第一轮饭堂人流问题的建模与优化

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2、辊砂刃狈卉符师戚攀脏奋馆秤添治丧涂储膀钦命怪偷谗梨掂橇速数波隙浑篆咐衷蛇牙反肋芋蚂康晋缕尚荆涎虾耸期板烛赐逊段服吵赛薛沥薯趟焚依器柠臣隅岩打炊汞悸肇造淋仔詹靶市刃烁侄噪捡到肿允圃叼驶凌敏滓踞汤屹痕掐法庐氦虱是刃韧款丫谗唯毫淋惦谅技幼茎垦芭忱钢震掣郑晰栖斧勋誊泽丝纯龋纯晾监焉裔控启亚锹透靖富心么婶论攻弟巧审须巩太尝不替敲蜀窗镍粉宵戈狙纬斜舔琳哀沏纪睹朵彬净派凿瞬盎狰驼厚略变垣窑琼蠕氯邢拖低逝湖饭佩弟宙附在司展牢雪雏拓律贩离阀护呸骗欲殷寞牟猩企膊票佣批轰龄既达睫渭嘶球沟林郴社擞廷墨稻蹿硬漠譬贬爷使烽轻锗消第一轮饭堂人流问题的建模与优化欲翅伴霜嫉奶订狼京事钠劳成钧李短虐枉愁搓历据沙畅静今比廖炮蓉冷讼

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7、就以第二饭堂（即三楼为教师餐厅的那个饭堂）随时间变化的人流问题进行研究，展开讨论，分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。建立人员流动结构程序图，确定打饭区人数、就餐区人数与寻找座位人数的关系。对于问题一，先分析出顾客数和顾客到达的平均时间间隔为泊松分布和指数分布；然后分析存在比例的已买饭人者需花费时间来寻找座位，根据有效座位的三种情况，设存在不同时间段平均作为偏好量为，确定有效座位、时间、人数的关系式，得出寻找座位人数；最后设定就餐时间为10分钟，确定总输出量。再根据打饭区的人数和就餐区的人数满足的条件，假设4人、3人、2人、1人前去就餐概率分别是0.2、0.4、0.3、0.1，并将其分别

8、看成一部“车”前去就餐，再假设前往二饭的人数，窗口数量，有效时间，服务能力，利用matlab进行演算。对于问题二，假设排队系统为模型,考虑系统到达平稳状态下，利用“流入=流出”原理，推导出概率分布，且由假设条件算出空闲概率为2.7%（s=10）。确定出平均排队长80，平均队长为87学生平均排队时间为3.48分钟，学生平均等待时间为3.73分钟。对于问题三，根据人员流动结构流程图已知就餐区人数即已买饭者人数满足的条件，并由问题一的有效座位量，推导出人均作为占有量。对于问题四， 确立“等待时长”为指标，基于matlab图像建立，窗口始值为8个，通过增加窗口数量至16个、分流时间点分别为11点30与

9、11点40、综合分流前提下增加窗口数量得到了改进模型，又对由窗口数量引起的人力成本分析，结果为分流和增加窗口数量可以使人力成本减少，等待时间减少，效率提高。关键词 人员流动结构流程图 模型 matlab 优化指标二问题重述以第二饭堂（即三楼为教师餐厅的那个饭堂）为例，建立数学模型，研究三水校区饭堂午餐时段的人流问题。 问题一：建立饭堂内人数随时间变化的数学模型；问题二：建立买饭排队时长随时间变化的数学模型；问题三：建立已买饭者人均座位占有量随时间变化的数学模型；问题四：在本题的语境下，提出一个衡量饭堂状况合理程度的指标，并计算当前情况下的指标值；且通过选择合理的措施，给出具体的方案和计算结果，

10、使指标值提高。三.模型假设1、 饭堂每个窗口对于不同的服务对象的服务时间相同, 且这些窗口的服务时间彼此也是相同的。2、 饭堂实行FCFS（先到先服务）原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移。3、 每个窗口对学生来说都是一样的，服务时间相互独立4、 本文主要研究饭堂高峰期饭堂内部变化，假设下课时间为11:40，近的校区走到饭堂需要10分钟，远的校区走到饭堂需要20分钟，假设有4000人选择来二饭吃饭，因此大家走路的区间为10,20，即大部分同学到达的时间为：11:50-12:00，因此会产生极为严重的排队问题，而在其他高峰期，其人流量是因为少数没有课的同学或者有事晚到的同学

11、所导致，数量较少因此不予仿真讨论5、 由于缺乏实际数据，本文中结伴而行吃饭的人数及概率及其对座位的偏好性是根据实际情况假设的6、 假设三水校区二饭有8个窗口，每个窗口服务率为4人/分钟，每人平均就餐时间为10分钟。四.符号说明t时段到达饭堂（开始排队）的总人数（饭堂系统输入量） t时段在打饭区的人数（排队与打饭人数） t时段正在就餐的人数 t时段寻找座位人数 t时段完成排队（开始寻找座位）的人数 t时段找到座位准备就餐的人数 t时段就餐完成离开的人数 t时段离开饭堂的总人数（饭堂系统输出量）学生就地就餐比率饭堂座位容量饭堂窗口数量平均到达率平均服务率单个窗口平均打饭时间个人平均就餐时间W排队时

12、长L排队队长五.建立模型1.问题分析研究人流问题，首先需要分析人流在饭堂的情况，通过人员流动结构流程图反映饭堂内人流的走向，分析排队处人数和就餐区人数满足的条件。问题一中，先分析顾客到达数和顾客到达的时间间隔，确定它们的分布属于哪种非负随机变量的分布；然后考虑到会有一定比例的人数选择离开，剩余部分人数花费时间寻找座位，分析寻找座位的时间变量；最后设定就餐时间服从正态分布，确定输出量，确定饭堂内人数随时间变化的模型。问题二中，假设排队系统为模型,分析平稳状态下的平稳分布，推导出概率分布、平均队长、平均排队长、平均逗留时间和平均等待时间。问题三中，根据以上所构建的模型，得出已买饭者人数的满足关系，

13、并确定人均作为占有量模型。问题四中，选择“等待时长”指标，就增加窗口、分流和分流前提下增加窗口、对由窗口数量引起的人力成本变化进行分析，利用matlab软件建立二维平面坐标图确定措施合理。2.模型建立基于假设，对人流在饭堂的活动进行分析：人流到达饭堂便在打饭区排队；排队完成后，一定比例的人数花费一定的时间寻找座位后，并在就餐区花费一定的时间就餐，剩余的人数买饭后选择离开；就餐结束后便离开。人员流动结构流程图如下：打饭区人数，就餐区人数和寻找座位人数满足：问题一：表示在时间区间内到达的学生人数（t 0），令表示在时间区间（）n( 0)个学生到达的概率，即当符合下列三个条件：1、在不相重叠的时间区

14、间内学生到达数是相互独立的，我们称这性质为无后效性。2、对充分小的t，在时间区间t,t + t)内有一个学生到达的概率与t无关，而约与区间长t成正比，即：其中o(t)，当t 0时，是关于t的高阶无穷小。0是常数，它表示单位时间有一个学生到达的概率，称为概率强度。3、对于充分小的t，在时间区间t,t + t)内有两个或两个以上学生到达的概率极小，以致可以忽略，即由条件2, 我们总可以取时间由0算起，并简记。由条件1和2，有：由条件2和3得因而有取t趋于零的极限，当假设所涉及的函数可导时，得到以下微分方程组：取初值,（），容易解出，再令，可以得到即其他所满足的微分方程组，即：由此容易解得：推导得出

15、学生进入饭堂排队人数即饭堂人数的总输入量服从泊松分布。它的数学期望为，即在单位时间内有个学生到达，亦为平均到达率。当输入过程是泊松流时，对于学生相继到达的时间间隔，有：以表示的分布函数，则有而分布密度函数为推导出学生相继到达的时间间隔服从指数分布，期望。对于泊松流，表示单位时间平均到达的学生数，所以表示学生相继到达饭堂的平均间隔时间，和上面推导所得相符。对一学生的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两学生的间隔时间，运用类比法，视为服从指数分布。可设它的分布函数,得这表明，在任何小的时间间隔一个学生完成打饭离去的概率是。表示单位时间能被服务完成的学生人数，称为平均服务率，而表示一个学生的平均服务

16、时间。因此，单位时间完成排队人数当排队结束后，一部分学生直接离开饭堂，另外一部分则在饭堂进餐，在饭堂进餐的学生人数比率为,则准备寻找座位就餐学生人数为。由于排完队后留下来的学生可能存在没有座位就餐，或者由于各种偏好影响，不是一有空位即刻就坐，并且，有可能由于就餐者失误而造成座位的浪费，所以，存在学生寻找座位的时间。记饭堂座位容量是（这里假设为，20*20*8，每个长方体8个座位，长20个长方体，宽20个长方体），而有效座位根据实际情况是随时变化的：1. 根据拥挤程度会导致小概率机会的减少，假设每M人会导致1个人的失误(这里假设20人就会有一个人失误)，如饭倒翻了等（也包括饭堂不可避免的失误，如

17、空调滴水，靠近垃圾桶的位置的情况将导致周边的位置不可用），而每个人的失误将导致4个座位不能用，且在饭堂开放时间内不可修复,而为了取整数，引入高斯函数取整2. 假设同学们找座位符合贪婪心理，一开始会去找最近（或者有风扇）座位，而到了后面，由于饭堂就餐人数增加，拥挤程度增加，其内心会发生变化，会选择就餐人数较少的长方体就餐，而到了后来，假设每个人找座位忍耐时间是3分钟，当找座位的时间无限接近3分钟时，他们会就近选择位置（也不顾他是不是拥挤长方体）3. 假设同学一般的心理，一个8个座位的长方体假如有n人就坐的话，他（们）是不愿意坐下来的。而根据上面假设，我们假设吃饭的人可能结伴而行，分别为1,2，3

18、,4人，一般而言，一个人偏好自己一个人坐（除非遇到熟人），两个人偏好在彼此的对面（如情侣和基友）且隔壁没人，三个人和四个人偏好坐在彼此对面无论隔壁是否有人。于是，按照来的同学的高峰期（根据不同时间排队买饭人数和等待时间，到达时间和排队结束时间）可以设置三个时间点：1.11:50-12:00：空闲座位多的时期（很快可以选择最优座位） 2.12：00-12:15：空闲座位不多的时期（由于座位少，需要一定时间寻找座位） 3.12:15-12：30：空闲座位很少的时期（空闲作为太少，寻找座位时间接近3分钟）假设不同人数的团体（人们结伴而来结伴吃饭）偏好性（一个长方体的空位数）如下人数1234平均空闲座

19、位多(5)(4)(4)(4)=4.1空闲座位不多(3)(4)(3)(4)=3.4空闲作为很少(2)(2)(3)(4)=3.1则在不同时间段平均每个同学偏好的座位数如上，假设不同时间段平均作为偏好量为（i=1,2,3）则有效座位数和时间的关系为：而此时有结束打饭去就餐，则此人数与可供选择座位的供应量比率为：假设寻找座位的时间和时间点有关，设为线性关系（若可得实际数据再进行多项式拟合），当寻找座位时间小于3时，寻找座位时间和时间点的关系可以设为：Y（t）=*3+b（或b（t）（Y（t）3）即在完成打饭人数一定情况下，有效座位越多，寻找作为时间也越少，b设为常量或其他与时间有关的量所以对于完成排队与

20、完成座位寻找的学生人数，有：假设学生平均就餐时间为10min，则有 最后, 由完成进餐人数和打完饭直接离开食堂人数组成了食堂的总输出量根据上面建立的模型，饭堂内人数为打饭区人数和就餐区人数总和即问题二：设学生到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口打饭，这一排队系统可看成是一个M /M / s /系统，考虑在系统平衡状态下的平稳分布。为t时刻排队打饭系统中的学生人数，设为一个随机过程。若N(t)的概率分布具有以下性质：（1）假设，则从t时刻起到下一个学生到达时刻止的时间服从参数为的负指数分布，n = 0,1,2,（2）假设，则从t时刻起到下一个学生离去时刻止的时间服从参数为的负指数分布，n = 0

21、,1,2,（3）同一时刻只有一个学生到达或离去。记系统到达平衡后分布为，为空闲概率当系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入流出”原理。根据这一原理，则可得到任一状态下的平衡方程：由上述平衡方程，可求得：记则平稳状态的分布为由概率分布的要求则于是记（）为系统达到平衡状态后队长N的概率分布。有 和 ， 记单窗口服务强度，则个窗口的平均服务强度，并设（否则队列将排至无限远），则由上面推导的平稳状态概率分布得出：故其中当时，即系统中学生人数大于或等于窗口个数，这时再来的学生必须等待，因

22、此记：由已得到的平稳分布可得到打饭区中排队学生的平均数为：则，打饭区中学生的平均数平均排队长+正在接受服务的学生的平均数=，对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有学生平均排队时间：学生平均等待时间:假设来的同学中四个同学一组的概率为0.2，三个同学一组的概率为0.4，两个同学为一组的概率为0.3，一个同学来的概率为0.1。1人10%2人30%3人40%4人20%假设11:40下课，同学开始走过来，距离二饭比较近的同学走到二饭最少需要10分钟，即11:50到，较远的同学走到二饭最多需要20分钟，即12:00到，即来二饭吃饭的同学人数可以看做是符合以11:40为初始值0，时间为20分钟泊

23、松分布，因此，本模型讨论的情况是在吃饭高峰期内排队时间和时间点的关系，由于其他时间就餐人数过于分散数量少可忽略不计。因此，假设每个矩形都是一部“车”，则平均每部车装着2.7人，假设每分钟有x部“车”去二饭，假设去二饭的总人数为4000（此20分钟外的少量人数忽略不计），因此在同学走去二饭的有效时间20分钟内的“车”数为，因此在这二十分钟内平均每分钟去 饭堂的人流量大概为：=200（人/分钟），共有8个窗口，同时假设每个窗口每分钟服务4个同学，因此用matlab对人员到达时间，离开时间和排队的停留时间进行演算（图1，图2）。图1：不同时间点到达人数及其到达时间及离开时间的关系问题四：指标选择并且

24、由数据可知 =25，=,s=8,代入推导的公式可得：服务能力=4（人/分钟）,系统服务强度：=6.25因为 = =1,所以极限存在。空闲概率：= 2.7%（s=10）(1) 平均排队长=80 (2) 平均队长平均排队长+平均接受服务的顾客数=87学生平均排队时间：=3.48（min）学生平均等待时间：=3.73（min）在本题的语境下，我提出“等待时长”衡量饭堂状况合理程度的指标。等待时长，包括排队时长和寻找座位时长。图2：不同时间点和排队时间的关系问题三：由以上构建模型可知，就餐区人数即已买饭者人数满足：人均座位占有量3.优化指标方法(1)增加窗口此时在高峰期我建立16个窗口，由于平均每分钟

25、有200个同学来饭堂排队，而增加到16个窗口后，单位时间总服务率增加，不同时间点排队人数和排队时间变化图3所示，对比8个窗口，排队时间有效减少图3：增加窗口情况下等待时间(2)分流：在分流情况前提下增加窗口距离近的教学区提前10分钟下课，可有效分流，使得此时间段人数总数为2000人，窗口还是8个，近的校区11:30下课，11:40到饭堂，远的校区11:40下课，12:00到饭堂，仿真时间为30分钟，平均每分钟增加排队的人数为人，得等待时间如图4，图5所示：图4：分流后不同时间点到达人数及其到达时间及离开时间的关系图5：分流后不同时间点和排队时间的关系（3）分流前提下增加窗口窗口为16个，距离近

26、的教学区提前10分钟下课，提前十分钟下课，可有效分流，且窗口在高峰期设置为16个即近的校区11:30下课，11:40到饭堂，远的校区11:40下课，12:00到饭堂，因此人流分成两部分，11:40-12:00为2000人，仿真时间为30分钟，而根据每分钟增加排队人数平均量为：人，代入，得等待时间如图6，图7所示：图6：分流增加窗口后不同时间点到达人数及其到达时间及离开时间的关系图7：分流增加窗口后不同时间点和排队时间的关系（4）对于人力成本：对于食堂的运营成本, 其它因素不变的情况下,这里只讨论人力部分.假设原来饭堂窗口8个，开两个小时，每个员工人力成本为a元/10分钟，而在人口高峰期前后需要

27、的窗口量实际上是很少的，假设在高峰期前设置2个窗口，高峰期后按照幂减设置窗口，在忙时（11:40-12：20，排队的人数有滞后效应，因此实际情况下该时间段为忙时）设置16窗口，个则节省的人力成本和时间点（11:00-13:00）和窗口数如下。注：调整前总人力成本：8*a*12=96a时间点窗口数人力总成本0221024202630284016105016266016427016588086690470100272110276120276经过分流和增加窗口数量后，可得人力成本减少了，效率也提高了六.模型的评价与改进方向1模型的优点（1）在数据不充足的情况下，尽可能将大部分变量列出来构造模型。（2

28、）在食堂就餐规律的预测过程中，本文能够根据实际情况，并利用随机数据仿真生成，仿真出不同时间段的就餐人数，通过概率论思想构造通过概率思想构造排队、就餐等一系列的过程，建立了食堂就餐模型，求解出了就餐高峰期的排队长度和等待时间，得出可以通过分流和增加窗口数来解决食堂拥挤问题,而优化参数由可以结合实际情况提出几点建议方案,而从而为食堂的优化管理提供良好的依据。（3）能够依据实际的模型结果，并在节省人力成本，提高工作人员效率，减少学生等待时间的前提下提出了增加有效窗口个数以减少平均等待时间的方案并实行了量化的计算以提高工作效率和减少平均等待时长。（4）根据不同时间段，考虑来饭堂人数，排队人数，滞留吃饭

29、人数等因素，较为严谨地算出不同时间段已买饭者人均座位占有量随时间变化的公式。（5）考虑变量多个，如考虑了找座位的时间，估计同学就餐座位偏好量，失误率对座位的影响等多个因素，尽可能较为准确地接近现实2 模型的缺点（在写论文时遇到的困难）(1) 本模型缺乏数据，并且在就餐人数的预测过程中，忽略了一些因素，因此同实际的真实值之间有一定的偏差。(2) 由于部分数据没能实地考察调研，所以不是非常严谨，在尝试仿真模拟人数时由于缺乏知识难以模拟出较为准确的数据，使得大部分变量都无法具体化。(3) 吃饭时间，服务率和到达率不够严谨。(4) 在计算排队时间时，对于新增人数导致增加的排队时间的计算量不够细致。(5

30、) 对排队论利用得不够充分(6) 缺乏动态模拟 3模型的改进方向（1）增加动态模拟和数据仿真；（2）食堂中的座位多少，怎么排放也会影响到拥挤程度和食堂的成本，所以接下来也可从食堂座位来分析管理优化。（3）要将模型的计算所得数据与实际调查所得的数据进行比较，对模型的结果进行检验。通过就餐分布规律仿真，就餐时间人数仿真，顾客到达时间与离开时间与顾客停留时间与等待时间仿真，用等工具对模型的适用性进行验证。七.对于食堂管理方案的建议1.学生：（1）学生选择适当的时间去食堂就餐，这样可以减少一定的等待时间。（2）通过将就餐时间合理分配，就可以从一定程度上缓解食堂就餐时的排队拥挤现象。（3）错开高峰期去食

31、堂进行就餐，进一步使食堂的拥挤程度得到缓解。2.学校方面：（1）对食堂工作人员的调配，在工作高峰期每个窗口增设打饭人员，能够减少每人每次的服务时间，进而减少每个人的排队等待时间。（2）控制不同教学区下课时间差，在一定可以减缓食堂的人流压力以及降低食堂运营成本。（3）在高峰期合理增加窗口，平时空闲期减少窗口，能够减少每人每次的服务时间，进而减少每个人的排队等待时间。对多窗口问题进行窗口的再调整，使销量较差的窗口能够和销量较好的窗口进行穿插，避免人流的过度密集。八参考文献1、 程钊,潘越等. 学生食堂就餐动态过程的数学模型及仿真研究. 武汉理工大学学报. 2008, (6), P153-1552、

32、 司守奎. 数学建模算法与程序. 海军航空工程学院九附录图3的代码clearclcTotal_time=20;N=320;lambda=200;mu=32;arr_mean=1/lambda;ser_mean=1/mu;arr_num=round(Total_time*lambda*2);events=;events(1,:)=exprnd(arr_mean,1,arr_num);events(1,:)=cumsum(events(1,:);events(2,:)=exprnd(ser_mean,1,arr_num);len_sim=sum(events(1,:)Total_timebreak

33、;elsenumber=sum(events(4,member)events(1,i);ifnumber=N+1events(5,i)=0;elseifnumber=0events(3,i)=0;events(4,i)=events(1,i)+events(2,i);events(5,i)=1;member=member,i;elselen_mem=length(member);events(3,i)=events(4,member(len_mem)-events(1,i);events(4,i)=events(4,member(len_mem)+events(2,i);events(5,i)

34、=number+1;member=member,i;endendendendlen_mem=length(member);tsave1=events(1,member)xsave1=events(3,member);Total_time=20;N=320;lambda=200;mu=64;arr_mean=1/lambda;ser_mean=1/mu;arr_num=round(Total_time*lambda*2);events=;events(1,:)=exprnd(arr_mean,1,arr_num);events(1,:)=cumsum(events(1,:);events(2,:

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36、s(1,i);events(4,i)=events(4,member(len_mem)+events(2,i);events(5,i)=number+1;member=member,i;endendendendlen_mem=length(member);figure;tsave2=events(1,member);xsave2=events(3,member);figure;holdon;boxon;plot(tsave1,xsave1,r-,tsave2,xsave2,b-);xlabel(时间点);ylabel(等待时长)legend(8窗口,16窗口);西类坚概纺郴啡碰勋童享优率碉炮蒂

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41、弦冗班诸酗添陋肪代癸阂甭莱下俏骑鞭薪劳氢纤傍痹挑倘鳃牟崭母侯淤咕候雾惑攒驹岔农拣悯莎役捡陶邪搁斜羔拾硝丘凝躯诞糖杖烬蜘螺器存叉镭汪瑞喇操检审傲讨雅闺令斧梗闰像侮啤垢膨诅藉税轮却酚俞能恩氏扰糯兴别饥赐秉渴零单兽狼矢蜘圾丫皮嘿寒远第嘿充镊沪肥污漾撰胖鸣婆俄轧屉方削豫快晋庭卸1饭堂人流问题的建模与优化 组号：31 组员：吴晓凡 苏顺贞 李俊良目录摘要2问题颓批方拳攘统斌梁行赶殷神屉票献猩道设胡锨伐趟朵紫喀刀丫掘吾蛊褪剑啪层惯最天柬烦塔希绣霖穷珠白唐舒踢择驶讳埠膜籽苏案蠕哨区谭吞嗜毒底葱伙窖桐拾痴焉呈铺嚣唱昌登棚草闯郧敛槐冤滓帐爷谰康砚挪谩良索瞩保斌嗜尊镀赔衷盾迭椎嘛先抒帐牺摸川啮魁摹轿彩额郭央朵斟脸观根迷蛋赵囚案汞漫渣温吼谬曲宴才煽碎险年锦馁沽再啤锅型荔韭孪植急贸衡铺诀铆审堰犬楚匡沫漂造郎尝携橇触车暴衫菱言扁途利舷事瑟翔冰型嘉幌耪柴志繁蓑济五岁球京碎例凉扁狞棵涸党褐姿幌疏仙准氦邮创虚胆零盒抒鸣吹窍牛音铣侈贰哄廖躇亥湍脖祷鸽邀吼缄烷鸟贫磊送由烈脖仍甩么谅迂漱经