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1、12-1 隐函数存在定理与隐函数微分法隐函数存在定理与隐函数微分法形如：为显函数自变量与因变量之间的对应法则由一个方程所确定的函数叫隐函数隐函数的求导公式隐函数的求导公式所以存在x0小邻域，恒有再证明连续性证明具有连续导数证明具有连续导数 需要利用二元函数的拉格郎日公式，因此在此不做证明，我们只推导一下公式解解令令则则解（解（1）令令则则解解（2）则则二、一个方程二、一个方程,两个自变量两个自变量解解令令则则解法解法1令令解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由d y,d z 的系数即可得整理得整理得解法三整理得整理得整理得整理得例例7.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏
2、导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法解法2 微分法.例例8 8解解于是可得于是可得,.,0),(,sin,0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 j j j j=j j=二、方程组的情形有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式同样可得解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项例例1将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得例例3.3.设函数在点(u,v)的
3、某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数式两边对 x 求导,得则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得例例4 4解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面切向量切向量r(t)=(x(t0)，y(t0),z(t0)2.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为确定确定r(x)=(x,y(x)
4、,z(x).)曲线切向量为曲线切向量为:1,y(x),z(x)x0,曲线方程曲线方程两边对两边对x求偏导后可得到求偏导后可得到:空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为确定确定r(x)=(x(y),y,z(y).)曲线切向量为曲线切向量为:x(y),1,z(y)y0,曲线方程曲线方程两边对两边对x求偏导后可得到求偏导后可得到:所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为确定确定r(x)=(x,y(x),z(x).)思考题思考题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2019考研考研)解得因此解法解法1 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得2.设是由方程和所确定的函数,求(99考研考研)2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法2 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研考研)END
x12-1隐函数存在定理与隐函数微分法-课件
