水文学-第三章ppt课件

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1、第第3章章 水文统计的基本原理与方法水文统计的基本原理与方法3.1 3.1 概述概述3.2 3.2 概率与频率的基本概念概率与频率的基本概念3.3 3.3 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.4 3.4 统计参数统计参数3.5 3.5 水文频率曲线线型水文频率曲线线型3.6 3.6 抽样误差抽样误差3.7 3.7 水文频率计算适线法水文频率计算适线法3.8 3.8 相关分析相关分析1第3章 水文统计的基本原理与方法3.1 概述1u水文现象的统计规律水文现象的统计规律水文现象是一种自然现象，它具有水文现象是一种自然现象，它具有必然性必然性的一面，也具的一面，也具有有偶然性偶然性的一面。偶

2、然现象也称随机现象；偶然现象仍然的一面。偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有规律的，一般称为是有规律的，一般称为统计规律统计规律。u水文统计及其任务水文统计及其任务数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论,而由随而由随机现象的机现象的一部分试验资料一部分试验资料去研究去研究总体现象总体现象的数字特征和规的数字特征和规律的学科称为数理统计学。律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上文分析与计算上则称为则称为水文统计水文统计。水文统计的任务就是水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变研究和分析水

3、文随机现象的统计变化特性化特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施出在概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。工以及运营期间的需要。3.1 3.1 概述概述2水文现象的统计规律3.1 概述2一、概率的基本概念与定理一、概率的基本概念与定理一、概率的基本概念与定理一、概率的基本概念与定理 （1)1)1)1)事件事件事件事件:是指随机试验的结果。是指随机试验的结果。是指随机试验的结果。是指随机试验的结果。事件有两种属性：事件有两种属性：数量性质：数量性质：直接测量的量或计

4、算的量，如直接测量的量或计算的量，如年降雨量，年径流量年降雨量，年径流量.属性性质属性性质:直接观测到的现象，如天气的直接观测到的现象，如天气的雨天和晴天，钱币的正面和背面雨天和晴天，钱币的正面和背面.3.2概率与频率的基本概念概率与频率的基本概念3一、概率的基本概念与定理3.2 概率与频率的基本概念3A.A.A.A.必然事件必然事件必然事件必然事件B.B.B.B.不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件C.C.C.C.随机事件随机事件随机事件随机事件事件可以分为三种类型：事件可以分为三种类型：事件可以分为三种类型：事件可以分为三种类型：（2)2)2)2)概率概率概率概率 为为了了比比较较某某

5、随随机机事事件件出出现现（或或不不出出现现)的的可可能能性性大大小小，必必然然赋赋予予一一种种量量化化的的（以以数数量量表表示示)指标，这个数量指标就是指标，这个数量指标就是事件的概率。事件的概率。（）（）4A.必然事件事件可以分为三种类型：（2)概率（）4 式中式中，P(A)：一定条件下随机事件：一定条件下随机事件A的概率；的概率；n：试验中所有可能的出现的结果数；：试验中所有可能的出现的结果数；m：出现随机事件：出现随机事件A的结果数。的结果数。简单的随机事件的概率定义用下式表示：简单的随机事件的概率定义用下式表示：简单的随机事件的概率定义用下式表示：简单的随机事件的概率定义用下式表示：随

6、随机机试试验验是是指指所所有有试试验验的的可可能能结结果果都都是是等等可可能能的的，而而且且试试验验的的可可能能结结果果的的总总数数是是有有限限的的。但水文事件不一定符合这种性质。但水文事件不一定符合这种性质。5 式中，P(A)：一定条件下随机事件A的概率；简单的随机 对于不是古典概型事件，只能通过多次重复对于不是古典概型事件，只能通过多次重复试验来估计事件的概率。试验来估计事件的概率。设事件设事件设事件设事件A A在在在在n n 次随机试验中出现了次随机试验中出现了次随机试验中出现了次随机试验中出现了m m 次，次，次，次，则称：则称：（3 3）频率）频率）频率）频率 为事件为事件A 在在n

7、 次试验中出现的频率。次试验中出现的频率。注意注意：n 不是所有可能的结果总数，仅是随不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。机试验的次数。6 对于不是古典概型事件，只能通过多次重复试验来估计事件二、频率和概率的区别和联系二、频率和概率的区别和联系二、频率和概率的区别和联系二、频率和概率的区别和联系区别：区别：区别：区别：概率是抽象数是个理论值；频率是具体数，是概率是抽象数是个理论值；频率是具体数，是个经验值。个经验值。联系：联系：联系：联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定并趋近于概频率随实验次数的增多而逐渐稳定并趋近于概率率。实验者实验者掷硬币次掷硬币次数数正面出现正面出现的次数的次数正

8、面出现的正面出现的频率频率蒲丰蒲丰（Buffon)404020480.5069皮尔逊皮尔逊（K.Pearson)1200060190.5016皮尔逊皮尔逊（K.Pearson）24000120140.5005频率越频率越接近概接近概率率0.5表表6-1 掷币实验出现正面的频率掷币实验出现正面的频率7二、频率和概率的区别和联系实验者掷硬币次数正面出现的次数正面两事件和的概率：两事件和的概率：两事件和的概率：两事件和的概率：两个互斥事件两个互斥事件A、B出现的概率出现的概率P（A+B）=P（A）+P（B）条件概率条件概率条件概率条件概率P P（B|AB|A）：）：）：）：在事件在事件A发生的条件下

9、发生发生的条件下发生事件事件B的概率。的概率。两事件积的概率：两事件积的概率：两事件积的概率：两事件积的概率：两事件同时出现的概率：两事件同时出现的概率：P（AB）=P（A）P（B|A）P（AB）=P（B）P（A|B）P（A）0，P（B）0若若A、B相互独立。即事件的发生互不影响，相互独立。即事件的发生互不影响，则则P（B|A）=P（B），），P（AB）=P（A）P（B）三、概率加法定理和乘法定理三、概率加法定理和乘法定理三、概率加法定理和乘法定理三、概率加法定理和乘法定理8两事件和的概率：两个互斥事件A、B出现的概率 三、概率加法定 用以表示随机试验结果的一个数量用以表示随机试验结果的一个数

10、量(事先是事先是未知的未知的)，由于它事先不能确定，是随机的，由于它事先不能确定，是随机的，称为称为随机变量。随机变量。随机变量。随机变量。水文现象中的随机变量，一般水文现象中的随机变量，一般指某个水文特征值指某个水文特征值(如如年径流量、年降雨量、年径流量、年降雨量、年径流量、年降雨量、年径流量、年降雨量、洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量等等)。3.3随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布9 用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它 总体总体总体总体 在在统统计计数数学学中中，把把某某种种随随机机变变量量所所取取数数值值的的全全体，称为总体。体，称为总体。如年径流量的总体数是

11、无穷的。如年径流量的总体数是无穷的。（1 1）统计学中几个概念：）统计学中几个概念：）统计学中几个概念：）统计学中几个概念：样本样本样本样本从从总总体体中中不不带带主主观观成成分分任任意意抽抽取取的的一一部部分分，称称为样本。样本所包含的项数，称为为样本。样本所包含的项数，称为样本容量样本容量样本容量样本容量。如实测的水文资料是有限的，是一样本。如实测的水文资料是有限的，是一样本。10 总体（1）统计学中几个概念：样本10 它它是是指指随随机机试试验验结结果果的的一一个个数数量量。在在水水文文学学中中，常常用用大大写写字字母母表表示示，记记作作X，而而随随机机变变量量的的可可能能取取的的值记作

12、值记作x，即：即：X=x1,X=x2,X=xn 一般称之为一般称之为随机系列随机系列或或随机数列随机数列。（2 2）随机变量的表示）随机变量的表示）随机变量的表示）随机变量的表示11 它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量随随机机变变量量仅仅取取得得区区间间内内某某些些间间断断的的离离散散值值，则则称称为为离离离离散散散散型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量。如如洪洪峰峰次次数数，只只能能取取0,1,2，不不能取相邻两数值之间的任何值。能取相邻两数值之间的任何值。（3 3）随机变量的分类）随机变量的分类）随机变量的分类）

13、随机变量的分类连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量 随随机机变变量量可可以以取取得得一一个个有有限限区区间间内内的的任任何何数数值值，则则称称为为连连连连续续续续型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量。如如某某河河流流断断面面的的流流量量可可以以取取0极限值之间的任何实数值。极限值之间的任何实数值。12离散型随机变量（3）随机变量的分类连续型随机变量12对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：随随机机变变量量的的取取某某一一可可能能值值的的机机会会有有的的大大有有的的小小，即即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：随机变量

14、取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：（4 4）随机变量的概率分布）随机变量的概率分布）随机变量的概率分布）随机变量的概率分布上式中上式中P1,P2,Pn表示随机变量表示随机变量X 取值取值x1,x2,xn 所对应的概率。所对应的概率。13对于离散型随机变量：（4）随机变量的概率分布 x1 x2 x3 x4 xn一般将这种对应关系称作随机变量的一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规概率分布规概率分布规概率分布规律，律，律，律，简称为简称为分布律。分布律。分布律。分布律。可以用以下的分布图形表示：可以用以下的分布图形表示：X XP P 离散型随机变量概率分布图离散型随机变量概率分布图14

15、x1 x2 x3 x4 由由于于它它的的所所有有可可能能取取值值有有无无限限个个，而而取取个个别别值值的的概概率率为为为为零零零零，故故无无法法研研究究个个别别值值的的概概率率。水水文文学学上上习习惯惯研研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：它它是是x的的函函数数，称称作作随随机机变变量量X 的的分分布布函函数数，记记作作F(x),即即 F(x)=P(X x)表表示示随随机机变变量量X 大大于于或或等等于于值值x 的的概概率率，其其几几何何曲曲线线称称作作随随机机变变量量的的概概率率分分布布曲曲线线（水水文文学学上上通通常常称称累累累

16、累计计计计频率曲线，简称频率曲线频率曲线，简称频率曲线频率曲线，简称频率曲线频率曲线，简称频率曲线）。）。）。）。对于连续型随机变量：对于连续型随机变量：对于连续型随机变量：对于连续型随机变量：15 由于它的所有可能取值有无限个，而取个别值的概率为零，故 由由由由图图图图中中中中可可可可知知知知，X X X X=900=900=900=900，相相相相应应应应的的的的P(XP(XP(XP(X x x x x)=0.15)=0.15)=0.15)=0.15，说说说说明明明明大大大大于于于于900mm900mm900mm900mm降降降降雨雨雨雨的的的的可可可可能能能能性性性性为为为为15%15%

17、15%15%；同同同同理理理理，大大大大于于于于500 500 500 500 mm mm mm mm 降降降降雨的可能性为雨的可能性为雨的可能性为雨的可能性为60%60%60%60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲线某站年雨量概率分布曲线P(X x)16 由图中可知，X=900，相应的P(X x)=0.1 P(X x)=P(X x+x)+P(x+x X x)P(x+x X x)=P(X x)-P(X x+x)=F(x)-F(x+x)(1)由概率的加法定理：由概率的加法定理：由概率的加法定理：由概率的加法定理：则，降雨量落在则，降雨量落在

18、900和和500mm的可能性为的可能性为:60%-15%=45%x x+x PXP(X x)P(Xx+x)随机变量随机变量随机变量随机变量X X落在落在落在落在(x x，x+x+x x)的概率可用下式表示的概率可用下式表示的概率可用下式表示的概率可用下式表示:17 P(X x)=P(X x+x)+平均概率密度：平均概率密度：平均概率密度：平均概率密度：随随机机变变量量落落在在区区间间(x,x+x)的的概概率率与与该该区区间间长长度度的的比比值值 称称作作随随机变量落在区间机变量落在区间(x,x+x)平均概率平均概率。（5 5）概率密度函数）概率密度函数）概率密度函数）概率密度函数:18平均概率

19、密度：随机变量落在区间(x,x+x)的概称称 f(x)为为概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数，简称，简称密度函数密度函数密度函数密度函数。而密度函数的几何曲线称作而密度函数的几何曲线称作密度曲线密度曲线密度曲线密度曲线。当当当当 x x 0 0，取极限得：取极限得：取极限得：取极限得：19称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数。当 x 0f(x)f(xi)F(x)xi密度曲线密度曲线分布曲线分布曲线xxdx20f(x)f(xi)F(x)xi 密度曲线分布曲线xxdx20通通过过密密度度函函数数f(x)可可求求出出随随机机变变量量X落落在在(x x+dx)区区间间即即dx上上的的

20、概概率率=f(x)dx，称称之之为为概概率率元素，即为图中的阴影面积；元素，即为图中的阴影面积；通通过过密密度度函函数数f(x)可可求求出出随随机机变变量量X 概概率率分分布布函函数数F(x)，其其与与密密度度函函数数f(x)有有如如下下的的数数学学关系关系:21通过密度函数f(x)可求出随机变量X落在(x x+dxF F(x x)分分分分布布布布函函函函数数数数，反反映映随随机机变变量量X超超过过某某个个值值x 的概率。的概率。这这两两个个函函数数能能完完整整地地描描述述随随机机变变量量的的分分布布规律。规律。f f(x x)密度函数，密度函数，密度函数，密度函数，反映随机变量反映随机变量X

21、落入落入dx 区区间的平均概率；间的平均概率；可见，随机变量的二个函数：可见，随机变量的二个函数：可见，随机变量的二个函数：可见，随机变量的二个函数：22 F(x)分布函数，反映随机变量X超过某个值 x 的3.4随机变量统计参数随机变量统计参数 能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为统统统统计参数计参数计参数计参数，或或或或特征参数特征参数特征参数特征参数，有时为有时为有时为有时为分布参数分布参数分布参数分布参数。位置特征参数位置特征参数均值（平均数）均值（平均数）

22、众值（众数）众值（众数）中值（中位数）中值（中位数）离散程度特征参数离散程度特征参数均方差均方差变差系数变差系数Cv对称程度特征参数对称程度特征参数偏态系数偏态系数Cs233.4 随机变量统计参数 能说明随机变量统计规律的某些（1 1 1 1）平均数）平均数）平均数）平均数/数学期望数学期望数学期望数学期望 离散型随机变量的平均数是以概率为权重的加权平离散型随机变量的平均数是以概率为权重的加权平离散型随机变量的平均数是以概率为权重的加权平离散型随机变量的平均数是以概率为权重的加权平均值。若各随机变量很少重复出现，可不考虑出现次数均值。若各随机变量很少重复出现，可不考虑出现次数均值。若各随机变量

23、很少重复出现，可不考虑出现次数均值。若各随机变量很少重复出现，可不考虑出现次数的影响，可用算数平均法求平均值的影响，可用算数平均法求平均值的影响，可用算数平均法求平均值的影响，可用算数平均法求平均值一、一、一、一、反映位置特征参数反映位置特征参数反映位置特征参数反映位置特征参数 对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：24（1）平均数/数学期望 离散型随机变量的平均数 式式中中，a、b分分别别为为随随机机变变量量X 取取值值的的上上下下限。限。数数学学期期望望或或平平均均数数代代表表整整个个随随机机变变量量的的总总水平的高低，它为分布的中心。水平的高低，

24、它为分布的中心。对于连续的随机变量：对于连续的随机变量：对于连续的随机变量：对于连续的随机变量：25 式中，a、b 分别为随机变量 X 取值的上下限。表示概率密度分布表示概率密度分布峰点峰点所对应的数。所对应的数。对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：对于离散型随机变量：M0(x)是使概率是使概率 P(=xi)等于等于最大时所相应的最大时所相应的 x i值。值。M0(x)=xiPi-1 Pi Pi+1 Px离散型随机变量的众数离散型随机变量的众数离散型随机变量的众数离散型随机变量的众数(2)(2)(2)(2)众数，众数，众数，众数，记为记为记为记为MM0 0(x x)26

25、 表示概率密度分布峰点所对应的数。M0(x)=M0(x)是概率密度函数是概率密度函数f(x)等于最大时所对等于最大时所对应的应的xi值值M0(x)f(x)x 连续的随机变量的众数连续的随机变量的众数连续的随机变量的众数连续的随机变量的众数对于连续型随机变量：对于连续型随机变量：对于连续型随机变量：对于连续型随机变量：27 M0(x)是概率密度函数f(x)等于最大把概率密度分布分为二个相等部分的数把概率密度分布分为二个相等部分的数。对于离散型的随机变量：对于离散型的随机变量：对于离散型的随机变量：对于离散型的随机变量：将将所所有有变变量量的的可可能能取取值值按按大大小小次次序序排排列列，位置居中

26、的数字。位置居中的数字。(3)(3)(3)(3)中位数中位数中位数中位数，记为记为记为记为MMe e(x x)28 把概率密度分布分为二个相等部分的数。(3)对于连续的随机变量对于连续的随机变量对于连续的随机变量对于连续的随机变量中位数满足：中位数满足：式中，式中，a,b分别为分别为随机变量随机变量X 取值的取值的上下限上下限Me(x)xf(x)1/21/2ab29 对于连续的随机变量式中，a,b 分别为随机变量 X 该该参参数数用用以以反反映映随随机机变变量量分分布布离离散散程程度度(相相对对于于随随机机变变量量分分布布中中心心即即平平均均值值的的差差距距)的的指指标标，通通常常有有以下几种

27、：以下几种：二、反映离散特征参数二、反映离散特征参数二、反映离散特征参数二、反映离散特征参数 值愈大，分布愈分散；值愈大，分布愈分散；值愈小，分布愈集中。值愈小，分布愈集中。（1 1 1 1）标准差（均方差）标准差（均方差）标准差（均方差）标准差（均方差)(Standard deviation)1 2 2 1f(x)x标准差对密度标准差对密度函数的影响函数的影响30 该参数用以反映随机变量分布离散程度(相对于随例例1：两系列：甲：两系列：甲-5，10，15；乙乙-1，10，19。比较其离散程度比较其离散程度表明：乙系列的离散程度大于甲系列表明：乙系列的离散程度大于甲系列 均值相同时，均方差可以

28、反映其离散程度；但均值不均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值不同时，却无法比较同时，却无法比较-因此，引入离差系数（变差系数）因此，引入离差系数（变差系数）31例1：两系列：甲-5，10，15；（2 2 2 2）变差系数（离差系数，离势系数）变差系数（离差系数，离势系数）变差系数（离差系数，离势系数）变差系数（离差系数，离势系数CV1CV2CV2 CV1f(x)x变差系数对密变差系数对密度函数的影响度函数的影响CV值愈大，分布愈分散；值愈大，分布愈分散；CV 值愈小，分布愈集中。值愈小，分布愈集中。对对于于均均均均值值值值不不不不同同同同的的二二个个系系列列，用用均均方方差差来来比比较

29、较其其离离散散程程度度就就不不合合适适，则则要要采采用用均均方方差差和和均均值值的的比来表示：比来表示：32（2）变差系数（离差系数，离势系数CV1CV2CV2 C表明：甲系列的离散程度大于乙系列表明：甲系列的离散程度大于乙系列例例2：比较两系列的离散程度：比较两系列的离散程度：甲甲-5，10，15；乙乙-995，1000，1005。33表明：甲系列的离散程度大于乙系列例2：比较两系列的离散程度：f(x)x偏态系数对密度函数的影响偏态系数对密度函数的影响Cs=0Cs0Cs0,称为正偏；称为正偏；CS 0Cs0Cs0，密度曲线峰顶在均值的左边，为左偏或正偏，密度曲线峰顶在均值的左边，为左偏或正偏

30、，概率分布曲线为向下凹曲线。概率分布曲线为向下凹曲线。l 当当Cs0Cs0，密度曲线峰顶在均值的左边，为左偏或正偏，概率分水文现象大多属于正偏，水文现象大多属于正偏，Cs0 Cs0（PIIIPIII曲线）。当其他参数不变时，曲线）。当其他参数不变时，CsCs值越大，则概率曲线的凹度越大，即两值越大，则概率曲线的凹度越大，即两端都在正态直线以上，中间部分向下。端都在正态直线以上，中间部分向下。36水文现象大多属于正偏，Cs0（PIII曲线）。当其他参数3.5水文频率曲线线型水文频率曲线线型 水文频率曲线水文频率曲线水文频率曲线水文频率曲线是指水文分析计算中使用的分是指水文分析计算中使用的分布曲线

31、。可分为：布曲线。可分为：经验频率曲线：经验频率曲线：经验频率曲线：经验频率曲线：习惯上把由实测资料（样习惯上把由实测资料（样本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线，本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线，理论频率曲线：理论频率曲线：理论频率曲线：理论频率曲线：而把由数学方程式所表示而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线。的频率曲线称为理论频率曲线。水文中常用的理水文中常用的理水文中常用的理水文中常用的理论概率频率曲线论概率频率曲线论概率频率曲线论概率频率曲线正态分布正态分布极值分布型极值分布型皮尔逊皮尔逊型分布型型分布型373.5 水文频率曲线线型 水文频率曲线是指水文分析计算中式中，式中

32、，：平均数；：平均数；：标准差。：标准差。许多许多随机变量随机变量随机变量随机变量如水文测量误差、抽样误差如水文测量误差、抽样误差等一般服从正态分布。等一般服从正态分布。一、正态分布一、正态分布一、正态分布一、正态分布随机变量随机变量x的密度函数为的密度函数为38式中，：平均数；许多随机变量如水f(x)a.单峰，只有一个众数；单峰，只有一个众数；b.以均值为轴对称以均值为轴对称,Cs=0；c.曲线二端趋于曲线二端趋于，并以并以x轴为渐近线轴为渐近线;d.正态分布曲线的特点：正态分布曲线的特点：正态分布曲线的特点：正态分布曲线的特点：正正态态分分布布的的均均值值和和标标准准差差 确定后，分布就唯

33、一确定了。确定后，分布就唯一确定了。39f(x)a.单峰，只有一个众数；正态分布曲线的特点：概率密度函数表达式：概率密度函数表达式：概率密度函数表达式：概率密度函数表达式：二、皮尔逊二、皮尔逊二、皮尔逊二、皮尔逊 型分布型分布型分布型分布式中式中,（）的伽玛函数的伽玛函数,a0：三个参数，它们与三个统计参数：三个参数，它们与三个统计参数有一定的关系，其表达式为：有一定的关系，其表达式为：可可可可见见见见，当当当当以以以以上上上上三三三三个个个个参参参参数数数数确确确确定定定定后后后后，P-IIIP-III型型型型密密密密度度度度函函函函数亦完全确定。数亦完全确定。数亦完全确定。数亦完全确定。4

34、0概率密度函数表达式：二、皮尔逊 型分布式中,（f(x)皮尔逊皮尔逊 型概率密度曲型概率密度曲线线 a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲线的特点：型曲线的特点：一端一端一端一端有限有限有限有限另一端另一端另一端另一端无限无限无限无限的的的的不对称不对称不对称不对称单峰正偏曲线单峰正偏曲线单峰正偏曲线单峰正偏曲线41f(x)皮尔逊 型概率密度曲线 a0M0(x)Me(x)x在在水水文文计计算算中中，一一般般要要求求出出指指定定概概率率P所所相相应应的随机变量的取值的随机变量的取值xP，即求出的，即求出的xP满足下列等式：满足下列等式：按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换按上式计算

35、相当复杂，故实用中，采用标准化变换按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换：取标准变量取标准变量(离均系数离均系数离均系数离均系数)，即即代入上式，代入上式，,a0以相应的以相应的和和关系式表示，简化后得：关系式表示，简化后得：42 在水文计算中，一般要求出指定概率 P 所相应0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)p CsP-IIIP-III型曲线离均系数型曲线离均系数型曲线离均系数型曲线离均系数 P P 值表值表值

36、表值表被积函数含有参数被积函数含有参数 ,Cs，而，而包含在包含在 中，制成中，制成对应关系表：对应关系表：430.031.302.473.384.160.20.021.2因此，由给定的因此，由给定的因此，由给定的因此，由给定的C CS S 及及及及P P，从，从，从，从P-IIIP-III型曲线离型曲线离型曲线离型曲线离均系数均系数均系数均系数 值表，查出值表，查出值表，查出值表，查出 P P，再由下式求：再由下式求：再由下式求：再由下式求：即求出指定概率即求出指定概率P所相应的随机变量的取值所相应的随机变量的取值xP44 因此，由给定的CS 及P，从P-III型曲线已知已知:某地年平均降雨

37、量某地年平均降雨量 =1000mm,CV=0.5,CS=1.0,若年降雨量符合若年降雨量符合P-III型分布型分布试求：试求：P=1%的年降雨量。的年降雨量。【例】【例】解：解：由由CS=1.0及及P=1%，查附表，查附表1得得 p=3.0245已知:某地年平均降雨量 =1000 mm,CV=引入引入模比系数模比系数：另一种求解方法：另一种求解方法：另一种求解方法：另一种求解方法：由由由此建立由此建立的的对应数值关系对应数值关系P-III型型曲线模比系数曲线模比系数KP 值表值表上例的解法：上例的解法：由由CV=0.5,CS =1.0=2 CV，P=1%查附表查附表2得得:46引入模比系数：另

38、一种求解方法：由由此建立 的 P-IIIP-III型曲线模比系数型曲线模比系数型曲线模比系数型曲线模比系数 K KP P 值表（附表）值表（附表）值表（附表）值表（附表）P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）（一）CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.891.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）（二）CS=1.5CV0.05（三）（三）CS=2CV。（

39、三）（三）CS=6CV47P-III型曲线模比系数 KP 值表（附表）P(%)0.三、统计参数对皮尔逊三、统计参数对皮尔逊三、统计参数对皮尔逊三、统计参数对皮尔逊IIIIII型型型型频率曲线的影响频率曲线的影响频率曲线的影响频率曲线的影响（1）均均值值对对频频率率曲曲线线的影响的影响CvCv和和和和CsCs不变时，均值不变时，均值不变时，均值不变时，均值不同，频率曲线不同不同，频率曲线不同不同，频率曲线不同不同，频率曲线不同48三、统计参数对皮尔逊III型频率曲线的影响（1）均值 （2）变差系数）变差系数Cv对频率曲线的影响对频率曲线的影响Cs=1Cs=1时时时时，CvCv增增增增大大大大，频

40、频频频率率率率曲曲曲曲线线线线的的的的偏偏偏偏离离离离程程程程度度度度也也也也随随随随之之之之增增增增大大大大，曲曲曲曲线线线线越越越越来来来来越陡越陡越陡越陡49（2）变差系数Cv对频率曲线的影响Cs=1时，Cv增大，频率（3）Cs对频率曲线的影响对频率曲线的影响Cv=0.1Cv=0.1，CsCs增大，均增大，均增大，均增大，均值对应的频率愈小，值对应的频率愈小，值对应的频率愈小，值对应的频率愈小，频率曲线的中部愈向频率曲线的中部愈向频率曲线的中部愈向频率曲线的中部愈向左偏，且上段愈陡，左偏，且上段愈陡，左偏，且上段愈陡，左偏，且上段愈陡，下段愈平缓。下段愈平缓。下段愈平缓。下段愈平缓。50

41、（3）Cs对频率曲线的影响Cv=0.1，Cs增大，均值对应的3.6抽样误差抽样误差由随机抽样而引起的误差，在统计学中称为抽样误差。由随机抽样而引起的误差，在统计学中称为抽样误差。513.6 抽样误差由随机抽样而引起的误差，在统计学中称为抽样误525253535454 水水文文随随机机变变量量的的总总体体是是无无限限的的，这这就就需需要要在在总总体体不不知知道道的的情情况况下下，靠靠抽抽出出的的样样本本(观观测测的系列的系列)去估计总体参数。去估计总体参数。3.7 3.7 3.7 3.7 随机变量系列统计参数的估计随机变量系列统计参数的估计随机变量系列统计参数的估计随机变量系列统计参数的估计估算

42、方法有：估算方法有：矩法；矩法；矩法是用样本矩估计总体矩，矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。线参数的一种方法。适线法；适线法；55 水文随机变量的总体是无限的，这就需要在总体不知道的情现行水文频率计算方法配线法现行水文频率计算方法配线法(适线法适线法)是是以以经经验验频频率率点点据据为为基基础础，在在一一定定的的适适线线准准则则下下，求求解解与与经经验验点点据据拟拟合合最最优优的的频频率率曲曲线线参参数数，这这是是一一种种较较好好的的参参数数估估计计方方法法，是是我我国国估估估估计计计计洪洪洪洪水水水水频频频

43、频率率率率曲曲曲曲线线线线统统统统计计计计参参参参数数数数的的主主要要方方法。法。56现行水文频率计算方法配线法(适线法)是以经有关的概念介绍：有关的概念介绍：（1)1)1)1)经验频率经验频率及及经验频率曲线：经验频率曲线：【例】已知某地年降雨量的观测资料【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大，并由大到小排列，按到小排列，按计算频率。计算频率。式中，式中，P：大于或等于某一变量值：大于或等于某一变量值x 的的经验频率经验频率；m：x 由大到小排列的序号，即在由大到小排列的序号，即在n 次观测资料次观测资料中出现大于或等于某一值中出现大于或等于某一值x 的次数。的次数。57有关的

44、概念介绍：（1)经验频率及经验频率曲线：【例】已知某经验频率计算表：经验频率计算表：n n=12=1258经验频率计算表：n=1258 其其反反映映年年降降雨雨量量(X x)的的经经验验频频率率P(X x)和和x的的关关系系。随随着着样样本本容容量量n的的增增加加，频频率率P就就非非常常接接近近于于概概率率，而该经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。而该经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。由此得到经验分布曲线由此得到经验分布曲线:P(X x)x59 其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的注注注注意意意意：样样本本的的每每一一项项的的经经验验频频率率用用公公式式P=m/n进进行行

45、计计算算，当当m=n时时，P=100%，说说明明样样本本的的最最末末项项为为总总体体的的最最小小值值，这这这这是是是是不不不不合合合合理理理理的的的的。故故故故必必必必须须须须进进进进行行行行修修修修正正正正，中国常采用下面的公式进行计算：中国常采用下面的公式进行计算：经验频率的计算公式：经验频率的计算公式：经验频率的计算公式：经验频率的计算公式：这样，当这样，当m=n=12 时，时，该公式在水文计算中通常称为期望公式该公式在水文计算中通常称为期望公式60注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进行计算，当m=所所谓谓的的重重现现期期是是指指某某一一随随机机事事件件在在很很长长时时期期内内

46、平平均均多多多多长长长长时时时时间间间间出出现现一一次次（水水文文学学中中常常称称为为“多多少少年年一一遇遇”）。即即在在许许多多试试验验中中，某某一一随随机机事事件件重重复复出出现现的的时时间间间间隔隔的的平平均均数数，即即平平均均的的重重现现间间隔隔期期。在在水水文文分分析析中中，重重现现期期可可以以等等效地替代频率。效地替代频率。（2)2)2)2)重现期重现期重现期重现期61 所谓的重现期是指某一随机事件在很长时期内平频率频率P与重现期与重现期T关系的两种表示法：关系的两种表示法：62频率P与重现期T关系的两种表示法：62具体求解步骤：具体求解步骤：具体求解步骤：具体求解步骤：a a根根

47、据据实实测测样样本本资资料料进进行行点点绘绘 纵纵坐坐标标为为随随机机变变量量X=x，横横坐坐标标为为对对应应的的经经验验频频率率P(X x)，经经验验频率计算公式为：频率计算公式为：b b 假假定定一一组组参参数数 ，可可选选用用矩矩法法的的估估值值作作为为 的的初初始始值值,一一般般不不求求CS，假假定定 ，K为为比比例例系数，可选系数，可选 K1.5,2,2.5,3.（3)3)3)3)适线法（配线法）的步骤适线法（配线法）的步骤适线法（配线法）的步骤适线法（配线法）的步骤已知：经验频率分布，已知：经验频率分布，求：总体分布参数求：总体分布参数63具体求解步骤：b 假定一组参数 ，可选用矩

48、dd 根根据据选选定定的的参参数数，由由P-III型型曲曲线线离离均均系系数数值值(附附附附表表表表)或或P-III型型曲曲线线模模比比系系数数KP 值值表表(附附附附表表表表)，求求出出xP P的的频频率率曲曲线线，将将其其绘绘在在有有经经验验点点据据的的同同一一张张图图上上，看看它它们们的的配配合合好好坏坏，若若不不理理想想，则则修修改改有有关关的的参参数数(主主要要调调整整CV 及及K=CS/CV)，重重复以上的步骤，重新配线；复以上的步骤，重新配线；cc选定线型，对于水文的随机变量，一般选选定线型，对于水文的随机变量，一般选P-III型型;e e根根据据配配合合的的情情况况，选选出出一

49、一配配合合最最佳佳的的频频率率曲曲线线作作为采用曲线，则为采用曲线，则相应的参数相应的参数相应的参数相应的参数作为作为总体参数的估值总体参数的估值总体参数的估值总体参数的估值。64d 根据选定的参数 ，由PxP 适适线线法法的的实实质质是是通通过过样样本本经经验验分分布布来来推推求求总总体体分分布布，适线法的关键在于适线法的关键在于“最佳配合最佳配合”的判别。的判别。经验点据经验点据理论频率曲线理论频率曲线为避免修改参数的盲目性，要了解参数为避免修改参数的盲目性，要了解参数 对频率曲线形状的影响：对频率曲线形状的影响：65PxP 适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体分布，适线x PPPx

50、PPx P66x PPPx PPx P66皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊型频率曲线计算表型频率曲线计算表型频率曲线计算表型频率曲线计算表(例例例例3.13.13.13.1）频率频率频率频率1 1 1 12.752.752.752.751.831.831.831.8312191219121912195 5 5 51.801.801.801.801.541.541.541.541025102510251025101010101.331.331.331.331.401.401.401.40933933933933202020200.800.800.800.801.241.241.241.248268268

51、2682650505050-0.10-0.10-0.10-0.100.970.970.970.9764664664664675757575-0.72-0.72-0.72-0.720.780.780.780.7852052052052090909090-1.20-1.20-1.20-1.200.640.640.640.6442642642642695959595-1.45-1.45-1.45-1.450.560.560.560.5637337337337399999999-1.88-1.88-1.88-1.880.440.440.440.4429329329329367皮尔逊型频率曲线计算表(例

52、3.1）频率12.751.831一、相关分析的意义一、相关分析的意义一、相关分析的意义一、相关分析的意义 （1 1 1 1）相关关系的意义与应用）相关关系的意义与应用）相关关系的意义与应用）相关关系的意义与应用 水水文文现现象象中中许许多多变变量量不不是是孤孤立立的的，相相互互之之间间存存在在联联系系，则则分分析析研研究究二二个个或或二二个个以以上上随随机机变变量量之之间间的的关系，称作关系，称作相关关系。相关关系。相关关系。相关关系。水水文文计计算算中中，相相关关分分析析可可以以用用来来延延长长和和插插补补短短系系列列。如如某某一一水水文文要要素素的的实实测测资资料料系系列列很很短短，而而与

53、与其其相相关关的的另另一一要要素素的的资资料料却却比比较较长长，这这样样我我们们就就可可以以通通过过相关分析来把短系列延长。相关分析来把短系列延长。水文预报中也经常采用相关分析的方法。水文预报中也经常采用相关分析的方法。3.8 3.8 3.8 3.8 相关分析相关分析相关分析相关分析68一、相关分析的意义3.8 相关分析68如果两个变量如果两个变量x,y，其中变量，其中变量x 的每一个值，的每一个值，变量变量y 都有一个或多个确定值与之对应，而且都有一个或多个确定值与之对应，而且x,y成函数关系，即成函数关系，即x,y的关系的关系点完全落在点完全落在直线直线或或曲线曲线上，上，则称这二个变量则

54、称这二个变量是是完全相关完全相关的。的。完全相关完全相关yxa.完全相关（函数关系完全相关（函数关系完全相关（函数关系完全相关（函数关系直线关系直线关系曲线关系曲线关系（2 2）相关的种类：二个随机变量之间的关）相关的种类：二个随机变量之间的关）相关的种类：二个随机变量之间的关）相关的种类：二个随机变量之间的关系按密切关系程度有以下三种情况系按密切关系程度有以下三种情况系按密切关系程度有以下三种情况系按密切关系程度有以下三种情况69 如果两个变量x,y，其中变量x 的每一个值零相关零相关YXb.b.零相关零相关零相关零相关(没有关系没有关系没有关系没有关系)如果两个变量如果两个变量如果两个变量

55、如果两个变量x,yx,y之间之间之间之间互不影响互不影响互不影响互不影响互不相关互不相关互不相关互不相关，则，则，则，则称这二个变量没有关系或零相关。称这二个变量没有关系或零相关。称这二个变量没有关系或零相关。称这二个变量没有关系或零相关。即即即即x,yx,y的关系点毫无规律，十分分散。的关系点毫无规律，十分分散。的关系点毫无规律，十分分散。的关系点毫无规律，十分分散。70零相关YXb.零相关(没有关系)如果两个如如果果两两个个变变量量x,y之之间间关关系系介介于于以以上上二二者者之之间间，x,y的的关关系系点点虽虽有有点点分分散散，但但有有明明显显的的趋趋势势，数数学学上上可可以以用用一一定

56、定的的表表达达式式进进行行拟拟合合。则则称称这这二二个个变变量关系为量关系为:统计相关统计相关统计相关统计相关或或相关关系相关关系相关关系相关关系。c.统计相关（相关关系统计相关（相关关系yx统计相关统计相关71 如果两个变量x,y之间关系介于以上二者之间a.a.确定二个变量间相关关系的数学表达式确定二个变量间相关关系的数学表达式,以以相关方程相关方程相关方程相关方程或或回归方程回归方程回归方程回归方程表示，用以由已知变量表示，用以由已知变量推求未知变量；推求未知变量；b.b.判断二个变量间相关关系的密切程度判断二个变量间相关关系的密切程度,用一称为用一称为相关系数相关系数相关系数相关系数的参

57、数来表示。的参数来表示。（3 3 3 3）水文计算中的相关分析的主要任务）水文计算中的相关分析的主要任务）水文计算中的相关分析的主要任务）水文计算中的相关分析的主要任务72 a.确定二个变量间相关关系的数学表达式,水文计算中，一般处理两个变量间的相关关系，称水文计算中，一般处理两个变量间的相关关系，称简简简简相关相关相关相关，有时也要处理三个或三个以上变量关系，称为，有时也要处理三个或三个以上变量关系，称为复相复相复相复相关关关关。简相关可分为。简相关可分为直线相关直线相关直线相关直线相关和和曲线相关曲线相关曲线相关曲线相关。曲线相关曲线相关直线相关直线相关二、相关分析法二、相关分析法相关分析

58、法可分为相关分析法可分为图解法图解法图解法图解法和和回归分析法回归分析法回归分析法回归分析法。73 水文计算中，一般处理两个变量间的相关关系，称根根据据实实测测值值，将将对对应应点点绘绘于于方方格格纸纸上上，如如果果点点群群分分布布平平均均趋趋势势为为一一直直线线，则则可可以以直直直直线线线线来来近近似似代代表表这这种种相相关关关关系系。通通过过点点群群中中心心目目估估绘绘出出一一条条直直线线，然然后在图上量出直线的后在图上量出直线的斜率斜率a和和截距截距b，则直线方程，则直线方程:y=a+bx即为所求的即为所求的相关方程相关方程。该方法简便实用，而且一般情况下精度可以保证。该方法简便实用，而

59、且一般情况下精度可以保证。（1 1）图解法图解法图解法图解法74 根据实测值，将对应点绘于方格纸上，如果点群分布平均趋（2 2）相关分析法相关分析法相关分析法相关分析法回归分析法回归分析法回归分析法回归分析法若若相相关关点点分分布布较较散散，目目估估定定线线有有一一定定任任意意性性，为为保保证证一一定定精精确确性性，最最好好采采用用分分析析法法来来确确定定相相关关线的方程。设该直线方程形式为：线的方程。设该直线方程形式为：y=a+bx式中，式中，x：自变量：自变量 y：倚变量：倚变量 a,b：分别为一常数，待定。：分别为一常数，待定。则相关点与直线在则相关点与直线在纵轴方向纵轴方向必然存在必然

60、存在离差离差。75（2）相关分析法回归分析法 若相关点分布较散，目估配合曲线与观测点在纵轴方向的离差为：配合曲线与观测点在纵轴方向的离差为：xiy76配合曲线与观测点在纵轴方向的离差为：xiy76要求配合曲线与所有的观测点能要求配合曲线与所有的观测点能“最佳最佳”拟合，拟合，即满足所有的观测点的离差即满足所有的观测点的离差 y的平方和为最小，即：的平方和为最小，即：分别对分别对a,b求一阶偏导数，并令其为零：求一阶偏导数，并令其为零：77 要求配合曲线与所有的观测点能“最佳”拟合，即求解上列两联立方程式，可得求解上列两联立方程式，可得:78求解上列两联立方程式，可得:78式中，式中，：分别为分

61、别为x,y系列的均方差系列的均方差/标准差标准差;：分别为：分别为x,y 系列的平均值系列的平均值;：x,y系列的变差系数系列的变差系数(按不偏估计公式计算按不偏估计公式计算):：相关系数：相关系数;Kxi，Kyi：分别为：分别为xi,yi系列的模比系数系列的模比系数:79式中，：分别为x,y 系列的均方为回归线的斜率，称为回归线的斜率，称y为为x倚的回归系数倚的回归系数式即为式即为y 倚倚x 的回归方程，其曲线称为的回归方程，其曲线称为(仅是对点据拟合最佳一条线仅是对点据拟合最佳一条线)，亦可表示为：，亦可表示为：将将 ，代入代入y=a+bx中得：中得：80为回归线的斜率，称 y 为 x 倚

62、的回归系数式即为y 倚x 三、回归线的误差三、回归线的误差回回归归线线只只能能反反映映两两变变量量间间的的平平均均关关系系，由由于于x,y并并非非确确定定性性关关系系，对对于于x=x0，无无法法知知道道其其相相应应的的真真正正值值y0，利利用用回回归归线线来来插插补补展展延延短短期期系系列列时时，总总有有一一定定误误差差。通过回归方程求到：通过回归方程求到：仅仅仅仅是是真真正正值值y0的的一一个个估估计计值值。故故其其与与真真正正值值y0存存在在偏偏差差。根根据据统统计计学学的的研研究究，由由于于随随机机因因素素的的影影响响，y0在在估估计计值值上上下下波波动动呈呈正正正正态态态态分分分分布布

63、布布，为为了了衡衡量量回回归归线线与与观观测测点点之之间间的的误误差差，采采用用均均方方误误，其其均均方方误误差差可可用用公式表示。公式表示。81三、回归线的误差 回归线只能反映两变量间的平均关系式中，式中，Sy：y倚倚x回归线的均方误回归线的均方误;yi：观观测测点点的的纵纵坐坐标标值值;y：由由回回归归方方程程求求到的纵坐标值；到的纵坐标值；n：观测项的数目：观测项的数目y y倚倚倚倚x x回归线的均方误估算公式：回归线的均方误估算公式：回归线的均方误估算公式：回归线的均方误估算公式：如如前前所所述述，可可以以用用均均方方误误进进行行误误差差分分析析，即即对对于于任任一一固固定定的的x=x

64、0值值，若若以以作作为为y 的的估估值值，其其误误差差不不超超过过Sy的的可可能能性性为为68.3%;其其误误差差不不超超过过3Sy的的可可能能性性为为99.7%。82式中，Sy：y倚x回归线的均方误;y倚x回归线的均方误另另外外，可可以以证证明明回回归归线线的的均均方方误误与与系系列列标标准准差及相关系数差及相关系数 有以下关系：有以下关系：式中式中，为为y系列的标准差系列的标准差(无偏估计量无偏估计量)根据均方误公式，也可以用根据均方误公式，也可以用 2来判断相关程度来判断相关程度:若若 2=1，Sy=0，则，则y=yi，属函数关系，属函数关系;若若 2=0，Sy=y，误差最大，属零相关，

65、误差最大，属零相关;若若0 21,为统计相关为统计相关,21,x,y 关系愈密切。关系愈密切。可知，均方误可知，均方误Sy值愈大，则回归方程的误差愈大值愈大，则回归方程的误差愈大。83 另外，可以证明回归线的均方误与系列标准差及相相关系数的均方误可用下式来估算：相关系数的均方误可用下式来估算：式中，式中，为相关系数；为相关系数；n为观测项数。为观测项数。相相相相关关关关系系系系数数数数是是根根据据有有限限的的实实测测资资料料(样样本本)计计算算出出来的，故相关系数也不免带有抽样误差来的，故相关系数也不免带有抽样误差故水文上为了推断二个变量的相关性，必须对故水文上为了推断二个变量的相关性，必须对

66、样本相关系数作统计检验。样本相关系数作统计检验。四、相关系数显著水平四、相关系数显著水平84相关系数的均方误可用下式来估算：式中，为相关系数；相关系数的统计检验的思路相关系数的统计检验的思路-反证法反证法反证法反证法：检检验验二二个个变变量量是是否否相相关关，先先假假定定二二个个变变量量不不相相关关，由由此此如如果果导导致致“不不合合理理的的现现象象”发发生生，则则表表明明原原先先的的假假定定不不成成立立，拒拒绝绝“不不相相关关”的的假假定定，如如果果没没有有导导致致“不不合合理理现现象象”发发生生，则则原原假假定定成成立立，称称原假定是相容的。原假定是相容的。这这里里所所谓谓的的“不不合合理理”不不是是指指形形式式逻逻辑辑上上的的绝绝对矛盾，而是基于实践中广泛采用的一个原则：对矛盾，而是基于实践中广泛采用的一个原则：小概率事件在一次观测中是不可能发生的小概率事件在一次观测中是不可能发生的小概率事件在一次观测中是不可能发生的小概率事件在一次观测中是不可能发生的 。相关系数的统计检验相关系数的统计检验相关系数的统计检验相关系数的统计检验：85相关系数的统计检验的思路-反证法：相关系数的统