高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

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1、高中数学平面向量组卷15.选择题（共18小题）1.已知向量 / 年的夹角为0,定义为之与E的向量积”，且二名是一个向量，它的长度 而同尸百面sin。，若u= (2, 0) , U-廿(1, V3),则 |uX (u+v) |=()C. 62.已知-,I为单位向量，其夹角为60,则（2日一用）A. - 1B. 0C. 1D. 23 .已知向量3= (1, V3), b= (3, m),若向量a, b的夹角为二上，则实数m=()6A. 2MB. VIC. 0D.VS4 .向量 a=tan江)，淳(8m口 ,1)，且 k/b,贝Use(+d )=()J占A. 1B. -1C.一返D.一 2五3333

2、5 .如图，在 4ABC 中，BD=2DC ,若 AB二1 AC=b|,贝U AD=()A.B.6.若向量M (2C0Sa232 入3a 3b1C.D.1)b= (V2, tana),且右 / h,则sin a=()A,邈B._V22C.JU1D.7T77.已知点A (3, 0),B (03)C (cos a, sin a), O (0, 0),若的夹角为（A.712B.7TWC.D.8.设向量OA=a,0B= b不共线，且|a+b|=1,但-b|=3,则AOAB的形状是（A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形9 .已知点 G是4ABC的重心，若 A=-J AB?AC=3,则

3、小G|的最小值为（）A.gB. V2C. 2/D. 2310 .如图，各棱长都为 2的四面体ABCD中，司=面，7帚=2而，则向量 而?？E?=（）A- -1B. 1C. -1D. _332211 .已知函数f （x） =sin （20+4）的部分图象如图所示，点 B, C是该图象与x轴的交点，过点 C的直线与该图象（而十!而？筱的值为（）交于D, E两点，则12.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界）C.D. 2且满足(FB-FA) ?(PB+PA-2PO =0,则4abc 的形状定为（）A.等边三角形B .直角三角形D.等腰三角形13.如图所示，设P为4ABC所在平面内的一点，并且C

4、.钝三角形山,则4ABP与4ABC的面积之比等于（BA.B.D.TZ? 114.在 4ABC 中，|AB|=3, |AC|=2 , &=：AB则直线 AD通过 ABC的（）A.垂心B.夕卜心C.重心D.内心15 .在4ABC中，/BAC=60 , AB=2 , AC=1 , E, F为边BC的三等分点，则 蛆，微=（A.B.C.10D.16 .已知空间向量年满足|三|二巧|二1,且彳，Z的夹角为-?，。为空间直角坐标系的原点，点A、B满足赢二八十E，而：3三-否则4OAB的面积为（）C- jDT17 .已知点P为4ABC内一点，且FA+2FB+3POO,贝U APB , AAPC, BPC的面

5、积之比等于（A. 9: 4: 1B. 1 : 4: 9C. 3: 2: 1D. 1 : 2: 3I P/L I 2 L I pD I 218 .在直角三角形 ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则山11 =(|PC|2A. 2B. 4C. 5D. 10.解答题（共6小题）19 .如图示，在 4ABC中，若A, B两点坐标分别为（2, 0） , （ - 3, 4）点C在AB上，且 OC平分/ BOA .（1）求/AOB的余弦值；（2）求点C的坐标.20 .已知向量=（cos。，sin 0）和匕一（Y 2 门3 E5 8 ）（1）若卞/用，求角。的集合;若叱空号），且”仍求冲弓一

6、会的值.21 .如图所示，若 D是4ABC内的一点，且 AB2-AC2=DB2 - DC2.求证：AD BC .22 .已知向量1= CsinAr- C无与至一刍&) , b= 绊，CDS与月,其中A、B是4ABC 2244224的内角，-(1)求 tanA?tanB 的值；(2)若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求上的值.a23-已知向量 a= (sim, cosi) , b=(如sek, sex)且b声口，函数 f(x)=2b -1(I)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间；(II)若；冗,分另I求tanx及-口式一一的值.f (耳)+1224.已知 a= (Sy/g

7、cosx, cosi) b= (sinxs 2cosi),函数 f (x) =a，b+|b| -(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)求函数f (x)的单调减区间；7TTT(3)当了；不时，求函数f (x)的值域.6z高中数学平面向量组卷（2014年09月24日）参考答案与试题解析一.选择题（共18小题）1 .已知向量 左年的夹角为0,定义为W与E的向量积”，且二名是一个向量，它的长度 而同|其向sin。，若u= （2, 0）, U-廿（1, V3）,则 |uX （u+v） |=（）A. 4MB. V3C. 6D. 273考点： 平面向量数量积的运算.专题： 平面向量及应用.分析：. .

8、-利用数量积运算和向量的夹角公式可得三+（=匕.再利用平方关系可得-lul lu+vl乳口三，三十； ，利用新定义即可得出解答：解：由题意装X-（）=1. V3），则；+薪（3,后， G+；） ?6，1口 + ”加2+ （小）2=26, |u|=2 = |；| ge2，=7即 u,u十.得 sin二2Xxg=，故选：D-点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题.2.已知，为单位向量，其夹角为60,则(23-|b) ?b=(B. 0C. 1D. 2考点： 平面向量数量积的运算.专题： 平面向量及应用.分析：由条件利用两个向量的数量积的定义

9、，求得 。玉、%，的值，可得（石-Z）田的值.解答： 解：由题意可得， a*b=1 xcos60=i, L=1,（23 - b） ?b=2a*b f；2=0,故选：B.n-h点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.3.已知向量3= (1, VS), b= (3, m),若向量方，b的夹角为二，则实数m=()6A. 2aB. 3C. 0D.-英考点： 数量积表示两个向量的夹角.专题： 平面向量及应用.分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得 m的值.解答：解：由题意可得co三广士 =3+ * 建久1,解得m=/3,故选：B.6 I a 卜 I b | 2Vs

10、+id? 2点评： 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题.4 .向量 0二(g tan ),港(cqs口 , 1)，且己/ b,贝Use (+C1 )=()A. 1B. -1C.一返D. 一 2五1333考点：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用.专题：计算题；三角函数的求值.分析：根据向量平行的条件建立关于“的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式，化简即可得到cos (工-+d )的值.解答:.七x 1 二tans Xcosa ,J点评:即 看二三in；口，得 sin a=-i,由此可得 cos (=-S B ) = - sin

11、 a= - -i .故选:TT本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求 C0S (-上+口)2B的值.着重考查了同角三解：.g二(3，tan Ct )1)，且角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题.5 .如图，在 4ABC 中，BD=2DC .若 AB、，AC=b|,贝U AD=()D.考点：向量的加法及其几何意义.专题： 平面向量及应用.分析：由题意可得a5=ab +而，而前二江，皮三菽-瓦，代入化简可得答案.标点正寺亭故选C点评： 本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题.解答:解：由题意可得 J尸，I尸,1:充-五)=二6 .若

12、向量 a= (2cos a, 1), b=tan a),且3 / h,贝 U sin a=(D.7T7A.逛B.一返C.工224考点： 平面向量共线(平行)的坐标表示.专题： 平面向量及应用.分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算.斛答. 解：,向量：a= (2cosa, T)，W= (&, tana), Ha/ b,贝 U 2cosa lan a- (1) V2=0,即2sin卡-/.序。0二一返.故选：B. 2点评：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若3= (ai, 32)b= (bi, b2),贝U 日，

13、b? aia2+bib2=0,右/b? aib2a2b1=0.是基础题.7.已知点 A (3, 0), B (0, 3), C (cosa, sin”)，o (0, 0),若1加+而上。，仃乏( 八)的夹角为()D.A. B.24考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题：计算题.分析：根据题意求出 血+而的坐标，再由它的模求出角 ”，进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出 瓦和 |门夹角的余弦值，再求出夹角的度数.解答： 解：A (3, 0), C (cosa, sin/)，O (0, 0), ，5J + 0C= (3+cosa, sin”)，lOA+OC 1=713- 口 W

14、（口，TT） , （3+cosa） 2+sin2c=13,3XVs解得，cos妹1,则”=工，即C （工，由），万兀和前夹角的余弦值是 232 2c2 J；I OB | | OC | 5X1 2. 6E和西的夹角是 工.故选：d .6点评：本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹角的范围求出夹角的大小.8.设向量OA=a, OB=b不共线，且|名+同=1, |白-b|=3,则AOAB的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D,钝角三角形考点： 平面向量数量积的运算.专题： 计算题；平面向

15、量及应用.分析：|a+b|=1，日-卫|=3分别平方并作差可得 =-2,由其符号可判断/ AOB为钝角，得到答案.解答：解：由晶群1,得G+E）5即工铲+2/J，由1 a- b|=3，得（- b ） 二9,即 a+b* 一 2 a b=9，-得，4S-b=-8,解得-21+1X1X- 12=y, -1. . 11 L故 cos/ BOA= 吃 =_2 屈,可得 sin/BOA=Ji. (H) 2 =X , |OA|OB| VW? 14限V 14所以0AB的面积su 五| |旗恒in/BQA=| 乂赤乂祈x号器含3故选B点评： 本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的

16、关键，属中档题.17 .已知点P为4ABC内一点，且FA+2FB+3FO。，则4APB, AAPC, BPC的面积之比等于()A. 9: 4: 1B. 1 : 4: 9C. 3: 2: 1D. 1: 2: 3考点：向量在几何中的应用.专题： 计算题；压轴题.分析： 先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比解答： 解：二血+2五+3正二元，区+百=-2-五+记)，如图：麻 +同二而二2而，PB+PCPE=2PG国二2正F取 PC x hi uF、P、G三点共线，且 PF=2PG, GF为三角形ABC的中位线=2bABPC 募X

17、PC X h2而 SzAPB=】SzABC.APB , AAPC, BPC 的面积之比等于 3: 2: 1 故选 C占，点评：本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键I pvI 2. I poI 218.在直角三角形 ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则山口啜二（）|PC|2A. 2B. 4C. 5D. 10考点：向量在几何中的应用.专题：计算题；综合题.分析： 以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以 AB为直径的圆必定经过 C点，因此设AB=2r,/CDB=a,得到A、B、C和P各

18、点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出回叵好的值Irei2解答： 解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系, AB是RtA ABC的斜边，以AB为直径的圆必定经过 C点设 AB=2r , Z CDB= a,则 A ( r, 0), B (r, 0), C (rcosa, rsin a),一点 P 为线段 CD 的中点，1. P (-rcosa, -rsin a)|PA2=.:-=r +r cos a 412 I|PB|2=gyco0+)5 2 =4r一/cos a可得|PA2+|PB片r2又.点p为线段cd的中点，CD=r至2，弟生）T所以：叫

19、;曹七=10故选D点评:本题给出直角三角形 ABC斜边AB上中线AD的中点P,求P到A、B距离的平方和与 PC平方的比值, 着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题.解答题（共6小题）19.如图示，在 4ABC中，若A, B两点坐标分别为（2, 0） , （ - 3, 4）点C在AB上，且 OC平分/ BOA .(1)求/AOB的余弦值;(2)求点C的坐标.考点:向量在几何中的应用.综合题.分析:(1)由题意可得cosZA10B=|0A| |0B|,把已知代入可求(2)设点 C (x, y),由 OC 平分 / BOA 可得 cos/ AOC=cos / BOC 即 _2A10A

20、 | - | 0C | |OB | OC |；再由点C在AB即氐7BC共线，建立关于x, y的关系，可求解答:解：(1)由题意可得,0A= /2+sin 0, sin 0- cos。)，, , |_ 1 -二 . . HH .-= J ,:. ： ： i -：=21 j. ；,即cos (即三）=1,由余弦的二倍角公式得,cos ( *W)jBE C5 兀 137T由得cos (47171271 3打一,即 cos ( 271)AABC的内角，-.(1)求 tanA?tanB 的值；(2)若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求上的值. a考点：平面向量的综合题.专题：计算题.分析

21、:(1)根据推断出 彳E=。，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA?tanB;(2)由于tanA?tanB=0,利用基本不等式得出当且仅当9二工时，c取得最大值，再利用同角_，解答:公式求出sinC, sinA ,最后由正弦定理求 上的值. a解：(I)由题意得hb=(支喈-5宁-平)=(式律，c口吕与月上平)=0即5 .2蚂 淮-B_g产T45 丁百一卜-5cos (A+B) +4cos (A-B) =0cosAcosB=9sinAsinB1. tanA?tanB=二.9(2)由于 tanA?tanB=0,且 A、B 是ABC 的内角, 91- tanA 0, tanB 0tanC

22、=- tan (A+B) 1t产口 二-3CtanA+tanB) X 2V-tanA-tanB =1 t soft! anDoo当且仅当 t anA-1 ar迅二取，11，c为最大边时，有tanA=tanB=4,tanC=一3NsinC=1,5sinA=3r ri nC 53%/10由正弦定理得： -=1- -.a si nA J E710点评:本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低.23.已知向量 小(sinx) e。=),b二(/chm, coss)且bH。，函数f (x)

23、=2廿bl(I)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间;(II)若&二b,分另1J求tanx及七口62支f (耳)+1的值.考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性.专题： 平面向量及应用.分析：(I)化简函数f (x) =2=天_i=2sin (2x+匹)，可得函数的周期，令2kL匹 Kx*1 Kk兀+工，k&,求a b 16262得x的范围，即可得到函数的单调递增区间.2-222VStanx+2f (x) +1 2V3sinxcosx+ 2cos x(II)由二二三，求得 tanx=、禽, 再由=一冥一 口工=11tan 三,运算求得结果.解答： (I)解：函数f

24、 (x) =2； -广2V3sinxcosx+2cos2x- 1=/jsin2x+cos2x=2sin (2x+工), 61故函数的周期为 21=兀，令 2kTt-ZLkx+工皮kTt+JI, ke,求得 kL工士在工， 2262367TIT故函数的单调递增区间为 k TT-, kTt+, k&. 36(II)解： 若 a = b,贝U sinx=f3cosx,即 tanx=/j.os2jcos2x - sin -1-3F (x)+1口号工+ 2匚口与 J x+2 54点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的增区间，三角函数的 周期性和求法，属于中档

25、题.24.已知 a=(氏巧ccsi) b= (sinMj 2cosi),函数 f(x)=a*b+|b| -(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)求函数f (x)的单调减区间；JTTT 当詈时，求函数f (x)的值域. 62考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性.专题：综合题.分析：(1)根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f (x)的最小正周期;(2)由2k时_ILx+Zlvk 兀+WZL得k什!今也t+ZZL ,从而可得f ( x)的单调减区间;26263(3)由工K工，可得三十二邛，从而可求函数f (x)的值域.解答:62266W3 1 - cos2n i ,二_ 二一I：. ii；：，解：(1) :直二(/scosk,匕口三戈)，b二(sin;:, 2c口戈)，.函数 f (x)=芯4J=5/sinxcosx+sin2x+6cos2x=-sin2x+y-+=5sin(2x+r)+y-f(x)的最小正周期 丁二二冗；(2)由2k 71+?2*+工2卜71+221得卜兀+工叔4成”，女62，(0)的单调减区间为25263 畀吗-gin+为V .-1 (x)用即f (x)的值域为1 ,点评:本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键.