高中数学法向量经典实用

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1、高中数学 法向量3.2.23.2.2平面的法向量与平面的法向量与 平面的向量表示平面的向量表示高中数学 法向量 提问：提问：A，B，C，三点不线，四点，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：共面的充要条件是： ,( ,)AMxAByAC x yR BACM图示：(1)OMxy OAxOByOC 平面的向量方程高中数学 法向量1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量：平面的法向量： 如果向量如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直垂直，则向量，则向量 叫平面叫平面 的法向量的法向量。 n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.

2、一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 与平面平行或在平面内，与平面平行或在平面内，则有则有0n m n m 高中数学 法向量A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全为法向量的平面是完全确定的确定的.n n n l3. 平面的向量表示：平面的向量表示： AM n0 M高中数学 法向量 因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的示了空间直线

3、、平面间的平行平行 如何用平面的法向量表示空间两平面平如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？行、垂直的位置关系呢？高中数学 法向量4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件 高中数学 法向量 l11n 1e 1111/ll或或 在在内内11110enen 高中数学 法向量11l 1n 1111/enen l1e 高中数学 法向量待定系数法待定系数法高中数学 法向量ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分别在对角线分别在

4、对角线上，且上，且求证：求证：ABCDEFxyzMN), 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，AB AD AF ， ，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所以所以MN/平面平面CDE高

5、中数学 法向量分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例例:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: . lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化

6、为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?高中数学 法向量lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. . .解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量

7、定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y例例:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .lll 高中数学 法向量6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P104高中数学 法向量高中数学 法向量高中数学 法向量PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO高中数学 法向量高中数学 法向量数式数式高中数学 法向量 另外另外, ,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, , 证两直线垂直线常可转化为

8、证明以这两条线段对应的向量证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量 的数量积为零的数量积为零. . P O A la 高中数学 法向量证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA 射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPO OAa POa OA ,aPAl 即即P PA A. .为为 P O A la 0,0a POa OA 高中数学 法向量 P O A la 分析分析:逆定理逆定理同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎证明思路几乎一样一样,只不过其中的加法运算只不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算

9、来分析.高中数学 法向量高中数学 法向量高中数学 法向量高中数学 法向量A1D1C1B1ACBDFE高中数学 法向量证明证明: 设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证

10、可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证高中数学 法向量OABCOBAC 证证明明：由由已已知知，A AB BC CO O 0000OA BC =,OB AC =OA (OCOB )=OB (OCOA)= 所所以以OA OC = OA OBOB OC = OB OA 所所以以000OA OCOB OC =( OAOB ) OC =BA OC = 所所以以OCAB 所所 以以OABCOABCOBACOCAB 例例、已已知知在在空空间间四四边边形形中中，求求证证：高中数学 法向量小结小结1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量：平面的法向量： 3. 平面的向量表示

11、：平面的向量表示： 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件 6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P104高中数学 法向量巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行高中数学 法向量巩固性训练21.设设 分别是平面分

12、别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交高中数学 法向量1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量

13、为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= .巩固性训练3/llll高中数学 法向量OACB()| |cos| |cos| |cos证证明明：因因为为OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABC4 4、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：OABCOBOCAOBAOCOABC 高中数学 法向量1如图，正方体如图，正方体 中，中， E为为 的中点，的中点， 证明：证明： /平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2 2、在正方体、在正方体AC 中，中，E、F、

14、G、P、 Q、R分别是所在棱分别是所在棱AB、BC、BB A D 、D C 、DD 的中点，的中点， 求证：求证：平面平面PQR平面平面EFG。 BD 平面平面EFGABCDA B C D FQEGRP高中数学 法向量例例. . 在空间直角坐标系内，设平面在空间直角坐标系内，设平面 经过经过 点点 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ， 为平面为平面 内任意一点，求内任意一点，求 满足的关系式。满足的关系式。),(000zyxP),(CBAe ),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz，解：由题意可得解：由题意可得 0PMe000(,) (,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得：此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！