四（3）三、三、证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ； 2 2、 当当4 x时，时，22xx ； 3 3、 若若0 x，则，则361sin

8、xxx . . 四、四、方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根。 答案答案一一、1 1、),(； 2 2、增增加加, ,),(11 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . . 二二、1 1、在在),(),(21内内单单减减, ,在在),(21内内单单增增； 2 2、在在),32,( aa内内单单增增, ,在在,32aa上上单单减减； 练习题四（练习题四（3）答案）答案3 3、单单增增区区间间32,2 kk, ,单单减减区区间间22,32 kk, ,)(Zk 四四、( (1 1) )ea1 时时没没有有实实根根；( (2 2) )ea10 时时有有两两个个实实根根； ( (3 3) )ea1 时时只只有有ex 一一个个实实根根