专题1.7 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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1、 专题1.7 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）【学习目标】1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】知识要点：因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方

2、程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用因式分解法解一元二次方程1解方程：（1） （2）【答案】（1），；（2），【分析】利用因式分解法求解；解：（1），；（2），【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择合适的解法举一反三：【变式1】 解方程：（1）； （2）【答案】（1）；（2），【分析】利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；解：（1）

3、，；（2），【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题【变式2】解方程：（1）； （2）【答案】（1）x1=x2=1；（2）x1=-3，x2=2【分析】（1）直接因式分解，再求出x的值即可；（2）先把原方程进行因式分解，再求出x的值即可解：（1）x2-2x+1=0，（x-1）2=0，x1=x2=1；（2）x（x+3）-（2x+6）=0，（x+3）（x-2）=0，x+3=0或x-2=0，解得x1=-3，x2=2【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解答此题的关键【变式3】 解方程：（1） （2）（3） （4）【答案

4、】（1），；（2），；（3），；（4）【分析】（1）-（3）利用因式分解法，即可求解；（4）先化简，再利用因式分解法，即可求解 解：（1），分解因式得：，即：或，；（2），移项，分解因式得：，即：或，；（3），分解因式得：，即：或，；（4），化简得：，分解因式得：，【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程，是解题的关键类型二、因式分解法解一元二次方程的应用2“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式例如：解方程x0，就可利用该思维方式，设y，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x这种方法又叫“换元法”

5、请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：（1）填空：若，则的值为 ；（2）直接写出方程的根；（3）解方程：280【答案】（1）0；（2），；（3），【分析】（1）设进行换元，再解一元二次方程，根据的非负性确定解即可；（2）设进行换元，即可解出t的值，再根据绝对值的意义即可得出x的值；（3）设t，即可解出t的值，根据具有非负性确定t值，再解无理方程即可得 解：（1）设，原方程转化为，解得，当t0时，；当时，（舍去）；所以的值为0；故答案为0；（2）设，原方程转化为，解得，当t1时，则，解得，当t2时，则|x|2，解得，所以原方程的解为，；（3）设t，原方程转化为，解得，当t4时，4，不合题意舍去

6、；当t2时，2，则，解得，经检验，原方程的解为，【点睛】本题考查了用换元法解绝对值方程、无理方程，利用代数式非负性去除增根；关键在于能理解题意，进行换元变形后解得的结果要进行验证举一反三：【变式1】阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），解：设，则有，原方程可化为：，续解：【答案】，【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解 续解：，解得，（不合题意，舍去），经检验都是方程的解【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法看懂提示是解决本题的关键换元法

7、的一般步骤：设元、换元、解元、还元【变式2】 若m，n，p满足mn=8，mnp216=0，求mnp的值？【答案】mnp0.【分析】把m,n,p看成是未知数,本题已知两个方程求三个未知数,因此可以采用换元法,将其中一个未知数看成常数,另外两个当作未知数进行解答, 解 ：本题由mn8,可得:mn8,把mn8代入mnp2160,得n28n16p20,即(n4)2p20,根据非负数的非负性质可求出n=4,p=0,所以m=4,又因为(n4)20，p20，所以，解得，所以mn84，所以mnp4(4)00.【变式3】解方程：2【答案】x11，x21【分析】本题利用换元法进行求解 解：设y，则原方程化为y2，整理得y22y30，y13，y21当y3时，3，x1当y1时，1，x1经检验，x1都是原方程的根，原方程的根为x11，x21