挑战中考数学压轴题(第九版精选)(2016版)

《挑战中考数学压轴题(第九版精选)(2016版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《挑战中考数学压轴题(第九版精选)(2016版)（141页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 挑战压轴题 马学斌编著目 录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例4 2012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例6 2011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问

2、题例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例4 2012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第2

3、4题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题 例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例2 2014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例6 2011年南通市中考第28题例7 2010年广州市中考第25题1.7 因动点产生的相切问题例1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8 因动点

4、产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例2 2014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分 图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2015年呼和浩特市中考第25题例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题 例5 2012年河北省中考第26

5、题 例6 2011年淮安市中考第28题第三部分 图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分 图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例

6、1 2015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例1 2015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例1 2015年兰州市中考第15题例2 2014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例1 2015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题声 明选自东师范大学出版社出版的挑战压轴题中考数学:精讲解读篇（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板

7、做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。挑战压轴题中考数学:精讲解读篇自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2都经过点A(2, m) （

8、1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线yx2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，ACE与ACD相似，存在两种情况思路点拨1直线AD/BC，与坐标轴的夹角为452求ABC的面积，一般用割补法3讨论ACE与ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点A(2, m)代入yx

9、2，得m4所以点A的坐标为(2, 4)将点A(2, 4)代入，得k8（2）将点B(n, 2)，代入，得n4所以点B的坐标为(4, 2)设直线BC为yxb，代入点B(4, 2)，得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB，BC，ABC90 图2所以SABC8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD，AC由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE与ACD相似，分两种情况：如图3，当时，CEAD此时ACDCAE，相似

10、比为1如图4，当时，解得CE此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算ABC的面积时，恰好ABC是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y轴由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得SABC8图5例2 2014年武汉市中考第24题如图1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ

11、（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若BPQ可以两次成为直角三角形，与ABC相似当AQCP时，ACQCDPPQ的中点H在ABC的中位线EF上思路点拨1BPQ与ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作PDBC于D，动点P、Q的速度，暗含了BDCQ3PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然满分解答（1）RtABC中，AC6，BC8，所以AB10BPQ与ABC相似，存在

12、两种情况： 如果，那么解得t1 如果，那么解得图3 图4（2）作PDBC，垂足为D在RtBPD中，BP5t，cosB，所以BDBPcosB4t，PD3t当AQCP时，ACQCDP所以，即解得图5 图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E由于H是PQ的中点，HF/PD，所以F是QD的中点又因为BDCQ4t，所以BFCF因此F是BC的中点，E是AB的中点所以PQ的中点H在ABC的中位线EF上考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的H与ABC的边相切，求t的值如图7，当H与AB相切时，QPAB，就是，如图8，当H与BC相切时，PQBC，就是，t1如图9，当H与AC相切时，直径

13、，半径等于FC4所以解得，或t0（如图10，但是与已知0t2矛盾）图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在

14、，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在OQAB的时刻，也存在OQAB的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为

15、(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待

16、定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾例4 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标

17、；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是BFC在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到，CBF保持45，存在BFCBCE的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将M

18、(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由

19、，得解得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长例5 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）

20、在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么

21、GAF与GQE相似思路点拨1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整

22、理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例6 2009年临沂市中

23、考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图1动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示PAM与OAC相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴

24、上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，DCA的面积最大思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如

25、图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n），那么由于，所以1.

26、2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题如图1，在ABC中，ACB90，BAC60，点E是BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF（1）如图1，若点H是AC的中点，AC，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HFEF（3）如图2，连接CF、CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，FAE与FDH保持全等，CMF与CAE保持全等，CEF保持等边三角形的形状思路点拨1把

27、图形中所有30的角都标注出来，便于寻找等角和等边2中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了满分解答（1）如图3，在RtABC中，BAC60，AC，所以AB在RtADH中，DAH30，AH，所以DH1，AD2在RtADB中，AD2，AB，由勾股定理，得BD（2）如图4，由DAB90，BAC60，AE平分BAC，得DAE60，DAH30在RtADE中，AE在RtADH中，DH所以AEDH因为点F是RtABD的斜边上的中线，所以FAFD，FADFDA所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF图3 图4 图5（3）如图5，作FMAB于M，联结CM由FM/DA，F是DB的中点

28、，得M是AB的中点因此FM，ACM是等边三角形又因为AE，所以FMEA又因为CMCA，CMFCAE30，所以CMFCAE所以MCFACE，CFCE所以ECFACM60所以CEF是等边三角形考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合图6 图7如图8，图9，点E落在BC边上如图10，图11，等腰梯形ABEC图8 图9 图10 图11例2 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)（1）求a

29、、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在三种情况思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在三种情况，其中MAMN和NANM两种情况时，点P的纵坐标是相等的满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得（舍去了负值）（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标

30、为已知A(0, 2)，所以而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2 图3如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，点P的纵坐标为也为图4 图5考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切这是因为：设点P

31、的坐标为已知B(0, 1)，所以而圆心P到直线y1的距离也为，所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90（1）求ED、EC的长；（2）若BP2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，

32、P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况思路点拨1第（2）题BP2分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ满分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如图2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中

33、位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，图2 图3 图4如图3，当BP2，P在BM上时，PM1此时所以如图4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5此时所以（3）如图5，如图2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形如图5，当CQCD5时，QNCQCN541（如图3所示）此时所以如图6，当QCQD时，由，可得所以QNCNCQ（如图2所示）此时所以不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图5，图6所示）图5 图6考点伸展如图6，当C

34、DQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例4 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小

35、拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC

36、上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以

37、此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图5例5 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，O和B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖

38、动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2

39、）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30，ODA120例6 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点

40、Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图1 动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，APR的面积有一个时刻等于8观察APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在APAQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，APQ是等腰三角形思路点拨1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6

41、，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ

42、越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用来求解1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在RtABC中，ACB90，AB13，CD/AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE

43、交边BC于F，BAE的平分线交BC于点G （1）当CE3时，求SCEFSCAF的值；（2）设CEx，AEy，当CG2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC5时，联结EG，若AEG为直角三角形，求BG的长图1 动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG2GB保持不变，ABC的形状在改变，EAEM保持不变点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E在射线CD上运动，可以体验到，AEG可以两次成为直角三角形思路点拨1第（1）题中的CEF和CAF是同高三角形，面积比等于底边的比2第（2）题中的ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形3第（3）题中的直角三

44、角形AEG分两种情况讨论满分解答（1）如图2，由CE/AB，得由于CEF与CAF是同高三角形，所以SCEFSCAF313（2）如图3，延长AG交射线CD于M 图2由CM/AB，得所以CM2AB26由CM/AB，得EMABAM又因为AM平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x图3 图4（3）在RtABC中， AB13，AC5，所以BC12如图 4，当AGE90时，延长EG交AB于N，那么AGEAGN所以G是EN的中点所以G是BC的中点，BG6如图5，当AEG90时，由CAFEGF，得由CE/AB，得所以又因为AFGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAG

45、B作GHAH，那么BHAH在RtGBH中，由cosB，得BG图5 图6考点伸展第（3）题的第种情况，当AEG90时的核心问题是说理GAGB如果用四点共圆，那么很容易如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到24上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当AEG90时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是RtACG和RtAEG斜边上的中线，所以PCPEPAPG所以122，325如图8，在等腰PCE中，CPE1802(45)，又因为CPE180(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB图7 图8例2 2014年苏州市中考第29题如图1，二次函数ya(

46、x22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动，可以体

47、验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来点E的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到3注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G满分解答（1）将C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线xm所以点D的坐标为(2m,

48、3)设点E的坐标为(x, a(xm)(x3m)如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1结合，于是得到x4m当x4m时，ya(xm)(x3m)5am25所以点E的坐标为(4m, 5)所以图2 图3（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G证明如下：作FFx轴于F，那么因此所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形此时GF4m所以GO3m，点G的坐标为(3m, 0)考点伸展第（3）题中的点G的另一种情况，就是

49、GF为直角三角形的斜边此时因此所以此时 例3 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1 动感体

50、验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，DBQ和BDQ可以成为直角请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，DBQ和BDQ可以成为直角思路点拨1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，所以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分所以四边形CQBM是平行四边形图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展第（3）题可以