特色题型专练06 最值问题-四边形-2024年中考数学考试易错题

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1、中考特色题型专练之最值问题四边形题型一、将军饮马（最小值）1 如图，菱形ABCD 中，上BAD = 60O,M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点， 若PM + PB 的最小值是 ，则 AB 长为( )试卷第 1 页，共 14 页A 2 B 1 C 2 3 D 32 如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中，点 Q 是BC 的中点，点 P 是对角线AC 上一 动点，连接PB ，PQ ，则 PBQ 周长的最小值是( )A 5 B . 3 十1 C 8 D . 5 十13 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = 一x2 十 2x 十 3 的图象与 x 轴交于点A ，B， 与y 轴交于

2、点 C，点 P 在线段BC 上，则PA 十 PO 的最小值是 .4 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE = 2 ，AE = 3BE ，则 AD = ， 若P 是AC 上一动点，则PB 十 PE 的最小值是 .题型二、中位线最值5如图，在菱形ABCD 中，E，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连结AE ，EF ，G，H分别为AE ，EF 的中点，连结GH 若7B60O ，BC4 ，则 GH 的最小值为( )试卷第 2 页，共 14 页A 2 B 6 C 3 D 36如图，在菱形ABCD 中，E，F 分别是边 CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G，H分别为AE ，EF

3、 的中点，连接 若上B = 45O ，BC = 2 ，则 的最小值为 ( )A B C D . 7 如图，在 ABCD 中，上C = 120。，AD = 2AB = 8 ，点 H ，G 分别是边CD ，BC 上 的动点，连接AH ， HG，点 E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ，则 EF 的 最大值与最小值的差为 .8 如图，在菱形ABCD 中，AB = 8 ，上B = 45O ，E，F 分别是过CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则 GH 的最小值 为 .题型三、两动一定9 已知矩形ABCD 中AB = 6 ，上AB

4、D = 60O ，M，N 分别是BD，AD 上的动点，则AM + MN 的最小值为( )A 6 B 6 + 6 5 C 9 D 1210如上图所示，矩形ABCD ，AB = 6 ，BC = 6 ，点E 是边AD 上的一个动点，点F试卷第 3 页，共 14 页是对角线BD 上一个动点，连接BE ，EF ，则 BE + EF 的最小值是( )A 6 B 6 3 C 12 D 12311 如图，在矩形ABCD 中，AB = 4 ，AD = 8 ，点 E、F 分别为AD 、CD 边上的点， 且EF 的长为4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA + PG 的最小值为 .12如图，在正方

5、形ABCD 中，点 E 在边AD 上，AE = 2 ，点 P、Q 分别是直线AB、BC 上的两个动点，将AEQ 沿EQ 翻折，使点 A 落在点 F 处，连接EF, QF，PF，PD ，若 正方形的边长是 6，则 PD + PF 的最小值是 .题型四、两定一定长13 如图，上AOB = 90O ，OC = 2 ，D 为OC 中点，长为 1 的线段EF （点 F 在点E 的 下方）在直线OB 上移动，连接DE ，CF ，则 DE + CF 的最小值为( )A . 5 B 10 C 2 5 D 3 214 如图，在边长为 10 的正方形ABCD 对角线上有 E，F 两个动点，且AB = 点 P 是B

6、C 中点，连接AE, PF ，则 AE + PF 最小值为( )试卷第 4 页，共 14 页A 5 5 B 10 5 C 5 2 D 1015 如图，在矩形ABCD 中，AB = 6 ，BC = 3，点 E，F 分别是AB，CD 上的点，EF TAC ，垂足为点 O ，连接 EC，AF ，则 EC + AF 的最小值为 .16如图，在矩形ABCD 中，AB = 8 ，BC = 6 ，点E 在边BC 上，CE = 2 ，若点P 、Q 分别为边CD与AB 上两个动点，线段PQ 始终满足与AE 垂直且垂足为F ，则 AP +QE 的最小值为 .题型五、两点最值17 如图，矩形ABCD 中，AB=6

7、，BC=10 ，点 E 在边AD 上，且AE = 2 ，F 为边AB 上的一个动点，连接EF ，过点 E 作EG 丄 EF 交直线BC 于点 G，连接FG ，若 P 是FG 的中点，则DP 的最小值为( )A B 6 C 5 D 2 18 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2, BC = 4 ，P 是对角线 AC 上的动点，连接 DP，将 直线 DP 绕点 P 顺时针旋转，使旋转角等于7DAC ，且 DG 丄 PG ，即试卷第 5 页，共 14 页7DPG = 7DAC 连接 CG，则 CG 最小值为( )A . i5 B C D . 19 图，在矩形ABCD 中，AB = 6 ，AD =

8、 4 点 E 是AB 上的动点，点 F 是线段AE 上的点，且EF = 3AF ，DE ，CF 相交于点 P，则 DP 的最大值为 ，最小值为 .20如图，正方形ABCD 的边长为 4，E 是CD 边上的一点，连接AE ，过 B 点作BF T AE 于点 F，点 G 与 F 关于CD 对称，H 为CG 的中点，则AH 的最小值为 .题型六、平行线之间距离最短21 如图，在RtABC 中，7B = 90O ，AB = 4 ，BC = 3，点 E 在AB 上，以AC 为对角 线的所有 ADCE 中，对角线DE 的最小值是( )A 2 B 3 C 4 D 522 如图，在RtABC 中，7B=90O

9、 ，BC=4 ，AC=5 ，点 D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是( )试卷第 6 页，共 14 页A 3 B 6 C 8 D 1023 如图，在RtABC 中，上B = 90。，AC = 10 ，BC = 8 ，点 D 是线段BC 上一动点，以AD ，CD 为邻边作 ADCE ，则对角线 DE 的最小值是 24 如图，三角形材料ABC ，7B = 90O ，BC = 4 ，AC = 5 ，点 D 在边BC 上，添加一块三角形材料ACE ，加工成 ADCE 的材料，则 ADCE 的对角线DE 的最小值 是 .题型七、斜中定值最值25 如图，在平面直角

10、坐标系中，正方形 ABCD 的两个顶点 A 、B 是坐标轴上的动点， 若正方形的边长为 4，则线段 OC 长的最大值是( )A 2 + 2 B C 4 D 826如图，已知上MON = 90。，线段AB 长为 6 ，AB 两端分别在OM 、ON 上滑动，以AB为边作正方形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点P ，连接OC 则OC 的最大值为( )试卷第 7 页，共 14 页A 6 + 35 B 8 C 3 + 35 D 927 如图，7MEN = 90O ，矩形ABCD 的顶点B ，C 分别是7MEN 两边上的动点，已知 BC = 10, CD = 5 ，点 D ，E 之间距离的最大值是

11、.28如图，已知7MON = 90O ，线段AB 长为 6 ，AB 两端分别在OM 、ON 上滑动，以AB为边作正方形ABCD ，对角线 AC 、BD 相交于点P ，连接OC ，则OC 的最大值 为 .题型八、矩形对角线最值29如图，RtABC 中，7ACB = 90O ，AC = 3 ，BC = 4 ，D 是AB 上的动点，过点D 作DE 丄AC 于点E ，DF T BC 于点F ，连接 EF ，则线段 EF 的最小值是( )A 1.2 B 2.5 C 1.5 D 2.430 如图，在RtABC 中，7C = 90O ，BC = 3 ，AC = 4 ，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD

12、T AC 于点 D，过 M 作ME T CB 于点 E，则线段DE 的最小值为( )试卷第 8 页，共 14 页A B 5 C D 2.531 如图，在RtABC 中，上BAC = 90O，且 BA = 3 ，AC = 4 ，点 D 是斜边BC 上的一 个动点，过点D 分别作DM 丄AB 于点M ，DN 丄AC 于点N ，连接MN，则线段MN 的最小值为 .32如图，在正方形ABCD 中，点 E 在对角线AC 上，EF 丄 AB 于点 F，EG 丄 BC 于点 G，连接DE ，若 AB = 20 ，则 FG 的最小值为 .题型九、费马点33 如图，矩形 ABCD 中，AB = ，BC3 ，P

13、为矩形内一点，连接 PA ，PB ，PC， 则 PAPBPC 的最小值是( )A 2 3 + 3 B 2 5 C 2 3 + 3 D 2134 如图，在矩形ABCD 中，AB = ，BC = 3 ，P 为矩形内一点，连接AP ，BP ， CP ，则 PA + PB + PC 的最小值是( )试卷第 9 页，共 14 页A 21 B 2 3 + 3 C + 3 D 4 335 如图，在菱形ABCD 中，点 P 为对角线AC 上的动点（不与端点重合）过点 P 作PM T AB 于点 M，PN T BC 于点 N，连接PD ，已知tan 7BAC = ，AC = 24 ，则PD + PM + PN

14、的最小值等于 .36如图，设P, Q 是边长为 1 的正方形ABCD 内的两个点，则AP + BP + PQ + QC +QD 的最小值为 .题型十、隐直线 A37 如图，在矩形ABCD 中，AB = 10, AD = 6 ，动点P 满足SPAB = S矩形ABCD ，则点 P到A、B 两点距离之和PA + PB 的最小值为( )A 3 B C 10 D 2 38 如图，在长方形ABCD 中，AB = 5 ，AD = 3 ，动点 P 满足SPAB = S长方形ABCD ，则PA + PB 的最小值为( )试卷第 10 页，共 14 页A . 41 B 34 C 29 D 5 239 如图，P

15、是长方形ABCD 内部的动点，AB = 4, BC = 6 ， PBC 的面积等于 9，则 点P 到B、C 两点距离之和PB + PC 的最小值为 .40如图，动点 P 在矩形ABCD 内运动，AB = 7 ，BC = 5 ，且满足SABP = 10.5 ，PA + PB 的最小值是 .题型十一、折叠圆41如图，在矩形ABCD 中，AB = 2 ，BC = 4 ，点E 为BC 边上的动点，将 ABE 沿AE 折叠到 AFE ，则在点 E 的运动过程中，CF 的最小值是( )A 2 5 一 2 B 2 5 一 3 C 2 5 一 4 D 无法确定42 如图，在平行四边形 ABCD 中， 上B=6

16、0O ， AB = 4 ， AD = 6 ， E 是 AB 边的中点， F 是线段BC 上的动点，将EBF 沿EF 所在直线折叠得到EB,F ，连接 B,D ，则 B,D 的最小值是( )A 2 10 一 2 B 6 C 4 D 2 13 一 2试卷第 11 页，共 14 页43如图，在矩形ABCD 中，AD = 8cm ，P 是BC 边上的一点，且BP = 3cm ，E 是线段CD 上的一个动点，把 PCE 沿PE 折叠，点 C 的对应点为 F当点 E 与点 D 重合时，点 F 恰好落在边AB 上，则AF 的最小值是 .44 如图，矩形ABCD 中，AB = 5 ，AD = 3 ，E 是CD

17、边上一点，将 ADE 沿AE 折叠， 使点D 落在点D, 处，连接CD则CD的最小值为 .题型十二、直角圆45 如图，F 为正方形ABCD 的边CD上一动点，AB = 2 ，连接BF ，过A 作AH 丄 BF交BC 于H ，交 BF 于G ，连接 CG ，当 CG 为最小值时，CH 的长为( )A s2 B C D 3 + i546 如图，正方形ABCD 的边长为 4，点 E 是AD 边上的一动点，点 F 是CD边上的一 动点，且AE = DF ，AF 与BE 相交于点 P，连接PD ，在 F 运动的过程中，PD 的最小值 为( )A 2 5 2 B . 5 1 C 2 3 1 D 2 3 2

18、47 如图，在边长为 1 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，CD 上的动点，且AE = DF ，连接 BE ，AF ，交于点 G .试卷第 12 页，共 14 页（1）连接DG ，则线段DG 的最小值是 ；（2）取 CG 的中点H ，连接DH ，则线段DH 的最小值是 .48 如图，在矩形ABCD 中，AB = 6 ，AD = 8 ，E 是BC 上的一动点（不与点B、C 重合）连接AE ，过点 D 作DF 丄 AE ，垂足为 F ，则线段 BF 长的最小值为 .题型十三、其它最值49 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一个动点，且满足 上PBC + 上PDC =

19、 45O ， 则CP 的最小值是( )A 2 B C D 150 如图，平行四边形 ABCD 中， AB = 12 ， AD = 10 ， 上A = 60O ，E 是边 AD 上一点， 且AE = 6 ，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60O，得到EN ，连 接BN 、CN ，则 BN+ CN 的最小值是( )A 321 B 4 14 C 14 D 4 1351 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当试卷第 13 页，共 14 页PE + PF 取得最小值时， 的值是 .52 阅读理解：平面内任意两点(x1, y1 )

20、，(x2,y2 ) 的距离可以表示为 , 反之， 表示点(x1, y1 ) 与点(x2,y2 ) 之间的 距离尝试利用阅读内容解决问题：如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 上一点，且 , E，F 分别为BC ，CD 上的动点，且BE = 2DF ，若AB = 4 ，则ME + 2AF 的最小值是 .试卷第 14 页，共 14 页1 A【分析】本题主要考查了菱形的性质， 勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，连接BD，PD，MD ，由菱形的性质得到 AB = AD ，AC 垂直平分BD ，则 PD = PB ，故当 P、D、M 三点共线时，PM 十 PD 最小，即此时PM 十

21、 PB 最小，则DM = 3 ；证明 BAD 是等边三角形，得到DM 丄AB ，7ADM = 30O ，求出DM = 1 ，则AB = 2AM = 2 .【详解】解：如图所示，连接BD，PD，MD ，由菱形的性质可得AB = AD ，AC 垂直平分BD ， : PD = PB ，: PM 十 PB = PM 十 PD ，:当P、D、M 三点共线时，PM 十 PD 最小，即此时PM 十 PB 最小， 7BAD = 60O ，: BAD 是等边三角形， M 是AB 的中点，: DM 丄AB ，7ADM = 30O ，: AB = 2AM = 2 ， 故选；A .2 D【分析】本题考查了正方形的对称

22、性， 线段和最小，勾股定理，根据正方形性质，得到点 B 与点 D 是对称点，连接DQ ，交 AC 于点 P，此时 PBQ 周长最小，结合边长为 2 的正方形ABCD 中，点 Q 是BC 的中点，得到BQ = QC = BC = 1, BC = CD = 2, 7BCD = 90O ，根据勾股定理计算即可. .答案第 1 页，共 50 页【详解】边长为 2 的正方形ABCD 中，点 Q 是BC 的中点，: BQ = QC = BC = 1, BC = CD = 2, 上BCD = 90o ，点 B 与点 D 是对称点，连接DQ ，交 AC 于点 P，此时 PBQ 周长最小， : PBQ 周长的最

23、小值是PB + PQ+ BQ = DQ+ BQ = +1， 故选 D .3 5【分析】先求出C(0, 3) ，B (3, 0) ，A (-1, 0)，过点 B 、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两线交 于点 T，连接PT ，证明四边形OBTC 是正方形，且T(3, 3) ，即有点 O 与点 T 关于直线BC 对称，则有PA + PO = PA + PT ，当 A 、P、T 三点共线时PA + PT 最小，即PA + PO 最小，最小值为AT ，问题随之得解.【详解】解：在 y = -x2 + 2x + 3 中，当x = 0 时，y = 3 ，:C (0, 3)， : OC = 3 ；当y =

24、 0 时，-x2 + 2x + 3 = 0 ，解得：x1 = -1 ，x2 = 3 ， :B (3, 0) ，A (-1, 0) ， : OB = 3 ，OA = 1；过点 B 、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两线交于点 T，连接PT ，如图，答案第 2 页，共 50 页 CT 丄 OC ，BT 丄 OB ， OB 丄 OC ，OB = OC = 3 ，四边形OBTC 是正方形，且T(3, 3) ， 点 O 与点 T 关于直线BC 对称， PO = PT ， PA + PO = PA + PT ，当A 、P、T 三点共线时PA + PT 最小，即PA + PO 最小，最小值为AT ， A(

25、-1, 0) ，T (3, 3) ， PA + PO 的最小值 故答案为：5 .【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合， 考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形OBTC 是正方形，且 T (3, 3) ，得出点 O 与点 T 关于直线BC 对称，是解题的关键.4 8 10【分析】首先根据题意解得 AE 、 AB 的值，再根据正方形的性质求得 AD 的值；连接DE ， 交AC 于P ，连接BP ，则此时PB + PE 的值最小，由题意易知B、D 关于AC 对称，进而可得 PB = PD ，所以 PB + PE = PD + PE = DE

26、 ，利用勾股定理解得DE 的值，即可获得答案.【详解】解： BE = 2 ，AE = 3BE ， AE = 3BE = 3 2 = 6 ， AB = AE + BE = 6 + 2 = 8 ， 四边形ABCD 为正方形， AD = AB = 8 ；如下图，连接DE ，交 AC 于P ，连接 BP ，则此时 PB + PE 的值最小，答案第 3 页，共 50 页四边形ABCD 是正方形， : B、D 关于AC 对称，: PB = PD ，: PB + PE = PD + PE = DE ， AE = 6 ，AD = 8 ，故PB + PE 的最小值是 10 . 故答案为：8 ，10 .【点睛】本

27、题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识， 正确作出辅助线是解题关键.5 C【分析】连接 AF ，利用三角形中位线定理，可知GH = AF ，求出AF 的最小值即可解决问题.【详解】解：连接 AF ，如图所示：: 四边形ABCD 是菱形，:AB = BC = 4 ，: G ，H 分别为AE ，EF 的中点， :GH 是AEF 的中位线，当AF 丄BC 时，AF 最小，GH 得到最小值，答案第 4 页，共 50 页则上AFB = 90O ，: 上B = 60O 上BAF = 90O - 上B = 30O ，即GH 的最小值为 ， 故选：C .【点睛】本题考查了菱形的

28、性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识， 解 题的关键是学会添加常用辅助线.6 D【分析】连接 AF ，利用三角形中位线定理，可知GH = AF ，求出AF 的最小值即可解决问题.【详解】解：连接 AF ，如图所示：四边形ABCD 是菱形， : G ，H 分别为AE ，EF 的中点， :GH 是AEF 的中位线，当AF 丄BC 时，AF 最小， HG得到最小值， 则上AFB = 90O ，: 上B = 45O ，:ABF 是等腰直角三角形，答案第 5 页，共 50 页即 HG的最小值为 ，故选：D .【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂

29、 线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.7 . 【分析】连接 AG，AC ，过 A 作AM T BC 于 M；由题意得B=60o，则可求得 AM，BM 的长，从而由勾股定理求得AC ；由三角形中位线定理得EF = AG ，当 G 与 C 重合时，AG最长；当 G 与 M 重合时，AG 最短，从而可求得EF 的最大值与最小值的差. 【详解】解：如图，连接 AG，AC ，过 A 作AM T BC 于 M；则7AMB = 7AMC = 90o ；四边形ABCD 是平行四边形，且7C = 120。，: AB CD ，BC = AD = 8 : 7B = 180o 一 7C

30、= 60o ；: 7BAM = 90o 一 60o = 30o ； AD = 2AB = 8 ， : AB = 4 ，由勾股定理得：AM = AB2 一 BM2 = 2 ,: MC = BC 一 BM = 8 一 2 = 6 ，由勾股定理得AC = AM2 十 MC2 = 12 十 36 = 4 ; 点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，当 G 与 C 重合时，AG 最长且为43 ，此时 EF = 2 3 ；当 G 与 M 重合时，AG 最短且为23 ，此时 EF= 3；: EF 的最大值与最小值的差为23 一 3 = 3 . 故答案为： .答案第 6 页，共 50 页【点睛】本题考查了

31、平行四边形的性质， 勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理连接AG 利用三角形中位线定理是关键.8 2 2【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH = AF ，求出AF 的最小值，当AF 丄 BC时，根据垂线段最短，即可解决问题. 【详解】解：连接 AF ，如图所示：四边形ABCD 是菱形， : AB = BC = 8 ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点， : GH 是AEF 的中位线，当AF 丄BC 时，AF 最小，GH 得到最小值，则上AFB = 90O ， 上B = 45O ，: ABF 是等腰直角三角形，即GH 的最小值为2 2 ，故答案为：2 2 .【点睛】本题考查了菱

32、形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂 线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.答案第 7 页，共 50 页9 C【分析】作点A 关于BD 的对称点A/ ，交BD 于点O ，连接A/M，A/N，A/D ，先根据轴对称 的性质可得A/M = AM ，从而可得AM + MN = A/M + MN ，再根据两点之间线段最短、垂线 段最短可得当A/N 丄 AD 时，A/N 取得最小值，A/M + MN 取得最小值，然后根据含30O 角的 直角三角形的性质、矩形的性质求解即可得.【详解】解：如图，作点 A 关于BD 的对称点A/ ，交 BD 于点O ，连接

33、 A/M，A/N，A/D ，由轴对称的性质得：A/M = AM，A/O = AO，AA/ 丄 BD ，: AM + MN = A/M + MN ，由两点之间线段最短得：当点A/，M，N 共线时，A/M + MN 取最小值，最小值为A/N ， 由垂线段最短得：当A/N 丄 AD 时，A/N 取得最小值，: 在矩形ABCD 中，AB = 6 ，上ABD = 60O ，: 上ADB = 30O ，: BD = 2AB = 12 ，AD = 在RtAOD 中，AO = AD = 3，DO = 故AM + MN 的最小值为 9 . 故选：C .【点睛】本题考查了矩形的性质、含30O 角的直角三角形的性质

34、、勾股定理、轴对称的性质 等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短得出当A/N 丄 AD 时，A/N 取得最小值是解 题关键.10 B答案第 8 页，共 50 页【分析】作点B 关于AD 的对称点B,，过点B, 作B,G 丄 BD 于点G ，交AD 于点H ，即可得到 BE + EF 的最小值为B,G ，再解直角三角形即可解答.【详解】解：作点B 关于AD 的对称点B, ，过点B, 作B,G 丄 BD 于点G ，交AD 于点H ，如图：由对称性可得B,E = BE ，:BE + EF B,G ，: 当B, ，E ，F 三点共线，且B,F 丄 BD 时，即点E 在点H 处，点F 在点G 处时，

35、BE + BF 的值最小.: AB=6 ，BC = 6 ，:BB, = 12 ，BD = = 12 ，:上ADB = 30O ，:上ABD + 上BB,G = 上ABD + 上ADB = 90O ，:上BB,G = 上ADB = 30O ，故选：B .【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含 30 度的直角三角形 的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线.11 8 2 一 2#一2 + 82【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定 最短路径作点 A 关于BC 的对称点 H，连接HP ，DG ，DH ，可知当 H、P、G 、D 共线 时

36、，PA + PG 最小，求出DH 、DG 长即可.【详解】解：作点 A 关于BC 的对称点 H，连接HP ，DH ，GH ，如图所示：答案第 9 页，共 50 页 DH 一 DG GH HP + PG = PA + PG ，:当 H、P、G 、D 共线时，PA + PG 最小， AB = 4 ，AD = 8 ，: AH = 8 ，DH = EF 的长为 4，点G 为EF 的中点，: GD = 2 ，: 82 一 2 AP + PG ，故答案为：8 2 一 2 .12 4 10 一 2【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识， 解题的关键是利用轴对称， 根据两点之间线段最短解决最

37、短问题.作点 D 关于BC 的对称点D, ，连接PD, ED, ，由轴对称可知，DP = D,P ，PD + PF = PD, + PF ，又EF = AE = 2 ，即可推出当E、F、P、D, 共线时，PD, + PF 定值最小，最小值为4 10 一 2 .【详解】解：如图，作点 D 关于BC 的对称点D, ，连接PD, ED, ，答案第 10 页，共 50 页在RtEDD, 中， DE = AD 一 AE = 6 一 2 = 4 ，DD, = 2DC = 12 ， 由轴对称可知，DP = D,P ， : PD + PF = PD, + PF ， EF = AE = 2 ，当E、F、P、D,

38、 共线时， PD, + PF 定值最小，最小值为410 一 2 ，: PD + PF 的最小值是410 一 2 ， 故答案为：4 一 213 B【分析】如图，作点D 关于OB 的对称点T ，作 TROB ，使得 TR = EF ，连接 CR 交OB 于F ， 在FO 的延长线上，取点E ，使得 EF = 1，连接 ET DE ，此时 DE + CF 的值最小.【详解】解：如图，作点 D 关于OB 的对称点T ，作 TROB ，使得 TR = EF ，连接 CR 交OB 于F ，在 FO 的延长线上，取点E ，使得 EF = 1，连接 ET DE ，此时 DE + CF 的值最小.答案第 11

39、页，共 50 页: RT = EF = 1 ，RTEF ，: 四边形TRFE 是平行四边形，:ET = FR ，:D ，T 关于OB 对称，:ED = ET ，:DE = RF ，:DE + CF = RF + FC = RC ，此时CR 的值最小，最小值 故选：B .【点睛】本题考查轴对称一 最短问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的 关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型.14 A【分析】取CD 的中点 Q，连接PQ ，EQ ，证明四边形PQEF 为平行四边形，求出 AE + PF = AE + EQ ，最后用勾股定理求出最小值.【详解】

40、解：取CD 的中点 Q，连接PQ ，EQ ，如下图所示：正方形ABCD 的边长为 10，: AB = BC = CD = AD = 10 , 上ADC = 90O ， BD 是正方形ABCD 的对角线， PQ 是CBD 的角平分线，: EF = 5 ，:PQ = EF ， PQBD ，即PQEF ，答案第 12 页，共 50 页四边形PQEF 为平行四边形， PF = EQ ， AE 十 PF = AE 十 EQ ，当A 、E、Q 三点共线时，AE 十 PF 的值最小，最小值就是AQ 的长，点 Q 时CD 的中点 由勾股定理得，AQ = 故选：A .【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识

41、，掌握性质是解题的关键.15 # 7.5【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质， 矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的 三边关系，勾股定理，分别以EF、EC 为边作平行四边形ECHF ，连接 AH ，过点 F 作FG BC 交AB 于点G ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可，根据题意 正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：分别以EF、EC 为边作平行四边形ECHF ，连接AH ，过点F 作FG BC 交AB 于点 G ，则 FG = BC = 3 ，FH = EC ， AB = 6 ，BC = 3， 7AOG = 7COF ，7AOG 十 7BAC = 90O ，7COF

42、十 7GFE = 90O ， 7BAC = 7GFE 7ABC = 7FGE = 90O， FGEABC ，答案第 13 页，共 50 页即 ，解得EF = CH = 四边形ECHF 是平行四边形， EF CH ， AC 丄 EF ， 上ACH = 90。，在RtACH 中，由勾股定理得：15 EC + FA 的最小值为 ， 2故答案为： .16 5 5【分析】过点Q 作QH丄CD 于点H 利用相似三角形的性质求出PH = 3 ，设BQ= x ，则 CH = x ，PD = 5 一 x ，AP + QE = ，求AP +QE 的最小值，相当于在x 轴上找一点M (x, 0) ，使得点 M 到J

43、(0, 4) ，K(5, 6) 的距离和最小，作点J 关于x 轴的对称点 J, ，连接KJ, ，则KJ, = 由MJ + MK = MJ, + MK KJ, = 5 ,可得结论. 【详解】解：如图，过点Q 作QH丄CD 于点H .: 四边形ABCD 是矩形，: AB = CD = 8 ，AD = BC = 6 ，上B = 上C = 上D = 90。，: CE = 2 ，答案第 14 页，共 50 页:BE = BC 一 CE = 6 一 2 = 4 ， : QH 丄 CD ，:上B = 上QHP = 上QHC = 90。，: 四边形BCHQ 是矩形，:BQ = CH ，BC = QH = 6

44、，QH BC ，:上AQH = 上B = 90。，: AE 丄 QP ，:上QAF + 上AQP = 90。，上AQP + 上HQP = 90。，:上BAE = 上HQP ， :ABEQHP ， , ,:PH = 3 ，设BQ = x ，则 CH = x ，DP = 5 一 x ， 欲求AP +QE 的最小值，相当于在x 轴上找一点M (x, 0) ，使得点M 到J(0, 4) ，K(5, 6) 的距离 和最小，如图 1 中，作点J 关于x 轴的对称点J, ，连接KJ, ， :K(5, 6) ，J,(0, 一4) ，答案第 15 页，共 50 页 MJ + MK = MJ, + MK KJ,

45、= 5 5 ，:JM + MK 的最小值为55 ，: AP + QE 的最小值为55 .故答案为：5 5 .【点睛】本题考查矩形的性质， 轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于 中考填空题中的压轴题.17 A【分析】先找出 P 点的运动轨迹.作EG1 丄 BC 于G1 ，连接AG1, BE 交于点 O，作EG2 丄 EB 交BC的延长线于G2 . 当 F 点与A 点重合时，G 点与G1 点重合，此时 P 点与 O 点重合. 当 F 点与 B 点重合时，G 点与G2 点重合，此时 P 点与 C 点重合

46、，因此 P 点的运动轨迹就是线段OC. 当 DP 丄 OC 时，DP 的值最小. 由 OBC PCD ,列比例式求出DP 的长即可.【详解】解：四边形ABCD 是矩形，: 上BAD = 上ABC = 上BCD = 上ADC = 90。, 且DC = AB = 6, AD = BC = 10.当点 F 与点 A 重合时，作EG1 丄 BC 于G1 , 则四边形ABG1E 是矩形.连接AG1, BE 交于点 O，则 O 点是AG1 的中点，也是BE 的中点， 此时，P 点与 O 点重合.当 F 点与 B 点重合时，作EG2 丄 EB 交BC 的延长线于G2 ， AD BC ，:上AEB = 上EB

47、G2 .答案第 16 页，共 50 页又 上BAE = 上BEG2 = 90O ， :ABE EG2B ，解得BG2 = 20 .设BG2 的中点为P2 ,则BP2 = 10 ， P2 点与 C 点重合，P 点的运动轨迹是线段OC . 当DP 丄 OC 时，DP 的值最小.O 点是BE 的中点，C 点是BG2 的中点， OC 是 BEG2 的中位线.OC EG2 ，:上BOC = 上BEG2 = 90O ，:上BOC = 上DPC . 上OBC + 上OCB = 90O, 上OCB + 上PCD = 90O，:上OBC = 上PCD ， :OBC PCD ，: OC =BC2 BO2102 (

48、 10)2= 3-10 .解得 答案第 17 页，共 50 页故选：A.【点睛】本题是一道矩形中的动点问题，难度较大.主要考查了矩形的性质、勾股定理、三 角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，综合性较强.解题的关键是要找出 P 点的运动 轨迹.18 C【分析】作 DH T AC 于 H，连接 HG 延长 HG 交 CD 于 F，作 HE T CD 于 H，证明ADHPDG ，得DHG = DAP=定值，则点 G 在射线 HF 上运动，故当CGHF 时， CG 的值最小，再证FH = FC = DF = 1 ，可知 HE = CG ，利用等积法求出 HE 的长即可.【详解】解：如图，作 DH

49、T AC 于 H，连接 HG 延长 HG 交 CD 于 F，作 HE T CD 于 E，四边形 ABCD 为矩形，:CD = AB = 2, ADC = 90O ， DGPG, DHAC ，:DGP = DHA=90O ， DPG = DAH ，: ADHPDG ， , ADH = PDG ，:ADP = HDG ，: ADPDHG ，:DHG = DAP=定值， :点 G 在射线 HF 上运动，:当CGHF 时，CG 的值最小， 四边形 ABCD 是矩形，: 7ADC = 90O ，:ADH 十 HDF = 90O ， 7DAH 十 7ADH = 90O ，:HDF = DAH = DHF

50、，答案第 18 页，共 50 页 FD = FH ，FCH + CDH = 90O ， FHC +FHD = 90O， 上FHC = 上FCH ，在RtADC 中，ADC = 90O, AD = 4, CD = 2 ，答案第 19 页，共 50 页由勾股定理得：AC =AD2 + CD242 + 22= 2-5 ，CFG = HFE, CGF = HEF = 90O, CF = HF ， CGFHEF(AAS) ，CG 的最小值为 .故选：C .【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以 及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点 G 的

51、运动路径是解题 的关键.19 . 【分析】设AF = x ，可得EF = 3x ，AE = 4x ，由矩形性质可得AB CD ，推出 PCDPFE ，求得 由勾股定理可得DE = = 4 ，推出PD = ， 令x + 2 = t ，则x = t 2 ，得出PD = 8 即可求得答案.【详解】解：设 AF = x ， EF = 3AF ， EF = 3x ， AE = AF + EF = x + 3x = 4x ，四边形ABCD 是矩形，AB = 6 ，AD = 4 ，: AB CD ，AB = CD = 6 ，AD = BC = 4 ，上A = 上B = 90。，: PCDPFE ，: = ，

52、即 一 = ， 在RtADE 中，DE = VAD2 + AE2 = = 4 , 令 x + 2 = t ，则 x = t 一 2 ， 0 AE 6 ，即 0 4x 6 ，:0 x ,:0 t 一 2 ,即 2 t ,:当t = 时，即x = 时，PD 取得最大值，1 8 13= ；( 7 5 ,5 7最大值为：8 5 (|2 一 2 )|2 +当t = 时，即x = 时，PD 取得最小值，最小值为：8 = ；故答案为： ， .【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等， 熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键.20 35 一1#一1+ 35【分析】将正方形 ABCD 沿着CD翻折得正方形A,B,CD ，连接 AE ，BG ，以 A,B, 为直径作O ，连接CA 并延长至M ，使AM = AC ，连接MG ，根据三角形中位线定理可得AH = MG ，当MG 最小时，AH 的值最小由点 G 在以A,B, 为直径的O 上运动，当且仅当M、G、O 三点共线时，MG