12四种命题及其关系用

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1、 在数学中在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。可以判断真假的陈述句叫命题。 问题问题1.什么是命题？什么是命题？它由条件和结论两部分构成。它由条件和结论两部分构成。问题问题2、命题是由哪几部分构成的？、命题是由哪几部分构成的？问题问题3、命题有哪几种？、命题有哪几种？真命题，假命题真命题，假命题复习复习:课前练习课前练习11xyxy21x 1x xyxyxy22xy1.（09江西文）下列命题是真命题的为（江西文）下列命题是真命题的为（ ） A.若若,则则 B.若若,则则 C.若若,则则 D.若若,则则 A下列四个命题中，命题下列

2、四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条的条件和结论之间分别有什么关系？件和结论之间分别有什么关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；(2)若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；(3)若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；(4)若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。【问题引入】【问题引入】pqqp互逆命题互逆命题：一个命题的：一个命题的条件条件和和结论结论分别是另一个分别是另一个命题的命题的结论结论和和条件条件，这两个

3、命题叫做互逆命题。，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条的条件和结论之间分别有什么关系？件和结论之间分别有什么关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；(2)若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；(3)若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则

4、f(x)不是周期函数；不是周期函数；(4)若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。【问题引入】【问题引入】pq互否命题互否命题：一个命题的：一个命题的条件条件和和结论结论分别是另一个分别是另一个命题的命题的条件的否定条件的否定和和结论的否定结论的否定，这两个命题叫，这两个命题叫做互否命题。做互否命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。否否 命命 题题：另一个命题叫做原命题的否命题。：另一个命题叫做原命题的否命题。即即 原命题原命题:若若p,则则q否命题否命题:若若p,则则qpq下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1

5、)与命题与命题(2)(3)(4)的条的条件和结论之间分别有什么关系？件和结论之间分别有什么关系？(1)若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；(2)若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；(3)若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；(4)若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。【问题引入】【问题引入】pq互为逆否命题互为逆否命题：一个命题的：一个命题的条件条件和和结论结论分别是另分别是另一个命题的一个命题的结论的否定结论的否定和和条件的否定条件的否定

6、，这两个命，这两个命题叫做互为逆否命题。题叫做互为逆否命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆否命题逆否命题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。：另一个命题叫做原命题的逆否命题。即即 原命题原命题:若若p,则则q逆否命题逆否命题:若若q,则则ppqX四种命题形式四种命题形式: : 原命题原命题: : 逆命题逆命题: : 否命题否命题: : 逆否命题逆否命题: :若若 p, 则则 q 若若 q, 则则 p若若p, 则则q若若q, 则则p【知识小结】【知识小结】例例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：并判

7、断真假：(1)若若ab,则则a2b2；(2)已知已知x R,若若x 1, 则则x 2；(3)若若a2 + b2=0，则，则a 、b都为都为0；(4)正方形的四条边相等正方形的四条边相等解解:(1)逆命题逆命题:若若a2b2,则则ab;否命题否命题:若若ab,则则a2b2;逆否命题逆否命题:若若a2b2,则则ab;原命题为原命题为 ; 逆命题为逆命题为 ;否命题为否命题为 ; 逆否命题为逆否命题为 .假假假假假假假假“”的的否定是否定是“”【典例演练】【典例演练】点评点评：要写出一个命题的另外三个命题关键：要写出一个命题的另外三个命题关键是是分清命题的条件和结论分清命题的条件和结论例例1 写出下

8、列命题的逆命题、否命题和逆否命题，写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：并判断真假：(1)若若ab,则则a2b2；(2)已知已知x R,若若x 1, 则则x 2；(3)若若a2 + b2=0，则，则a 、b都为都为0；(4)正方形的四条边相等正方形的四条边相等解解:(2)逆命题逆命题:已知已知x R,若若x 2, 则则x 1;否命题否命题:已知已知x R,若若x 1, 则则x 2;逆否命题逆否命题:已知已知x R,若若x 2, 则则x 1;原命题为原命题为 ; 逆命题为逆命题为 ;否命题为否命题为 ; 逆否命题为逆否命题为 .假假真真真真假假【典例演练】【典例演练】析：析：“已知

9、已知x R”是大前提，保留不变是大前提，保留不变例例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：并判断真假：(1)若若ab,则则a2b2；(2)已知已知x R,若若x 1, 则则x 2；(3)若若a2 + b2=0，则，则a 、b都为都为0；(4)正方形的四条边相等正方形的四条边相等解解:(3)逆命题逆命题:若若a 、 b都为都为0，则，则a2 +b2=0;否命题否命题:若若a2 +b20，则，则a 、b不都为不都为0;逆否命题逆否命题:若若a 、b不都为不都为0，则，则a2+ b2 0;原命题为原命题为 ; 逆命题为逆命题为 ;否命题为否命

10、题为 ; 逆否命题为逆否命题为 .真真真真真真真真【典例演练】【典例演练】析：析：“a 、b都为都为0”的否定是的否定是:a=0、b 0;a 0、b=0; a 0 、 b 0.即即a 、b不都为不都为0例例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：并判断真假：(1)若若ab,则则a2b2；(2)已知已知x R,若若x 1, 则则x 2；(3)若若a2 + b2=0，则，则a 、b都为都为0；(4)正方形的四条边相等正方形的四条边相等解解:(4)逆命题逆命题:若一个四边形的四条边相等，若一个四边形的四条边相等， 则这个四边形是正方形则这个四边

11、形是正方形;否命题否命题:若一个四边形不是正方形，若一个四边形不是正方形， 则它的四条边不相等；则它的四条边不相等；;逆否命题逆否命题:若一个四边形的四条边不相等，若一个四边形的四条边不相等， 则这个四边形不是正方形则这个四边形不是正方形;原命题为原命题为 ; 逆命题为逆命题为 ;否命题为否命题为 ; 逆否命题为逆否命题为 .假假真真真真假假【典例演练】【典例演练】析：析：原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等四种命题形式四种命题形式: : 原命题原命题: : 逆命题逆命题: : 否命题否命题: : 逆否命题逆否命题: :若若 p, 则则

12、q 若若 q, 则则 p若若p, 则则q若若q, 则则p【知识小结】【知识小结】原命题原命题若若p 则则q逆命题逆命题 若若q 则则p 否命题否命题若若 则则 p q 逆否命题逆否命题 若若 则则 p q 互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系一般的，四种命题的真假性，一般的，四种命题的真假性，有且仅有有且仅有以以下四种情况：下四种情况：原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假l 四种命题的真假性之

13、间的关系：四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系. .例例2 2 证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.n证明：若证明：若x x，y y中至少有一个不为中至少有一个不为0 0，不妨设，不妨设x0 x0，则，则x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0， 也就是说也就是说x x2 2+y+y2 2 0.0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为因此，原命题的逆否

14、命题为真命题，从而原命题为 真命题真命题l因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。证明命题的方法证明命题的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，从命题的条件从命题的条件p p出发，经出发，经推理直接得出结论推理直接得出结论p p，证明其为真命题；，证明其为真命题；l方法二：方法二：等价法，等价法，证明命题（若证明命题（若p p，则，则q q）的等价命题的

15、等价命题逆否命题（若逆否命题（若q q，则，则q q）为真，则原命题也为真；为真，则原命题也为真；l方法三：方法三：反证法，反证法，证明证明命题的否定（若命题的否定（若p p，则则q q）为假命题，从而间接地证明了命题为假命题，从而间接地证明了命题（若（若p p，则，则q q）为真命题。）为真命题。反证法反证法l 欲证欲证“若若p p则则q”q”为真命题，从否定其结论即为真命题，从否定其结论即“非非q”q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非非q”q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法反证法。l反证法的

16、步骤：反证法的步骤：(1)(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾矛盾；(3)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确巩固练习巩固练习 证明：证明：若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22.2.n证明一：要证证明一：要证“若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22”2” 只需证它的只需证它的逆否命题逆否命题“若若p p2 2q q2 22 2，则，则p pq2q2”成立。成立

17、。 p p2 2q q2 2=2=2，则，则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+q 2 p+q 2 逆否命题为真命题，逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。故原命题也为真命题。 证明二：证明二：假设假设p p2 2q q2 2=2=2，则则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+q 2 p+q 2，这与命题的条件，这与命题的条件p pq q2

18、2相矛盾，相矛盾， 假设不成立，即假设不成立，即p p2 2q q2 22 2， 故原命题为真命题。故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 一些常见的结论的否定形式一些常见的结论的否定形式 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个不等于不等于某个某个小结与作业