第六章数理统计的基本概念

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1、第六章 数理统计的基本概念6.1基本概念6.2样本数字特征一、填空题1. 若为来自总体的容量为的样本，则样本均值= ，样本方差= ；解：抽样分布定义：= ，样本方差= ；2设总体, 是的简单随机样本，则的概率密度 ；解：因为，所以.3某种灯泡的寿命服从参数为的指数分布，是取自总体的简单随机样本，则的联合密度函数为 ；解： 因为服从参数为的指数分布，其密度函数为，所以的联合密度函数为4设总体，为取自总体的一个样本，为样本均值，要使成立，则样本容量至少应取多大 ；解：由题设：，利用公式：， .5设是来自总体的随机样本，为常数，且，则随机区间的长度的数学期望为 。解：长度为，所以 .二、选择题1.

2、设，为的样本，则（C）（A）； （B）； （C）； （D）. 2设是总体的样本，则有（D）（A）； （B）； （C）； （D）以上三种都不对.3设总体, 是的样本，则（B）（A）； （B）； （C）； （D）.4设总体, 其中已知, 是的样本，则不是统计量的是（C）（A）； （B）； （C）； （D）.5设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于（C） （A）； （B）； （C）； （D）.解：考查正态分布百分位点概念.由题设 ，可得 .故答案取C.6设是来自正态总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，则（C）（A）； （B）； （C）； （D）.解：考查样本数字特征.因为

3、，可得 ，故答案取C.三、 计算题1 设有下列样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512求和。解： ；。2设是的样本均值，是的样本均值，求证。证明：由于 ， 所以。3从一批零件中随机地抽取10件，记录其抗压强度数据为：48，70，51，51，70，68，73，68，51，73，求出关于该样本的样本分布函数。解； 由题意列表：子样4851687073频率3/102/10因此可得样本分布函数 4设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：日售出台数23456合计天数2030102515100求样本容量，样本均值，样本方差，

4、经验分布函数。解：设是第天售出的台数，所以样本容量；样本均值 ；样本方差 ；经验分布函数 5. 设是取自正态总体中的一个大小为4的样本，其中已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？（1）；（2）； （3）；（4）； （5）； （6） . 其中.解： 由定义知：（1），（3），（4），（5）是统计量；而（2），（6）中的随机变量因含有未知的，故不是统计量。6. 是取自正态总体中的一个样本，.求的联合密度函数。解： 因为 都服从正态分布，所以都是正态随机变量的线性组合，故都是正态随机变量，且互相独立.又 .所以，所以，的联合密度为.故我们得到的联合密度函数如下： 。7从正态总体中抽取容量为的

5、一个样本， 如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0.95, 问样本容量至少应取多大?解：由于 ， 所以有： ，所以样本容量至少应取35。8设有一枚均匀的硬币，以表示抛一次硬币正面向上的次数，试问要抛多少次才能使样本均值落在0.4，0.6内的概率不小于0.9？解：，在较大时，可以近似认为， 则按要求：， 即要求：，查正态分布表，即至少应抛68次。9当随机变量独立同分布且为正时, 试证: .证明：考察随机变量，由题设同分布，所以也同分布，因之具有相同的数学期望.故 ， 又 ，所以 ， 即 ，可知有 ，即 .10设，其中均为未知，从总体中抽取简单随机样本，样本均值为，求统计量的数学期望。解：易知相

6、互独立，且都服从正态分布，因此可将其视为取自总体的容量为的简单随机样本，其样本方差为，因为样本方差是总体方差的无偏估计，即，故。11设为来自的简单随机样本，为样本均值，记；求 (1) 的方差； (2) 。解：(1) 因为 ，所以 ，所以 ；(2) 注意到的独立性，有 所以有。6.3正态总体的抽样分布一、填空题1. 设总体，样本容量为，则 分布， 分布；解：抽样分布定义：， .2设是来自正态总体的简单随机样本，则当时，统计量服从分布，其自由度为 ；解：因为：所以有： ，从而 ，即 ，自由度为2.3. 设随机变量和相互独立, 且都服从正态分布，而和分别来自和的简单随机样本，则统计量服从 分布，参数

7、为 ；解：因为 ，而 ， 所以 ，即服从参数为9的t分布.4. 设总体服从正态分布，是来自总体的简单样本，则统计量服从 分布，参数为 ；解：因为 ，所以 ，即服从参数为(10,5)的F分布.5. 是来自总体的简单随机样本， 分别为样本均值及样本方差， ，则 ；解：因为 ，故对，所以由 ，查分布表，可得百分位点.6从正态总体中抽取一容量为16的样本，为样本方差，则 ；解：因为 ，注意分布的方差：，所以有 .7随机变量服从自由度为的F分布，则随机变量，服从 分布，参数为 。解： 因为服从自由度为的F分布，即存在 ，且独立，；而 ，故服从自由度为的F分布.二、选择题1. 设为来自正态总体的简单随机样

8、本，与分别是样本均值与样本方差，则下列表达式正确的是 ( D )（A）； （B）； （C）； （D）.2设为来自正态总体容量为的简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是（B）（A）； （B）； （C）； （D）.解：注意分布的定义：，看哪一个适合，故答案取（B）.3设为来自正态总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，则（D）（A）； （B）； （C）；（D）.解：因为，所以 ， ，而 ，所以有：.故答案取（D）.4样本取自标准正态分布总体, 分别为样本均值及样本标准差, 则(C)（A）； （B）； （C）； （D）.解：此题复习各种统计量的形式，注意，所以；而，所

9、以 ； ； 故正确答案是(C)，分布的定义.5. 设和是分别来自总体和的样本，且相互独立, 则服从的分布是（C）（A）； （B）； （C）； （D）.6设随机变量和都服从标准正态分布，则（C）（A）服从正态分布； （B）服从分布； （C）和都服从分布； （D）服从分布.解：，同理，所以和都服从分布，（C）成立.如果附加和独立的条件，则（A）（B）（C）（D）均成立.7. 设随机变量, 则（C）（A）； （B）； （C）； （D）.解：由分布定义：，且，所以 ，其中 ，故 ，故答案取（C）.三、 计算题1. （1）求等式中的；（2）求等式 中的。解：（1）对于，由附表（分布表）可查得：；（2）对

10、于，应用下面的公式：， 以及（1）的结果可得：。2设是来自总体的一个样本，证明：，。证明： 因为 ，则 ，所以 ， 。3假设是来自总体的简单随机样本，已知.证明当充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。证明：依题意，独立同分布，因而也独立同分布且有，根据列维-林德伯格中心极限定理，随机变量，所以当充分大时，随机变量也近似服从正态分布，其分布参数分别为：。4. 设总体，是取自总体的一个样本，求。解： 因为 ， 则 ，所以 。5设是取自正态总体的简单随机样本， .是对的又一独立观测值，试证统计量服从自由度为的分布。证明：将统计量改写为：由于与相互独立，所以 ，从而 ；又注意到：与相互独立，也与相互独立，且；故由（*）式可得：。6设是取自正态总体的一个样本，为样本方差，试求与。解：因为 ，则，利用期望与方差的性质即得：. 。88