三角函数复习课

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1、 三 角 函 数复 习 课 定 义 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 图 象 性 质单 位 圆 与 三 角 函 数 线诱 导 公 式 C( )S( )、 T( ) y=asin+bcos的 最 值 形 如 y=Asin(x+)+B图 象和 差 化 积 公 式积 化 和 差 公 式 S/2=C/2=T/2=S2=C2=T2= 降 幂 公 式红色字体的公式不要求记忆！ 一 、 任 意 角 的 三 角 函 数1、 角 的 概 念 的 推 广 正 角负 角o xy 的 终 边的 终 边 ),( 零 角与 a终 边 相 同 的 角 的 集 合 A=x|x=a+k 0360 Z k象 限 角 与

2、 非 象 限 角 306 454 360 2 12032 13543 15065 270 23180度 弧 度 00 3602902、 角 度 与 弧 度 的 互 化 :半 径 长 的 圆 弧 所 对 的 圆 心 角 为 一弧 度 角 3602 1801801 185730.57)180(1 , 弧 度特殊角的角度数与弧度数的对应表|a|=l/r （ a为 弧 度 ， l为 弧 长 ， r为 半 径 )计 算 公 式扇 形 面 积 公 式 ： S=1/2(a*r*r) 3、 任 意 角 的 三 角 函 数 定 义 xyo P(x,y)r 的 终 边yxxryr xyrxry cot,sec,c

3、sc tan,cos,sin4、 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式倒 数 关 系 ： 1seccos 1cscsin 1cottan 商 数 关 系 ： sincoscot cossintan 平 方 关 系 ： 22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin 22 yxr 定 义 ：三 角 函 数 值 的 符 号 ： “ 一 全 正 ， 二 正 弦 ， 三 两 切 ， 四 余 弦 ” xyo P正 弦 线M A3).三 角 函 数 线 :（ 有 向 线 段 ）正 弦 线 :余 弦 线 :正 切 线 :MPOM TAT 正 切 线余弦线 5、 诱 导 公 式 ：

4、 ,: 2 符 号 看 象 限奇 变 偶 不 变口 诀 为 的 各 三 角 函 数 值 的 化 简诱 导 公 式 是 针 对 k例 ： )23sin( cos （ 即 把 看 作 是 锐 角 ） )2cos( sin )sin( sin )cos( cos 二 、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数1、 预 备 知 识 ： 两 点 间 距 离 公 式 xyo ),( 111 yxp ),( 222 yxp22122121 )()(| yyxxpp ),( 21 yxQ2、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tan

5、tan1 tantan)tan( 注 ： 公 式 的 逆 用 及 变 形 的 应 用)tantan1)(tan(tantan 公 式 变 形 3、 倍 角 公 式 cossin22sin 22 sincos2cos 22 sin211cos2 1sincos 22 2tan1 tan22tan 注 ： 正 弦 与 余 弦 的 倍 角 公 式 的 逆 用 实 质 上 就 是 降 幂 的 过 程 。 特 别2 2cos1cos2 2 2cos1sin2 三 、 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质图象 y=sinx y=cosxxoy2 2 23 2-11 xy2 2 23 2-11性质 定 义

6、 域 R R值 域 -1， 1 -1， 1周 期 性 T=2 T=2奇 偶 性 奇 函 数 偶 函 数单 调 性 增 函 数22,22 kk 减 函 数232,22 kk 增 函 数2,2 kk 减 函 数2,2 kk o 1、 正 弦 、 余 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 2、 函 数 的 图 象 （ A0, 0 ) )sin( xAyxy sin第 一 种 变 换 : 图 象 向 左 ( ) 或向 右 ( ) 平 移 个 单 位 00 | )sin( xy横 坐 标 伸 长 ( )或 缩 短 ( )到 原 来 的 倍 纵 坐 标 不 变 110 1 )sin( xy纵 坐 标 伸 长

7、 (A1 )或 缩 短 ( 0A1 )或 缩 短 ( 0A1 )到 原 来 的 A倍 横 坐 标 不 变 )sin( xAy 3、 正 切 函 数 的 图 象 与 性 质y=tanx图象 2 2 xyo 2323定 义 域值 域 ,2| Nkkxx R 奇 偶 性 奇 函 数周 期 性 T单 调 性 )(2,2( Zkkk 4、 已 知 三 角 函 数 值 求 角y=sinx , 的 反 函 数 y=arcsinx , 2,2 x 1,1xy=cosx, 的 反 函 数 y=arccosx,0 x 1,1xy=tanx, 的 反 函 数 y=arctanx,)2,2( x Rx 已 知 角 x

8、 ( )的 三 角 函 数 值 求 x的 步 骤2,0 x 先 确 定 x是 第 几 象 限 角 若 x 的 三 角 函 数 值 为 正 的 ， 求 出 对 应 的 锐 角 ； 若 x的 三 角 函 数 值 为 负 的 ， 求 出 与 其 绝 对 值 对 应 的 锐 角 根 据 x是 第 几 象 限 角 ， 求 出 x 若 x为 第 二 象 限 角 ， 即 得 x= ； 若 x为 第 三 象 限 角 ， 即 得 x= ； 若 x为 第 四 象 限 角 ， 即 得 x= 若 ， 则 在 上 面 的 基 础 上 加 上 相 应 函 数 的 周 期 的 整 数 倍 。1x1x1x1x 12 xRx

9、反 三 角 函 数 例 1： 已 知 是 第 三 象 限 角 ， 且 ， 求 。 四 、 主 要 题 型 31cos tan为 第 三 象 限 角解 ： 322)31(1cos1sin 22 22cossintan 应 用 ： 三 角 函 数 值 的 符 号 ； 同 角 三 角 函 数 的 关 系 ； 例 2： 已 知 ， 计 算 2tan cossin2 cossin3 cossin解 : cos cossin2 cos cossin3cossin2 cossin3 1tan2 1tan3 37122 123 1cossincossin 22 cossin cossin 1tantan2 5

10、212 22 应 用 ： 关 于 的 齐 次 式 cossin 与 例 3： 已 知 ，)4,0(),43,4(,135)4cos(,53)4sin( 且)sin( 求解 : )(2cos)sin( )4()4cos( )4sin()4sin()4cos()4cos( 54)4cos()43,4(,53)4sin( 且 1312)4sin(),4,0(,135)4cos( 且 6556)13125313554( 上 式应 用 ： 找 出 已 知 角 与 未 知 角 之 间 的 关 系 例 4： 已 知 的 值求 )4sin(2 1sin2cos2),2(2,222tan 2 解 ： )4sin

11、(2 sincos)4sin(2 1sin2cos2 2 tan1 tan1 ,222tan 22tan2tan22tan1 tan2 2 或即 2tan)2,4(),2(2 322 sincos sincos 应 用 ： 化 简 求 值 例 5:已 知 函 数 求 ： 函 数 的 最 小 正 周 期 ； 函 数 的 单 增 区 间 ； 函 数 的 最 大 值 及 相 应 的 x的值 ； 函 数 的 图 象 可 以 由 函 数 的 图 象 经 过 怎 样 的 变 换 得 到 。,cos3cossin2sin 22 Rxxxxxy Rxxy ,2sin2解 ： xxxxxxy 222 cos22

12、sin1cos3cossin2sin )42sin(2212cos2sin1 xxx 22T 得由 ,224222 kxk Zkkxk ,883 )(8,83 Zkkk 函 数 的 单 增 区 间 为 22,)( 8,2242 最 大 值时即当 yZkkxkx xy 2sin2 图 象 向 左 平 移 个 单 位8 )42sin(2 xy图 象 向 上 平 移 2个 单 位 )42sin(22 xy 应 用 ： 化 同 一 个 角 同 一 个 函 数 专 题 一 、 三 角 函 数 的 概 念专 题 训 练 ： 例 1： 如 果 是 第 一 象 限 角 ， 判 断 是 第几 象 限 角 ？ 2

13、 2、) 0 452 注 ：(1)应 用 象 限 角 的 概 念 判 断(2 错 解 : 是 第 一 象 限 角0 90 2 例 、 如 果 为 第 二 象 角 ，sin cos试 判 断 的 符 号cos sin注 ： 突 破 “ 单 一 按 角 度 制 思 考 三 角问 题 ” 的 习 惯 sin213 1,2 例 、 已 知 : 则是 第 几 象 限 角 ？ 3.已 知 coscosA. ) (,sinsin 是 第 一 象 限 角 ， 则、若 下 列 命 题 成 立 的 是 tantan. coscos. tantan. 是 第 四 象 限 角 ， 则、若 是 第 三 象 限 角 ，

14、则、若 是 第 二 象 限 角 ， 则、若DCB 答 案 ： D 专 题 二 ： 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 22 21 sin cos sin2sin sin cos 4cos 2例 、 已 知 tan = 3， 求 式 子4cos 的 值 .关 键 ： 弦 切 2 2sin cos 2 sin cossin cos(3) sin 2 cos 1 1、 已 知 tan =2,求 值 ：1练 习 ：注 ： 公 式 的 正 用 、 反 用 、 变 形 、 “ 1”的 变 通 。 1 3 32、 已 知 sin +cos = ， 0, ,3求 sin cos 及 sin + cos 的

15、 值 。练 习 ：小 结 ： 三 个 式 子 中 ， 已 知 其 中 一 个 式 子 的 值 ，可 以 求 出 其 余 两 个 式 子 的 值 。sin cos , sin cos , sin cos 3 , m-3 4-2m例 、 若 sin = ， cos = ,m+5 m+5,则 m的 取 值 范 围 ？2注 ： 不 能 单 从 角 的 范 围 考 虑 ， 而 怱 略 了 内 在 联 系 2 2sin cos 1 专 题 三 ： 三 角 函 数 求 值 1 . 例 、 设 tan =5,tan - =4，4求 tan + 4 ,270 , 4 4练 习 1、 已 知 cos - =- ,

16、cos = ,5 590 - 180 360 求 cos2一 、 已 知 三 角 函 数 值 求 三 角 函 数 值 2 1 22、 设 cos - =- ,sin = ,2 9 3且 ,0 0时 2a+b=1 a=2 -a+b=-5 b=-3 当 a0函 数 y=-acos2x- asin2x+2a+bx 0, ， 若 函 数 的 值 域 为 -5,1， 求 常 数a,b的 值 。解 ： a0 3a+b=1 a=2 b=-5 b=-5 32 1)2sin(2 2)2sin(2 2)2sin2cos(2 621 6766 6 2 7321 xx baxa baxxay 2.已 知 函 数 f(

17、x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(a R,a常 数 )。（ 1） 求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 ；（ 2） 若 x - , 时 ， f(x)的 最 大 值 为 1，求 a的 值 。解 ： （ 1） f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最 小 正 周 期 T=2 （ 2） x - , x+ - , f(x) 大 =2+a a=-1 6 62 2 6 66 62 2 3 323 3.函 数 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的 最 小 值 为g(a)(a R)：（ 1） 求 g(a)； （ 2） 若 g(a)= ， 求 a及 此 时f(x)的 最 大 值 。解 ： f(x)=2(x- )2- 2-2a-1 -1 x 1 当 -1 1即 -2 a 2时 f(x)小 =- 2-a-1 当 1 即 a2时 f(x)小 =f(1)=1-4a 212a 2a 2a 2a2a 当 -1 即 a2) 1 (a-2) - 2-2a-1= a2+4a+3=0 a=-1 此 时 f(x)=2(x+ )2+ f(x)大 =52a 2a 2a 212121