【精品】【冀教版】八年级上：第14章实数全章教学案含答案

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1、数学精品教学资料第十四章实数1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.2.会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求数的平方根与立方根.3.了解无理数和实数的概念,了解实数与数轴上的点的一一对应关系.4.了解在实数范围,相反数、倒数和绝对值的意义.5.会进行实数大小的比较和实数的近似计算.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.1.类比有理数的有关概念和运算律来学习实数,体现了知识的前后联系以及数系发展的规律.2.让学生感受现实生活中存在无理数,从而认识到学习无理数的必要性.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学

2、生体验成功的乐趣.2.鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,增加学生的自我意识和集体责任感.本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.本章通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.学习本章之后,数的范围扩充到了实数,今后若无特别说明,所研究的数与代数的内容(一元一次不等式、二次根式、函数等)一般都在实数范围内进行.因此,本章内容是学习后继内容的前提和基础,对于发展学生的数感、用数学

3、思想理解和解释现实问题、提高学生的数学素养有着重要的意义.另外,本章是中考的重要内容,常考的考点有求一个非负数的算术平方根、平方根的概念和性质、立方根的意义及运算、比较两个实数的大小、无理数的识别等.题型以填空题、选择题为主,也有与其他知识相综合的解答题,一般难度不大.【重点】1.平方根、算术平方根的意义,立方根的意义.2.无理数的意义以及实数的概念.【难点】1.平方根、算术平方根的概念,二者之间的区别和联系.2.实数的概念.1.概念的形成过程也是一个思考的过程,所以要关注学生对概念的理解和认识,引导学生积极参与探究活动,经历归纳概括、发现新知的过程,逐步提高学生的思维水平.2.关注学生的探究

4、和发现过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.3.注意知识间的相互联系和区别,实数的概念、运算法则、运算律等,都可以通过类比有理数来获得,这样能较好地体现新旧知识的联系.如实数的绝对值、相反数和倒数等概念都是类比有理数直接得出的.同时,也要注意到它们之间的区别,如无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数,有理数和数轴上的点不是一一对应的,而实数和数轴上的点是一一对应的等.4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.5.在解决实际问题的过程中,如果遇

5、到复杂的计算问题,应允许学生用计算器进行计算.6.在进行实数的大小比较以及用有理数估计无理数的范围等问题中,要控制好问题的难度,不要超出教材的要求.14.1平方根2课时14.2立方根1课时14.3实数3课时14.4近似数1课时14.5用计算器求平方根与立方根1课时回顾与反思1课时14.1平方根1.了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义.2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根.1.通过探究,了解开平方与平方是互逆运算.2.会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根和算术平方根.通过学习,体验数学知识来源于实践,是由于生活或生产的需要而产生、发展的.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法

6、.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.第课时1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.3.知道表示的是非负数a的平方根.在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.【教师准备】课件17.【学生准备】平方的相关计

7、算.导入一:我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.设计意图新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.导入二:小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是

8、多少,正当小明的爸爸犯愁的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.几秒之后提问:同学们,你们知道吗?设计意图设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题.导入三:玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以

9、她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125 dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.设计意图好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.活动一:做一做感知平方根过渡语通过导入一我们知道当护栏的边长是10 m时,正方形花圃的面积是100

10、m2,也就是102=100.下面我们再来看几个问题.思路一【课件1】1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?3.满足x2=25的x的值是多少?解:1.,100.2.,-,10,-10.3.5,-5.教师说明:因为52=25,所以x=5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25.因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.例如:100的平方根是10与-10.因为(10)2=100,所以10与-10都是100的

11、平方根.你能说出49,144的平方根吗?(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)设计意图使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.【课件2】填写下表:x-3-1013x2学生填完表格后,引导学生观察:(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?(4)负数有平方根吗?学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:(1)它们的平方相等.(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(3)0有一个平方根,是0本身.(

12、4)负数没有平方根.说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如记作,读作“根号a”;记作,读作“正、负根号a”.【课件3】观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.设计意图理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.思路

13、二说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10 m.教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.因为52=25,所以5是25的一个平方根.说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方

14、法吗?(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)【课件4】求100的平方根.问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?问2:你能正确书写解题过程吗?解:(10)2=100,(-10)2=100,100的平方根为10或-10(也可以写成10).说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.【课件5】试一试.(1)144的平方根是什么?(2)0.0001的平方根是什么?(3)0的平方根是什么?讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律?总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根是0.由以上讨论发现,有时

15、候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.设计意图进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.问1:-4有没有平方根?为什么?学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.结论:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根只有一个,为0.3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.)问2:a有没有平方根?为什么?结合问1:当a0时,a有平方根;当a0时

16、,a没有平方根.设计意图引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.说明:正数a的两个平方根记为,其中a叫做被开方数.如4的平方根为,被开方数是4;0.01的平方根为,被开方数是0.01.活动二:例题讲解过渡语我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.【课

17、件6】求下列各数的平方根.(1)81;(2);(3)0.04.指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.解:(1)因为(9)2=81,所以81的平方根为9,即=9.(2)因为,所以的平方根为,即=.(3)因为(0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为0.2,即=0.2.教师规范书写格式.思考:表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?-又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?学生讨论回答.【课件7】(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.-64,0,(-4)2.学生分组讨论,选派一名代表回答.解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根

18、是4.知识拓展(1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:已知底数m和指数2,求幂,是平方运算,即m2=(?);已知幂a和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.设计意图通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.平方根的定义一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的

19、二次方根.表示方法当a为正数时,a的平方根为.平方根的性质(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(2)0只有一个平方根,是0本身.(3)负数没有平方根.1.(2015黄冈中考)9的平方根是()A.3B.C.3D.-3解析:9的平方根是=3.故选A.2.(2015威海模拟)(-2)2的平方根是()A.-2B.2C.2D.4解析:(-2)2=4,4的平方根为2.故选C.3.下列说法正确的是()A.-81的平方根是9B.任何数的平方是非负数,因而任何数的平方根也是非负数C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数D.2是4的平方根解析:A.由于负数没有平方根,故A选项错误;B.任何数的平方为非负数

20、,正确,但只有非负数才有平方根,且平方根有正负之分(0的平方根为0),故选项B错误;C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数,不一定正确,如:当0aa,故选项C错误;D.2的平方是4,所以2是4的平方根,故选项D正确.故选D.4.下列各数中没有平方根的是()A.0B.-82C.D.-(-3)解析:A.0的平方根是0,故错误;B.-82=-640,没有平方根,故正确;C.,有平方根,故错误;D.-(-3)=3,有平方根,故错误.故选B.5.“4的平方根是2”翻译成数学语言是()A.=2B.-=-2C.-=2D.=2解析:4的平方根是2,可以写成=2.故选D.6.下列说法正确的是()A.0.25是

21、0.5的一个平方根B.72的平方根是7C.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0D.负数有一个平方根解析:A.=0.25,故A错误;B.=7,故B错误;C.一个正数的平方根互为相反数,互为相反数的两个数的和为0,故C正确;D.负数没有平方根,故D错误.故选C.7.求下列各数的平方根.(1)0;(2);(3).解析:直接进行开平方运算即可.注意0的平方根为0,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.解:(1)0的平方根为0.(2)的平方根为=.(3)的平方根为=.8.一个正数x的平方根是3a-4与8-a,则a和这个正数是多少?解析:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得出3a-4+8-a=

22、0,求出a的值,即可求出答案.解:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得3a-4+8-a=0,解得a=-2,即3a-4=-10,则这个正数为(-10)2=100.第1课时活动一:做一做感知平方根活动二:例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第62页练习第1,2,3题.2.教材第62页习题A组第1,2,3,4题.【选做题】教材第63页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.3的平方根是()A.9B.C.-D.2.以下叙述中错误的是()A.=0.5B.=0.5C.0的平方根是0D.1是1的平方根3.的平方根是()A.B.C.D.4.若x满足x2=,则x的值为()A.B.-C.D.5.下

23、列说法正确的是()A.-4是-16的平方根B.4是(-4)2的平方根C.(-6)2的平方根是-6D.的平方根是4【能力提升】6.求下列各数的平方根.(1)36;(2);(3)1;(4)1;(5)0.09.7.已知(a-2)2+|b-8|=0,求的平方根.8.求下列各式中的x的值.(1)4(x-1)2=25;(2)9(x2+1)=10.【拓展探究】9.已知x2+2015的一个平方根是,求x2的平方根.10.已知2m+2的平方根是4,3m+n+1的平方根是5,求m+3n的平方根.【答案与解析】1.D(解析:()2=3,3的平方根为.故选D.)2.B(解析:表示0.25的平方根,为0.5,故B错误.

24、故选B.)3.A(解析:,的平方根是, 的平方根是.故选A.)4.C(解析:x2=,x=.故选C.)5.B(解析:A.因为-160,所以x=90.答:这个较大的鱼池的边长为90 m.B组1.解:(1) =.(2)=140.(3)=1.7.(4)=10-3.2.解:设每块地板砖的边长是x m.根据题意得50x2=18,解得x2=0.36,因为(0.6)2=0.36,所以x=0.6,又因为x0,所以x=0.6.答:每块地板砖的边长为0.6 m.教学时通过情境使学生认识到平方根产生于实际需要,对于开平方这一运算要多与平方运算相联系,从根本上理解开平方运算.让学生体会用平方运算求一个非负数的平方根,用

25、平方运算求平方根是一个逆向思维的过程.对于平方根的性质,要让学生自己去发现规律并用自己的语言加以表述,从而加深对平方根概念的认识.尽量让学生多举一些求平方根的例子,自己总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;一个负数没有平方根”.求下列各式中的x的值.(1)x2+5=7;(2)2(x-1)2-8=0.解析(1)根据移项法则把原式化为x2=2的形式,根据平方根的概念解答即可;(2)根据移项法则把原式化为(x-1)2=4的形式,根据平方根的概念解答即可.解:(1)x2+5=7,x2=7-5,x2=2,x1=,x2=-.(2)2(x-1)2-8=0,2(x-1)2=8,(x-1

26、)2=4,x-1=2,x1=3,x2=-1.(1)正数x的平方根为a+2和2a-8,求x的值;(2)如果a+3与2a-15是m的平方根,求m的值.解析(1)根据一个正数的平方根互为相反数列式求出a的值,再求(a+2)2即可;(2)这两个平方根互为相反数或相等,分别列式进行求解即可.解:(1)根据题意得a+2+2a-8=0,解得a=2,所以x=(a+2)2=(2+2)2=16.(2)当a+3与2a-15是同一个平方根时,a+3=2a-15,解得a=18,此时m=(18+3)2=441;当a+3与2a-15是两个平方根时,a+3+2a-15=0,解得a=4,此时m=(4+3)2=49.如果x0,x

27、2=4,y2=9,求x+y的值.解析根据x0,x2=4,y2=9,就可确定x,y的值,进而求解.解:x2=4,y2=9,x=2,y=3,又x0,x=-2,y=3,x+y=-2+3=1.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.【重点】算术平方根的概念和性质.【难

28、点】对算术平方根意义的理解.【教师准备】课件16.【学生准备】复习平方根的意义以及平方根的性质.导入一:【课件1】学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师:怎样算出画布的边长为5 dm的呢?(思考1分钟)【课件2】填表:正方形面积191636正方形边长教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.设计意图从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识

29、算术平方根,为下面的学习做好铺垫.导入二:同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.设计意图“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是

30、我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路.导入三:【课件3】1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少?(2)-7和7是哪个数的平方根?(3)正数m的平方根怎样表示?(4)求下列各数的平方根.64;0;(-0.4)2;16;(-4)3.2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?解:设正方形的边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,得x=.因为正方形的边长是正数,所以正

31、方形的边长是.设计意图复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备.活动一:感知算术平方根的定义思路一过渡语上面的问题,可以归纳为“已知一个正数的平方,求这个正数”的问题.实际上是乘方运算中,已知一个数的指数和它的幂求这个数.一个正数的两个平方根互为相反数,我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式x2=a(x0)中,规定x=.思考:这里的数a应该是怎样的数呢?试一试:你能根据等式112=

32、121说出121的算术平方根吗?并用等式表示出来.解:121的算术平方根是11,用等式表示为=11.知识拓展平方根与算术平方根的区别和联系.区别:(1)概念不同:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根.(2)表示方法不同:正数a的平方根表示为;正数a的算术平方根表示为.(3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数.联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个.(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有.(3)0的平方根、算术平

33、方根都是0.(4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算.思路二说明:正数a有两个平方根(表示为),我们把其中正的平方根,叫做a的算术平方根,表示为.0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即=0.几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为a(a0)、边长为的正方形,边长就表示a的算术平方根.“”是算术平方根的符号,就表示a的算术平方根.思考:的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数?的意义有两点:(1)被开方数a表示非负数,即a0;(2)也表示非负数,即0.也就是说,非负数的算术平方根是非负数,负数不存在算术平方根,即a0时,无意义.如:=3,8是64的算术平方根

34、,无意义.强调:这里需要说明的是,算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号,如a0时,表示非负数a进行开平方运算,也是一个性质符号,即表示非负数a的非负平方根.例如,表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根.设计意图让学生在小组间进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.活动二:强化算术平方根的计算过渡语理解了算术平方根的意义以及表示方法,我们就可以求出一个非负数的算术平方根.【课件4】(教材第63页做一做)求下列各数的算术平方根.(1)144;(2)0.01;(3);(4)132;(5)(-16)2.1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算.2.学生口述过程.解:

35、(1)12.(2)0.1.(3).(4)13.(5)16.观察“做一做”中(4)和(5)的结果,你有什么发现?小组讨论得出:语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.说明:首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式,应该用怎样的符号来表示,在此基础上再求出结果.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后直接写出结果.【课件5】计算下列各式.(1);(2)-;(3);(4)-.说明:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和算术平方根的概念进行求解,注意解题格式.解:(1)=1.3.(2)-=-=-15.(3)=.(4)-=-=-17.【课件6】某小区有一块长方形草坪,为了加强保护

36、,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900 m2,求所需篱笆的总长度.解析(1)如果设所需篱笆的宽为x m,它的长是多少?怎样列方程?(2)怎样求出x的值?解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m.因为长方形草坪的面积是900 m2,所以4xx=900,即x2=225.所以x=15.x=-15不合题意,舍去.所以x=15,2(15+415)=150(m).答:所需篱笆的总长度是150 m.设计意图体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;规范步骤,让学生养成良好的书写习惯.算术平方根的定义一个正数a的正的平方根叫做a

37、的算术平方根.算术平方根的表示方法(a0)(即非负数有算术平方根)的意义表示一个数的平方的算术平方根,它等于这个数的绝对值.即:注意的问题(1)只有非负数有算术平方根;(2)算术平方根具有双重非负性,一个是被开方数是非负数,二是结果是非负数;(3)(a0)的最小值是0.1.(2015日照中考)的算术平方根是()A.2B.2C.D.解析:=2,2的算术平方根是,的算术平方根是.故选C.2.(2015大庆中考)a2的算术平方根一定是()A.aB.|a|C.D.-a解析:一个数的平方的算术平方根是这个数的绝对值.故选B.3.下列各等式中,正确的是()A.-=-3B.=3C.()2=-3D.=3解析:

38、A.-=-3,故A正确;B.=3,故B错误;C.被开方数是非负数,故C错误;D.=3,故D错误.故选A.4.若,则a为()A.正数B.非负数C.1或0D.0解析:,a0,a=,即a的算术平方根等于它本身,a=1或0.故选C.5.求下列各数的算术平方根.(1)49;(2)0.36;(3).解析:根据开平方运算,可得一个数的算术平方根.解:(1)=7.(2)=0.6.(3).6.计算.(1);(2)-.解析:(1)先算被开方数中的减法,再根据算术平方根的定义计算即可;(2)先求出每一部分的值,再算减法即可.解:(1).(2)-=2-=1.7.已知2a-7的平方根是5,2a+b-1的算术平方根是4,

39、求a+b的算术平方根.解析:根据平方根的定义先求出a的值,再根据算术平方根的定义求出b的值,然后再求出a+b的算术平方根.解:2a-7的平方根是5,2a-7=25,a=16,2a+b-1的算术平方根是4,2a+b-1=16,b=-15,a+b=16-15=1,a+b的算术平方根是1.第2课时活动一:感知算术平方根的定义活动二:强化算术平方根的计算例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第6465页练习第1,2,3题.2.教材第65页习题A组第1,2,3,4题.【选做题】教材第65页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法中正确的是()A.-9的平方根是-3B.9的平方根是3C.9

40、的算术平方根是3D.9的算术平方根是32.下列说法错误的是()A.42的算术平方根为4B.的算术平方根为C.的算术平方根是D.的算术平方根是93.的值等于()A.2B.-2C.-D.4.当x=-3时,的值是()A.3B.3C.-3D.9【能力提升】5.若=a,则a的值为()A.1B.-1C.0或1D.16.一个自然数的平方根为a,则它的相邻的下一个自然数的算术平方根是()A.B.a+1C.a2+1D.7.计算.(1)-;(2);(3);(4).【拓展探究】8.先填写下表,通过观察后再回答问题.a0.00010.011100100000.01x1y100(1)x=,y=;(2)从表格中探究a与数

41、位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题.已知3.16,则;已知=1.8,若=180,则a=.【答案与解析】1.D(解析:A.-9没有平方根,故A选项错误;B.9的平方根是3,故B选项错误;C.9的算术平方根是3,故C选项错误.D.9的算术平方根是3,故D选项正确.故选D.)2.D(解析:=9,因为9的算术平方根是3,所以的算术平方根是3,此选项错误.故选D.)3.A(解析:原式=2.故选A.)4.B(解析:x=-3,=3.故选B.)5.C(解析:=a,a0.当a=0时,=a;当0aa;当a=1时,=a;当a0时,0,所以x=9.答:这个正方体的棱长为9.2.解:能拼成边长为3的大正方形,如图

42、所示. 1.教师在进行教学活动时,要注意以下几个方面的问题:(1)通过具体问题引导学生进一步明晰平方根与算术平方根的联系与区别.(2)对于教材中的两个例题的相关内容,教师可适当补充,鼓励学生自己完成,让学生进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.2.例题中解题的过程主要是给学生提供书写的一般要求,在以后的学习中,可以进一步简化.已知M=是a+b+3的算术平方根,N=是a+6b的算术平方根,求MN的值.解析根据题意列出关于a与b的方程组,求出方程组的解,即可得到a与b的值,进而可求出所求式子的值.解:根据题意得解得a=4,b=2,MN=34=12.如图所示,在长和宽分别是

43、a,b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形,当a=8,b=6,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的时,求正方形的边长x的值. 解析根据题意列出等式4x2=(ab-4x2),把8和6代入,得4x2=(86-4x2),即可求解.解:剪去部分的面积等于剩余部分的面积的,4x2=(ab-4x2),4x2=(86-4x2),x2=3,x表示边长,不能为负数,x=.14.2立方根1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性.2.了解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根,分清一个数的立方根与平方根的区别.1.帮助学生了解数的立方根的概念和

44、性质,会用三次根号表示数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性.2.帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系,掌握用立方运算求一个数的立方根的方法,帮助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法.3.通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力.1.通过立方根的学习,认识数学与人类生活的密切联系,激发学生的学习兴趣.2.通过探究活动,锻炼克服困难的意志,增强自信心,激发学生的探索热情.【重点】立方根的概念和性质.【难点】区别立方根和平方根.【教师准备】课件19.【学生准备】正数、0、负数的立方运算.导入一:师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的?它的符号怎么表示?生

45、:如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根).符号表示:,其中a0.(教师板书)师:我们还学习了一种新的运算,是什么运算呢?它是怎么定义的?生:开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方,与平方互为逆运算.师:那么平方根有什么样的性质呢?生:正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根.教师引导学生回忆,并回答出平方根的定义、符号表示及性质,对定义及符号进行板书,性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比.被开方数平方根正数2个,互为相反数00负数无设计意图通过对平方根的复习,可以增加学生对平方根的印象,同时,教师也能通过学生复习过程的表现,间接了解

46、学生对知识的掌握程度,也能让学生在学习完立方根后,更好地对这两个概念进行比较.导入二:传说很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干了,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们给我做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降下雨水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那儿,新祭坛的边长是原祭坛的2倍,可是神更加恼怒,他说:“你们竟愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来的2倍,我要惩罚你们!”要做一个体积是原来2倍的新祭坛,它的边长应该是原来的多少倍呢?学完这节课,同学们一定会有所收获.设计意图通过故事情境

47、的导入,让学生对本节内容的学习充满了期待,能更加积极地投入到本节的学习之中.一个良好的学习态度,是学生学习知识的基础,学生积极性的调动,更是一节课成功的灵魂.活动一:感知立方根【课件1】(教材第66页观察与思考)如图所示,已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少?反过来,如果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢?(1)想一想:正方体的体积公式是什么?体积=棱长3(2)你能解答这道题吗?指名口述:由正方体的体积公式可知,棱长是2的正方体的体积是23=8.因为33=27,所以当x3=27时,x=3.说明:将此题转化为求一个数,使它的立方是27,得出这个数是3.活动二:立方根的定义过渡

48、语我们知道了平方根的定义,那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下面的问题.【课件2】(教材第66页试着做一做)求满足下列各式的x的值.(1)x3=-1;(2)x3=64;(3)x3=0.008;(4)x3=-.指导学生独立完成,然后指名回答.解:(1)x=-1.(2)x=4.(3)x=0.2.(4)x=-.本题是已知一个数x的立方,求这个数的值,而平方根是已知一个数的平方,求这个数,从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念.师:对比平方根的定义,你能归纳出立方根的定义是什么吗?学生谈论思考,教师引导归纳概念:概念归纳:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方

49、根,也叫做a的三次方根.(教师板书)师:在上面问题中,因为33=27,所以3是27的立方根.类比开平方的运算,我们也可以定义出开立方运算:求一个数的立方根的运算,叫做开立方.(板书)正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.因此,我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根.设计意图联系平方根的概念,让学生类比,给出立方根的概念,学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别.活动三:立方根的性质及表示方法1.立方根的性质思路一探究:根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点?教师将题目板书出来,然后要求学生口答,最后让学生观察、讨论,归纳出立方根的性质.【

50、课件3】因为23=8,所以8的立方根是(2);因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方根是(0.5);因为(-0.5)3=-0.125,所以-0.125的立方根是(-0.5);因为03=0,所以0的立方根是(0);因为=-,所以-的立方根是.【课件4】(教材第67页大家谈谈)1.一个正数有几个立方根?正数的立方根是正数还是负数?2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数?3.0的立方根是什么数?生:一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数;一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数;0的立方根是0.归纳:任何数(正数、负数、0)都有立方根,并且只有一个.教师根据学生的回答将以

51、下的表格填写完整,可以清晰地看出平方根和立方根的区别,同时要求学生记在笔记上.被开方数平方根立方根正数两个,互为相反数有一个,是正数000负数无有一个,是负数教师还要指导学生:我们发现,进行立方运算,当底数互为相反数时,它们的幂也互为相反数,这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数,但它们的幂相等,故一个正数的平方根有两个,但一个正数的立方根却只有一个.设计意图让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根,以及一个数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算,求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中,教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学生明晰道理.思路二想一想:

52、平方根的性质是什么?学生思考后得出:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根.过渡语那么立方根又有怎样的性质呢?下面我们共同探讨一下.【课件5】求下列各组数的立方根.(1)125,0.004,3;(2)0;(3)-125,-0.004,-,-3.说明:引导学生说出以上三组数的立方根,并讨论能得出哪些结论?教师根据学生的回答进行归纳:【总结归纳】大多数同学也会得到,互为相反数的两个数的立方根也互为相反数,教师也要及时加以表扬和肯定.规律总结(1)求一个数的立方根时要注意:一个正数只有一个正的立方根,一个负数只有一个负的立方根,这和一个正数有两个平方根,