二次函数常见题型(含答案)

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1、 请预览后下载！ 中考中考二次函数二次函数常见题型常见题型 考点考点 1 1：二次函数的数学应用题：二次函数的数学应用题 1. 1. （2011 湖北黄石，16，3 分）初三年级某班有 54 名学生，所在教室有 6 行 9 列座位，用（m，n）表示第 m 行第 n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n） ，如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移a,b=mi，nj，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为 10，则当 m+n 取最小值时，mn的最大值为 。 【答案】36 2.2. （2011 浙江金华，23，10 分）在平面直角坐标系中，如图 1，将n个边长为

2、1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C. （1）当n1 时，如果a=1，试求b的值； （2）当n2 时，如图 2，在矩形OABC上方作一边长为 1 的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， 试求出当n=3 时a的值； 直接写出a关于n的关系式. 解： （1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12， 122ba,得b= 1； 2 分 （2）设所求抛物线解析式

3、为21yaxbx， 由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（12，2） NMFEyxCBAO图 1 图 2 图 3 yxCBAO CD = 1.15厘米yxCBAO y x O C A B 请预览后下载！ 14211121.42abab， 解得4,38.3ab 所求抛物线解析式为248133yxx ；4 分 （3）当n=3 时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线解析式为2yaxbx， 过C作CDOB于点D，则RtOCDRtCBD， 13ODOCCDBC, 设OD=t，则CD=3t， 222ODCDOC， 222(3 )1tt， 1101010t , C（1010，31010）, 又 B（1

4、0，0） ， 把B 、C坐标代入抛物线解析式，得 01010311010.101010abab， 解得:a=103； 2 分 21nan . 2 分 3. 3. （2011 山东日照，24，10 分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=xk 相交于点A，B. 已知点B的坐标为（2，2） ，点A在第一象限内，且 tanAOx=4. 过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算ABC的面积； x y O A B C D x y O C E A B M N F 请预览后下载！ （3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，请

5、你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由 【答案】 （1）把点B（2，2）的坐标，代入y=xk， 得：2=2k，k=4 即双曲线的解析式为：y=x4 设A点的坐标为（m，n） 。A点在双曲线上，mn=4 又tanAOx=4，nm=4， 即m=4n 又，得：n2=1,n=1. A点在第一象限，n=1,m=4 ， A点的坐标为（1，4） 把A、B点的坐标代入y=ax2+b x，得：baba242,4解得a=1，b=3； 抛物线的解析式为：y=x2+3x ； （2）ACx轴，点C的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x，得方程x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1（舍去） C点的坐标为（4，4） ，且

6、AC=5， 又ABC的高为 6，ABC的面积=2156=15 ； （3）存在D点使ABD的面积等于ABC的面积. 过点C作CDAB交抛物线于另一点D 因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（4，4） ，CDAB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12. 解方程组,122,32xyxxy 得,18, 3yx所以点 D 的坐标是（3，18） 4. 4. （2011 浙江温州，22，10 分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，4） ，过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA (1)求OAB的面积； (2)若抛物线22yxxc 经过点A 求c的值； 将抛

7、物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括OAB 的边界） ，求m的取值范围（直接写出答案即可） 请预览后下载！ 【答案】 解：(1) 点A的坐标是（2，4） ，ABy轴， AB=2，OB4， 1124422OABSABOB (2)把点A的坐标（2，4）代入22yxxc ， 得2( 2)2 ( 2)4c ，c4 2224(1)4yxxx ， 抛物线顶点D的坐标是(1，5)，AB的中点E的坐标是（1，4） ，OA的中点F的坐标是（1，2） ， m的取值范围为 lm3 5 5 （2011 湖南益阳，20，10 分）如图 9，已知抛物线经过定点A（1，0） ，它的顶点P是

8、y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P，过P 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧） ，直线BA交y轴于C点按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数） ，线段CA与CB的比值是否与所求的比值相同？请说明理由 【答案】解： 设抛物线的解析式为21(0)yaxa ， 抛物线经过1,0A ，01,1aa ， 21yx . ,0,1PPxP、 关于 轴对称 且,01P点的坐标为 ， PBx轴,1B点的纵坐标为, 图 9 x y B A PP 1 O

9、 C D . . . . . . 请预览后下载！ 由212xx +1 解得， 2, 1B,2PB. OA PB ，CPBCOA， 1222CAOACBPB 设抛物线的解析式为2(0)yaxm a 01A抛物线经过，0,am am 2ymxm PBx轴Bm点的纵坐标为， 2ymmxmm 当时， 220m x，0m ，220 x，2x ， 2,Bm，2P B， 同得12.22CAOACBPB 22CAmCB为任意正实数时， 6. 6. （2011 江苏连云港，25，10 分）如图，抛物线212yxxa与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，其顶点在直线y=2x上. (1)求a的值； (2)求A,B

10、两点的坐标; (3)以AC,CB为一组邻边作ABCD,则点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由. 【答案】解：(1)二抛物线212yxxa的顶点坐标为24(,)24bacbaa，x=1,顶点在直线y=2x 上，所以 y=2,即顶点坐标为（1，2） ，2=121+a,即a=324;(2)二次函数的关系式为21322yxx，当 y=0 时， 213022xx， 解之得：121,3xx ， 即 A （1， 0） ， B （3， 0） ；（3） 如图所示： 直线 BD/AC,AD/BC,因为 A(1.0),C(0,32),所以直线 AB 的解析式为3322yx ,所以设 BD 的解析式为3

11、2yxb ,因 请预览后下载！ 为 B(3,0),所以 b=92,直线 BD 的解析式为:3922yx ,同理可得:直线 AD 的解析式为:1122yx,因此直线 BD 与 CD 的交点坐标为:(2,32),则点 D 关于 x 轴的对称点 D是(2,32),当 x=2 时代入21322yxx得,y=32,所以 D在二次函数21322yxx的图象上. 7 7 （2011 湖南永州，24， 10 分） 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过 A（2，1） ，B （0,7）两点 求该抛物线的解析式及对称轴； 当x为何值时，0y？ 在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于 C，D 两点（点 C

12、在对称轴的左侧） ，过点 C，D 作x轴的垂线，垂足分别为 F，E当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标 【答案】解：把 A（2，1） ，B（0,7）两点的坐标代入cbxxy2，得 7124ccb 解得72cb 所以，该抛物线的解析式为722xxy， 又因为8) 1(7222xxxy，所以对称轴为直线1x 当函数值0y时，0722xx的解为221x， 结合图象，容易知道221221x时，0y 当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为（m，n） ， 则722mmn，即722mmCF （第 24 题） 请预览后下载！ 因为C， D两点的纵坐标相等， 所以C， D两点关于对称轴1x对

13、称， 设点D的横坐标为p， 则11pm，所以mp 2，所以 CD=mmm22)2( 因为 CD=CF，所以72222mmm，整理，得0542 mm，解得1m或 5 因为点 C 在对称轴的左侧，所以m只能取1 当1m时，722mmn=7) 1(2) 1(2=4 于是，得点 C 的坐标为（1，4） 8.8. （2011 山东东营，23，10 分）(本题满分 10 分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0,2） ，点 C（1,0） ，如图所示；抛物线22yaxax经过点 B。 （1） 求点 B 的坐标； （2） 求抛物线的解析式； （3）在抛

14、物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解： （1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，BCD+ACO=90 ，ACO+OAC =90； BCD=CAO； 又BDC=COA=90；CB=AC， BDCCAO=90，BD=OC=1，CD=OA=2；点 B 的坐标为(3,1) （2）抛物线22yaxax经过点 B(3,1)，则得1932aa 解得12a ， 所以抛物线的解析式为211222yxx （3）假设存在点 P，似的ACP 是直角三角形: 若以 AC 为直角边，点 C 为直

15、角顶点；则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1作 P1Mx 轴，如图（1） 。 CP1=BC，MCP1=BCD， P1MC=BDC=90，MCP1BCD CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点 P1（1，1） ； 经检验点 P1（1，1）在抛物线为211222yxx上； 请预览后下载！ 若以 AC 为直角边， 点 A 为直角顶点；则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点 P2作 P2Ny 轴，如图（2） 。同理可得AP2NCAO；NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点 P2（2，1） ， ；经检验

16、点 P2（2，1）也在抛物线211222yxx上； 若以 AC 为直角边， 点 A 为直角顶点；则过点 A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3， 过点 P3作 P3Hy 轴， 如图 （3） 同理可得AP3HCAO； HP3=OA=2， AH=OC=1， 可求得点 P3（2， 3） ， ；经检验点 P3（2，3）不抛物线211222yxx上； 故符合条件的点有 P1（1，1） ，P2（2，1）两个。 9.9. （2011 河北，26，12 分）如图 15，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动 t 秒（t0） ，抛物线

17、cbxxy2经过点 O 和点 P.已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A（1，0） ，B（1，5） ，D（4，0）. (1)求 c，b（用 t 的代数式表示） ； （2）当 4t5 时，设抛物线分别与线段 AB,CD 交于点 M,N. 在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP 的值； 求MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求 t 为何值时，s=821； （3） 在矩形 ABCD 内部 （不含边界） ， 把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围。 1-1OBCADPMN 【

18、答案】 （1）C=0,b=t 请预览后下载！ （2）不变。当 x=1 时，y=1t，故 M(1，1t)，tanAMP=1，AMP=45。 S=PAMNDAMDPNSSS梯形 = 1t1t2131t16t42116t44t21 =6t215t232 解6t215t232=821，得29t21t21， 4t5，21t1舍去，t=29 （3）27t311 考点考点 2 2：二次函数的实际应用题：二次函数的实际应用题 1. 1. （2011 河北，8，3 分）一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）和飞行时间 t（秒）满足下列函数关系式：61t5h2）（，则小球距离地面的最大高度是（ ） A1 米 B

19、5 米 C6 米 D7 米 【答案】C 2. 2. （2011 广东株洲，8，3 分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A4 米 B3 米 C2 米 D1 米 【答案】D 3. 3. （2011 山东聊城，12，3 分）某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A50m B100m C

20、160m D200m 【答案】C 请预览后下载！ 4.4. （2011 湖南怀化，16，3 分）出售某种手工艺品，若每个获利 x 元，一天可售出（8x）个，则当x=_元时，一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大. 【答案】4 5.5. （2011 山东滨州，25，12 分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点 A 到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为 2 米，OC=8 米。 （1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2） 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规

21、格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明） （3） 为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程） 【答案】 解： （1）以点 O 为原点、射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系1 分 设抛物线的函数解析式为2yax,2 分 由题意知点 A 的坐标为（4，8） 。且点 A 在抛物线上，3 分 所以 8=a24，解得 a=12,故所求抛物线的函数解析式为212yx4 分 （2）找法：延长 AC,交建筑

22、物造型所在抛物线于点 D, 5 分 则点 A、D 关于 OC 对称。 连接 BD 交 OC 于点 P，则点 P 即为所求。6 分 （3）由题意知点 B 的横坐标为 2，且点 B 在抛物线上， 所以点 B 的坐标为（2，2）7 分 又知点 A 的坐标为（4，8） ，所以点 D 的坐标为（4，8）8 设直线 BD 的函数解析式为 y=kx+b，9 则有2248kbkb10 解得 k=1,b=4. 故直线 BD 的函数解析式为 y=x+4，11 把 x=0 代入 y=x+4，得点 P 的坐标为（0，4） 两根支柱用料最省时，点 O、P 之间的距离是 4 米。12 请预览后下载！ 6. 6. （201

23、1 四川重庆，25，10 分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1x9，且x取整数)之间的函数关系如下表： 月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格y1(元/件) 560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10 x12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势： (1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写

24、出y1 与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式； (2)若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p10.1x1.1(1x9，且x取整数)，10 至 12 月的销售量p2(万件)p20.1x2.9(10 x12，且x取整数)求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润； (3)今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年

25、的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0.1 a%.这样， 在保证每月上万件配件销量的前提下， 完成 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值(参考数据：9929801，9829604，9729409，9629216，9529025) 【答案】(1)y1 与 x 之间的函数关系式为 y120 x540， y2 与 x 之间满足的一次函数关系式为 y210 x630 (2)去年 1 至 9 月时，销售该配件的利润 w p1(10005030y1) (0.1x1.1)(1000503020 x540) (0.1x1.1)(380

26、20 x)2x2160 x418 2( x4)2450，(1x9，且 x 取整数) 20，1x9，当 x4 时，w 最大450(万元)； 去年 10 至 12 月时，销售该配件的利润 w p2(10005030y2) (0.1x2.9)(1000503010 x630) (0.1x2.9)(29010 x)( x29)2，(10 x12，且 x 取整数)， 请预览后下载！ 当 10 x12 时，x29，自变量 x 增大，函数值 w 减小， 当 x10 时，w 最大361(万元)，450361， 去年 4 月销售该配件的利润最大，最大利润为 450 万元 (3)去年 12 月份销售量为：0.11

27、2+0.9=1.7（万件） ， 今年原材料的价格为：750+60=810（元） ， 今年人力成本为：50（1+20）=60（元） ， 由题意，得 51000（1+a）81060301.7（10.1a）=1700， 设 t= a，整理，得 10t299t+10=0，解得 t=99 940120，9729409，9629216，而 9401 更接近 9409 9401=97 t10.1 或 t29.8，a110 或 a2980 1.7（10.1a）1，a2980 舍去，a10 答：a 的整数值为 10 7. 7. （2011 山东潍坊，22，10 分）2011 年上半年，某种农产品受不良炒作的影响

28、，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1 月份至 7 月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7 月份至 12 月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知 1月、7 月、9 月和 12 月这四个月的月平均价格分别为 8 元/千克、26 元/千克、14 元/千克、11 元/千克. （1）分别求出当 1x7 和 7x12 时，y关于x的函数关系式； （2）2011 年的 12 个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？ （3） 若以 12 个月份的月平均价格的平均数为年平均价格， 月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？ 【

29、解】 （1）当17x 时，设ykxm， 将点（1，8） 、 （7，26）分别代入ykxm，得 8,726.kmkm解之，得5,3.mk 函数解析式为35yx. 当712x 时，设2yaxbxc， 将（7，26） 、 （9，14） 、 （12，11）分别代入2yaxbxc，得： 49726,81914,1441211.abcabcabc解之，得1,22,131.abc 函数解析式为222131yxx. （2）当17x 时，函数35yx中y随x的增大而增大， 当1x最小值时，3 1 58y 最小值. 当712x 时，22221311110yxxx， 请预览后下载！ 当11x 时，10y最小值. 所

30、以，该农产品平均价格最低的是 1 月，最低为 8 元/千克. （3）1 至 7 月份的月平均价格呈一次函数， 4x 时的月平均价格 17 是前 7 个月的平均值. 将8x ，10 x 和11x 分别代入222131yxx，得19y ，11y 和10y . 后 5 个月的月平均价格分别为 19，14，11，10，11. 年平均价格为17 7 19 14 11 10 114615.3123y （元/千克）. 当3x 时，1415.3y ， 4，5，6，7，8 这五个月的月平均价格高于年平均价格. 8. 8. （2011 四川成都，26,8 分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃

31、的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD已知木栏总长为 120米，设AB 边的长为 x 米，长方形ABCD的面积为S平方米 (1)求S与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) 当 x 为何值时， S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为1O和2O，且1O到AB、BC、AD的距离与2O到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 米宽的平直路面，以方便同学们参观学习当(l)中S取得最大值时，请问这

32、个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由 O2O1围墙DABCO2O1围墙DABCEFGHIJ 【答案】 （1）1800)30(2)2120(2xxxS，当30 x时，S取最大值为 1800 （2）如图所示，过1O、2O分别作到AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂直，垂足如图，根据题意可知，IOHOGOJOFOEO222111；当 S 取最大值时，AB=CD=30，BC=60， 所以1521OOOO2211ABIGJF， 15OO21HE， 301515602121HOEOEHOO， 两个等圆的半径为 15，左右能够留 0.5 米的平直路面，而AD和BC与两圆相切，不能留

33、0.5 米的平直路面. 9. 9. （2011 江苏无锡，25，10 分）(本题满分 10 分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩 请预览后下载！ 商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知老王种植水果的成本是 2800 元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】 解：(1)当 0 x 20 时，y = 8000(1 分) 当 20 x 40 时，设BC满足的函数关系式为y = kx + b，则20k

34、+ b = 8 00040k + b = 4 000 (2分) 解得k = 200，b = 12 000，y = 200 x + 12 000 (4 分) (2)当 0 x 20 时，老王获得的利润为w = (8000 2800)x (5 分) =5 200 x 104 000，此时老王获得的最大利润为 104 000 元(6 分) 当 20 104 000，当张经理的采购量为 23 吨时，老王获得的利润最大，最大利润为 105 800元 7. 7. （2011 湖北武汉市，23，10 分） （本题满分 10 分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为 30

35、 米的篱笆围成已知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米 （1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围 【答案】解： （1）y=302x(6x15) y x 0 4 000 8 000 20 40 A B C 请预览后下载！ （2）设矩形苗圃园的面积为 S 则S=xy=x(302x)=2x230 x S=2(x7.5)2112.5 由（1）知，6x15当x=7

36、.5 时,S 最大值112.5 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为 7.5 米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为 112.5 （3）6x11 10.10.（2011 山东菏泽，20，9 分）我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元，售价 20 元，多买优惠 ；凡是一次买 10 只以上的，每多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每只降价 0.10(2010)=1(元)，因此，所买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算，但是最低价为每只 16 元 (1) 求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ (2) 写出该专卖店当一次销售x(时，所获利润

37、y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 解：(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有： 0.1(x10)=2016，解这个方程得x=50； 答：一次至少买 50 只，才能以最低价购买 (2) 220137 (0501(2013)0.1(10)8 (1050)101613 =3 (50)xxxxyxxxxxxx x ） （说明：因三段图象首尾相连，所以端点 10、50 包括在哪个区间均可） (3)将21810yxx 配方得21(40)16010yx ， 所以店主一次卖

38、 40 只时可获得最高利润，最高利润为 160 元 11. 11. （2011 贵州贵阳，25，12 分） 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图 1 2 3 中的一种） 设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题： （题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行） （1）在图 1 中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为 3 平方米？ （2）在图 2 中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（ （3）在图 3 中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有

39、n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ 请预览后下载！ 1 2 3 （第 25 题图） 【答案】解： （1）当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 3 条竖档时，BC=12-3x3=4x， x（4x）=3 解得，x=1 或 3 （2）当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 4 条竖档时，BC=12-4x3，矩形框架ABCD的面积S=x12-4x3=43x2+4x 当x=42（-43）=32时，S=3 当x=32时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为 3 平方米 （3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=a-nx3，矩形框架ABCD的面积 S=

40、xa-nx3=n3x2+a3x 当x=a32（-n3）=a2n时，S=a212n 当x=a2n时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为a212n平方米 1212 （2011 江苏盐城，26，10 分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元? （2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1 元，这两种商品每天可各多销售 100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使

41、商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？ 请预览后下载！ 【答案】 （1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元 根据题意，得x+y=53(x+1)+2(2y-1)=19 解得x=2y=3 答：甲商品的进货单价是 2 元，乙商品的进货单价是 3 元 （2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 s=(1m)(500+100m0.1)+(53m)(300+100m0.1) 即 s=2000m2+2200m+1100 =2000(m0.55)2+1705. 当m=0.55 时，s有最大值，最大值为 1705. 答：当m定为 0.55 时，才能使商店每天销

42、售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是 1705元. 13.13. （2011 湖北鄂州，23，12 分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润216041100Px （万元） 当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x

43、万元，可获利润299294101001601005Qxx （万元） 若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？ 若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ 根据、，该方案是否具有实施价值？ 【答案】解：当 x=60 时，P 最大且为 41，故五年获利最大值是 415=205 万元 前两年：0 x50，此时因为 P 随 x 增大而增大，所以 x=50 时，P 值最大且为 40 万元，所以这两年获利最大为 402=80 万元 后三年：设每年获利为 y，设当地投资额为 x,则外地投资额为 100 x，所以 y=PQ =216041100 x+2992941601005xx=

44、260165xx=2301065x， 表明 x=30时，y 最大且为 1065，那么三年获利最大为 10653=3495 万元， 故五年获利最大值为 803495502=3475 万元 有极大的实施价值 信息 1： 甲、 乙两种商品的进货单价之和是 5 元； 信息 2:甲商品零售单价比进货单价多 1 元， 乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元 信息 3：按零售单价购买 甲商品 3 件和乙商品 2 件， 共付了 19 元. 请预览后下载！ 13. 13. （2011 湖北荆州，23，10 分） （本题满分 10 分）2011 年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农

45、户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. 型 号 金 额 型设备 型设备 投资金额 x （万元） x 5 x 2 4 补贴金额 y （万元） y1=kx(k0) 2 y2=ax2+bx(a0) 2.4 3.2 （1）分别求出1y和2y的函数解析式； （2）有一农户同时对型、型两种设备共投资 10 万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 【答案】解： （1）由题意得：5k=2，k=52 xy521 2 . 34164 . 224baba，解之得：5851ba，xxy585122 （2

46、）设购型设备投资 t 万元，购型设备投资（10t）万元，共获补贴 Q 万元 tty524)10(521，tty585122 529)3(5158515242221ttttyyQ 当 t=3 时，Q 有最大值为529，此时 10t=7(万元) 即投资 7 万元购型设备，投资 3 万元购型设备，共获最大补贴 5.8 万元. 14. 14. （2011 山东泰安，28 ，10 分）某商店经营一种小商品，进价为每件 20 元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件 25 元时，可卖出 105 件，而售价每上涨 1 元，就少卖 5 件。 （1）当售价定为每件 30 元时，一个月可获利多少元？ （2）当售价

47、定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】 （1）获利： （3020）1055（3025）=800（元） （2）设售价为每件 x 元时，一个月的获利为 y 元 由题意，得：y=(x20)1055（3025）=5x2+330 x4600=5(x33)2+845 当 x=33 时，y 的最大值是 845 故当售价为定价格为 33 元时，一个月获利最大，最大利润是 845 元。 15. 15. （2011 四川南充，20，8 分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象

48、如图： 请预览后下载！ （1）当电价为 600 元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过 60 千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？ x(元/千度)y(元/千度)500300200O 【答案】解： （1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数解析式为：y=kx+b 该函数图象过点（0，300） ， （500，200） 200500300kbb ，解得15300kb y=51x+

49、300(x0) 当电价x=600 元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y=51*600+300=180（元/千度） （2）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：W=my=m(51x+300)=m 51(10m+500)+300 化简配方，得：w=2(m50)2+5000 由题意，m60, 当 m=50 时，w最大=5000 即当工厂每天消耗 50 千度电时，工厂每天消耗电产生利润为 5000 元. 考点考点 3 3：二次函数的综合探究题：二次函数的综合探究题 【考点分析】这是综合性较强的一个考点，主要考查对二次函数、几何图形等有关知识的综合应用能【考点分析】这是综合性较强的一个考点，主要

50、考查对二次函数、几何图形等有关知识的综合应用能力。力。 求点，探究相似三角形求点，探究相似三角形 1. 1. （2011 浙江义乌，16，4 分）如图，一次函数y=2x的图象与二次函数y=x2+3x图象的对称轴交于点B. （1）写出点B的坐标 ； （2）已知点P是二次函数y=x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=2x沿y轴向上平移， 分别交x轴、y轴于C、 D两点. 若以CD为直角边的PCD与OCD相似， 则点P的坐标为 . 请预览后下载！ 【答案】 （1） （32，3） ； （2） （2,2） 、 （12，54） 、 （114，1116） 、 （135，2625） 2. 2.

51、（2011 江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数y=x2bx3 的图像经过点P（2,5） （1）求b的值，并写出当 1x3 时y的取值范围； （2）设点P1（m,y1） 、P2（m+1,y2） 、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上 当m=4 时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由； 当m取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由 【答案】解： （1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （2）22b3，解得 b=2. 当 1x3 时 y 的取值范围为4y0. （2）m=4 时，y1、y2、y3的值分别为 5、12、

52、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长 当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为 m22m3、m24、m22m3， 由于， m22m3m24m22m3， （m2）280， 当 m 不小于 5 时成立，即 y1y2y3成立 所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长， 求点，探究直角三角形求点，探究直角三角形 3 3 （2011 四川绵阳 24，12）已知抛物线:y=x2x+m1 与 x 轴只有一个交点，且与y轴交于A点, 如图，设它的顶点为B (1)求m的值； (2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是ABC是等

53、腰直角三角形； (3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线C，且与 x 轴的左半轴交于E点，与 y 轴交于F点，如图.请在抛物线C上求点P，使得EFP是以EF为直角边的直角三角形. yxCEAOBF 【答案】 （1）抛物线与 x 轴只有一个交点，说明=0，m=2 （2）抛物线的解析式是 y=x2x+1,A（0，1） ，B（1，0）AOB 是等腰直角三角形，又ACOB,BAC=OAB=45A，C 是对称点，AB=BC，ABC 是等腰直角三角形。 （3）平移后解析式为 y=x2x3,可知 E(1,0),F(0,3) EF 的解析式为：y=3x3, 请预览后下载！ 平面内互相垂直的两条直线的

54、 k 值相乘=1， 所以过 E 点或 F 点的直线为 y=13x+b 把 E 点和 F 点分别代入可得 b=13或3， y=13x+13或 y=13x3 列方程得y=13x+13 y=x-2x-3 解方程 x1=1,x2=103, x1 是 E 点坐标舍去，把 x2=103代入得 y=139,P1（103，139） 同理y=13x-3 y=x-2x-3 易得 x1 = 0 舍去，x2= 73代入 y=209,P2(73,209) 求点、探究面积求点、探究面积 4.4. （2011 贵州贵阳，21，10 分）如图所示，二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0） ，另一个交点为

55、B，且与 y 轴交于点C （1）求m的值； （3 分） （2）求点B的坐标； （3 分） （3）该二次函数图象上有一点D（x，y） （其中x0，y0） ，使SABD=SABC，求点D的坐标 （4 分） 【答案】解： （1）将（3，0）代入二次函数解析式，得32+23+m=0解得，m=3 （2）二次函数解析式为y=x2+2x+3，令y=0，得x2+2x+3=0解得x=3 或x=1 点B的坐标为（1，0） （3）SABD=SABC，点D在第一象限，点C、D关于二次函数对称轴对称 由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3） ，点D的坐标为（2，3） 第二章第二章 求系数，探究直角三

56、角形（通过勾股定理、相似列方程）求系数，探究直角三角形（通过勾股定理、相似列方程） 5. 5. （2011 广东肇庆，25，10 分）已知抛物线2243mmxxy（m0）与x轴交于A、B两点 （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）若3211OAOB（O是坐标原点） ，求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y轴交于点C，若ABC是直角三角形，求ABC的面积 【答案】 （1）证明：m0 022mabx 抛物线的对称轴在y轴的左侧 请预览后下载！ （2）解：设抛物线与x轴交点坐标为A（1x，0） ，B（2x，0） ， 则021mxx，043221mxx ， 1x与2x异号 又3211OAOB

57、0 OBOA 由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧 01x，02x 11xxOA,2xOB 代入3211OAOB得：3211111212xxxx 即322121xxxx，从而32432mm，解得：2m 抛物线的解析式是322xxy （3）解法一：当0 x时，243my 抛物线与y轴交点坐标为C（0，243m） ABC是直角三角形，且只能有ACBC，又OCAB， CAB 90 ABC，BCO 90 ABC，CAB BCO RtAOCRtCOB， OCAOOBOC，即OBOAOC2 212243xxm 即2443169mm 解得：332m 此时243m1)332(432 ，点C的坐标为（0，1）

58、OC1 又222212212124)43(4)(4)()(mmmxxxxxx m0，mxx212 即ABm2 ABC的面积21ABOC21m21332 解法二：略解: 当0 x时，243my 点C（0，243m） ABC是直角三角形 222BCACAB 2221221)43()(mxxx2222)43(mx 421892mxx 4289)43(2mm 解得： 332m 请预览后下载！ 332432214321212221mmmxxOCABSABC 第三章第三章 求点的坐标，探究相似三角形（通过相似列方程）求点的坐标，探究相似三角形（通过相似列方程） 6 6、(20011 江苏镇江,24,7 分

59、) 如图，在ABO 中，已知点 A(3,3),B(1,1),O(0,0)，正比例函数 y=x 图象是直线 l，直线 ACx 轴交直线 l 与点 C （1）C 点的坐标为 ； （2）以点 O 为旋转中心，将ABO 顺时针旋转角 （90180） ，使得点 B 落在直线 l 上的对应点为 B，点 A 的对应点为 A，得到AOB= ；画出AOB （3）写出所有满足DOCAOB 的点 D 的坐标 考点：作图旋转变换；一次函数的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：作图题。 分析： （1）直线 ACx 轴交直线 l 于点 C，可知 A、C 两点纵坐标相等，直线 l 解析式为 y=x，可知C 点横、纵坐标互

60、为相反数，可求 C 点坐标； （2）已知 B（1，1）可知 OB 为第三象限角平分线，又直线 l 为二、四象限角平分线，故旋转角为 90，依题意画出AOB即可； （3） 根据A点坐标可知OA与x轴正半轴夹角为60， 可知AOB=165， 根据对应关系， 则DOC=165，故 OD 在第四象限，与 x 轴正半轴夹角为 30或与 y 轴负半轴夹角为 30，根据 A、B、C 三点坐标求 OA、OB、OC，利用=求OD，再确定 D 点坐标 解答：解： （1）直线 ACx 轴交直线 l 于点 C， C 两点纵坐标为 3，代入直线 y=x 中，得 C 点横坐标为3， C（3，3） ； （2）由 B（1，1

61、）可知，OB 为第三象限角平分线， 又直线 l 为二、四象限角平分线， 旋转角为=BOB=90，AOB如图所示； （3）D 点坐标为（9，33） ， （33，9） 请预览后下载！ 点评：本题考查了旋转变换的作图，一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质关键是根据点的坐标，直线解析式的特点求相关线段的长，角的度数，利用形数结合求解 第四章第四章 求点的坐标，探究最小值通过相似列方程或用函数求解）求点的坐标，探究最小值通过相似列方程或用函数求解） 7. 7. （2011 贵州安顺，27，12 分）如图，抛物线y=21x2+bx2 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一 1，0） 求抛物线

62、的解析式及顶点D的坐标； 判断ABC的形状，证明你的结论； 点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 【答案】 （1）点 A（1，0）在抛物线y=21x2 + bx2 上，21 (1 )2 + b (1) 2 = 0，解得b =23 抛物线的解析式为y=21x223x2. y=21x223x2 =21 ( x2 3x 4 ) =21(x23)2825, 顶点 D 的坐标为 (23, 825). （2）当x = 0 时y = 2, C（0，2） ，OC = 2。 当y = 0 时， 21x223x2 = 0， x1 = 1, x2 = 4, B (4,0) OA = 1

63、, OB = 4, AB = 5. AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20, AC2 +BC2 = AB2. ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2） ，OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。 请预览后下载！ 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. EDy轴, OCM=EDM,COM=DEM COMDEM. EDCOEMOM 825223 mm， m =4124 解法二：设直线CD的解析式为y = kx + n ,则825232nkn，解得n =

64、2, 1241k . 21241xy . 当y = 0 时， 021241x，4124x . 4124m. 第五章第五章 求点的坐标，探究等腰三角形、直角三角形（通过勾股定理、相似列方程）求点的坐标，探究等腰三角形、直角三角形（通过勾股定理、相似列方程） 8. 8. （2010 湖北孝感，25，2 分）如图（1） ，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0） ，其中m0. （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示） ； （5 分） （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （4 分） （

65、3）如图（2） ，设抛物线y=a(xm6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM=90，求a、h、m的值. （5 分） 【答案】解： （1）四边形ABCD是矩形， AD=BC=10，AB=CD=8，D=DCB=ABC=90. 由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE. 在 RtABF中，BF=22221086AFAB.FC=4. 在 RtECF中，42+（8x）2=x2，解得x=5.CE=8x=3. B（m，0）,E(m+10,3),F（m+6,0）. 请预览后下载！ （2）分三种情形讨论： 若AO=AF，ABOF，OB=BF=6.m=6. 若OF=AF，则m+6=10，解得m

66、=4. 若AO=OF，在 RtAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64， （m+6）2= m2+64，解得m=73. 综合得m=6 或 4 或73. （3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3). 依题意，得22(6)8(106)3a mmha mmh，解得1,41.ah M（m+6，1）. 设对称轴交AD于G. G（m+6,8） ，AG=6，GM=8（1）=9. OAB+BAM=90，BAM+MAG=90，OAB=MAG. 又ABO=MGA=90，AOBAMG. OBABMGAG，即896m. m=12. 第六章第六章 求点的坐标，探究等腰三角形（通过勾股定理、列方程）求点的坐标，探究等腰三角形（通过勾股定理、列方程） 第七章 9. 9. （2011 湖南湘潭市，25，10 分）如图，直线33 xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解： （1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。 请预览后下