（课标专用 5年高考3年模拟A版）高考数学 专题四 三角函数 4 解三角形试题 理-人教版高三数学试题

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1、解三角形探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦定理与余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019课标,17,12分正弦定理、余弦定理三角恒等变换2018课标,6,5分余弦定理二倍角公式2.解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017课标,17,12分余弦定理及三角形面积公式二倍角公式和同角三角函数的平方关系2017课标,17,12分正弦定理、余弦定理和三角形面积公式两角和的余弦公式2018课标,9,5分余弦定理和三角形面积公式特殊角的函数值2016课标,17,12

2、分正弦、余弦定理和三角形面积公式两角和的正弦公式分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.本节内容是全国卷的必考内容,题型为一个小题或一个大题,难度中等、分值为5分或12分.破考点 练考向【考点集训】考点一正弦定理与余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=3sinB,c=5,且cosC=56,则a=()A.22B.3C.32D.4答案B2.(2020届广东惠州第

3、一次调研,14)在ABC中,B=4,AB=2,BC=3,则sinA=.答案310103.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(A+B)sin2A=.答案1考点二解三角形及其综合应用1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+csinA+sinB+sinC=233,A=3,b=1,则ABC的面积为()A.32B.34C.12D.14答案B2.(2019山西实验中学4月月考,10)设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2

4、C,则ABC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3答案C3.(2020届安徽合肥调研,16)在ABC中,A=2B,AB=73,BC=4,CD平分ACB交AB于点D,则线段AD的长为.答案1炼技法 提能力【方法集训】方法1利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019广东七校第二次联考,11)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin2A+sin2B-sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA,若a+b=4,则c的取值范围为()A.(0,4)B.2,4)C.1,4)D.(2,4答案B2.(2019河北唐山一模,7)在

5、ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h=()A.152B.112C.3154D.3158答案D3.(2018湖南永州二模,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=2sinB,且a+b=3c,则角C的大小为.答案3方法2利用正弦、余弦定理判断三角形的形状1.(2018江西南城一中期中,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,则这个三角形必含有()A.90的内角B.60的内角C.45的内角D.30的内角答案B2.(2019山西太原五中月考,8)在ABC

6、中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2C2+12,则ABC为()A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案D方法3与面积、范围有关的问题1.(2019河南郑州一模,5)在ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为()A.1534B.154C.2134D.3534答案A2.(2018吉林长春一模,15)在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若12b-sinCcosA=sinAcosC,且a=23,则ABC面积的最大值为.答案33【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一正弦定理与余弦定

7、理1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=.答案21133.(2019课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得

8、sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利

9、用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sinC.4.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-25

10、2225=25.所以BC=5.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2019课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案633.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)4.(2019课标,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsinA.(1)求B;(2)若

11、ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.因为sinA0,所以sinA+C2=sinB.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+1

12、2.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC0,由cosB求sinB仅有一正解.6.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-1

13、2.解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinC=cbsinB=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cosC=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.7.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cosB=23,求c的值;(2)若sinAa=cosB2b,求sinB+2的值.解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为a=3c,b=2,cosB=23,由余弦定理得cos

14、B=a2+c2-b22ac,得23=(3c)2+c2-(2)223cc,即c2=13.所以c=33.(2)因为sinAa=cosB2b,由正弦定理asinA=bsinB,得cosB2b=sinBb,所以cosB=2sinB.从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sinB0,所以cosB=2sinB0,从而cosB=255.因此sinB+2=cosB=255.8.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B

15、)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.又ac,故cosA=27.因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=

16、2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314.解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsinA=acosB-6是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定理及已知条件求得sinA,利用a0是求解第(2)问的关键.失分警示(1)忽略ac这一条件,从而导致cosA有两个值,最终结果出现增解;(2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.考点二解三角形及其综合应用1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值

17、为.答案92.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;1043.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cosB=-17,所以sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得sinA=asinBb=32.由题设知2B,所以0Ab,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+4的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的

18、正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为ab,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=asinBb=31313.所以,b的值为13,sinA的值为31313.(2)由(1)及a0,则B0,2.又A(0,),故-2A-B.所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB,因sinB0,得sinC=cosB.

19、又B0,2,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.9.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sinB=bsinBACa=3310=1010,由题设知0B4,所以cosB=

20、1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.考点二解三角形及其综合应用1.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为.答案32.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcos

21、B+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.因为A+B+C=,故2cosCsinC=sinC.(4分)可得cosC=12,又C(0,),所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absinC=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)3.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1

22、)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sinC=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsinA=128332=63.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.4.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.解析(1)证明:由题

23、意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为12.5.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;

24、(2)求2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(6分)(2)由(1)知A+C=34.2cosA+cosC=2cosA+cos34-A=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cosA-4.(11分)因为0A34,所以当A=4时,2cosA+cosC取得最大值1.(13分)6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=1

25、2ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.+2得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a

26、=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsinA=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sinB=217.又由ab,知AB,所以cosB=277.因为A+B+C=,故sinC=sin(A+B)=sinB+3=sinBcos3+cosBsin3=32114.所以ABC的面积为12absinC=332.8.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且

27、B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sinA+sinC的取值范围.解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA,即sinB=sin2+A.又B为钝角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A0,所以A0,4.于是sinA+sinC=sinA+sin2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sinA22,因此22c,则bc=()A.32B.2C.3D.52答案B3.(2020届四川成都毕业班摸底考试,7

28、)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c.若向量m=(a,-cosA),n=(cosC,2b-c),且mn=0,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.2答案B4.(2019山西3月质检,9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a(2sinB-3cosC)=3ccosA,点G是ABC的重心,且AG=133,则ABC的面积为()A.3B.32C.3或23D.334或3答案D5.(2019河南六市3月联考,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.33D.3答案A6.(2

29、020届湖北部分重点中学新起点考试,11)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且cosAa+cosBb=sinCc,若b2+c2-a2=85bc,则tanB的值为()A.-13B.13C.-3D.3答案C二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2019安徽合肥二模,15)在锐角ABC中,BC=2,sinB+sinC=2sinA,则中线AD的长的取值范围是.答案3,1328.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosA=55,cosB=1010,c=2,则a=.答案4559.(2020届百校联盟10月尖子生联考,

30、16)益古演段是我国古代数学家李冶(1192年1279年)的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息,求圆的半径、正方形的边长和周长等.其中有这样一个问题:如图,已知A=60,点B、C分别在A的两个边上移动,且保持B、C两点间的距离为23,则点B、C在移动过程中,线段BC的中点D到点A的最大距离为.答案3三、解答题(共60分)10.(2020届河北石家庄重点高中毕业班摸底考试,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A+22a=c,D是BC边上的点.(1)求角B;(2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长.解析(1)由bcosA+22a=c,得sinBcos

31、A+22sinA=sinC,sinBcosA+22sinA=sin(A+B),sinBcosA+22sinA=sinAcosB+cosAsinB,22sinA=sinAcosB,sinA0,cosB=22,B=4.(2)在ADC中,AC=7,AD=5,DC=3,cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=52+32-72253=-12,ADC=23,在ABD中,AD=5,B=4,ADB=3,由ABsinADB=ADsinB,得AB=ADsinADBsinB=5sin3sin4=53222=562.思路分析(1)利用正弦定理进行边角互化,再利用三角形内角和定理,将角C用角A,B表示,达到减少

32、变量的目的,从而求得B的大小;(2)利用余弦定理在ADC中求出cosADC,进而求出ADB的大小,再在ABD中利用正弦定理求出AB的长.11.(2020届广东惠州一调,17)已知ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC.(1)求角A;(2)若ABC的外接圆半径为1,求ABC的面积S的最大值.解析(1)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理可得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc,cosA=bc2bc=12,又0A,A=3.(2)解法一:记ABC外接

33、圆的半径为R,由正弦定理得asinA=2R,得a=2RsinA=2sin3=3,由余弦定理得3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsinA12332=334(当且仅当b=c时取等号).即ABC的面积S的最大值为334.解法二:记ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得bsinB=csinC=2R=2,得b=2sinB,c=2sinC,S=12bcsinA=12(2sinB)(2sinC)sin3=3sinBsinC.A+B+C=,sinB=sin(A+C)=sinC+3=12sinC+32cosC,S=32sinCcosC+32sin2C=34s

34、in2C+34(1-cos2C)=32sin2C32-cos2C12+34=32sin2C-6+34.0C23,当2C-6=2,即C=3时,S取得最大值,ABC的面积S的最大值为334.方法总结已知边与对角,求三角形面积的最大值常用两种方法:解法一:利用余弦定理结合不等式;解法二:利用正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换求解.12.(2020届安徽合肥八校一联,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2C-cos2B=sin2A-sinAsinC.(1)求角B的值;(2)若ABC的面积为33,b=13,求a+c的值.解析(1)由cos2C-cos2B=sin2A-sin

35、AsinC,得sin2B-sin2C=sin2A-sinAsinC,由正弦定理,得b2-c2=a2-ac,即a2+c2-b2=ac,cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,又0B,B=3.(2)由(1)知B=3,且b2=a2+c2-ac,又S=12acsinB=33,ac=12.又b=13,13=(a+c)2-2ac-ac=(a+c)2-312,解得a+c=7.13.(2018河南顶级名校联考,17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2+2ac=b2,5sinA+cosB=0.(1)求cosC;(2)若ABC的面积S=52,求b.解析(1)由a2+c2+2a

36、c=b2,得a2+c2-b2=-2ac,cosB=a2+c2-b22ac=-2ac2ac=-22.0B,B=34.又5sinA+cosB=0,sinA=-55cosB=-55-22=1010,又0A4,cosA=1-sin2A=1-10102=31010.cosC=cos4-A=22cosA+22sinA=2231010+221010=255.(2)由(1)可得sinC=1-cos2C=1-2552=55.由S=12acsinB及题设条件,得12acsin34=52,ac=52.由asinA=bsinB=csinC,得a1010=b22=c55,b2=522ac=52252=25,b=5.14.(2020届山东夏季高考模拟,18)在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DFBC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC;(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cosCFB.解析(1)因为CD=BD,所以CD=12BC.由题设知DF=AC,12CDDF=12ABAC,因此CD=AB.所以AB=12BC,因此ABC=60.(2)不妨设AB=1,由题设知BC=2.由BD=3CD得BD=324,CD=24.由勾股定理得CF=324,BF=344.由余弦定理得cosCFB=98+178-22324344=51751.