Chapter4-数字相关和数字卷积资料课件

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1、第四章第四章 数字相关和数字卷积数字相关和数字卷积4.1 线性相关线性相关4.2 循环相关循环相关4.3 相干函数相干函数4.4 线性卷积线性卷积4.5 循环卷积循环卷积4.6 相关函数和功率谱的估计（自学）相关函数和功率谱的估计（自学）4.7 相关技术的应用相关技术的应用2024/4/241/584.1 线性相关线性相关 线性相关是讨论线性相关是讨论两信号两信号之间的之间的同步性同步性或或相似性相似性或或同同相性相性或两信号的变化规律是否具有或两信号的变化规律是否具有线性关系线性关系或或接近线性接近线性关系关系的的程度程度。2024/4/24 设有离散信号有离散信号x(n)和和y(n),其其

2、线性相关函数性相关函数为：m0表示表示y(n)序列序列左移左移，m0表明有表明有同相成分同相成分存在，存在，rxy(m)3时，没有公共部分，相乘必然，没有公共部分，相乘必然为零；零；当位移当位移m0,表示表示y(-n)右移，右移，m0,表示表示y(-n)左移。左移。线性卷性卷积运算的运算的简洁表达方式：表达方式：式中，式中，*表示表示线性卷性卷积运算符。运算符。31/584.4 线性卷积线性卷积令令k=m-n，则，则n=m-k 2024/4/24令令k=m+n，则n=k-m 因此，卷因此，卷积运算交运算交换先后不影响先后不影响结果，但是相关运果，但是相关运算互算互为相反数。相反数。32/584

3、.4 线性卷积线性卷积【例例4-9】设设x(n)和和y(n)是有限长的序列，序列是有限长的序列，序列x(n)长度长度为为N点，序列点，序列y(n)的长度为的长度为M点点,x(n)除区间除区间N1n N2之之外皆为外皆为0，y(n)除区间除区间N3n N4之外皆为之外皆为0，证明他们的，证明他们的线性卷积函数线性卷积函数cxy(m)的长度为的长度为M+N-1点，并且区间点，并且区间N3+N1m N4+N2之外皆为之外皆为0。2024/4/24证明：依明：依题意，意，x(n)的非的非0区区间：N1n N2y(m-n)的非的非0区区间：N3m-n N4 因此：因此：N3+N1m N4+N233/58

4、4.4 线性卷积线性卷积2024/4/24【例例4-10】设设x(n)和和y(n)是有限长的序列，是有限长的序列，x(n)=1,0.1,-1,0.1,y(n)=0.1,1,0.1,-1,求两序列的线性卷积。求两序列的线性卷积。解：解：线性卷性卷积也可以采用直接也可以采用直接计算法、表格法和算法、表格法和图形法形法求解。求解。（1）直接）直接计算法（算法（最直接最直接）x(n)和和y(n)都是都是4点点长的序列，的序列，n从从0到到3有有值，其余，其余为零，当位移零，当位移m6时，也没有公共部分，相乘，也没有公共部分，相乘为零；因而我零；因而我们只要求只要求m0、1、2、3、4、5、6的的cxy

5、(m)即可：即可：34/584.4 线性卷积线性卷积2024/4/24综上，上，35/584.4 线性卷积线性卷积 （2）图形法（）图形法（最复杂最复杂）2024/4/2436/584.4 线性卷积线性卷积2024/4/24 （3）表格法（）表格法（最直最直观）表格第一行表示表格第一行表示 x(n)，第二行开始把，第二行开始把对应时刻刻m的的y(m-n)逐一填入，然后逐一填入，然后对同一同一m值，取，取x(n)y(m-n)的乘的乘积，再相加，得到，再相加，得到cxy(m)。x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(-1)y(-2)y(-3)y(1)y(0)y(-1)y(-2)y(2)y(1)

6、y(0)y(-1)y(3)y(2)y(1)y(0)y(4)y(3)y(2)y(1)y(5)y(4)y(3)y(2)y(6)y(5)y(4)y(3)37/584.4 线性卷积线性卷积 如果如果x(n)和和y(n)的序列点比较长，用上述的直接计算法、表的序列点比较长，用上述的直接计算法、表格法和图形法就显得不太方便，因此需要用矩阵形式来进行表格法和图形法就显得不太方便，因此需要用矩阵形式来进行表达。假设达。假设x(n)序列长度为序列长度为N点，点，y(n)序列长度也为序列长度也为N点，两序列点，两序列N点之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性卷积函数点之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性卷积函数cxy(

7、m)：2024/4/24 如果如果x(n)和和y(n)的的长度不同，度不同，则将短的序列将短的序列进行行补0，使得两，使得两序列点序列点长相同，然后相同，然后计算算cxy(m)。Matlab中有直接求中有直接求线性卷性卷积的的函数：函数：c=conv(x,y)。cxy(0)cxy(1)cxy(N-1)cxy(2N-2)38/58课堂练习课堂练习2024/4/24用直接法和表格法做如下例用直接法和表格法做如下例题：1、设设 x(n)和和 y(n)是是 有有 限限 长长 的的 序序 列列，x(n)=1,2,-2,y(n)=2,2,-2,求两序列的线性卷积函数。求两序列的线性卷积函数。39/584.

8、5 循环卷积循环卷积 循环卷积是针对序列的循环移位的一种相关运算。循环卷积是针对序列的循环移位的一种相关运算。有限长序列的循环移位是指有限长序列的循环移位是指y(m-n)NRN(n),即让序即让序列列y(-n)以以N为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓，然后再进行，然后再进行右移位右移位。只朝一个方向进行移位的原因：对周期序列只朝一个方向进行移位的原因：对周期序列向右移向右移动一个动一个位置，等效于位置，等效于向左移动向左移动N-1个位置个位置。2024/4/24 例如：将周期序列例如：将周期序列y(-n)N右移右移1个个单位位变为y(-n+1)N,由于是周期序列，因此有如下关系：由于是周期序

9、列，因此有如下关系：y(-n+1)N=y(-n+1-N)N=y(-(n+(N-1)N40/584.5 循环卷积循环卷积2024/4/24 设有离散信号有离散信号x(n)和和y(n),其其N点循点循环卷卷积函数函数为：由于循由于循环移位的关系，最后得到的循移位的关系，最后得到的循环卷卷积序列的序列的长度就是度就是N点，点，m取取0,1,2,N-1。循循环卷卷积运算的运算的简洁表达式如下：表达式如下：式中，式中，表示循表示循环卷卷积运算符运算符41/584.5 循环卷积循环卷积【例例4-11】求例求例4-10中的两个序列的中的两个序列的4点循环卷积函数。点循环卷积函数。2024/4/24解：同解：

10、同样可以采用直接可以采用直接计算法、算法、图形法和表格法来形法和表格法来进行行求解求解 （1）直接）直接计算法算法 x(n)和和y(n)都是都是4点点长的序列，的序列，n从从0到到3有有值，其余，其余为0,4点循点循环相关就只要运算相关就只要运算m=0,1,2,3的的 cxy(m)。把。把y(-n)以以4为周期周期进行周期延拓，得到：行周期延拓，得到：42/584.5 循环卷积循环卷积2024/4/24因此，因此，43/584.5 循环卷积循环卷积 （2）表格法）表格法 第一行表示第一行表示x(n)，第二行并开始将对应时刻，第二行并开始将对应时刻m的的y(m-n)NRN(n)逐一填入，然后对同

11、一逐一填入，然后对同一m值，取值，取x(n)与与y(m-n)NRN(n)对应项的乘积，再相加，得到循环相关对应项的乘积，再相加，得到循环相关函数函数 cxy(m)。2024/4/24x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(-1+4)y(-2+4)y(-3+4)y(1)y(0)y(-1+4)y(-2+4)y(2)y(1)y(0)y(-1+4)y(3)y(2)y(1)y(0)44/584.5 循环卷积循环卷积 （3）图形法）图形法 通过右移可以依次得到通过右移可以依次得到m=0,1,2,3的的y(m-n)NRN(n)。然后将得到的然后将得到的4点序列与点序列与x(n)对应相乘，再相加即可。对应

12、相乘，再相加即可。如下图，将第一幅图与最后一幅图相乘再相加即可得到如下图，将第一幅图与最后一幅图相乘再相加即可得到当当m=3时的时的cxy(3)=-1.98。2024/4/2445/584.5 循环卷积循环卷积2024/4/2446/584.5 循环卷积循环卷积 求循环卷积函数时，如果求循环卷积函数时，如果x(n)的长度为的长度为N，y(n)的的长度为长度为M，若要求他们的，若要求他们的L点循环卷积，点循环卷积，L大于或等于大于或等于M、N，也是一样把，也是一样把y(-n)以以L为周期进行周期延拓，再为周期进行周期延拓，再右移位，取右移位，取L点主值与补点主值与补0到到L点长的点长的x(n)对

13、应项相乘，对应项相乘，再相加。再相加。2024/4/24 如果如果x(n)和和y(n)的序列点比的序列点比较长，同，同样也可以用矩也可以用矩阵的形式的形式对cxy(m)进行求解：行求解：cxy(0)cxy(1)cxy(N-1)47/584.5 循环卷积循环卷积 Matlab中的循环右移的函数中的循环右移的函数circler()2024/4/24function v=circler(y)N=length(y);v=zeros(N,N);for i=1:N for j=1:N v(i,j)=y(j);end L=y(N);for k=N:-1:2 y(k)=y(k-1);end y(1)=L;en

14、dV=V;生成矩阵生成矩阵给定定x(n)与与y(n),计算算过程：程：V=circler(y);r=x*V，序列短就，序列短就补0，使两短序列使两短序列长度相等，在度相等，在进行上述行上述计算。算。48/58课堂练习课堂练习2024/4/24用直接法和表格法做如下例用直接法和表格法做如下例题：1、设设 x(n)和和 y(n)是是 有有 限限 长长 的的 序序 列列，x(n)=1,2,-2,y(n)=2,2,-2,求两序列的求两序列的3点循环卷积函数。点循环卷积函数。49/584.7 相关技术的应用相关技术的应用 相关技术分为自相关和互相关，分别用自相关函相关技术分为自相关和互相关，分别用自相关

15、函数和互相关函数。数和互相关函数。自相关函数研究信号本身：波形的同步性和周期自相关函数研究信号本身：波形的同步性和周期性等。性等。互相关函数研究两信号的同一性程度：测定两信互相关函数研究两信号的同一性程度：测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号。号间的时间滞后或从噪声中检测信号。2024/4/24 对于确定信号于确定信号x(n)的自相关函数：的自相关函数：如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定义：50/584.7 相关技术的应用相关技术的应用 几种常用信号的自相关函数。几种常用信号的自相关函数。（1）信号为正弦波的自相关函数）信号为正弦波的自相关函数

16、设设 ，周期为，周期为M，则自相关函数为：，则自相关函数为：2024/4/2451/584.7 相关技术的应用相关技术的应用 （2）信号为白噪声的自相关函数）信号为白噪声的自相关函数设有一功率谱为设有一功率谱为 ，则自相关函数为：，则自相关函数为：2024/4/24 “白白”的含的含义指两点之指两点之间没有任何相关性，没有任何相关性，带限白噪限白噪声，功率声，功率谱为矩形波。矩形波。sinc函数性状，就是函数性状，就是m=0有最大有最大值，m足足够大大时趋近近0。一个一个观测信号信号x(n)实际上是周期信号上是周期信号s(n)和随机信和随机信号号w(n)的叠加加的叠加加过程，程，x(n)=s(

17、n)+w(n)。如果信号和噪声互不相关，如果信号和噪声互不相关，则自相关函数：自相关函数：rxx(m)=rss(m)+rww(m)m足足够大，大，rxx(m)不不为0，可以判定周期信号存在！，可以判定周期信号存在！52/584.7 相关技术的应用相关技术的应用【例例4-13】设周期信号设周期信号s(n)=0.8sin(n/5)，噪声，噪声w(n)为随为随机产生的白噪声，观测信号机产生的白噪声，观测信号x(n)=s(n)+w(n)。2024/4/24%产生生s信号信号clearm=1:300;for n=1:300 s(n)=0.8*sin(pi*n/5);end%产生随机白噪声生随机白噪声w=

18、randn(1,300);%生成生成观测信号信号x=s+w;%产生自相关函数生自相关函数rww=xcorr(w);V=circlel(s);rss=s*V;%或者或者rss=xcorr(s);for k=301:599 rss(k)=rss(k-300+1);endrxx=xcorr(x);%生成原始信号生成原始信号图figure,subplot(3,1,1),plot(m,w)subplot(3,1,2),plot(m,s)subplot(3,1,3),plot(m,x)%生成自相关函数生成自相关函数图figure,subplot(3,1,1),plot(-299:299,rww)subpl

19、ot(3,1,2),plot(-299:299,rss)subplot(3,1,3),plot(-299:299,rxx)%扩大大观测信号的自相关函数信号的自相关函数figure,plot(120:299,rxx(120:299)53/584.7 相关技术的应用相关技术的应用结果：结果：2024/4/2454/584.7 相关技术的应用相关技术的应用【例例4-14】设设x(n)=e-0.05ncos(n/6)，y(n)=1.2x(n-n0),它它们的波形如下图所示，试估计延迟们的波形如下图所示，试估计延迟n0。2024/4/24%生成信号生成信号x和和ym=0:23;for n=1:24 x(

20、n)=exp(-0.05*n)*cos(pi*n/6);endfor n=5:24 y(n)=1.2*x(n-4);endy(1:4)=0;figure,subplot(2,1,1),stem(m,x),title(信号信号x)subplot(2,1,2),stem(m,y),title(信号信号y)%求信号求信号x和和y的互相关函数的互相关函数rxy和和ryxrxy=xcorr(x,y);ryx=xcorr(y,x);figure,subplot(2,1,1),stem(-23:23,rxy),title(信号信号x和和y的互相关函数的互相关函数rxy)subplot(2,1,2),stem

21、(-23:23,ryx),title(信号信号x和和y的互相关函数的互相关函数ryx)55/584.7 相关技术的应用相关技术的应用结果：结果：2024/4/2456/58本章小结本章小结2024/4/241、掌掌握握：线性性相相关关、线性性卷卷积、相相干干函函数数和和相相干干系数；系数；2、熟悉：循熟悉：循环相关和循相关和循环卷卷积；3、了解：相关技了解：相关技术的的应用。用。57/58本章习题本章习题2024/4/24用直接法和表格法做如下例用直接法和表格法做如下例题：1、设设x(n)和和y(n)是是有有限限长长的的序序列列，x(n)=2,0.1,-2,0.1,y(n)=0.1,2,0.1

22、,-2,求求两两序序列列的的线线性性相相关关、循循环环相相关关、线线性卷积和循环卷积函数。性卷积和循环卷积函数。58/582024/4/24下集下集预告告第五章第五章 维纳滤波波59/582024/4/24实验二详解实验二详解%选择信号信号类型并型并设定参数，定参数，产生信号生信号x(n)clear;clc;disp(请选择信号信号);disp(1-伪随机序列随机序列randn();disp(2-实际测量的心量的心电信号信号);disp(3-实际测量的量的脑电信号信号);b=input(信号：信号：);switch b%输入序号，入序号，产生相生相应信号，信号，L=128，N=8 case 1

23、 L=input(每段数据每段数据长度度 L n);N=input(数据共多少段数据共多少段 N n);x=randn(1,L*N);case 2 load ecgdata;display(数据数据总长度度,num2str(length(ecgdata),点点);L=input(每段数据每段数据长度度 L n);N=input(数据共多少段数据共多少段 N n);x=ecgdata(1:(N*L);case 3 load eegdata;display(数据数据总长度度,num2str(length(eegdata),点点);L=input(每段数据每段数据长度度 L n);N=input(数

24、据共多少段数据共多少段 N n);x=eegdata(1:(N*L);end%估估计信号的信号的统计特征量特征量Xmean=zeros(1,N);%每段数据均每段数据均值Xms=zeros(1,N);%每段数据均方每段数据均方值Xvar=zeros(1,N);%每段数据方差每段数据方差rxs=xcorr(x,x);pxs=abs(fft(rxs);for k=1:N xs=x(k-1)*L+1):(k*L);Xmean(k)=mean(xs);Xms(k)=std(xs).2+Xmean(k)2;Xvar(k)=var(xs);end%显示示n=1:N;figure;subplot(2,3,1

25、);stem(n,Xmean,.);title(mean);subplot(2,3,2);stem(n,Xms,.);title(mean square);subplot(2,3,3);stem(n,Xvar,.);title(variance);xlabel(L=,num2str(L),N=,num2str(N);subplot(2,3,4);hist(x,100);%绘制数据直方制数据直方图，观察信号大察信号大致的概率分布致的概率分布subplot(2,3,5);stem(-(N*L-1):N*L-1,rxs);%绘制自相关制自相关图谱subplot(2,3,6);stem(-(N*L-1

26、):N*L-1,pxs);%绘制自功率制自功率图谱60/582024/4/24实验二详解实验二详解1-伪随机序列随机序列randn()，L=128，N=861/582024/4/24实验二详解实验二详解2-实际测量的心量的心电信号，信号，L=128，N=862/582024/4/24实验二详解实验二详解3-实际测量的量的脑电信号，信号，L=128，N=863/58人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。