概率论与数理统计第三版金炳陶课件ppt

概率论与数理统计第三版金炳陶课件ppt,概率论,数理统计,第三,版金炳陶,课件,ppt 一、一、引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计.它是用样它是用样本算得的一个值去估计未知参数本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为的极大似然估计为1000条条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信信 N 的真值位于其中的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.也就是说也就是说,我们希望确定一个我们希望确定一个尽可能小尽可能小的区的区间间,使我们能以使我们能以比较高比较高的可靠程度相信它包含真参的可靠程度相信它包含真参数值数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 置信区间定义：置信区间定义：满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的的置信水平置信水平（置信度、（置信度、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间.分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限.即要求区间置信的长即要求区间置信的长 度尽可能短度尽可能短,或能体现该要求的其它准则或能体现该要求的其它准则.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.要求要求 以很大的可能被包含在置信区间内以很大的可能被包含在置信区间内,即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠.置信水平为置信水平为 0.95 是指是指 很多很多组样本值所得置信区间组样本值所得置信区间的的实现实现中中,就是说就是说,概率概率 而不是说一个而不是说一个实现实现以以 0.95 的概率覆盖了的概率覆盖了 .约有约有95%个能覆盖个能覆盖 ,要尽可能大要尽可能大.X,S*2 分别是其样本均值和分别是其样本均值和修正修正样本方差样本方差,求参数求参数 的置信水平为的置信水平为1-的置信区间的置信区间.设设 X1,Xn 是总体是总体 X N(,2)的样本的样本,是是 的无偏估计量的无偏估计量,1.已知方差已知方差 2 时时 故可用故可用 X 作为作为 EX 的一个估计量的一个估计量,二、正态总体二、正态总体 均值均值 的置信区间的置信区间 确定未知参数的确定未知参数的估计量及其函数的分布估计量及其函数的分布 故可用故可用 X 作为作为 EX 的一个估计量的一个估计量,X N(,2/n),N(0,1),由抽样分布定理知由抽样分布定理知 有了分布就可求出有了分布就可求出U 取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率对给定的置信度对给定的置信度 1-,按标准正态分布的双侧按标准正态分布的双侧 分位数分位数查正态分布表可得查正态分布表可得 u /2,N(0,1),由分布求分位数由分布求分位数 查正态分布表可得查正态分布表可得 u /2,N(0,1),由分布求分位数由分布求分位数 即得置信区间即得置信区间 由由u /2确确定置信区间定置信区间 某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入 X (单单 位位:元元),求求 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.推行联产承包责任制推行联产承包责任制后后,在该乡抽得在该乡抽得 n=16 的样本的样本,且且 X N(300,252).例例例例2 2 得得 x=325元元,假设假设 2=25 2 没有变化没有变化,解解 由于由于 =0.05,查正态分布表得查正态分布表得 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间 (312.75,337.25).u0.025=1.96,故不能采用故不能采用已知方差的均值估计方法已知方差的均值估计方法 由于由于 与与 有关有关,但其解决的思路一致但其解决的思路一致.由于由于 S*2是是 2 的无偏估计量的无偏估计量,2.2.未知方差未知方差未知方差未知方差 用用 分布的分位数求分布的分位数求 的置信区间的置信区间.故可用故可用 S*替代替代 的估计量的估计量:S*2 时时 实用价值更大实用价值更大!T=t(n-1),由抽样分布定理知由抽样分布定理知 T=t(n-1),查查 t 分布表确定上侧分布表确定上侧 分位数分位数令令 t (n-1),*即为即为 的置信度的置信度 1-的区间估计的区间估计.测定总体服从正态分布测定总体服从正态分布,求总体均值求总体均值 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.例例3确定某种溶液中甲醛浓度确定某种溶液中甲醛浓度,且其且其 4 个独立测量值的平均值个独立测量值的平均值X=8.34%,样本标准差样本标准差 s=0.03%,解解 T=t(n-1),由于由于 =0.05,查查 t 分布表得分布表得 自由度自由度 n-1=3,t 0.05(3)=3.182,即得即得 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间 将将 x =8.34%代入代入 得得 (2 2)未知时未知时 因为因为 2 2 的无偏估计为的无偏估计为 S S *2 2,2.2.2.2.方差方差方差方差 2 2 2 2 的的的的置信区间的求法置信区间的求法 由抽样分布定理知由抽样分布定理知 2 2=找一个含找一个含 与与S S*,但不含但不含 ,且分布已知的统计量且分布已知的统计量由由确定确定 2 分布的上侧分布的上侧 /2 分位数分位数 /2 /2 /2 /2所以所以 2的置信水平为的置信水平为1-的区间估计为的区间估计为 测定总体服从正态分布测定总体服从正态分布,例例4 为确定某种溶液中甲醛浓度为确定某种溶液中甲醛浓度,且其且其 4 个独立测量值的平均值个独立测量值的平均值 x=8.34%,样本标准差样本标准差 s=0.03%,求总体方差求总体方差 2和标准差和标准差 的的置信水平为置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.解解 由于由于 /2=0.025,查查 2 分布表得分布表得自由度自由度 n-1=3,将将 s*2=0.0009代入代入解解 由于由于 /2=0.025,查查 2 分布表得分布表得自由度自由度 n-1=3,将将 s 2=0.0009代入代入故故 2 的置信区间为的置信区间为得得故故 的置信区间为的置信区间为返回 X,S 2，S*2 分别是其样本均值分别是其样本均值、样本方差样本方差和修正的样本方差和修正的样本方差.设设 X1,Xn 是总体是总体 X N(,2)的样本的样本,一、一、单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验1.已知方差已知方差 2 时时均值均值 的假设检验的假设检验H0:=0,H1:0;提出假设提出假设 构造构造 的检验统计量的检验统计量并确定其函数的分布并确定其函数的分布 N(0,1),对给定的水平对给定的水平 ,求求分位数分位数 u /2,使得使得 由由 确定拒绝域确定拒绝域由由|U|u/2可得可得 H0 的拒绝域的拒绝域:数值数值 u /2 是确认小概率事件是否已经发生的是确认小概率事件是否已经发生的数量数量界限界限，称为临界值，称为临界值 (x)O x /2 /2拒绝域拒绝域|拒绝域拒绝域 在在这个这个检验问题中，检验问题中，我们都是利用统计量我们都是利用统计量每天开工后须先检查包装机工作是否正常每天开工后须先检查包装机工作是否正常.某天开工后某天开工后,在装好的洗衣粉中任取了在装好的洗衣粉中任取了 9 袋袋,称得重量的平均值称得重量的平均值 包装机正常工作时包装机正常工作时,包装量包装量 X N(500,22),例例2 某化学日用品厂用包装机包装洗衣粉某化学日用品厂用包装机包装洗衣粉.设总体方差不变设总体方差不变,问包装机工作是否正常问包装机工作是否正常.如果工作如果工作正常正常,则则 X 服从的分布应与平常的一样服从的分布应与平常的一样,即即 X N(500,22).由题意可设这天包装重量由题意可设这天包装重量 X N(,2).x =502(g).为此为此,我们提出假设我们提出假设H0：=0=500 和和 H1：0 H0：=0=500,N(0,1),对小概率对小概率 =0.05,令令查表得查表得 u0.025=1.96,拒绝拒绝 H0 成立成立.和和 H1：0 2 2 两个正态总体均值差的假设检验两个正态总体均值差的假设检验两个正态总体均值差的假设检验两个正态总体均值差的假设检验 由于由于X,Y 分别是分别是 1,2 的无偏估计量的无偏估计量,N(0,1),对给定的水平对给定的水平 ,求求分位数分位数 使得使得由由|U|U/2可得可得 H0 的拒绝域的拒绝域:由样本观测值算出由样本观测值算出 U 的值的值 检验：若检验：若 T0 落入拒绝域落入拒绝域 W 内内,则拒绝则拒绝 H0,例例10 比较甲比较甲,乙两厂生产的灯泡使用寿命。已知甲乙两厂生产的灯泡使用寿命。已知甲厂生产的灯泡的使用寿命厂生产的灯泡的使用寿命X服从正态分布，服从正态分布，且方差且方差为为95 2，乙厂生产的灯泡的使用寿命乙厂生产的灯泡的使用寿命Y服从正态分服从正态分布，且方差为布，且方差为120 2，在两厂分别抽取了在两厂分别抽取了100只和只和75只样本，测得平均寿命分别为只样本，测得平均寿命分别为1180小时和小时和1220小时，小时，问两厂灯泡的平均寿命有无显著性差异问两厂灯泡的平均寿命有无显著性差异(=0.10)2.381.65否定原假设否定原假设1.1.单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验二、二、未知方差未知方差 2 时时的均值检验（的均值检验（T检验）检验）t(n-1),H0:=0,H1:0;应用应用 2 的无偏估计量的无偏估计量 S*2 去估计去估计 2,对给定的水平对给定的水平 ,求求分位数分位数 t (n-1),使得使得由由|T|t(n-1),可得可得 H0 的拒绝域的拒绝域:由样本观测值算出由样本观测值算出 T 的值的值 检验：若检验：若 T0 落入拒绝域落入拒绝域 W 内内,则拒绝则拒绝 H0,f(x)O x /2 /2拒绝域拒绝域|拒绝域拒绝域 称为称为T检验检验 例例5 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米毫米.实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X假定服从假定服从正态分布正态分布 未知，现从该厂生产未知，现从该厂生产的一批产品中抽取的一批产品中抽取6件件,得尺寸数据如下得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?分析：这批产品分析：这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全体组成问题的总体的全体组成问题的总体X.现在要现在要检验检验E(X)是否为是否为32.5.提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 第一步：第一步：已知已知 X未知未知.第二步：第二步：能衡量差异能衡量差异大小且分布大小且分布已知已知取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布第三步：第三步：即即“”是一个是一个小概率事件小概率事件.小概率事件在一次小概率事件在一次试验中基本上不会试验中基本上不会发生发生.对给定的显著性水平对给定的显著性水平 =0.01，查表确，查表确定临界值定临界值,使使得否定域得否定域 W:|t|4.0322得否定域得否定域 W:|t|4.0322故不能拒绝故不能拒绝H0.第四步：第四步：将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的实测值的实测值,|t|=2.9974.0322没有落入没有落入拒绝域拒绝域 这并不意味着这并不意味着H0一定对，只是差异一定对，只是差异还不够显著还不够显著,不足以否定不足以否定H0.体均值差的假设体均值差的假设.2 2、两个总体、两个总体、两个总体、两个总体的情况的情况利用利用t 检验法检验具有相同方差的两正态总检验法检验具有相同方差的两正态总由由故得拒绝域为故得拒绝域为 关于均值差的其他两个检验问题的拒绝域关于均值差的其他两个检验问题的拒绝域例例10 比较甲比较甲,乙两种安眠药的疗效。将乙两种安眠药的疗效。将20名患者分名患者分成两组成两组,每组每组10人人.其中其中10人服用甲药后延长睡眠的人服用甲药后延长睡眠的时数分别为时数分别为1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用两种安眠若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试试问两种安眠药的疗效有无显著性差异问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(=0.10)解解:拒绝拒绝H H0 0认为两种安眠药的疗效有显著性差异认为两种安眠药的疗效有显著性差异返回 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；到复杂的社会现象；我们无时无刻不面临着不确定性和随机性。我们无时无刻不面临着不确定性和随机性。在我们所在我们所在我们所在我们所生活生活的世界上充满了不确定性的世界上充满了不确定性的世界上充满了不确定性的世界上充满了不确定性 从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化星坠落，到大自然的千变万化，返回一、一、随机随机现象及其统计规律性现象及其统计规律性 给定条件下其结果能否发生是不给定条件下其结果能否发生是不 可预言的可预言的其结果带有偶其结果带有偶 确定现象确定现象 随机现象随机现象 一定条件下必然发生的现象；一定条件下必然发生的现象；返回A.A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；B.B.明天的最高温度；明天的最高温度；C.C.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D.D.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.我们的生活我们的生活中中下面的现象哪些是随机现象？下面的现象哪些是随机现象？随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言?否！否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性规律性返回再如再如:在某公交车站上候车的人数，对于某一固定时在某公交车站上候车的人数，对于某一固定时刻刻 ，往往是不确定的，往往是不确定的 ，但车站附近每一天行人流量，但车站附近每一天行人流量的峰或谷的峰或谷 ，却有明显的规律性，却有明显的规律性 ，公交公司将据此制，公交公司将据此制定行车时刻定行车时刻 、确定班次度、确定班次度 ，以保证居民出行的方便，以保证居民出行的方便.如一定的命中率和分布规律等等如一定的命中率和分布规律等等.但大量炮弹的弹着点则会表现但大量炮弹的弹着点则会表现出一定的规律性，出一定的规律性，例如例如:一门火炮在一定条件下进行射击，一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，标而有随机性的误差，返回从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中又存在着必然的规律然之中又存在着必然的规律.随机现象的统计性规律随机现象的统计性规律 相同条件下进行大量相同条件下进行大量重复试验，随机现象所呈现的规律性重复试验，随机现象所呈现的规律性.概率论与数理统计概率论与数理统计研究和揭示随机研究和揭示随机现象的统计规律性的科学现象的统计规律性的科学 返回 二、二、随机试验与随机试验与随机事件随机事件1、随机实验随机实验:这里试验的含义十分广泛，它包括各种这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察.返回2 2、随机事件、随机事件 随机试验的每一个随机试验的每一个可能的结果可能的结果称为称为随机事件随机事件.简称简称事件事件，用大写字母，用大写字母 A A、B B、C C 表示表示.例如例如抛一颗骰子，观察出现的点数。抛一颗骰子，观察出现的点数。事件事件 Ai=掷出掷出i点点 i=1,2,3,4,5,6这些这些都是试验的直接结果都是试验的直接结果，像这样一类随机事件像这样一类随机事件 称为题设试验中的基本事件称为题设试验中的基本事件事件事件 B B=掷出奇数点掷出奇数点 B B不是试验的直接结果，它可以看作是由若干基本不是试验的直接结果，它可以看作是由若干基本事件组合而成的事件组合而成的，称为复合事件称为复合事件返回每次实验都发生的事件每次实验都发生的事件每次实验都不发生的事件每次实验都不发生的事件不可能事件不可能事件记为记为 .记为记为 .必然事件必然事件例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7 7”是必是必然事件然事件;而而“掷出点数掷出点数8 8”则是不可能事件则是不可能事件.返回3 3 样本空间样本空间及其构成特征及其构成特征 随机试验随机试验 E E 的所有基本事件构成的集合称为的所有基本事件构成的集合称为样本样本空间，空间，称称 的的每个元素每个元素为为一个样本点一个样本点，即每基本事件，即每基本事件就是一个一个样本点，就是一个一个样本点，记为记为 或或S S；记为记为 ；例例如如：E E1 1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H H、反面、反面T T出现的情况。出现的情况。S S1 1：HH，TT；E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。S2：1，2，3，4，5，6；基本事件：基本事件：随机试验随机试验E E 任一事件任一事件A A 就是样本空间就是样本空间 的子集；的子集；由一个样本点构成的单点集由一个样本点构成的单点集返回E E3 3：将一枚硬币抛掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H H、反面、反面T T出出 现的情况。现的情况。S S3 3：HHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH，TTTTTT；E4：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。S4：0，1，2，3；同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样本则对应的样本 空间也不同空间也不同.如如 E E3 3 和和 E4 说明说明 有有限限样本空间样本空间返回E：记录某城市：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤急救电话台一昼夜接到的呼唤 次数。次数。S5：0，l，2，3，；E：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。S6：tt0；无限无限可可列样本空间列样本空间 无限无限不可不可列样本空间列样本空间 返回说明：说明：建立样本空间建立样本空间,例如，例如，它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的模的模 事实上就是建立随机现象的事实上就是建立随机现象的 数学模型数学模型.因此因此,一个样本空间可以概括许多内容一个样本空间可以概括许多内容 大不相同的实际问题大不相同的实际问题.只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间 型型,也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模型的模型。返回 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率也就是事件的概率也就是事件的概率也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！一、一、概率概率概念的引入概念的引入返回 事件发生的可能性事件发生的可能性最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时概率为概率为1.0P(A)1我们用我们用P(A)表示表示事件事件A发生发生的概率，则的概率，则 事件发生的可能性事件发生的可能性最小是零，此时最小是零，此时概率为概率为0.返回 了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.返回 了解每年最大洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度.那么要问那么要问:如何求得某事件发生的可能如何求得某事件发生的可能性大小（即事件的概率）呢性大小（即事件的概率）呢?返回则称则称 n n为事件为事件A A 发生的频数。发生的频数。二、二、概率的统计定义概率的统计定义 定义定义1 1 如果在如果在 n n 次重复试验中事件次重复试验中事件A A 发生了发生了 n n 次次,称比值称比值 为事件为事件A A 在在n n 次试验中发生的频率，次试验中发生的频率，即即记为记为 ，例例1 1考虑考虑“抛硬币抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币这个试验，我们将一枚硬币抛掷抛掷5 5次、次、5050次、次、500500次，各做次，各做1010遍。得到数据如下遍。得到数据如下表所示表所示(其中其中n nH H表示表示H H发生的频数，发生的频数，n n(H)(H)表示表示H H发生发生的频率的频率)。A A 发生的发生的频繁程度频繁程度返回试验试验序号序号n=5n=5n=50n=50n=500n=500n nH Hn n(H)(H)n nH Hn n(H)(H)n nH Hn n(H)(H)1 12 23 34 45 56 67 78 89 910102 23 31 15 51 12 24 42 23 33 30.40.40.60.60.20.21.01.00.20.20.40.40.80.80.40.40.60.60.60.622222525212125252424212118182424272731310.440.440.500.500.420.420.500.500.480.480.420.420.360.360.480.480.540.540.620.622512512492492562562532532512512462462442442582582622622472470.5020.5020.4980.4980.5120.5120.5060.5060.5020.5020.4920.4920.4880.4880.5160.5160.5240.5240.4940.494波动最小波动最小随随n的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性返回从上述数据可得从上述数据可得:(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,所得的所得的f 即对于同样的即对于同样的n,不一定相同不一定相同;(2)随机波动随机波动,其幅度较大其幅度较大,呈现出稳定性呈现出稳定性.而逐渐稳定于而逐渐稳定于0.5.返回频率稳定性频率稳定性大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。当当n n足够大时，足够大时，n n(A)(A)P(A)P(A)基本性质基本性质返回定定义义 2 概率的概率的统计统计定定义义：在相同条件下在相同条件下进进行的大行的大量重复量重复试验试验中，如果随中，如果随 着着试验试验次数次数 N 的增加，事的增加，事件件 A 的的频频率始率始终围绕终围绕某一常数某一常数 p 作作稳稳定而微小的定而微小的摆动摆动，则则称事件称事件 A 有概率，常数有概率，常数 p 就是事件就是事件 A 的的概率，即概率，即 P（A）p 在在统计统计概型下，概率是作概型下，概率是作为频为频率的率的稳稳定定值值而引入而引入的因而概率也的因而概率也应应当具当具备频备频率的基本性率的基本性质质即即对对于任一事件于任一事件 A，有，有 P（A）极端极端场场合下，有合下，有 P（），用用统计统计定定义义求概率的步求概率的步骤骤 统计统计定定义义主要用于主要用于测测量和了解某个事件量和了解某个事件发发生生的概率，原的概率，原则则上按两步上按两步进进行：行：）做做试验试验取得取得频频率率 fn（A）M N ）以以频频率作率作为为概率的近似，即概率的近似，即认认定定 P（A）MN定定义义中的大量中的大量试验试验往往往往难难以以办办到，到，实际实际操作操作时时可以可以用一定数量用一定数量试验试验下的下的频频 率作率作为为概率的近似概率的近似具有有些特性的可以直接计算概率，比如古典概型具有有些特性的可以直接计算概率，比如古典概型返回定义定义3 3 1 1。试验的样本空间只包含有限个元素试验的样本空间只包含有限个元素;2 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.关关键键要要查查 验验它是否具它是否具备备有限性和等可能性的特点有限性和等可能性的特点有限性的有限性的识别识别是方便的，等可能性是方便的，等可能性则则需需 要依据某种要依据某种“匀称性匀称性”或或“任意性任意性”来来认认定定试试以投以投掷掷一枚一枚质质地均地均匀、匀、结结构构对对称的称的 硬硬币为币为例，客例，客观观上没有理由上没有理由说说“正面正面朝上（朝上（设为设为事件事件 A）”要比要比“反面朝上（反面朝上（设为设为事事 件件 B）”的可能性更大些或更小些，于是自然可的可能性更大些或更小些，于是自然可认认定匀定匀称硬称硬币币在一次投在一次投掷掷中的中的 A 与与 B 两个基本事件是等可两个基本事件是等可能的能的 返回古典概型的计算公式古典概型的计算公式古典概型的计算公式古典概型的计算公式 定理定理 则有则有 该式称为该式称为有限有限等可能概型中事件概率的计算公式等可能概型中事件概率的计算公式.返回三、典型例题三、典型例题 例例1 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次.解解 (1)我们考虑如下的样本空间我们考虑如下的样本空间:而而 返回由对称性知每个基本由对称性知每个基本 事件发生的可能性相同事件发生的可能性相同.故由计算公式得故由计算公式得 (2)由于由于 于是于是 返回注意注意 当样本空间中的元素较多时当样本空间中的元素较多时,一般不再将元素一般不再将元素 一一列出一一列出,用计算公式即可求得相应的概率用计算公式即可求得相应的概率.返回例例2 一只口袋装有一只口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球、2只红球只红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,(a)第一次取一只球第一次取一只球,袋中袋中,样样.(b)第一次取一球不放回袋中第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球余的球中再取一球,(1)取到的两只球都是白球的概率取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球取到的两只球都是红球都是红球的概率的概率;球方式球方式:试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求 考虑两种取考虑两种取观察其颜色后放回观察其颜色后放回第二次从剩第二次从剩 这种取球方式叫做不放回抽样这种取球方式叫做不放回抽样.每次随机地取一只每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回抽这种取球方式叫做放回抽搅匀后再取一球搅匀后再取一球.返回 (a)放回抽样的情况放回抽样的情况.解解 件件“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都取到的两只球都 是红球是红球”,在袋中依次取两只球，在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本每一种取法为一个基本 事件事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且且 由对称性知每个基本事件发生的可能性相同由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而因而 可利用公式来计算事件的概率可利用公式来计算事件的概率.返回第一次从袋中取球有第一次从袋中取球有6只球可供抽取只球可供抽取,第二次第二次 也有也有6只球可供抽取只球可供抽取.由组合法的乘法原理由组合法的乘法原理,一共有一共有 对于对于 由于第一次共有由于第一次共有4只白球可供抽取只白球可供抽取,第第 二次也有二次也有4只白球可供抽取只白球可供抽取,则由乘法原理总共有则由乘法原理总共有 同理同理,于是于是 返回(b)不放回抽样不放回抽样.请同学们自己完成请同学们自己完成.返回例例4 今从中任今从中任 少少?解解 所有可能的取法共有所有可能的取法共有 返回所求概率为所求概率为 超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式返回 则称则称事件事件A A 与事件与事件 B B 相等相等(或等价或等价)，即即 A A 的每个样本点必在的每个样本点必在 B B 中，且中，且 B B 中的每个中的每个样本点必在样本点必在A A 中中.一、一、一、一、事件的关系及运算事件的关系及运算事件的关系及运算事件的关系及运算 1.1.事件的包含与相等事件的包含与相等若事件若事件 A A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B B 发生，发生，则称则称事件事件 B B 包含事件包含事件 A A ，记作记作A A B B 或或 B B A A .即即 A A 中的每个样本点必在中的每个样本点必在 B B 中中.若事件若事件 A A 与与 B B 满足：满足：A A B B 且且 B B A A，记作记作 A A=B B.BA返回2.2.2.2.事件的和事件的和事件的和事件的和(并并并并)称事件称事件“A A 与与B B 至少有一个发生至少有一个发生”为事件为事件 A 与与 B 事事件件 的和的和(并并)，记作记作A AB B 或或.SBA推广：称推广：称“A1,A2,An 中至少中至少有一个有一个发发生生”为为事件事件 A1,A2,An 的和的和(并并)，记作记作 A A1 1A A2 2 A An n ，或，或A1+A2+An 返回 称事件称事件“A A 与与 B B 同时发生同时发生”记作记作 A AB B，3.3.事件的积事件的积(交交)也简记为也简记为 AB AB.为为事件事件 A A 与与 B B 的积的积(交交)，B BA AABAB和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质 返回则称事件则称事件 A A 与与 B B 互不相容互不相容(互斥互斥)，4 4 4 4.互不相容互不相容互不相容互不相容(互斥互斥互斥互斥)事件事件事件事件 若事件若事件 A A 与事件与事件 B B 不能同时发生，不能同时发生，即即 AB=AB=，或说，或说 A A 与与 B B 没有公共的样本点没有公共的样本点 .推广推广1:1:若若A A1 1,A A2 2,A An n中的任意两个事件都互中的任意两个事件都互 不相容，则称事件不相容，则称事件A A1 1,A A2 2,A An n 互不相容互不相容.B BA A返回 则称则称事件事件A A 的逆事件的逆事件(对立事件对立事件)5 5 5 5.互逆事件互逆事件互逆事件互逆事件(对立事件对立事件对立事件对立事件)若事件若事件 A A 不出现，即事件不出现，即事件“非非A A”，即即A AB B=，AB=AB=，A A ，记作记作返回对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 SSABABA、B 对立对立 A、B 互斥互斥 互互 斥斥 对对 立立 返回“骰子出现骰子出现1点点”“骰子出现骰子出现2点点”互斥互斥抛掷一枚骰子：抛掷一枚骰子：抛掷一枚硬币：抛掷一枚硬币：“出现花面出现花面”与与“出现字面出现字面”是是互不相容互不相容的两的两 个事件个事件.返回6 6.事件的差事件的差 称事件称事件 “A A 发生且发生且B B 不发生不发生”为为事件事件A A与与B B 事件的差事件的差，记作记作A A B B。图示图示 A 与与 B 的差：的差：SABSAB返回7.7.7.7.完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组若若A1,A2,An互不相容，并且它们的和是必然事互不相容，并且它们的和是必然事件件则称它们构成了一个完备事件组。则称它们构成了一个完备事件组。每次实验中必然发生且每次实验中必然发生且仅能发生仅能发生A1,A2,An中的一个事件中的一个事件 A2A1A3An-1An当当n=2时，时，A1与与A2 为对立事件。为对立事件。返回此外，借助图示直观，读者可自行验证如此外，借助图示直观，读者可自行验证如下等式都成立下等式都成立返回二二、概率的基本性质、概率的基本性质1.1.互不相容事件概率的加法公式互不相容事件概率的加法公式常用的是两个互不相容事件常用的是两个互不相容事件A与与B之和的概率为之和的概率为若事件若事件 A1,A2,An 两两互不相容，则有两两互不相容，则有返回 若事件若事件 A1,A2,An 构成一个完备事件构成一个完备事件组组，则有，则有特别的，对立事件的概率有特别的，对立事件的概率有 返回SAA 若若 ,则则 有有 返回 又因又因再由上一性质便得再由上一性质便得(*).5.（任意事件任意事件加法公式）对任意事件加法公式）对任意事件A、B，有有 (*)返回 推推 广广返回(3)(3)解：解：(1)(1)(2)(2)设设 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6,求求P(AB),例例例例1 1 1 1=0.4+0.3-0.6=0.1;由加法公式由加法公式=0.4-0.1=0.3;=0.4+(1-0.3)-0.3=0.8;返回例例2 求在下列三求在下列三解解 (2)由图示得由图示得 返回S SA AB BABAB返回分析分析 一、条件概率一、条件概率一、条件概率一、条件概率 例例1 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的观察其出现正反面的情况情况.次掷出同一面次掷出同一面”.返回 将事件将事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率记为记为 返回同理可得同理可得 为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.定义定义 称称 返回例例1 1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6 6点点,问问“掷掷出点数之和不小于出点数之和不小于10”10”的概率是多少的概率是多少?解解:解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于1010 B=第一颗掷出第一颗掷出6 6点点应用定义应用定义返回例例2 一个盒子装有一个盒子装有4只产品只产品,其中有其中有3只一等品只一等品,二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放作不放回抽样回抽样.试求条件概试求条件概 解解 此为古典概型问题此为古典概型问题.先将产品编号先将产品编号,1,2,3号为号为一等品一等品;4号为二等品号为二等品.第二次第二次 1 1只只返回由定义由定义,得条件概率得条件概率 返回故可得故可得 返回由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而而 P(AB)=P(BA)二、二、乘法公式乘法公式若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)(2)和和(3)(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利利用它们可计算两个事件同时发生的概率用它们可计算两个事件同时发生的概率返回例例3 3 设设100100件产品，其中有件产品，其中有5 5件次品件次品.从中连续取从中连续取3次，次，每次不放回地取每次不放回地取 1 件，求第件，求第 3 次才取到正品的概率次才取到正品的概率则所求概率为：则所求概率为：解：设解：设 Ai=第第 i 次取到的是次品次取到的是次品,i=1,2,3.推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当 P(A1A2An-1)0 时，有时，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)返回于是于是 W1W2 R3 R4 表示事件表示事件“连续取的四个球，第连续取的四个球，第1、第第2个是白球，第个是白球，第3、4个是红球个是红球”.例例4 4 一个罐子中包含一个罐子中包含 b 个白球和个白球和 r 个红球个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，且再加进且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色个与所抽出的球具有相同颜色的球，的球，共进行四次，求第共进行四次，求第1、2次取到白球，次取到白球，且第且第3、4次取到红球的概率次取到红球的概率.解解 设设 Wi=第第 i 次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4，Rj=第第 j 次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,4，P(W1W2R3R4)=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3)返回