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1、基本不等式及不等式的应用探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点基本不等式了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2019天津,13,5分用基本不等式求最值2017山东,12,5分用基本不等式求最值直线过定点2018天津,13,5分用基本不等式求最值代数式的化简求值不等式的应用综合运用不等式的性质、定理,与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题2019江苏,10,5分不等式的应用点到直线的距离公式分析解读通过近几年高考题可知,本节内容主要考查了利用基本不等式求最值,在求解过程中,有时需对代数式进行拆分、添项
2、、配凑因式,构造出适合基本不等式的形式;不等式的应用常与函数、数列、向量等综合考查,有时难度较大,分值约占5分.破考点 练考向【考点集训】考点一基本不等式1.(2019安徽江南十校第二次大联考,10)已知实数x满足log12x1,则函数y=8x+12x-1的最大值为()A.-4B.8C.4D.0答案D2.(2018甘肃河西模拟,9)若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y40,b0,2是8a与2b的等比中项,则1a+2b的最小值是.答案5+26考点二不等式的应用1.(2018河南八校第一次测评,15)已知等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则Sn+10a
3、n+1的最小值为.答案32.(2018甘肃通渭模拟,15)如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=12,x,y,且1x+ay8恒成立,则正实数a的最小值为.答案1炼技法 提能力【方法集训】方法1利用基本不等式求最值1.(2018山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为()A.2B.22C.4D.42答案B2.(2018江西吉安一
4、中、九江一中等八所重点中学4月联考,5)已知正项等比数列an的公比为3,若aman=9a22,则2m+12n的最小值等于()A.1B.12C.34D.32答案C方法2不等式的综合应用1.(2018天津六校期中,14)定义在R上的运算“*”为x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是.答案-12,322.(2020届贵州凯里质量检测,15)已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3,则b+c+25a+2的最小值为.答案83.(2018广西南宁二中月考,18)已知不等式mx2-2x-m+10.(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值
5、范围;(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立,求x的取值范围.答案(1)当m=0时,1-2x12,则当x12时不等式恒成立,不满足条件.当m0时,设f(x)=mx2-2x-m+1,由于f(x)0恒成立,所以m0,4-4m(1-m)0,解得m.综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立,即m.(2)由题意得-2m2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),则g(m)0,故有g(-2)0,g(2)0,即-2x2-2x+30,2x2-2x-10,解之得-1+72x1+32,所以x的取值范围为x-1+72x0,y0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.答案922.(2018
6、天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案143.(2017山东,12,5分)若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案8考点二不等式的应用1.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且ab0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4教师专用题组考点一基本不等式1.(2015福建,5,5分)若直线xa+yb=1(a0
7、,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5答案C2.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4答案C3.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D4.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为()A.0B.98C.2D.94答案C5.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,
8、0C.-2,+)D.(-,-2答案D6.(2015山东,14,5分)定义运算“”:xy=x2-y2xy(x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.答案27.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.答案328.(2014辽宁,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,1a+2b+4c的最小值为.答案-19.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则12|a|+|a|b的最小值为.答案3410.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得
9、最小值,则a=.答案3611.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案63考点二不等式的应用1.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0,b0,a+2b=1,则1a+a+1b的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案D3.(2019安徽宣城第二次调研
10、,9)已知双曲线x2m-y2n=1(m0,n0)和椭圆x25+y22=1有相同的焦点,则4m+1n的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案B4.(2020届安徽包河检测,6)已知正数a,b满足a+b=3,则1a+4b+1的最小值为()A.94B.3415C.73D.92答案A5.(2018河南安阳调研,5)已知x0,y0,lg2x+lg8y=lg2,则1x+13y的最小值是()A.2B.22C.4D.23答案C6.(2020届河南濮阳第二次检测,9)已知a2,b2,则a2b-2+b2a-2的最小值为()A.2B.4C.6D.16答案D7.(2020届黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d均为
11、大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为()A.8B.4+23C.5+23D.43答案B二、填空题(共5分)8.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+4x-a5在x(a,+)上恒成立,则实数a的最小值为.答案1三、解答题(共10分)9.(2020届安徽铜陵铜官检测,20)已知a,b(0,+),a(1-b)=b(a-1),f(x)=|2x+1|+|x-2|.(1)求a2+b2的最小值;(2)若对任意a,b(0,+),都有f(x)4(a2+b2),求实数x的取值范围.答案(1)a(1-b)=b(a-1),a+b=2ab,a,b(0,+),12a+12b=1,a2+b2=(a2+b2)12a+12b2=142+b2a2+a2b2+2ba+ab142+2b2a2a2b2+22baab=2.当且仅当b2a2=a2b2且ba=ab,即a=b=1时取等号.a2+b2的最小值为2.(2)由(1)知,(a2+b2)min=2,对任意a,b(0,+),都有f(x)4(a2+b2),f(x)8,即|2x+1|+|x-2|8.当2x+10时,-2x-1-x+28,解得-73x0时,2x+1+x-28,解得2x3.综上,实数x的取值范围是-73,3.
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