因式分解方法的讲解

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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（

2、1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）(ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；（3）(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；（4）(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例1.已知是的三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.

3、等边三角形 D.等腰直角三角形解： 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，

4、虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例4分解因式： 解：原式= = =练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5

5、、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -1

6、1解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因

7、式：五、换元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = =（2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = =

8、 =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21练习17、（1）分解因式（2

9、）分解因式（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 . 6、若，则=_，=_。二、选择题7、多项式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、10.下列多项式能分解因式的是（ ）

10、(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式为（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式： 14、 15、16、 17、 18、

11、19、； 五、解答题20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。dD21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。经典二：因式分解小结知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式

12、分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本

13、章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 解一：将拆成，则有 解二：将常数拆成，则有 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设，则 4. 因式分解中的转化思想 例：分

14、解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 例1.在中，三边a,b,c满足 求证： 证明： 说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。 例2. 已知：_ 解： 说明：利用等式化繁为易。题型展示 1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。 解： 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形

15、成完全平方是一种常用的方法。 2. 将 解： 说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。 4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数） 5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。经典三：因式分解练习题精选一、填空：（30分）1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、若=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、若是完全平方式，则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M

16、=_。10、， 11、若是完全平方式，则k=_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。14、若则_。15、方程，的解是_。二、选择题：（10分）1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算的值是（ ） A、 B、三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、7、 8、9 、 10、四、代数式求值（15分）1、 已知，求 的值。2、 若x、y互为相反数，

17、且，求x、y的值3、 已知，求的值五、计算： （15）（1） 0.75 （2） （3）六、试说明：（8分）1、对于任意自然数n，都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三

18、项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）经典四：因式分解一、 选择题1、代数式a3b2a2b3, a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（ ）A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx3、把8m312m24m分解因式，结果是（ ）A、4m(2m23m) B、4m(2m23m1) C、4m(2m23m1) D、2m(4m26m2)4、把多项式2x44x2

19、分解因式，其结果是（ ）A、2(x42x2) B、2(x42x2) C、x2(2x24) D、 2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（ ）A、21998 B、21998 C、21999 D、219996、把16x4分解因式，其结果是（ ）A、(2x)4 B、(4x2)( 4x2) C、(4x2)(2x)(2x) D、(2x)3(2x)7、把a42a2b2b4分解因式，结果是（ ）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、(ab)4 D、(ab)2(ab)28、把多项式2x22x分解因式，其结果是（ ）A、(2x)2 B、2(x)2 C、(x)2 D、 (x1)2 9、

20、若9a26(k3)a1是完全平方式，则 k的值是（ ）A、4 B、2 C、3 D、4或210、（2xy）(2xy)是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）A、4x2y2 B、4x2y2 C、4x2y2 D、4x2y2 11、多项式x23x54分解因式为（ ）A、(x6)(x9) B、(x6)(x9)C、(x6)(x9) D、 (x6)(x9)二、填空题1、2x24xy2x = _(x2y1)2、4a3b210a2b3 = 2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1)4、m(mn)2(nm)2 =(_)(_)5、x2(_)16y2=( )26、x2(_)2=(x5y)( x5y)7、a24

21、(ab)2=(_)(_)8、a(xyz)b(xyz)c(xyz)= (xyz)(_)9、16(xy)29(xy)2=(_)(_)10、(ab)3(ab)=(ab)(_)(_)11、x23x2=(_)(_)12、已知x2px12=(x2)(x6)，则p=_.三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x22x3 (2)3y36y23y(3)a2(x2a)2a(x2a)2 (4)(x2)2x2(5)25m210mnn2 (6)12a2b(xy)4ab(yx)(7)(x1)2(3x2)(23x) (8)a25a6(9)x211x24 (10)y212y28(11)x24x5 (12)y43y328y22

22、、用简便方法计算。（1）9992999 （2）2022542256352(3) 3、已知：xy=,xy=1.求x3y2x2y2xy3的值。四、探究创新乐园1、 若ab=2,ac=,求(bc)23(bc)的值。2、 求证：11111110119=119109经典五：因式分解练习题一、填空题：2(a3)(32a)=_(3a)(32a)；12若m23m2=(ma)(mb)，则a=_，b=_；15当m=_时，x22(m3)x25是完全平方式二、选择题：1下列各式的因式分解结果中，正确的是 Aa2b7abbb(a27a)B3x2y3xy6y=3y(x2)(x1)C8xyz6x2y22xyz(43xy)D

23、2a24ab6ac2a(a2b3c)2多项式m(n2)m2(2n)分解因式等于 A(n2)(mm2) B(n2)(mm2)Cm(n2)(m1) Dm(n2)(m1)3在下列等式中，属于因式分解的是 Aa(xy)b(mn)axbmaybnBa22abb21=(ab)21C4a29b2(2a3b)(2a3b)Dx27x8=x(x7)84下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 Aa2b2 Ba2b2Ca2b2 D(a2)b25若9x2mxy16y2是一个完全平方式，那么m的值是 A12 B24C12 D126把多项式an+4an+1分解得 Aan(a4a) Ban-1(a31)Can+1(a1)(a

24、2a1) Dan+1(a1)(a2a1)7若a2a1，则a42a33a24a3的值为 A8 B7C10 D128已知x2y22x6y10=0，那么x，y的值分别为 Ax=1，y=3 Bx=1，y=3Cx=1，y=3 Dx=1，y=39把(m23m)48(m23m)216分解因式得 A(m1)4(m2)2 B(m1)2(m2)2(m23m2)C(m4)2(m1)2 D(m1)2(m2)2(m23m2)210把x27x60分解因式，得 A(x10)(x6) B(x5)(x12)C(x3)(x20) D(x5)(x12)11把3x22xy8y2分解因式，得 A(3x4)(x2) B(3x4)(x2)

25、C(3x4y)(x2y) D(3x4y)(x2y)12把a28ab33b2分解因式，得 A(a11)(a3) B(a11b)(a3b)C(a11b)(a3b) D(a11b)(a3b)13把x43x22分解因式，得 A(x22)(x21) B(x22)(x1)(x1)C(x22)(x21) D(x22)(x1)(x1)14多项式x2axbxab可分解因式为 A(xa)(xb) B(xa)(xb)C(xa)(xb) D(xa)(xb)15一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是12，且能分解因式，这样的二次三项式是 Ax211x12或x211x12Bx2x12或x2x12Cx24x1

26、2或x24x12D以上都可以16下列各式x3x2x1，x2yxyx，x22xy21，(x23x)2(2x1)2中，不含有(x1)因式的有 A1个 B2个C3个 D4个17把9x212xy36y2分解因式为 A(x6y3)(x6x3)B(x6y3)(x6y3)C(x6y3)(x6y3)D(x6y3)(x6y3)18下列因式分解错误的是 Aa2bcacab=(ab)(ac)Bab5a3b15=(b5)(a3)Cx23xy2x6y=(x3y)(x2)Dx26xy19y2=(x3y1)(x3y1)19已知a2x22xb2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为 A互为倒数或互为负倒数 B互为相

27、反数C相等的数 D任意有理数20对x44进行因式分解，所得的正确结论是 A不能分解因式 B有因式x22x2C(xy2)(xy8) D(xy2)(xy8)21把a42a2b2b4a2b2分解因式为 A(a2b2ab)2 B(a2b2ab)(a2b2ab)C(a2b2ab)(a2b2ab) D(a2b2ab)222(3x1)(x2y)是下列哪个多项式的分解结果 A3x26xyx2y B3x26xyx2yCx2y3x26xy Dx2y3x26xy2364a8b2因式分解为 A(64a4b)(a4b) B(16a2b)(4a2b)C(8a4b)(8a4b) D(8a2b)(8a4b)249(xy)21

28、2(x2y2)4(xy)2因式分解为 A(5xy)2 B(5xy)2C(3x2y)(3x2y) D(5x2y)225(2y3x)22(3x2y)1因式分解为 A(3x2y1)2 B(3x2y1)2C(3x2y1)2 D(2y3x1)226把(ab)24(a2b2)4(ab)2分解因式为 A(3ab)2 B(3ba)2C(3ba)2 D(3ab)227把a2(bc)22ab(ac)(bc)b2(ac)2分解因式为 Ac(ab)2 Bc(ab)2Cc2(ab)2 Dc2(ab)28若4xy4x2y2k有一个因式为(12xy)，则k的值为 A0 B1C1 D429分解因式3a2x4b2y3b2x4a

29、2y，正确的是 A(a2b2)(3x4y) B(ab)(ab)(3x4y)C(a2b2)(3x4y) D(ab)(ab)(3x4y)30分解因式2a24ab2b28c2，正确的是 A2(ab2c) B2(abc)(abc)C(2ab4c)(2ab4c) D2(ab2c)(ab2c)三、因式分解：1m2(pq)pq；2a(abbcac)abc；3x42y42x3yxy3；4abc(a2b2c2)a3bc2ab2c2；5a2(bc)b2(ca)c2(ab)；6(x22x)22x(x2)1；7(xy)212(yx)z36z2；8x24ax8ab4b2；9(axby)2(aybx)22(axby)(a

30、ybx)；10(1a2)(1b2)(a21)2(b21)2；11(x1)29(x1)2；124a2b2(a2b2c2)2；13ab2ac24ac4a；14x3ny3n；15(xy)3125；16(3m2n)3(3m2n)3；17x6(x2y2)y6(y2x2)；188(xy)31；19(abc)3a3b3c3；20x24xy3y2；21x218x144；22x42x28；23m418m217；24x52x38x；25x819x5216x2；26(x27x)210(x27x)24；2757(a1)6(a1)2；28(x2x)(x2x1)2；29x2y2x2y24xy1；30(x1)(x2)(x3

31、)(x4)48；31x2y2xy；32ax2bx2bxax3a3b；33m4m21；34a2b22acc2；35a3ab2ab；36625b4(ab)4；37x6y63x2y43x4y2；38x24xy4y22x4y35；39m2a24ab4b2；405m5nm22mnn2四、证明(求值)：1已知ab=0，求a32b3a2b2ab2的值2求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数3证明：(acbd)2(bcad)2=(a2b2)(c2d2)4已知a=k3，b=2k2，c=3k1，求a2b2c22ab2bc2ac的值5若x2mxn=(x3)(x4)，求(mn)2的值6当a为何值时，多项式x27xyay25x43y24可以分解为两个一次因式的乘积7若x，y为任意有理数，比较6xy与x29y2的大小8两个连续偶数的平方差是4的倍数37