高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修4

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1、3.1.1两角差的余弦公式学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点、易混点)自 主 预 习·探 新 知两角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_适用条件公式中的角，都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反基础自测1思考辨析(1)cos(60°30°)cos 60°cos 30°.()(2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立()(3)对任意，R

2、，cos()cos cos sin sin 都成立()(4)cos 30°cos 120°sin 30°sin 120°0.()解析(1)错误cos(60°30°)cos 30°cos 60°cos 30°.(2)错误当45°，45°时，cos()cos(45°45°)cos(90°)0，cos cos cos(45°)cos 45°0，此时cos()cos cos .(3)正确结论为两角差的余弦公式(4)正确cos 30°c

3、os 120°sin 30°sin 120°cos(120°30°)cos 90°0.答案(1)×(2)×(3)(4)2cos(15°)的值是()A.B.C. D.Dcos(15°)cos 15°cos(45°30°)cos 45°cos 30°sin 45°sin 30°××.3cos 65°cos 20°sin 65°sin 20°_.cos 65°co

4、s 20°sin 65°sin 20°cos(65°20°)cos 45°.合 作 探 究·攻 重 难给角求值问题(1)cos的值为()ABCD(2)求下列各式的值：cos 75°cos 15°sin 75°sin 195°；sin 46°cos 14°sin 44°cos 76°；cos 15°sin 15°. 【导学号：84352295】(1)D(1)coscoscoscoscoscossinsin××

5、.(2)cos 75°cos 15°sin 75°sin 195°cos 75°cos 15°sin 75°sin(180°15°)cos 75°cos 15°sin 75°sin 15°cos(75°15°)cos 60°.sin 46°cos 14°sin 44°cos 76°sin(90°44°)cos 14°sin 44°cos(90°14

6、°)cos 44°cos 14°sin 44°sin 14°cos(44°14°)cos 30°.cos 15°sin 15°cos 60°cos 15°sin 60°sin 15°cos(60°15°)cos 45°.规律方法1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的

7、余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的积相加跟踪训练1化简下列各式：(1)cos(21°)cos(24°)sin(21°)sin(24°)；(2)sin 167°·sin 223°sin 257°·sin 313°.解(1)原式cos21°(24°)cos 45°.(2)原式sin(180°13°)sin(180°43°)sin(180°77°)·sin

8、(360°47°)sin 13°sin 43°sin 77°sin 47°sin 13°sin 43°cos 13°cos 43°cos(13°43°)cos(30°).给值(式)求值问题探究问题1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得cos 等于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()(1)已知sin sin 1，cos cos ，则cos()()A BC D

9、(2)已知sin，求cos 的值. 【导学号：84352296】思路探究(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C()求cos()(2)由已知角与所求角的关系即寻找解题思路(1)D(1)因为sin sin 1，所以sin22sin sin sin22，因为cos cos ，所以cos22cos cos cos22，两式相加得12cos()11所以2cos()所以cos().(2)，cos.，cos coscoscossinsin××.母题探究：1.将例2(2)的条件改为“sin，且<<”，如何解答？解sin，且<<，<<

10、;，cos，cos coscoscos sinsin ××.2将例2(2)的条件改为“sin，”，求cos的值解，又sin0，0，cos，coscoscoscossin××.规律方法给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：()；2()()；2()().给值求角问题已知sin()，cos()，0，求角的大小. 【导学号：84352297】思路探究解因为sin()，所以

11、sin .因为0，所以cos .因为cos()，且0，所以0，所以sin()，所以cos cos()cos cos()sin sin()××.因为0，所以.规律方法已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.跟踪训练2已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值解，均为锐角，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.又sin &l

12、t;sin ，0<<<，<<0，故.当 堂 达 标·固 双 基1sin 14°cos 16°sin 76°cos 74°() 【导学号：84352298】ABCDBsin 14°cos 76°，cos 74°sin 16°原式cos 76°cos 16°sin 76°sin 16°cos(76°16°)cos 60°.2若sin sin 1，则cos()的值为()A0B1 C±1D1B由sin s

13、in 1，得cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.3已知为锐角，为第三象限角，且cos ，sin ，则cos()的值为() 【导学号：84352299】A BC DA为锐角，cos ，sin ，为第三象限角，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin ××.4cos(35°)cos(25°)sin(35°)sin(25°)_.原式cos(35°)(25°)cos(60°)cos 60°.5已知sin ，sin ，且180°270°，90°180°，求cos()的值. 【导学号：84352300】解因为sin ，180°270°，所以cos .因为sin ，90°180°，所以cos ，所以cos()cos cos sin sin ××.我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。