高三数学理二轮复习：专题一　集合与常用逻辑用语 Word版含解析

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1、高考数学精品复习资料 2019.5 专题一 集合与常用逻辑用语 (见学生用书 P1) (见学生用书 P1) 1常用数集的专用符号 自然数集 N，正整数集 N*或 N，整数集 Z，有理数集 Q，实数集R 2集合的关系 (1)集合与元素的关系 如果 a 是集合 A 的元素，那么可表示为 aA； 如果 a 不是集合 A 的元素，那么可表示为 aA (2)集合与集合的关系 若 A 是 B 的子集，则可表示为 AB； 若 A 是 B 的真子集，则可表示为 AB (3)集合相等 定义：如果两个集合中的元素完全相同，则两集合相等； 表示方法：集合 A 与集合 B 相等可表示为 AB； 如果集合 A 与集合

2、B 满足 AB 且 BA，则 A 与 B 相等 3集合 A 和 B 的交集是指由属于 A 并且属于 B 的所有元素组成的集合，用符号表示为 AB，用描述法表示为 ABx|xA，且xB，用 Venn 图表示为. 4集合 A 和 B 的并集是指由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合， 用符号表示为 AB， 用描述法表示为 ABx|xA， 或 xB，用 Venn 图表示为 5设集合 I 为全集，集合 A 是它的一个子集，A 的补集是指由属于集合 I，但不属于集合 A 的所有元素组成的集合，用符号表示为IA，用描述表示为IAx|xI，但 xA，用 Venn 图表示为 6ABAAB，ABABA，I

3、(AB)(IA)(IB)，I(AB)(IA)(IB) 7四种命题及其关系 8充分条件与必要条件 (1)如果 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； (2)如果 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件 9逻辑联结词 命题中的或、且、非叫逻辑联结词 命题 pq，pq，綈 p 的真假判断 p q pq pq 綈 p 真【全,品中&高*考+网】 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 10.全称量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示 (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题 (3)全称命题“对 M 中任意一个

4、x，有 p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x)，读作：“对任意 xM，都有 p(x)成立” 11存在量词 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示 (2)含有存在量词的命题，叫做特称命题 (3)特称命题“存在M中的一个x0， 使p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0)，读作：“存在一个 x0M，使 p(x0)成立” 12含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 xM，p(x) x0M，綈 p(x0) x0M，p(x0) xM，綈 p(x) (见学生用书 P2) 考点一 集合及其运算 考点精析考点精析 1集合的元素具有确定性、互异性、无序性，在

5、求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用即在分析问题时，要看能否利用“三性”找到解题的切入点；题目解答出来后，再检验其元素是否满足“三性” 2含参数的集合问题是本部分的一个重要考向，解题时应根据集合元素的互异性多挖掘题目中的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用 3集合问题多与函数、方程、不等式等知识联系在一起，因此要注意不同知识之间的融会贯通，要善于从函数、方程、不等式的角度去理解用描述法表示的集合，从而借助函数、方程、不等式的知识与方法去解决问题 4在解题中要特别注意空集的特殊性，它往往导致我们在解题中出现错误，所以要善于总结空集在解题中的特殊性，避免因忽视空集

6、而出现错误 例 11(20 xx 北京卷)若集合 Ax|5x2，Bx|3x3，则 AB( ) Ax|3x2 Bx|5x2 Cx|3x3 Dx|5x3 考点：集合的交集运算 分析：集合 A、B 已知，直接在数轴上将集合 A、B 表示出来，数形结合求出 AB. 解析：在数轴上将集合 A、B 表示出来，如图所示 由交集的定义可得，AB 为图中阴影部分， 即x|3x2 答案：A 点评：本题主要考查了集合的交集运算，利用数轴进行集合的交、并、补运算是常用方法 例 12(20 xx 陕西卷)设集合 Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN( ) A0，1 B(0，1 C0，1) D(，1 考点：并集及其运算

7、 分析：分别求出集合 M、N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论 解析：Mx|x2x0，1， Nx|lg x0 x|0 x1， 所以 MN0，1，故选 A. 答案：A 点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合 M、N是解决本题的关键 例 13 已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若NIM，则 MN( ) AM BN CI D 考点：集合间的关系 分析：本题可利用韦恩图解决，由题可知 N 是 M 的真子集 解析：由 NIM，作韦恩图可知 NM，则 MNM，故选A. 答案：A 点评：本题主要考查集合间的关系，用韦恩图可直观解决 例 14(20 xx 长沙二模)

8、若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足1a1b2c，则称 a、b、c 是调和的；若满足 ac2b，则称 a、b、c是等差的若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的，又是等差的，则称集合 P 为“好集”若集合 Mx|x|2 014，xZ，集合 Pa，b，cM.则： (1)“好集”P 中的元素最大值为_； (2)“好集”P 的个数为_ 考点：元素与集合关系的判断 分析：(1)根据“好集”的定义，可解关于 a，b，c 的方程组，用 b把另外两个元素表示出来，再根据“集合 Mx|x|2 014，xZ，集合 Pa，b，cM”构造出关于 b 的不等式，求出 P 中最大的元素 (2)结合第一问的结果

9、，因为 b 是整数，可以求出 b 的最大值，从而确定 P 的个数 解析：(1)1a1b2c，且 ac2b， (ab)(a2b)0， ab(舍)，或 a2b， c4b. 令2 0144b2 014， 得503b503， P 中最大元素为 4b45032 012. (2)由(1)知 P2b，b，4b，且503b503， “好集”P 的个数为 25031 006. 答案：(1)2 012 (2)1 006 点评：这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程(组)或不等式问题，则问题迎刃而解 规律总结规律总结 由上述例题可知，对于集合问题的考查，其命题规律如下： 1直接送分型：直接给出具体集合

10、(即给出集合元素的集合)，求其交、并、补集运算，或判断其集合间关系，或求其子集的个数由于这类问题比较简单，解答这类问题只需准确把握基本知识和基本方法，即可拿满分，如例 11. 2具体综合型：求具体集合的交、并、补运算，或判断其集合间关系，或求其子集的个数问题，但在给出具体集合时，不是直接给出，而是用描述法给出，在描述集合元素所具有属性时，往往涉及到不等式，函数与方程等知识，如例 12. 3抽象集合型：没有给出集合的具体元素，只给出一些性质，如例 13. 4 新定义集合型： 给出新定义， 结合集合的相应知识进行求解 如例 14. 对策：对于直接送分型问题，准确把握基本知识和方法，注意查漏补缺即可

11、作为二轮复习，我们需要重点关注和重点突破的是后面三种类型 变式训练变式训练 【11】 (20 xx 福建卷)已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0 有且只有一个正确，则 100a10bc 等于_ 解析：由a，b，c0，1，2得，a、b、c 的取值有以下情况： 当 a0 时，b1、c2 或 b2、c1，此时不满足条件； 当 a1 时，b0、c2 或 b2、c0，此时不满足条件； 当 a2 时，b1、c0，此时不满足条件； 当 a2 时，b0、c1，此时满足条件； 综上得，a2、b0、c1，代入 100a10bc201. 答案：201 【12】 (20 xx 广东卷)若集合

12、 E(p，q，r，s)|0ps4，0qs4， 0rs4 且 p， q， r， sN， F(t， u， v， w)|0tu4，0v0 时，f(x)0，此时函数 f(x)单调递增； 当1x0 时，f(x)n BnN*，f(n)N*或 f(n)n Cn0N*，f(n0)N*且 f(n0)n0 Dn0N*，f(n0)N*或 f(n0)n0 考点：全称命题的否定形式的写法 分析：直接根据全称命题的否定是特称命题求解 解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选 D. 答案：D 点评：写全称命题的否定时，要把量词“”改为“” ，并且否定结论，注意把“且”改为“或” 例 22(20 xx 天津卷)设 xR，则

13、“|x2|0”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考点：绝对值不等式、一元二次不等式的解法以及充分条件、必要条件 分析：先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断 解析：|x2|11x211x0 x1， 所以“|x2|0”的充分不必要条件，故选 A. 答案：A 点评：本题考查了绝对值不等式、一元二次不等式以及充要条件，属于基础题 例 23(20 xx 长郡)(1)已知实数集 Ax|a1xb1，a1b10，Bx|a2xb2，a2b20，证明：AB 的充要条件是a1a2b1b2； (2)已知实数集 Ax|a1x2b1xc10，a

14、1b1c10，Bx|a2x2b2xc20，a2b2c20，问a1a2b1b2c1c2是 AB 的什么条件？请给出说明过程【全,品中&高*考+网】 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的相等 分析： (1)根据实数集 Ax|a1xb1， a1b10， Bx|a2xb2， a2b20，根据等式的性质，易将 AB 等价变形，易得 ABb1a1b2a2a1a2b1b2，即 AB 的充要条件是a1a2b1b2. (2)可以先假定a1a2b1b2c1c2，然后判断 AB 是否成立，然后再假设AB 成立，然后分 A 与 B 是否为空集两种情况进行分类讨论，即可得到结论 解析：(1)Axxb1a1，

15、Bxxb2a2， ABb1a1b2a2a1a2b1b2. AB 的充要条件是a1a2b1b2. (2)“a1a2b1b2c1c2”是“AB”的充分不必要条件 证明：(充分性) 若 x0A，即 x0是方程 a1x2b1xc10 的解， 则 a1x20b1x0c10， 而非零实数 a1，b1，c1和 a2，b2，c2满足a1a2b1b2c1c2. 设a1a2b1b2c1c2k0， 则可得 k(a2x20b2x0c2)0， 所以 a2x20b2x0c20， 即 x0是方程 a2x2b2xc20 的解， 即 x0B， 于是 AB.同理可证 BA，所以 AB. 必要性不成立，反例：如 AB. 点评：本题

16、考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，集合的相等等根据等式的性质，结合集合相等的定义，对集合相等进行等价转化，是解答本题的关键 规律总结规律总结 充要关系的判定问题是本考点的热点问题一般主要以选择题和填空题的形式进行考查，试题难度不大，但涉及的知识点较多，主要涉及函数、不等式、立体几何、解析几何等内容预计的高考可能会从以下四个方向进行命题： (1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，由于充要条件涉及的知识面比较广，每年的考题背景都会有所变化，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面关系等为主 (2)以其他知识模块内容为

17、背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题 (3)考查利用条件与结论之间的充要关系求解参数的取值范围 (4)与新定义问题结合在一起，考查充要条件的判断 变式训变式训练练 【21】 (20 xx 山东潍坊调研)已知 p：“对任意的 x2，4，有log2xa0”，q：“存在 xR，使 x22ax2a0”若 p，q 均为命题，而且“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析：由 p：“对任意的 x2，4，有 log2xa0”，即 alog2x得 a(log2x)min1，可知 p：a1； 由 q：“存在 xR，使 x22ax2a0”， 知 4a24(2a)

18、0，解得 a1 或 a2. 因为“p 且 q”是真命题，故 a2 或 a1. 答案：(，21 【22】 (20 xx 无为县模拟)已知命题 p：2x2x11，命题 q：x22x1m0(m0)，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，那么实数 m 的取值范围是_ 解析：由题意，p：12x0)， 綈 q：x22x1m0，(x1)2m， 解得綈 q：x1 m. 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， 1 m12，1 m1，即 m32，m2，m4. 故实数 m 的取值范围是4，) 答案：4，) 例 24(20 xx 唐山二模)已知命题 p： 函数 ye|x1|的图象关于直线x1 对称，q：函数 ycos2

19、x6的图象关于点6，0 对称，则下列命题中的真命题为( ) Apq Bp綈 q C綈 pq D綈 p綈 q 考点：复合命题的真假 分析：先根据指数函数图象的性质，推断命题 p 的真假，然后根据余弦函数的性质推断命题 q 的真假 解析：函数 ye|x|为偶函数， 函数 ye|x|关于 y 轴对称， 函数 ye|x1|的图象由函数 ye|x|的图象向右平移一个单位获得， 函数 ye|x1|的图象关于直线 x1 对称， 命题 p 为真命题 令 cos2x60， 即 2x6k2(kZ)， 求得 xk26. 当 k0 时，x6， 点6，0 为 ycos2x6的图象的对称点， 命题 q 为真命题 pq 为

20、真命题，p綈 q 为假命题，綈 pq 为假命题，綈 p綈 q 为假命题 答案：A 点评：本题主要考查考生对复合命题的理解，关键是正确判断原命题的真假 例 25(20 xx 湖南卷)设函数 f(x)axbxcx， 其中 ca0， cb0. (1)记集合 M(a， b， c)|a， b， c 不能构成一个三角形的三条边长，且 ab，则(a，b，c)M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为_ (2)若 a，b，c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号) x(，1)，f(x)0； xR，使 ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； 若ABC 为钝角三角形，则x(1，

21、2)，使 f(x)0. 考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理 分析：(1)由集合 M 中的元素满足的条件，得到 cab2a，求得ca的范围，解出函数 f(x)axbxcx的零点，利用不等式可得零点 x的取值集合 (2)对于，把函数式 f(x)axbxcx变形为 f(x)axbxcxcxacxbcx1 ，利用指数函数的单调性即可证得结论成立； 对于，利用取特值法说明命题是正确的； 对于，由ABC 为钝角三角形说明 f(2)0，由零点的存在性定理可得命题正确 解析：(1)因为 ca，且 cab2a， 所以ca2，则 lncaln 20. 令 f(x)axbxcx0，则cax2

22、， 所以 xln 2ln caln 2ln 21. 所以 0 x1. (2)因为 f(x)axbxcxcxacxbcx1 ， 又ac1，bcac1bc11abcc0. 所以命题正确 令 x1，a2，b4，c5， 则 ax12，bx14，cx15. 由于12，14，15不能构成一个三角形的三条边长， 所以命题正确 若三角形为钝角三角形，则 a2b2c20，f(2)a2b2c20. 所以x(1，2)，使 f(x)0. 所以命题正确 答案：(1)x|02n， 则綈 p 为( ) AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 解析：綈 p：nN，n22n，故选 C. 答案：C

23、 【24】 (20 xx 辽宁卷)设 a，b，c 是非零向量，已知命题 p：若a b0，b c0，则 a c0；命题 q：若 ab，bc，则 ac，则下列命题中真命题是( ) Apq Bpq C(綈 p)(綈 q) Dp(綈 q) 解析：(方法 1)取 ac(1，0)，b(0，1)，显然 a b0，b c0，但 a c10，p 是假命题 a，b，c 是非零向量，由 ab 知 axb， 由 bc 知 byc，axyc，ac，q 是真命题 综上知，pq 是真命题，pq 是假命题， 又綈 p 为真命题，綈 q 是假命题， (綈 p)(綈 q)，p(綈 q)都是假命题 (方法 2)由于 a，b，c 都

24、是非零向量， a b0， ab.b c0， bc.如图， 则可能 ac， a c0， 命题 p 是假命题，綈 p 是真命题 命题 q 中，ab，则 a 与 b 方向相同或相反； bc，则 b 与 c 方向相同或相反，故 a 与 c 方向相同或相反， ac， 即 q 是真命题， 则綈 q 是假命题， 故 pq 是真命题， pq，(綈 p)(綈 q)，p(綈 q)都是假命题 答案：A (见学生用书 P6) 例设命题 p：关于 x 的不等式 a1x2b1xc10 与 a2x2b2xc20的解集相同；命题 q：a1a2b1b2c1c2，则命题 p 是命题 q 的( ) A充分但不必要条件 B必要但不充

25、分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考场错解：因为a1a2b1b2c1c2，所以不等式 a1x2b1xc10 与 a2x2b2xc20 是等价的不等式，解集相同，所以 q 能推出 p；而不等式 a1x2b1xc10 与 a2x2b2xc20 的解集相同不能得出a1a2b1b2c1c2，所以选 B. 专家把脉：因为a1a2b1b2c1c2，若 a1与 a2的符号不同，这时 a1x2b1xc10 与 a2x2b2xc20 的解集不相同，如x23x20 与 x23x20，尽管a1a2b1b2c1c21，但它们的解集不相同，所以 q 不能推出p. 对症下药：因为a1a2b1b2c1c2，若 a

26、1与 a2的符号不同，这时 a1x2b1xc10 与 a2x2b2xc20 的解集不相同，所以 q 不能推出 p；不等式x2x30 与 x210 的解集相同，但a1a2b1b2c1c2，所以 p 不能推出 q，所以选 D. 专家会诊：(1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念：当“若 p则 q”形式的命题为真时，就记作 pq，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q 是 p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假 (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须且只需”，“，反之也真”等 (3)数学概念的定义具有相称性，

27、即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质 (4)从集合观点看，若 AB，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A、B 互为充要条件 (5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性). (见学生用书 P149) 一、选择题 1(20 xx 广东卷)设集合 Mx|（x4）（x1）0 ，Nx|（x4）（x1）0 ，则 MN( ) A B1，4 C0 D1，4 解析：因为 Mx|(x4)(x1)04，1，Nx|(x4)(x1)01，4，所以 MN，故选 A. 答案：A 2 (2

28、0 xx广 东 实 验 中 学 第 一 次 阶 段 考 试 ) 设 集 合 A （x，y）x24y2161 ， B(x， y)|y3x， 则 AB 的子集的个数是( ) A4 B3 C2 D1 解析： 集合 A（x，y）x24y2161 ， A 中的元素为椭圆 x24y2161 上的点， AB 中的元素为椭圆和指数函数 y3x图象交点，如图，可知其有两个不同交点，记为 A1，A2，则 AB 的子集有，A1，A2，A1，A2，共 4 个，故选 A. 答案：A 3(20 xx 上海卷)设常数 aR，集合 Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1，若 ABR，则 a 的取值范围为( ) A(，2) B

29、(，2 C(2，) D2，) 解析：当 a1 时， A(，1a，)，Ba1，)， 若 ABR，则 a11， 1a2； 当 a1 时，易得 AR，此时 ABR； 当 a3x0”的否定是“xR，x213x” ； “函数 f(x)cos2axsin2ax 的最小正周期为”是“a1”的必要不充分条件； “x22xax 在 x1，2上恒成立”“(x22x)min(ax)max在x1，2上恒成立”【全,品中&高*考+网】 “平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a b0” A1 B2 C3 D4 解析：特称命题的否定为全称命题，正确；中 f(x)cos 2ax，其最小正周期为 时，22|a

30、|，即 a 1，正确；不正确；不正确，当 a b0，a，b 的夹角可能为. 答案：B 二、填空题 7若集合 Ax|(x1)23x7，xR，则 AZ 中有_个元素 解析：由(x1)23x7 得 x25x6m 的解集为 R.若命题“pq”为真，命题“pq”为假，则实数 m 的取值范围是_ 解析：因为 p：f(x)12mx在区间(0，)上是减函数，所以 12m0mm 的解集为 R，所以 m0.要保证命题“pq”为真，命题“pq”为假，则需要两个命题中只有一个为真，而另一个为假，解得 0m12. 答案：0，12 11(20 xx 长郡二模)已知集合 M1，2，3，100，A 是集合M 的非空子集，把集

31、合 A 中的各元素之和记作 S(A) (1)满足 S(A)8 的集合 A 的个数为_； (2)S(A)的所有不同取值的个数为_ 解析：(1)一个元素：8；两个元素：1、7，2、6，3、5，三个元素：1、3、4，1、2、5， 满足 S(A)8 的集合 A 的个数为 6. (2)对于 S(A)来说，由于它是集合 A 中的各元素之和，同时 A 又是集合 M 的非空子集， 且 1231005 050， 则可知 S(A)将取尽 1 到 5 050 的所有数， S(A)的取值个数为 5 050. 答案：(1)6 (2)5 050 三、解答题 12设命题 p：实数 x 满足 x24ax3a20，命题 q：实

32、数 x 满足x2x60，|x1|3. (1)若 a1，p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若非 p 是非 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 解析：(1)命题 p：实数 x 满足 x24ax3a20， 由 x24ax3a20，得(x3a)(xa)0，所以 ax3a，当 a1 时，1x3， p 为真命题时，实数 x 的取值范围：1x3， 由x2x60，|x1|3，解得2x3，x2， 所以 q 为真时，实数 x 的取值范围：2x3. 若 p 且 q 为真， p 真 q 真，则1x3，2x3， 2x3 非 p 是非 q 的充分不必要条件，AB. 03，即 1a2. 实数 a

33、的取值范围是(1，2 13定义域为 D 的函数 f(x)，如果对于区间 I 内(ID)的任意两个数 x1、x2都有 f x1x2212f(x1)f(x2)成立，则称此函数在区间 I 上是“凸函数” (1)判断函数 f (x)lg x 在 R上是否是“凸函数”，并证明你的结论； (2)如果函数 f (x)x2ax在1，2上是“凸函数”，求实数 a 的取值范围 解析：(1)设 x1，x2是 R上的任意两个数， 则 f (x1)f (x2)2f x1x22 lg x1lg x22lgx1x22 lg4x1x2（x1x2）2lg 10， f x1x22f（x1）f（x2）2. 函数 f(x)lg x 在 R上是“凸函数” (2)对于1，2上的任意两个数 x1，x2， 均有 f x1x2212f(x1)f(x2)成立， 即x1x222ax1x2212x21ax1x22ax2， 整理得(x1x2)2a12(x1x2)2x1x2(x1x2) 若 x1x2，a 可以取任意值 若 x1x2，得 a12x1x2(x1x2)， 812x1x2(x1x2)1， a8. 综上所述得 a8.