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1、河北省安平中学2020-2021学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题，命题p的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可【详解】命题，的否定是：，故选：D2. 是（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.所以“”，是“”成立的充分不必要条件故选A.【点睛】充分条件、必要条件的
2、判定主要有以下几种方法：定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；数集转化法：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.3. 在平面直角坐标系中，若角终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用三角函数的定义求得，然后再利用诱导公式求解.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，故选：B4. 已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】设扇形的半径为，弧长为，则由扇形面积公式可得：，解得，所以扇形的周长为，故选C.考点：扇形的弧长公式和面积
3、公式.5. 是第四象限角，,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.6. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（ ）(参考数据：)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，所以，
4、即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.7. 一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件需满足，对称轴即可求出m的取值范围.【详解】关于x的一元二次方程的两根均大于2，则,解得.故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布，属于基础题.8. 已知函数，若函数的零点恰有4个，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出函数的图像，数形结合即可容易求得.【详解】因为，故可得的图像如下：若函数的零点
5、恰有4个，即与有4个交点，故.故选：B.【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列函数中，既是奇函数又是上的增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据解析式直接判断奇偶性和单调性即可.【详解】对A，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；对B，是奇函数且在是上的增函数，故B正确；对C，和都是上的奇函数和增函数，也是上的奇函数和增函数，故C正确；对D，是偶函数，故D错误.故选：BC.10. 设，且，则下列不等式成立的有（ ）.A. B. C. D. 【答
6、案】CD【解析】【分析】举特值可知、不正确；作差分析可知正确；根据指数函数为增函数可知，故正确.【详解】对于，当时，不等式不成立，故不正确；对于，当时，不等式不成立，故不正确；对于，因为，且不同为0，所以，即，故正确；对于，根据指数函数为增函数可知，故正确.故选：CD11. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用角的范围判断，进而得，所以，对平方，计算得，再代入计算，结合角的象限，判断出正负，开方得，将加减法联立方程即可解得，从而得.【详解】因为，所以，又，所以，所以可得，故A正确；又，可得，则可得，所以，故D正确；由加减法联立解得，所以，故C
7、正确；故选：ACD.【点睛】利用三角函数基本关系求值时，一般关于正余弦的加减法运算需要注意平方的应用，其次开方时一定要注意判断三角函数值的正负.12. 已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】先通过终边上点的坐标求出然后代入分段函数中求值即可.【详解】因为角的终边经过点,所以,所以,所以,.故选AC.【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义,分段函数的计算求值,难度较易.三、填空题13. 函数的单调递增区间是_【答案】【解析】【详解】设 ， 或 为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.14. 已知
8、，则的解析式为_.【答案】【解析】【分析】利用换元法求f(x)的解析式，令，则，求出即得.【详解】令，则，所以.所以故答案为：【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，
9、利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.15. 若正数满足，则的最小值为_【答案】25【解析】【分析】先将变形为，再进行乘“1”变化，使用均值不等式即可求解.【详解】因为，则，又，是正数所以当时取得等号.所以的最小值为25故答案为：2516. 我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a，b，有，则ab_，其中直角三角形的较小的锐角 的正切值为_ 【答案】 (1). 7 (2). 【解析】【分析】由条件直接运算即可.【详解】由得到，又a，b均为正数，所以ab7，不妨设
10、ab，则a=3,b=4，则较小的锐角的正切值为.故答案为7，.【点睛】本题考查了一元二次方程组的解法，考查了直角三角形中正切函数的定义，属于基础题.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合， （1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答函数的定义域为集合；不等式的解集为注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析.【解析】【分析】若选条件：可求得，（1）根据题意，由可得，由并集的运算求得，由补集的运算可得或，进而由交集的运算可得，即可得答案；（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：当时
11、，有，当时，有，分别求出的取值范围，进而对两种情况取并集即可得答案若选条件：可求得或，（1）根据题意，当时，由并集的运算求得，由补集的运算可得或，进而由交集的运算可得，即可得答案；（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：当时，有，当时，则或，分别求出的取值范围，进而对两种情况取并集即可得答案【详解】解：选条件：可知函数的定义域为集合，则，（1）根据题意，当时，则，又或，则.（2）根据题意，若，则，分种情况讨论：当时，有，解得：；当时，若有，则有，解得：，综上可得，的取值范围是选条件：可知不等式的解集为，则或，（1）根据题意，当时，或，则或，又或，则或.（2）根据题意，或，若，则，分种情况
12、讨论：当时，有，解得：；当时，若有，则或，解得：或，综上可得，的取值范围是【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，考查根据集合间的关系求参数的取值范围，还涉及对数中真数大于0和分式不等式的计算，考查分类讨论思想和化简运算能力.18. 已知函数（1）化简函数的解析式；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简表达式即可；（2）由（1）可知：，巧用“1”转化为齐次式，弦化切，代入求值即可.【详解】（1）. （2）由题意，那么【点睛】本题考查三角函数的化简与求值，考查三角恒等变换知识，考查计算能力，属于简单题目.19. 已知函数是奇函数（）求的值，并用
13、函数单调性的定义证明函数在上是增函数；（）求不等式的解集【答案】（），证明见解析；（）.【解析】【分析】（）根据为奇函数求得的值.利用函数单调性的定义证得在上是增函数.（）利用的奇偶性和单调性化简不等式，结合一元二次不等式的解法，求得所求不等式的解集.【详解】（）由于是定义在上的奇函数，所以，解得.所以.任取，其中，所以，即，所以函数在上是增函数.（）由（）知是在上递增奇函数，所以，解得或.所以不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.20. 中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国
14、的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大
15、利润是8000万元.【解析】【分析】（1）由题意，按照、分类，转化等量关系即可得解；（2）按照、分类，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.【详解】（1）当时，；当时，； ；（2）若，当时，万元 ；若，当且仅当即时，万元 .答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.21. 已知是定义在上的奇函数，且当时,.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据函数为奇函数可求得当时的解析式，写成分段函数的形式可得的解析式（2）根据函数为奇函数可将原不等式化为，再根据单调性可得对恒成立，利用
16、换元法求解，即令，可得对恒成立，由函数的最大值小于等于0可得结果试题解析：（1）当时，则,，是奇函数，又当时， ， （2）由，可得是奇函数，.又减函数，所以对恒成立. 令，对恒成立.令， ，解得实数的取值范围为22. 已知二次函数满足：，有；的图像与x轴两交点间距离为4（1）求的解析式；（2）记，若为单调函数，求k的取值范围；记的最小值为，讨论的零点个数【答案】（1）（2）或；时无零点；时，有4个零点，时，有3个零点，或时，有2个零点【解析】【分析】（1）设出二次函数解析式，根据已知条件得到二次函数对称轴、与轴交点、根与系数关系，由此列方程组，解方程组求得二次函数解析式（2）求得解析式，根据其
17、对称轴与区间的位置关系，求得的取值范围.将分成，三种情况，结合的单调性，求得的表达式，利用换元法：令，即，结合的图像对进行分类讨论，由此求得的零点个数.【详解】（1）设，由题意知对称轴；设的两个根为，则，；由解得，（2），其对称轴由题意知：或，或1)当时，对称轴，在上单调递增，2)当时，对称轴，3)当时，对称轴，在单调递减，令，即，画出简图，i）当时，或0，时，解得，时，解得，有3个零点ii）当时，有唯一解，有2个零点iii）当时，有两个不同的零点，且，时，解得，时，解得，有4个不同的零点iv）当时，有2个零点v）当时，无解综上所得：时无零点；时，有4个零点；时，有3个零点；或时，有2个零点【点睛】本小题主要考查根据二次函数的性质求得二次函数解析式，考查含有参数的二次函数在给定区间上的单调性讨论问题，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
河北省安平中学2020―2021学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）
