最新中考第二次模拟考试数学卷含答案解析

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1、中 考 数 学 模 拟 测 试 卷一、选择题1.2019的相反数的倒数是( )A. B. C. -2019D. 20192.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年口粮将210000000用科学记数法表示为( )A. B. C. D. 3.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）A. B. C. D. 4.下列运算正确的是( )A. B. C. D. 5.某校四个环保小组一天收集废纸的数量分别为：10，x，9，8，（单位千克）已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）A. 85B. 9C. 9

2、.5D. 86.下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为()A. 4cmB. 5cmC. D. 7. 数学课上，老师让学生尺规作图画RtABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB是直角的依据是（ ）A. 勾股定理B. 直径所对的圆周角是直角C. 勾股定理的逆定理D. 90的圆周角所对的弦是直径8.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A. aB. aC. aD. a9. 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速

3、同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：甲、乙两地之间的距离为560km；快车速度是慢车速度的1.5倍；快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；相遇时，快车距甲地320km；其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b时，x的取值范围为（）A. x2B. 2x6C. x6D. 0x2或x611.如图，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，作并截取，连结并延长交射线于点设，则关于的函数解析式是( )A. B.

4、 C. D. 12.如图所示为二次函数的图象，在下列结论；时，随的增大而增大；方程的根是；中正确个数有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13._14.己知如图，平分，当，且时，的度数为_15.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，为的中点若的周长为18，则的长为_16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_米结果保留根号17.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点

5、处，当为直角三角形时，BE的长为 .18.如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为_ 三、解答题19.先化简，再求值：，其中20.如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于两点(1)求的值(2)根据图象写出当时，的取值范围(3)若一次函数图象与轴、轴分别交于点，则求出的面积21.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校

6、范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中，表示 的扇形圆心角的度数是多少；(2)将条形统计图补充完整；(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用 “微信”进行沟通的学生大约有多少名?(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信、“电话三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率22.如图，已知ABC中，ABAC，把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：AECADB；（2）若AB2，BAC45

7、，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长23. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？24.如图，二次函数图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为求二次函数的解析式和直线BD的解析式；点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点

8、M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使中BD边上的高为？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由25.等腰直角和等腰直角分别在直线上(1)如图所示，分别在线段上，若，求证：(2)若分别在线段外(还在直线上)，根据题意，画出图形，那么(1)的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；(3)如图，若，求证：答案与解析一、选择题1.2019的相反数的倒数是( )A. B. C. -2019D. 2019【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义和倒数的定义即可得出结论【详解】解：2019的相反数的倒数是故选B【点睛】此题考查的是求一个

9、数的相反数和倒数，掌握相反数的定义和倒数的定义是解决此题的关键2.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮将210000000用科学记数法表示为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：根据科学记数法的定义：210000000=故选C【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定

10、义是解决此题的关键3.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平移的定义直接判断即可【详解】解：由其中一个图形平移得到整个图形的是B，故选B【点睛】此题主要考查了图形的平移，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移注意平移是图形整体沿某一直线方向移动4.下列运算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据乘法分配律、单项式乘单项式法则、积的乘方和同类项的定义逐一判断即可【详解】A ，故本选项正确； B ，故本选项错误； C ，故本选项

11、错误；D 和不是同类项，不能合并，故本选项错误故选A【点睛】此题考查的是整式的运算，掌握乘法分配律、单项式乘单项式法则、积的乘方和同类项的定义是解决此题的关键5.某校四个环保小组一天收集废纸的数量分别为：10，x，9，8，（单位千克）已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）A. 8.5B. 9C. 9.5D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意先确定x的值，再根据中位数的定义求解【详解】解：这组数据的众数与平均数相等，=x，解得：x=9，这组数据为10，9，9，8，则这组数据的中位数是=9.故选B.【点睛】本题主要考查了平均数、众数与中位数的意义，解题的关键是根据众数和平均数

12、相等得出x的值6.下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为()A. 4cmB. 5cmC. D. 【答案】D【解析】【详解】解：ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，EA=EB，C=90，AC=8，BC=6，CE=CA-AE=8-BE，在RtBCE中，BE=,故选D考点：1.折叠问题；2.勾股定理.7. 数学课上，老师让学生尺规作图画RtABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB是直角的依据是（ ）A. 勾股定理B. 直径所对的圆周角是直角C. 勾股定理逆定理D. 9

13、0圆周角所对的弦是直径【答案】B【解析】【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角故选B【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键8.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A. aB. aC. aD. a【答案】B【解析】【详解】由（1）得x8；由（2）得x2-4a；其解集为8x2-4a，因不等式组有

14、四个整数解，9，10，11，12，则，解得，故选B考点：一元一次不等式组的整数解9. 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：甲、乙两地之间的距离为560km；快车速度是慢车速度的1.5倍；快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；相遇时，快车距甲地320km；其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【详解】解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故正确；由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间

15、的距离开始增大知直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故错误；设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，（3x+4x）4=560，x=20，快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为460=240km，故错误，当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240360=60km，故正确故选B考点：一次函数的应用10.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+

16、b时，x的取值范围为（）A. x2B. 2x6C. x6D. 0x2或x6【答案】D【解析】分析：根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求详解：由图象可知，当k1x+b时，x的取值范围为0x2或x6故选D点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用11.如图，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，作并截取，连结并延长交射线于点设，则关于的函数解析式是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点F作FGBC于点G，利用AAS证出BDEGEF，从而得出BD=GE，BE=FG=x

17、，然后根据相似三角形的判定定理证出FCGACB，列出比例式即可得出结论【详解】解：过点F作FGBC于点GABBM，B=EGF=DEF=90BDEDEB=90，GEFDEB=90BDE=GEF在BDE和GEF中BDEGEFBD=GE，BE=FG=xDB=2xGE=2xCG=BCBEGE=y3xFGC =B=90，FCG=ACBFCGACB即整理，得故选A【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和求函数关系式，掌握全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键12.如图所示为二次函数的图象，在下列结论；时，随的增大而增大；方程的根是；中正确的个数有( )个

18、A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与y轴的交点即可判断a和c的符号，从而判断；再根据抛物线与x轴的交点坐标，结合抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，从而判断和；根据当x=1时，y0，将x=1代入解析式中即可判断【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，与y轴的交于负半轴a0，c0，故正确；抛物线与x轴的交点为（-1,0）和（3,0）抛物线的对称轴为直线x=，方程的根是，故正确；当时，随的增大而增大，故正确；当x=1时，y0，故错误综上：正确的有3个故选C【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的

19、关键二、填空题13._【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键14.己知如图，平分，当，且时，的度数为_【答案】度【解析】【分析】设ADC=3x，CDE=2x，根据平行线的性质和已知条件可得ABC=DCE=ADC=3x，再根据平行线的判定可得ADBE，根据平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理可求AEB，最后根据三角形的内角和定理列出方程即可求出结论【详解】解：由，设ADC=3x，CDE=2xABC=DCE，ABC=DCE=ADC

20、=3xADBEDAE=AEBAE平分，DAE=BAEAEB=BAE=（180B）=90在DCE中，DCECDECED=180即3x2x（9060）=180解得x=9060=度故答案为：度【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质和三角形的内角和定理，掌握平行线的判定及性质、三角形的内角和定理和方程思想是解决此题的关键15.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，为的中点若的周长为18，则的长为_【答案】【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论【详解】解：四边形是正方形，在中，为的中点，的周长为18，在中，

21、根据勾股定理，得，在中，为的中点，又为的中位线，故答案为.【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_米结果保留根号【答案】【解析】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长【详解】由于，在中，米，在，米，米，故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出

22、AH和BH17.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为 .【答案】3或【解析】【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，所以点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如答图2所

23、示此时ABEB为正方形【详解】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得，BE=；当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故答案为：或318.如图

24、，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为_ 【答案】(2019，2)【解析】【分析】先找出点的横坐标的变化规律即可求出经过2019次运动后，动点的横坐标，然后找出点的纵坐标的变化规律即可求出结论【详解】解：由坐标可知：动点的横坐标变化为：1、2、3、4经过2019次运动后，动点的横坐标为2019动点的纵坐标变化为：1、0、2、0、1、0、2、0每4个数字一循环20194=5043经过2019次运动后，动点的纵坐标为2经过2019次运动后，动点的

25、坐标为(2019，2)故答案为：(2019，2)【点睛】此题考查的是探索坐标的规律题，找出横、纵坐标的变化规律是解决此题的关键三、解答题19.先化简，再求值：，其中【答案】,【解析】【分析】根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可【详解】解：=当时原式= 【点睛】此题考查的是分式的化简求值题和二次根式的运算，掌握分式的各个运算法则和二次根式的乘、除法公式是解决此题的关键20.如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于两点(1)求的值(2)根据图象写出当时，的取值范围(3)若一次函数图象与轴、轴分别交于点，则求出的面积【答案】（1）3；（2）；（3）6【解析】【分析

26、】（1）将点A、B的坐标代入一次函数解析式中即可求出m和n，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k的值；（2）根据点A、B坐标和图象即可得出结论；（3）连接OA，过点A作ADx轴于D，先求出点N的坐标，从而求出ON，然后根据点A的坐标即可求出AD，最后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：(1)把两点的坐标代入，得，则把代入得；(2) ，由函数图象可知，时，x的取值范围是； (3)连接OA，过点A作ADx轴于D一次函数的图象与轴交于点，即，AD=3的面积=【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、利用图象求自变量的取值范围和利用点的坐标

27、求三角形的面积是解决此题的关键21.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中，表示 的扇形圆心角的度数是多少；(2)将条形统计图补充完整；(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用 “微信”进行沟通的学生大约有多少名?(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信、“电话三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选

28、择同一种沟通方式的概率【答案】（1）100；108；（2）详见解析；（3）600人；（4）【解析】【分析】（1）利用喜欢“电话”沟通的人数除以其所占调查总人数的百分率即可求出调查总人数，然后求出喜欢“QQ” 沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘360即可求出结论；（2）用调查总人数喜欢“短信”沟通的人数所占百分率即可求出喜欢“短信”沟通的人数，然后用调查总人数减去其余“电话”、“短信”、“QQ”和“其它”沟通的人数即可求出喜欢用“微信”沟通的人数，最后补全条形统计图即可；（3）先求出喜欢用“微信”沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘1500即可；（4）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式计算

29、即可【详解】解：(1)调查总人数为2020%=100人表示 的扇形圆心角的度数是30100360=108 (2)喜欢用“短信”沟通的人数为：1005%=5人，喜欢用“微信”沟通的人数为：100-20-5-30-5=40人，补充条形统计图，如图所示：(3)喜欢用“微信”沟通所占百分比为：该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：人 答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有600人(4)列出树状图，如图所示，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，所以甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问

30、题，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息并掌握画树状图和概率公式求概率是解决此题的关键22.如图，已知ABC中，ABAC，把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：AECADB；（2）若AB2，BAC45，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长【答案】（1）见解析；（2）BF【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及ABAC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据BAC45，四边形ADFC是菱形，得到DBABAC45，再由ABAD，得到三角形A

31、BD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BDDF求出BF的长即可【详解】解：（1）由旋转的性质得：ABCADE，且ABAC，AEAD，ACAB，BACDAE，BAC+BAEDAE+BAE，即CAEDAB，在AEC和ADB中，AECADB（SAS）；（2）四边形ADFC是菱形，且BAC45，DBABAC45，由（1）得：ABAD，DBABDA45，ABD为直角边为2的等腰直角三角形，BD22AB2，即BD2，ADDFFCACAB2，BFBDDF22【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键23. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13

32、200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【答案】（1）120件；（2）150元【解析】试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列

33、不等式解答即可.试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件.由题意可得：，解得，经检验是原方程的根.（2）设每件衬衫的标价至少是元.由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元）由题意可得：解得：，所以，即每件衬衫的标价至少是150元.考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.24.如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为求二次函数的解析式和直线BD的解析式；点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使中BD

34、边上的高为？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由【答案】（1），；（2）PM有最大值；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为或【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QGy轴，交BD于点G，过Q和QHBD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标【详解】（1）抛物线的顶点C的坐标为（1，4），可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，点B

35、（3，0）在该抛物线的图象上，0=a（3-1）2+4，解得a=-1，抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，点D在y轴上，令x=0可得y=3，D点坐标（0，3），可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，直线BD解析式为y=-x+3；（2）设P点横坐标为m（m0），则P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3），PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3），QG=|-

36、x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，BOD是等腰直角三角形，DBO=45，HGQ=BGE=45，当BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，QG=2=4，|-x2+3x|=4，当-x2+3x=4时，=9-160，方程无实数根，当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，Q（-1，0）或（4，-5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中

37、构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中25.等腰直角和等腰直角分别在直线上(1)如图所示，分别在线段上，若，求证：(2)若分别在线段外(还在直线上)，根据题意，画出图形，那么(1)的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；(3)如图，若，求证：【答案】（1）详见解析；（2）成立，详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）延长，交的延长线于，连接，先证出BHC为等腰直角三角形，然后证出BC是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，然后根据等边对等角和等角对等边证出HM=MN，即可证出结论；（2）根据题意，分点M在CB的延长线和点

38、M在BC的延长线两种情况讨论，分别画出对应的图形，根据垂直平分线的性质、等边对等角和等角对等边分别证明即可；（3）延长，交的延长线于，连接，由(1)可得是的垂直平分线，然后根据等边对等角和等量代换即可证出，从而证出结论【详解】解：(1)延长，交的延长线于，连接，又，等腰直角和等腰直角，为等腰直角三角形，又，是的垂直平分线，而，(2)成立，证明如下第一种情况：如图所示延长，交的延长线于，连接；由(1)可得：，显然是的垂直平分线，且；，第二种情况：易证显然是的垂直平分线，即，而，7=8，(3)延长，交的延长线于，连接由(1)可得是的垂直平分线，而，又，而， 【点睛】此题考查的是垂直平分线的判定及性质和等腰三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的判定及性质、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键