函数的单调性与导数

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1、函 数 的 单 调 性 与 导 数 增 函 数减 函 数 充 分 不 必 要常 数 一 、 求 函 数 的 单 调 区 间 1、 判 断 函 数 的 单 调 性1 ( ) 1 (0, )xf x e x 例 ， 判 断 函 数 在 上 的 单 调 性( ) 1xf x e 求 导 得 ：0, 1 0, ( ) 0 xx e f x 即( ) 1 (0, )xf x e x 结 论 ： 函 数 在 上 单 调 递 增求 导判 断 导 数 的 正 负全 优 P15 例 1 1、 判 断 函 数 的 单 调 性2( )f x ax 求 导 得 ：0, ( )= 1 R0, ( ) 0, ( ) R

2、0, ( ) 0, ( ) Ra f xa f x f xa f x f x 当 为 常 函 数 ， 在 上 没 有 单 调 性当 在 上 单 调 递 减当 在 上 单 调 递 增 求 导判 断 导 数 的 正 负（ 难 点 ： 分 类 讨 论 ）31 ( ) 1( )f x ax a R R 练 习 ， 判 断 函 数 在 上 的 单 调 性 2、 求 函 数 的 单 调 区 间2( ) ( 5) 6ln ( )(1, (1) (0,6)2 ( )f x a x x a R y f xf ya f x 例 2、 设 ， 其 中 ， 曲 线在 点 处 的 切 线 与 轴 相 交 于 点 ，（

3、1） 求 的 值（ ） 求 函 数 的 单 调 区 间12a 21( ) ( 5) 6ln ,( 0)2f x x x x 6 ( 2)( 3)( ) 5 x xf x x x x 求 导 并 因 式 分 解( ) 0 0 2, 3( ) 0, 2 3f x x xf x x 令 ， 解 得令 解 得 ( ) (0,2),(3, )2,3f x 结 论 ：函 数 的单 调 增 区 间 为 ：单 调 减 区 间 为注 意定 义 域 提 示 ： 1、 区 间 与 区 间 之间 用 “ ， ” 或 “ 和 ” 隔 开 ；2、 增 、 减 区 间 之 间 要 不重 不 漏 。 2、 求 函 数 的 单

4、 调 区 间21 ( ) 3 2lnf x x x 练 习 ， 求 函 数 的 单 调 区 间2 21 ( ) lnf x x x 变 式 ， 求 函 数 的 单 调 区 间 2 1ln ( )22 ( ) 12 1( )2( ) x x xf x x x a xf x 变 式 ， 已 知 函 数求 的 单 调 增 区 间 分 段 函 数 2、 求 函 数 的 单 调 区 间2 ( ) mf x x x 练 习 ， 求 函 数 的 单 调 区 间21 ( ) (2 ln ),( 0)( ) f x x a x axf x 变 式 ， 已 知 函 数 ，求 的 单 调 区 间 分 类 讨 论 2

5、22 ( ) ln 2( ) (1, (1)( 1) 1( ) f x x axy f x fl l x y af x 变 式 ， 已 知 函 数 ，（ 1） 若 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线为 直 线 ， 且 直 线 与 圆 相 切 ， 求 的 值 ；（ 2） 求 函 数 的 单 调 区 间 2、 求 函 数 的 单 调 区 间1 211 ( ) (1) (0) 2( ) xf x f e f x xf x 拓 展 ， 已 知 函 数 ，求 的 解 析 式 及 单 调 区 间 二 、 已 知 单 调 性 求 参 数 ( )1 ( ) , ( ) 02 ( ) , ( ) 0,

6、,f xf x a b f xf x a b f xa b a b 已 知 函 数 的 单 调 区 间 ， 求 参 数 的 步 骤 ：（ ） 若 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 则 令 ， 解 得 参 数 ；（ ） 若 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 则 令 ， 解 得 参 数 ；特 别 的 ， 将 区 间 改 为 ， 方 法 一 样 。注 意 ： 最 后 要 将 参 数 代 入 检 验 ， 是 否 为 常 数 函 数 。 二 、 已 知 单 调 性 求 参 数 21( ) ln , ( ) 2 , 02(1) ( ) ( ) ( ) 1,4f x x g x ax x ah x f

7、x g x a 例 3， 已 知 函 数若 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 求 的 取 值 范 围 。21( ) ln 2 , (0, )2h x x ax x x 1( ) 2h x axx 11,4 , ( ) 2 0 x h x axx 时 恒 成 立判 断求 导 分 离 参 数2 22max1 21 2 1( ) ( 1) 17( ) 16a x xG x x x xa G x 即令 二 、 已 知 单 调 性 求 参 数3 211 ( ) 53( 3,1) f x x x axa 练 习 ， 已 知 函 数 ，若 函 数 在 上 递 减 ， 求 的 取 值 范 围 。ln ln2

8、 ( )(1, ) a xf x xa练 习 ， 已 知 函 数 ，若 函 数 在 上 递 减 ， 求 的 取 值 范 围 。 3 23 ( ) 3 1f x ax x xR a 练 习 ， 已 知 函 数 ，若 函 数 在 上 递 减 ， 求 的 取 值 范 围 。 二 、 已 知 单 调 性 求 参 数 21( ) ln , ( ) 2 , 02(1) ( ) ( ) ( ) 1,4(2) ( ) ( ) ( )f x x g x ax x ah x f x g x ah x f x g x a 例 3， 已 知 函 数若 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 求 的 取 值 范 围 。若

9、函 数 存 在 单 调 递 减 区 间 ， 求 的 取 值 范 围 。有 解 恒 成 立 1 ( ) ,( ) 0 ( ) 0 , 2 ( ) ,( ) 0 ( ) 0 ,f x a bf x f x x a bf x a bf x f x x a b 结 论 ：（ ） 函 数 在 区 间 上 单 调 ，则 或 在 上 恒 成 立 ；（ ） 函 数 在 区 间 上 存 在 单 调 区 间 ，则 或 在 上 有 解 ； 三 、 利 用 单 调 性 证 明 不 等 式4 1, ln(1 )x x x 例 ， 已 知 求 证 不 等 式 成 立构 造 函 数( ) ln(1 )f x x x 设 求

10、 导1( ) 1 1 1 xf x x x 判 断单 调 性 1, ( ) 0( ) (1, )x f xf x 在 上 单 调 递 增 利 用 性 质进 行 比 较(1) 1 ln2 1 ln 0( ) (1) 0ln(1 )( 1)f ef x fx x x 即 1、 构 造 函 数 ；2、 利 用 导 数 得 到 函 数 的 单 调 性 ；3、 利 用 单 调 性 进 行 比 较 大 小 。 三 、 利 用 单 调 性 证 明 不 等 式 21 0 , 1 2x x e 练 习 ， 当 时 求 证 ： 2ln 11 ( )1 ( )2 ( ) ( ) ( ) ( )0, ( ) 1 xxf x ef xg x xf x f x f xx g x e 拓 展 ， 已 知 函 数（ ） 求 的 单 调 区 间（ ） 设 ， 其 中 为 的 导 函 数 ，求 证 ：