必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

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1、平面向量知识点整理1、 概念向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 单位向量：长度等于个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：aj（，）.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：. （ 。）零向量：长度为的向量。aOaO.【例题】1.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的

2、是_ 2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点相同连对角三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：；请预览后下载！ 坐标运算：设，则3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则【例题】（1）_；_； _ （2）若正方形的边长为1，则_ 4、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标

3、为_5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，（）。 【例题】 (1)若向量，当_时与共线且方向相同（2）已知，且，则x_请预览后下载！6、向量垂直：.【例题】(1)已知，若，则 （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （3）已知向量，且，则的坐标是_ 7、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或设，则abab0x1x2y1y20. 则abab(b0)x1y2 x2y1.设、都是非零向量，是与的夹角，则；（注）【例题】（1）ABC

4、中，则_（2）已知，与的夹角为，则等于_ （3）已知，则等于_（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（5）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_ （6）已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x请预览后下载！，求向量、的夹角；8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知，且，则向量在向量上的投影为_ 9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）： （1）（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）余弦定理（1）=（2） （3）；附：ABC的判定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + B

5、ABC为锐角A + B附：证明：，在钝角ABC中，在ABC中，有下列等式成立.证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量请预览后下载！练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足，则与必须满足的条件为 2、若，则等于（ ） A B C D 3、正六边形ABCDEF中，（ ）A B C D4、在边长为1的正方形ABCD中，设，则= 5、在中，已知，则等于（ ）A B C D6、在中，E、F分别是AB和AC的

6、中点，若，则等于（ ）A B C D7、已知：向量 同向，且，则 二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若，且，则四边形ABCD是（ ） A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、已知且，试求点和的坐标 10、已知向量，则与同向的单位向量是（ ）请预览后下载！ A B C D11、已知，则线段AB中点的坐标是 12、若三点共线，求 13、若向量与相等地，已知，则的值为（ ）A-1 B-1或-4 C4 D1或4三、平面向量的数量积14、已知，则与的夹角等于 15、已知ABCD为菱形，则的值为 16、已知，且，则向量在方向上的投影为 17、已知向量与的夹角为，且，（1）求在方向上的投影（2

7、）求（3）若向量与垂直，求实数的值18、已知、满足且，则 19、若，且与不共线，则与的夹角为 20、已知，若与的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）A B C D21、已知，则与的夹角为 22、已知，若点在线段AB的中垂线上，则= 平面向量高考经典试题一、选择题1、已知向量，则与 A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向请预览后下载！2、已知向量，若与垂直，则（ ） AB CD43、若向量满足，的夹角为60，则=_；4、在中，已知是边上一点，若，则（ ）ABCD5、 若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ） A B. C. D. 6、已知平面向量，则向量（） 二、

8、填空题1、已知向量若向量，则实数的值是2、若向量的夹角为，则 3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，则三、解答题：1、已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)若，求的值；(2)若，求sinA的值2.已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与请预览后下载！平行？3已知，（）求证： 与互相垂直； 4已知与，问当实数的值为多少时最小。5已知向量，向量，则的最大值是 平面向量知识点整理请预览后下载！1、概念向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 单位向量：长度等于个单位的向量平行向量（共线向量）

9、：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：aj（，）.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：. （ 。）零向量：长度为的向量。aOaO.【例题】1.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）； 2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点相同连对角三角形不等

10、式：请预览后下载！运算性质：交换律：；结合律：； 坐标运算：设，则3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则【例题】（1）_；_； _ （答：；）；（2）若正方形的边长为1，则_（答：）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （答：（9,1）4、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_请预览后下载！（答：）；5、向量共线定理：向量与共线，当

11、且仅当有唯一一个实数，使设，（）。 【例题】 (1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；6、向量垂直：.【例题】(1)已知，若，则 （答：）； （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1）； （3）已知向量，且，则的坐标是_ （答：）7、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或设，则abab0x1x2y1y20.请预览后下载！ 则abab(b0)x1y2 x2y1.设、都是非零向量，是

12、与的夹角，则；（注）【例题】（1）ABC中，则_（答：9）；（2）已知，与的夹角为，则等于_ （答：1）；（3）已知，则等于_（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）（5）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_ （答：或且）；（6）已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（答：150）；8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知，且，则向量在向量上的投影为_ （答：)9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）： （1）（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin

13、C（3）余弦定理（1）=请预览后下载！（2） （3）；附：ABC的判定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附：证明：，在钝角ABC中，在ABC中，有下列等式成立.证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足，则与必须满足的条件为 方向相同 2、若，则等于（ B ） A B C D 3、正六边形ABCDEF中，（ D ）请预览后下载！

14、A B C D4、在边长为1的正方形ABCD中，设，则= 2 5、在中，已知，则等于（ A ）A B C D6、在中，E、F分别是AB和AC的中点，若，则等于（ C ）A B C D7、已知：向量 同向，且，则 1 二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若，且，则四边形ABCD是（ C ） A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、已知且，试求点和的坐标 199页（答案：）10、已知向量，则与同向的单位向量是（ A ） A B C D11、已知，则线段AB中点的坐标是 （1，2） 12、若三点共线，求 （答案：） 13、若向量与相等地，已知，则的值为（ A ）A-1 B-1或-4 C4

15、 D1或4三、平面向量的数量积请预览后下载！14、已知，则与的夹角等于 15、已知ABCD为菱形，则的值为 0 16、已知，且，则向量在方向上的投影为 17、已知向量与的夹角为，且，（1）求在方向上的投影（2）求（3）若向量与垂直，求实数的值（答案：（1）-2，（2），（3）18、已知、满足且，则 19、若，且与不共线，则与的夹角为20、已知，若与的夹角为钝角，则 的取值范围是（ A ）A B C D21、已知，则与的夹角为22、已知，若点在线段AB的中垂线上，则= 平面向量高考经典试题一、选择题1已知向量，则与 A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、已知向量，若与垂直，则（

16、 ） AB CD43、若向量满足，的夹角为60，则=_；请预览后下载！4、在中，已知是边上一点，若，则（ ）ABCD6、 若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ） A B. C. D. 6、已知平面向量，则向量（） 二、填空题1、已知向量若向量，则实数的值是2、若向量的夹角为，则 3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，则三、解答题：1、已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)若，求的值；(2)若，求sinA的值2.已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？3已知，（）求证： 与互相垂直； 请预览后下载！4已知与，问

17、当实数的值为多少时最小。5已知向量，向量，则的最大值是 6、在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求7、在中，分别是三个内角的对边若，求的面积8、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b9、在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长答案请预览后下载！选择题1、A. 已知向量，则与垂直。 2、C ，由与垂直可得： ， 。3、 解析：，4、A 在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=， l=。5、B 由向量的减法知6、D 填空题1、解析：已知向量量，则2+4+=0，实数=32、【解析】。3、解析：解答题1、解: (1)

18、由 得 (2) 2.已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？请预览后下载！3已知，（）求证： 与互相垂直； 4已知与，问当实数的值为多少时最小。5已知向量，向量，则的最大值是 6、解：（1）又 解得，是锐角（2）， ，又7、解： 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 请预览后下载！8、解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）根据余弦定理，得所以，9、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分解：（）， 又，（），边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 请预览后下载！