282解直角三角形2

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1、 仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在 视 线 与 水 平 线 所 成 的 角 中 ,视 线在 水 平 线 上 方 的 叫 做 仰 角 ,在 水 平线 下 方 的 叫 做 俯 角 . 例 :热 气 球 的 探 测 器 显示 ,从 热 气 球 看 一 栋 高楼 顶 部 的 仰 角 为 30 ,看 这 栋 高 楼 底 部 的 俯角 为 60 ,热 气 球 与 高楼 的 水 平 距 离 为 120m,这 栋 高 楼 有 多 高 ? =30=60120A BCD A 操场里有一个旗杆，小明站在离旗杆底部10米的D处，仰视旗杆顶端A,仰角为34,俯视旗杆底端B,俯角为18,求旗杆的高度(精确到0.1

2、米). 34 10米? 你能计算出的吗？18 BFDE A 操场里有一个旗杆，小明站在离旗杆底部10米的D处，仰视旗杆顶端A,仰角为34,俯视旗杆底端B,俯角为18,求旗杆的高度(精确到0.1米). 34 10米?18 BFDE 能画出怎样的图形？ A 操场里有一个旗杆，小明站在离旗杆底部10米的D处，仰视旗杆顶端A,仰角为34,俯视旗杆底端B,俯角为18,求旗杆的高度(精确到0.1米). 34 10米?18 BFDEsin180=0.31cos180=0.95 sin340=0.56cos340=0.83tan180=0.32 tan340=0.67 如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点

3、挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45,条幅底端E点的俯角为30.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BCAE DCB 例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？解：如图 ，在RtAPC中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在RtBPC中， B34 PBPCB sin 23.130559.0 8.7234sin 8.72sin BPCPB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距

4、离灯塔P大约130.23海里6534P BCA 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案 船有触礁的危险吗？ 一 艘 渔 船 正 以 30海 里 /小 时 的 速 度 由 西 向东 追 赶 鱼 群 ， 在 A处 看 见 小 岛 C在 船 北 偏 东60 的 方 向 上 ； 40min后 ， 渔 船 行 驶 到 B处 ，此 时 小 岛 C在 船 北 偏 东 30 的 方 向 上 。 已 知以 小 岛 C为

5、 中 心 ， 10海 里 为 半 径 的 范 围 内 是多 暗 礁 的 危 险 区 。 这 渔 船 如 果 继 续 向 东 追赶 鱼 群 ， 有 没 有 进 入 危 险 区 的 可 能 ？ 一 艘 渔 船 正 以 30海 里 /小 时 的 速 度 由 西 向 东 追 赶 鱼群 ， 在 A处 看 见 小 岛 C在 船 北 偏 东 60 的 方 向 上 ；40min后 ， 渔 船 行 驶 到 B处 ， 此 时 小 岛 C在 船 北 偏 东30 的 方 向 上 。 已 知 以 小 岛 C为 中 心 ， 10海 里 为 半 径的 范 围 内 是 多 暗 礁 的 危 险 区 。 这 渔 船 如 果 继

6、续 向 东 追赶 鱼 群 ， 有 没 有 进 入 危 险 区 的 可 能 ？ 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hh ll 我们设法“化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，

7、划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h 1,h2,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,hn相加，于是得到山高h. h l 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海

8、里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？B AD F解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F， AFD=90由题意图示可知 DAF=30设DF= x , AD=2x则在RtADF中，根据勾股定理 22 2 22 3AF AD DF x x x 在RtABF中，tan AFABF BF 3tan30 12 xx 解得x=66 6 3 10.4AF x 10.4 8没有触礁危险 练习3060 2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和;（2）坝

9、顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）B A DF E C6m i=1:3i=1:1.5解：（1）在RtAFB中， AFB=90tan 11.5AF iBF ：33.7 在RtCDE中， CED=90tan 1:3DE iCE 18.4 3、 学 校 操 场 上 有 一 根 旗 杆 ， 上 面 有 一 根 开旗 用 的 绳 子 （ 绳 子 足 够 长 ） ， 王 同 学 拿 了一 把 卷 尺 ， 并 且 向 数 学 老 师 借 了 一 把 含 300的 三 角 板 去 度 量 旗 杆 的 高 度 。（1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC=4米，则旗杆AB的高多少？（

10、2） 若 王 同 学 分 别 在 点 C、 点 D处 将旗 杆 上 绳 子 分 别 拉 成 仰 角 为 600、 300，如 图 量 出 CD=8米 ， 你 能 求 出 旗 杆 AB的 长 吗 ？ AB 4m600 ABD 830 0 600 30 30 突破措施：建立基本模型 ；添设辅助线时,以不破坏特殊角的完整性为准则. 3045 突破措施：建立基本模型 45（ （45 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实

11、际问题的答案 1、 在 山 脚 C处 测 得 山 顶 A的 仰 角 为 45 。 问 题如 下 ： (1） 沿 着 水 平 地 面 向 前 300米 到 达 D点 ，在 D点 测 得 山 顶 A的 仰 角 为 600 , 求 山 高 AB。D ABC 4560 x x3 ABC1、 在 山 脚 C处 测 得 山 顶 A的 仰 角 为 450。 问 题 如 下 ：变 式 ： 沿 着 坡 角 为 30 的 斜 坡 前 进 300米 到 达 D点 ， 在 D点 测 得 山 顶 A的 仰 角 为 600 ,求 山 高 AB。30DE Fxx 2、 在 山 顶 上 处 D有 一 铁 塔 ， 在 塔 顶

12、B处 测 得 地 面 上 一点 A的 俯 角 =60o， 在 塔 底 D测 得 点 A的 俯 角 =45o，已 知 塔 高 BD=30米 ， 求 山 高 CD。 ABC D 3、 建 筑 物 BC上 有 一 旗 杆 AB,由 距 BC 40m的 D处 观察 旗 杆 顶 部 A的 仰 角 为 50 ,观 察 底 部 B的 仰 角 为45 ,求 旗 杆 的 高 度 (精 确 到 0.1m)BACD 40 4、 （ 2007年 昆 明 ） 如 图 ， AB和 CD是 同 一 地 面上 的 两 座 相 距 36米 的 楼 房 ,在 楼 AB的 楼 顶 A点 测得 楼 CD的 楼 顶 C的 仰 角 为 450， 楼 底 D的 俯 角 为300， 求 楼 CD的 高 ？ (结 果 保 留 根 号 ) 30 0450AB CD36