华师一附中高三(新课标)第一轮复习教案(第二十三章)第二讲绝对值不等式

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1、第二讲绝对值不等式教学目的：理解绝对值的定义及几何意义，并能求解和证明简单的含绝对值的不等式教学重点：求解和证明简单的含绝对值的不等式教学难点：理解和灵活应用重要的不等式 |a| |b|a b|a| |b|【知识概要】知识点1 绝对值的定义a, a 0,正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即|a|0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离去掉绝对值符号的方法：方法一：利用定义去掉绝对值符号方法二：利用平方去掉绝对值符号(|a2 a2 (a R)关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证

2、明不等式。 知识点2含绝对值的不等式的性质(1)b;b(2)|a| |b| |a b| |a| |b|证：如果a b 0,那么aba b.所以a b a b a b.如果 a b 0,那么 a b (a b).所以 a b a ( b) (a b) a b根据的结果，有 a b b abb,就是，a b b a，ab a b。当ab b0时，左边等号成立；当ab0时，右边等号成立.|a| |b| |a b| |a|b|当abb0时，左边等号成立；当ab0时，右边等号成立.|a| |b| |a b| |a|b| .知识点3 简单绝对值不等式的解法|x|a(a0) xa 或 xv-a;|x|va(

3、a0) -avxva|ax+b| c或|ax+b| 0)类型的不等式的解法：|ax+b| vc(c0) ax+b 或 ax+bv-c; |ax+b| vc(c0) -cvax+b 1(2) | x2 11x 21 | x解：(1)零点区间讨论法。原不等式等价于:x 2, (x 2) 2x 1 11卡 2 x -, 2x 2 2x 11或x 2,1 x 2 (2x 1) 1.。解之得6或0Wx,或。w xw|即0w xw2，原不等式的解 22集为0, 2。x 3,(x2)1十解法二：数形结合，构造函数：y=|x+2|-|2x-1|= 3x 1,( 2 x )及y 1.在同一坐标系中作出上21x

4、3,(x)2述两个函数的图像，可由图像得原不等式的解为：0WxW2指出：解法一：(分类讨论思想)：令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根；把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间；在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所 得的不等式在这个区间上的解集；这些解集的并集就是原不等式的解集。解法二：(函数与方程思想)：构造函数f(x) |x a | | x b| c,写出f(x)的分段解析式作出图象， 找出使f(x) 0 (或f(x) 0)的x的取值范围即可。解法三：(数形结合思想)利用绝对值的几何意义求解，|x a| |x b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、(2)不

5、等式同解于xx 02x2 11x 21B(b)距离的和。关键找出到 A、B两点距离之和为c的点，“绅(中间，“”取两边。2,解得x 0或3 x 7或x或 x 11x 21 x)。0x6 而或x 6 压.原不等式的解集为(，6 年)(3,7) (6 话,例2 (解绝对值得不等式)设函数f(x) |x 1| |x 2|,求不等式f(x) 3的解集。解：当 x 1 时，有 f(x) 1 x 2 x 3 2x。由 f (x) 3 得 3 2x 3,解得 x 0 ;当1 x 2时，有f(x)x1 2 x 1。此时，不等式 f(x) 3无解；当 x 2 时，有 f (x) x1x 2 2x3。由 f(x)

6、 3 得 2x3 3,解得x 3。故不等式f (x) 3的解集为(，0) (3,)。指出：可画出数轴如图，:|AB| 1, |PB| 1 ,tAl d 1_.Q 0I21 p x例3 (含参数的绝对值不等式的解法)2a2解关于x的不等式：xx a aa 0。9 xa解：当x a时，不等式可转化为：9x x a|PA|2a2,即故由图可得9xa2 9ax2a2 0当x a时,不等式可化为x a日 x a，即2，22ax(a x) 2a 9x 9ax 2a 0a卡2ax 或 x a.。33a 2a 3 ,17.不等式的解集为(,3-3，6-a例4 (绝对值不等式的证明)(1)已知x acc2, y

7、 b 2,求证：(x y) (a b)c.(2)a a已知x -, y -.求证：|2x 3y(3)已知 f(x)=x2-x+13 ,且 |x-a|1.求证:|f(x)-f(a)|2(|a+1)。证:(1) (x y)(ab)(xa) (y b) x(1)(2)c2,y|x(2)由(1),(2)得：(x y) (a b) c4，y(3) . |x-a|1, . .|f(x)-f(a)|二|x2x|I3y I， 2x 3y2x 3y2-x-a 2+a|=|(x-a)(x+a-1)|x+a-1|=|(x-a)+(2a-21)12w-国+|2a-1|1+|2a|+1二2(|a|+1).例5 (含参数

8、的绝对值不等式的解法)已知关于x的不等式|x 3| |x 4| a。(1)(2)当a 2时，解上述不等式；如果关于x的不等式|x 3| |x 4| a的解集为空集，求实数 a的取值范围。解:(1) a 2时，原不等式为|x 3| |x 4| 2,当x 3时，原不等式化为 7 2x 2,解得x -,2. 523,当3x 4时，原不等式化为 1 2,，3 x 4。当x综上，原不等式解集为x|5 x 9。22(2)作出函数y |x 3| |x 4|与y a的图象，若使|x 3| |x集为空集，只须y |x 3| |x 4|的图象在与y 1重合，a 1。所以a的范围为a的图象的上方，或 ,1。4时，原

9、不等式化为 2x 7 2,解4| af2x 7解法二：y|x 3| |x 4|4时，y1；当3 x 4时，y 1;当x 3时,解法三：:2x1,原问题等价为|x3|x 4|min,|x 3| |x4| |x 3 x4|(x 3)(x4)。时，上式取等号,【综合题典例解析】2x|x|例1解不等式：-2x-x 1解：不等式中x取值范围是xW0, x W1.(1)当x0时，x-10,，原不等式变形为-2x2x-1.解得x)，再与x0求交集得 2解集是x|x-1.(2)当0x1时，x-10,，原不等式变形为 2x21时，x-10, |x|=x0 ,原不等式变形为 2x2x-1 ,其解集是全体实数.再与

10、 x1求交集，可 得解集为x|x1.综上，可得原不等式的解集为x|x1.例2对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|k恒成立，求k的取值范围。的距离，|x-2|可以看做是点x到点2的距离,解：根据绝对值几何意义：|x+1|可以看做是点x到点-1我们在数轴上任取三个点xa-1 ,-1xe2,从图 1-2-6 中可以看出：|xa+1|-|xa-2|=-3, |x d+1|-|x d-2|=3,-3|xe+1|-|xe-2|3.，kk , 2.从图象可以看出，只要k-3即可。.例3 已知不等式| axb| 2(a0）的解集为x|1 x 5,求实数a、b的值.解：原不等式等价于2 ax2.当a0时

11、,解之得x 5比较系数得 2当a0时,解之得J,与1ax5比较系数得2b，解得 a1,b 3.5综上所述,a 1,b1,b3.例4求不等式110gl x| |1og331的解集.解:对数必须有意义，即解不等式组,0x.l(1)综合得:(2)(3)0x3 , 4当 11033.x2-3x+30, .xC 小.当 2Vx3(3x), .-.x9 ,结合前提得：-虫3 .443当 0 1g33x, 1- 3-xx,，x,4 39综上，原不等式的解集为（0, - U 9,3）.44例5解关于x的不等式:(1) |x log a x| x |10ga x|(a 1)；(2) 23x 2x a(2x 2

12、x)(已知 a 0)。解：（1）分析：|a b| |a| |b|, “当且仅当ab 0时成立，若|a b| a | |b |,则 ab0。根据绝对值三角不等式，原不等式可化为xloga x 0。又x 0 , log ax，不等式的解集为0|0 x1。(2)2x0, 原不等式等价于24x22xa(22x 1),即42x4xa 4xa化为(4x 1)(4xa) 0当a 1时，1 4xa,，原不等式解集为x|0 x 10g4a。1时，(4x 1)2 0,，原不等式无解。a 1时，a 4x 1, .原不等式的解集为x | log 4 a a 0。例6关于x不等式的解集为B,若A B A,求实数a的取值

13、范围。A,关于 x不等式 x2 3(a 1)x 2(3a 1) 0_.1O 1 c 1 c 1斛：由 x -(a 1)2 w(a-1)2,得(a-1) 2Wx(a+1)2J(a-1)2.解得 2a x2+1.A=x|2a x2+1,aCR. 由 x2-3(a+1)x+2(3 a+1) 0,得(x-2)x-(3a+1) 0.1 一 一得 B=x|2 x3a+1 当 3a+12 ,即 a1 时，得 3B=x|3a+1 x2.(1)当a时,32 2a,*213a解得1WaW3.1.(2)1当a1时,33a 1B,得 2a2 12a, 2.解得a=-1.，使AB的a的取值范围是a|1 a0 ,2x2+

14、mx-1=0 的两根在-1 , 1上，即 f(x)的图0,0,-1wmCl。.,当-1WmM, f(x) 啪解集4为 C (AUB)。(2) m e A, x e B|m| 1, x J2 |f(x)|=|2x2+mx-1| & |2x-1|+|mx|=1-2x 2+|mx|l-2x2+|x|=-2|x| 2+|x|+1=-2(|x|- 1)2+- 9 048 8当且仅当|x|= 1 时，等号成立。，|f(x)| .948例 12 已知 a、b、c是实数，函数 f(x)=ax 2+bx+c, g(x)=ax+b,当-1Wxw时，|f(x)| 1.(1)(3) 证:(2)证明：|c| 1;(2)

15、证明：当-1WxW 时，|g(x)| 0,当-1WxW时，g(x)的最大值为2,求f(x).(1)由条件当-1WxW时，|f(x)| 领.x=0，得|c|=|f(0)|4叫c| 0 时，g(x)=ax+b 在-1,1上是增函数.g(-1)g(x) g(1). |f(x)|01&xW1),|c| W1.,g(1)=a+b=f(1)- c |f(1)|+|c|V0：ga+b=-f(- 1)+c 汽|f(-1)|+|c|) 会由此得 |g(x)| 2;当 ag(x) g(T)； |f(x)|-1(cx 1),|c| 1, .g(-1)=-a+b=-f(- 1)+c|f(-1)|+|c| 2g(1)=

16、a+b=f(1)- O(|f(x)|+|c|) -2.曲此得 |g(x)| 2;当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c./ -1x 1.,. |g(x)|=|f(1)- c| |f(1)|+|c|综上得：|g(x)| 2.2.(1)2 (1)2 一证法一:由 x=,得 g(x)=ax+b=abl2x 1, x 1a b 2 2b2. x当-1WxwiM,有 0w21一 11一 wo.2ffx 12即 g(x) 0 , g(x)在-1, 1上是增函数，当 x=1 时取最大值 2,即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.-1Wf(0)=f(1)-2wi-2=-1,，c=f(0)=-

17、1., 当-1wxwi时，f(x) -1,即 f(x) f(0由二次函数性质知，直线 x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得 -上-=0，即b=0 .由a+b=2 ,得a=2 ,f(x)=2x 2-1. 2a2例 13 设 f(x) ax bx c,当 |x| 1 时，总有 |f(x)| 1,求证：|f(2)| 7.f(0) c证:Q|x| 1,| f(0)| 1,| f(1)| 1,| f( 1)| 1, f(1) a b cf( 1) a b cf(1) f( 1)2f(0)f(1) f( 1)b 2c f(0)f(1) f( 1)f(1) f( 1)f(2) 4a 2b c 4f(0)

18、2f(0) 3f(1) f( 1) 3f(0)|f(2)| |3f(1) f(1) 3f(0)3|f(1)| |f( 1)| 3| f(0)| 7。方法二：.当 |x|W!M, |f(x)| ,1|f(0)| W,1 即|c| 又|f(1)| w1，-1)| W |a+b + c| W1，a-b+c| 又.1 |a+b + c|+| a-b+c|+2| c| m+b + c+a-b+c-2c|=|2a|,且 |a+b+c|+|a-b + c|+2| c| 4|a| 2 |2b|=|a + b+c-(a-b + c)| Q+b+c|+|a-b+c| w? |b|w |f(2)|=|4 a+2b+

19、c|=|f(1)+3 a+b| (1)+3| a|+|b| 代 即 |f(2)| &8例 14 给定函数 F(x)=ax 2+bx+c ,以及 G(x)=cx 2+bx+a ,其中 |F(0)| 1, |F(1)|41)|F(J 证明：对于 |x| W： (1) |F(x)|(2) |G(x)| 2解：(1)F(0)=c, F(1)=a+b+c, F(-1)=a-b+c.F(1) F( 1) 2F(0) F( 1) F(1)a, b-F(x)=ax 2+bx+c, F F( 1)2F()x22*F *F( 1)(1x2)x(x 1)2| F(1)|x(x 1)2|F( 1)|1F(1) F(

20、1)2x+F(0)F(0).2_x | |F(0)|x(x 1)x(x 1)2|1 x2|,- -1x1, - -01+x2, 0 x22x-1.24解：(1) -. |4x-3|x+1, .-.-(x+1) 4x32x-1,，3x+52x-1,或 3x+5-6,由得 x3+x是1, 2的对应点将整个实数轴分成三个区域:解：令 |x-1|=0 ,得 x=1 ;令 |x-2|=0 ,得 x=2。于(1)当 xWl时，原不等式即-(x-1) - (x-2) 3+x,解得 x3+x,即 xv-2.解得 xC(3)当x2时，原不等式即(x-1) + (x-2) 3+x,解得x6。综上，原不等式解集为3

21、.解不等式:解：当x2(x2 4) x25x综上所述,4.解不等式:5x 6x2 4 。0时，不等式的解集为6 x2 4原不等式的解集为|4x-3|2x+1. 4x解：原不等式等价于4x2x2 5x5xxx2x1024x2当x2(4x3)2x0,2时,34131x2或x2或 x2x+14x-32x+1或 4x-32等式的解集为x| x22x5.解不等式： x解：不等式中或 x-,再与x0求交集得2取值范围是xW0, x W1.(1)当x0时，x-10,，原不等式变形为-2x2x-1.解得x-1或解集是x|x-1.(2)当0x1时，x-10,，原不等式变形为 2x21时，x-10, |x|=x0

22、 ,原不等式变形为 2x2x-1 ,其解集是全体实数.再与x1求交集，可得解集为x|x1.综上，可得原不等式的解集为x|x1.6 .解不等式 |x+3|+|x+2|+|x+1|3.解：本题是含有三个绝对值的不等式，可采用零点分段讨论法求解，首先找到使绝对值为零的点，然 后划分区间，分段讨论求解，最后求各段结果的并集.令 x+3=0 ,x=-3 ; 令 x+2=0 ,x=-2 ; 令 x+1=0,，x=-1.(1)当 x03 时，原不等式变形为：-(x+3)+Hx+2)+Hx+1)3,此时，解为 x-3.(2)当-33,即 x+3-x-2-x-13 ,得 x-3.，此时无解.(3)当-23 ,得

23、x-1.，此时无解.(4)当x-1时，原不等式变形为 x+3+x+2+x+13 ,得x-1.，此时，解为 x-1. 综上，原不等式解集为x|x-1.7.解关于x的不等式:2a2x x a a9解：当x a时，不等式可转化为9x x2a2，即一 2 一 一 2 一)9x 9ax 2a 03.17a x a6当x a时,不等式可化为x aax(a x)2a29x2 9ax 2a2 0a2a 3 .17,a 。336a .、2ax 或 x a,故不等式的解集为 (338 .解关于x的不等式：2 + a0 时，|x 1|1 + , x 11 + 或 x 1 1,解得 x2 H;aaaaa当一2Wa0时

24、，解集为 ； 当 a 2 时，|x 1|1 + , 1 x 11 + ,解得一 一xF 2。aaaa a综上可得：当a=0或，2与0时，解集是x2 + aa此方程组无解(舍去)1,当a2时，解集为一2 Vx0 即 a-1 时，-(a+1)2x+3x.综上得：a1时，解集为 ；a1时，解集为x| a x .2210 .若不等式|ax+2|6的解集为(-1,2),求实数a的值。解：.1 |ax+2|6 , 1- -6ax+26,即-8ax0时，有-8 x 4 ,而已知原不等式的解集为(-1,2),当 ax -, a aa41. a解得a=-4.a a当a=0时，原不等式的解集为 R,与题设不符(舍

25、去).故a=-4 .11 .已知不等式|ax b| 2(a 0)的解集为x|1 x 5,求实数a、b的值.解：原不等式等价于2 ax b 2.当a0时,解之得解得：a 1,b3；x Zb,与1 x5比较系数得a当a 0时,解之得x2_，与1aa综上所述,a 1,b3或a1,b 3.x5比较系数得，解得a51,b 3.12.关于x的不等式x的解集为A,关于x的不等式x1 2 323(a 1)x 2(3a 1) 0的解集为B,若ABA,求实数a的取值范围。_.1o解：由 x -(a 1)22(a-1)(2)当a1时，由A B,得 o解得a=-1.,得-l(a-1) 2Wx二(a+1)2(a-1)2

26、.解得 2aWxw2+1.2222A=x|2a x2+1, a C R. 由 x2-3(a+1)x+2(3a+1) Q 得(x-2)x-(3a+1) 2 ,即 a1 时，得 B=x|2 x3a+1 当 3a+12 ,即 al 时，得 B=x|3a+1 x1时，由A B,得 o解得1WaW3.3a2 1 3a 1.2x, x 1,解：设y=|x+1|+|x-1|和y2=m ,作函数yi=|x+1 |+|x-11=2, 1 x 1,的图象，研究直线y2=m与此图象2x, x 1的关系.若y12.13a 1 2a,3a2 1 2.使A B的a的取值范围是a|1 a女恒成立，求k的取值范围。解：根据绝对值几何意义：|x+1|即点x到点-1的距离，|x-2|即点x到点2的距离，那么x在数轴上可能的位置有五种情形：xv-1,-1vxv 2,x 2,x=-1,x=2.无论x取何值总有 -3 |x+1-|x- 2| k ,从图象可以看出，只要 k-3即可。.3,x 2.14.若不等式|x+1|+|x-1|m 的解集为非空数集，求实数 m的取值范围.