利用一个一次函数的图象解决问题

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1、 一次函数的应用一次函数的应用1甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(m)与赛跑时间t(s)的关系如图151所示，则下列说法正确的是 ()A甲、乙两人的速度相同B甲先到达终点C乙用的时间短D乙比甲跑的路程多小题热身小题热身图图151B【解析】结合图象可知，两人同时出发，甲比乙先到达终点，故甲的速度比乙的速度快，选B.2如图152，甲、乙两人以相同路线前往离学校12 km的地方参加植树活动，l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)随时间t(min)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶_km.图图152一、必知2 知识点1用一次函数的性质解决实际问题一次函数在现实生活中有着广泛的

2、应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围常见类型有：(1)求一次函数的表达式；(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如求最值等考点管理考点管理【智慧锦囊】一次函数ykxb(k0)的自变量x的取值范围是全体实数，图象是直线，因此没有最大值与最小值但由实际问题得到的一次函数表达式自变量的取值范围一般受到限制，图象可能为线段和射线，根据函数图象的性质，就存在最大值和最小值了2用一次函数的图象解决实际问题一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中数量关系的应用题解这类

3、题的关键在于弄清横轴、纵轴各表示什么量，图象上的每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势，倾斜度大小各表示什么含义等二、必会2 方法1一次函数的性质运用利用一次函数解决实际问题时，首先可以利用图示法或表格法表示各个变量，从而确定所求的一次函数表达式，再运用一次函数的性质分析问题得出结论2数形结合思想数形结合是重要的数学思想，利用它可以直观得解决问题利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含义，尤其是图象与图象或与坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息，此类题目是中考的热点考题 “一条直线类”应用问题 某商店以40元/kg的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段

4、时间内，销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)之间的函数关系如图153所示(1)根据图象求y与x的函数关系式；(2)商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，则销售单价应定为多少？图图153【解析】(1)根据图象可设ykxb，将(40，160)，(120，0)代入，得到关于k，b的二元一次方程组；(2)根据每千克的利润销售量2 400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3 000元比较即可得出结论(2)由题意，得(x40)(2x240)2 400，整理，得x2160 x6 0000，解得x160，x2100.当x60时，销售单价为

5、60元，销售量为120 kg，则销售成本为401204 800(元)，超过了3 000元，不合题意，舍去；当x100时，销售单价为100元，销售量为40 kg，则销售成本为40401 600(元)，低于3 000元，符合题意答：销售单价应定为100元1在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间与燃烧时间x(h)之间为一次函数关系根据图之间为一次函数关系根据图154提提供的信息，解答下列问题：供的信息，解答下列问题：(1)求出蜡烛燃烧时求出蜡烛燃烧时y与与x之间的函数关系之间的函数关系式；式；(2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间

6、求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间图图1542某工厂投入生产一种机器的总成本为2 000万元当该机器生产数量至少10台，但不超过70台时，每台成本y(万元/台)与生产数量x(台)之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求该机器的生产数量；x(台台)102030y(万元万元台台)605550(3)经市场调查发现，这种机器每月销售量z台与售价a万元台之间满足如图155所示的函数关系，该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个图图155月销售这种机器的利润月销售这种机器的利润(注：利润售价成

7、本注：利润售价成本)【点悟】结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路“图形信息”题是近几年的中考热点考题，解此类问题应做到三个方面：(1)看图找点，(2)见形想式，(3)建模求解“两条直线相交”类应用问题 2017衢州“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游图图156根据图156的信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x h，租用甲公司的车所需要费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方式合算【解析】(1)由

8、图象可知，y1的函数表达式为一次函数过点(0，80)和(1，95)，y2的函数表达式为正比例函数，过点(1，30)，用待定系数法可以求出表达式12016滨州滨州星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行骑自行车先走，平均每小时骑行20 km，李，李玉刚同学和妈妈玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是乘公交车后行，公交车平均速度是40 km/h，爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为路程均为40 km，设爸爸骑行时间为，

9、设爸爸骑行时间为x(h)(1)请分别写出爸爸的骑行路程请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、李玉刚同学和妈妈的乘、李玉刚同学和妈妈的乘车路程车路程y2(km)与与x(h)之间的函数表达式，并注明自变量的取值之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围；范围；(2)请在同一个平面直角坐标系中画出请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象；中两个函数的图象；(3)请回答谁先到达老家请回答谁先到达老家解：(1)y120 x(0 x2)；y240(x1)40 x40(1x2)；(2)如答图所示；变式跟进1答图(3)从图象中得出他们同时到达2已知甲、乙两地相距90 km，A，B两人沿同一公路从甲地

10、出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车如图157，DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题(1)A比B晚出发几小时？B的速度是多少？(2)在B出发后几小时，两人相遇？图图1573某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种方式不需要两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图158所示(1)甲种收费方式的函数关系式是_，乙种收费方式的函数关系式是_；(2)该校某年级每次需印制100450(含100和450)份学案，求选择哪种印刷方式较合算图图158

11、y0.1x6y0.12x解：(2)由0.1x60.12x，得x300，由0.1x60.12x，得x300，由0.1x60.12x，得x300，由此可知，当100 x300时，选择乙种印刷方式较合算；当x300时，选择甲、乙两种印刷方式都可以；当300 x450时，选择甲种印刷方式较合算【点悟】此类问题一般是一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得到不同的方案，并根据自变量的取值范围确定出最佳方案方案选择 2016荆门A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台从A城往C，D两乡运送农

12、机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a200)作为优惠，其他费用不变如何调运，使总费用最少？【解析】依题意列表如下：表一：运送数量(台)接收地接收地数量数量运出地运出地CD合计合计Ax30 x30B34x6x40合计合计343670 表二：运送费

13、用(元/台)解：(1)W250 x200(30 x)150(34x)240(6x)140 x12 540.x0，30 x0，34x0，6x0，自变量x的取值范围是0 x30；接收地接收地费用费用运出地运出地CDA250200B150240(2)W16 460，140 x12 54016 460，解得x28.28x30.此时整数x28，29或30.共有3种方案，如下表：方案一方案一方案二方案二方案三方案三CDCDCDA282291300B634535436(3)W(250a)x200(30 x)150(34x)240(6x)(140a)x12 540.当0a140时，140a0，W随x的增大而增

14、大，x0时，W最小，此时从A城往C乡运0台，从A城往D乡运30台，从B城往C乡运34台，从B城往D乡运6台；当a140时，W是定值，均是12 540，此时各种方案费用一样多；当140a200时，140a0，W随x的增大而减小，x30时，W最小，此时从A城往C乡运30台，从A城往D乡运0台，从B城往C乡运4台，从B城往D乡运36台为了贯彻落实市委市政府提出的为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫精准扶贫”精神某校特制定精神某校特制定了一系列关于帮扶了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划现决定从某地运送两贫困村的计划现决定从某地运送152箱鱼苗到箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共两村养殖，若用大

15、小货车共15辆，则恰好能辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱箱/辆和辆和8箱箱/辆，其运往辆，其运往A，B两村的运费如下表：两村的运费如下表：目的地目的地车型车型A村村(元元/辆辆)B村村(元元/辆辆)大货车大货车800900小货车小货车400600(1)求这15辆车中大小货车各多少辆；(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式；(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方

16、案，并求出最少费用(2)由题意，得y800 x900(8x)400(10 x)6007(10 x)100 x9 400(0 x8，且x为整数)；(3)由题意，得12x8(10 x)100，解得x5，又0 x8，5x8，且x为整数，y100 x9 400，k1000，y随x的增大而增大，当x5时，y最小，最小值为y10059 4009 900(元)答：使总运费最少的调配方案：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村最少运费为9 900元【点悟】利用一次函数进行方案选择时，一般先根据题意建立一次函数关系式，再根据题目要求及实际意义列不等式(组)，求出自变量的取值范围，然后根据

17、一次函数的性质及自变量的最大(或最小)整数解来求函数值的最值，从而确定方案分段函数 2017绍兴某市规定了每月用水18 m3以内(含18 m3)和用水18 m3以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(m3)的函数，其图象如图159所示(1)若某月用水量为18 m3，则应交水费多少元？(2)求当x18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？图图159解：(1)由函数图象，该月用水量为18 m3，则应交水费45元；(2)由81元45元，得用水量超过18 m3，设函数表达式为ykxb(x18)，直线经过点(18，45)(28，75)，

18、12016丽水丽水2016年年3月月27日日“丽水半程马拉松竞赛丽水半程马拉松竞赛”在莲都举在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门设该运动员离开起点的路程赛路线跑回终点万地广场西门设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间与跑步时间t(min)之间的函数关系如图之间的函数关系如图1510所示，其中所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时，用时35 min，根，根据图象提供的信息，解答下列问题：据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求图中求

19、图中a的值；的值；(2)组委会在距离起点组委会在距离起点2.1 km处设立处设立一个拍摄点一个拍摄点C，该运动员从第一次，该运动员从第一次图图1510过过C点到第二次过点到第二次过C点所用的时间为点所用的时间为68 min.求求AB所在直线的函数表达式；所在直线的函数表达式；该运动员跑完赛程用时多少分钟？该运动员跑完赛程用时多少分钟？解解：(1)从起点到紫金大桥的平均速度是从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时，用时35 min，a0.33510.5(km)；(2)线段线段OA经过点经过点O(0，0)，A(35，10.5)，直线直线OA的函数表达式为的函数表达式为y0.3t(0

20、t35)，当当s2.1时，时，0.3t2.1，解得，解得t7，该运动员从第一次过该运动员从第一次过C点到第二次过点到第二次过C点所用的时间为点所用的时间为68 min，该运动员从起点到第二次过C点共用的时间是76875(min)，AB经过(35，10.5)，(75，2.1)两点，设AB所在直线的函数表达式是sktb，AB所在直线的表达式为s0.21t17.85；该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标的值，当s0时，0.21t17.850，解得t85，该运动员跑完赛程用时85 min.2甲、乙两人匀速从同一地点到1 500 m处的图书馆看书，甲出发5 min后，乙以50 m/m

21、in的速度沿同一路线行走设甲、乙两人相距s(m)，甲行走的时间为t(min)，s关于t的函数图象的一部分如图1511所示(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分；(3)问甲、乙两人何时相距360 m?图图1511解：(1)甲行走的速度为150530(m/min)；(2)补画的图象如答图所示(横轴上对应的时间为50 min)；(3)由函数图象可知，当t12.5时，s0；当12.5t35时，s20t250；当35t50时，s30t1 500.甲、乙两人相距360 m，即s360，解得t130.5，t238.答：当甲行走30.5 min或38 min时，甲、乙两人相距

22、360 m.变式跟进变式跟进2答图答图【点悟】此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数的意义是解决问题的关键，一般应从以下几方面入手：(1)寻找分段函数的分段点；(2)针对每一段函数关系，求出相应的函数表达式；(3)利用条件可求解未知问题 必明1 易错点“方案决策型问题”是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能符合题目要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量要求最大或最小，一般利用函数来解决通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题这类题往往同时考查二元一次方程组和一元一次不等式，注意分清函数、方程、不等式的异同看函数图象的误差烟台中考在

23、全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(km)随时间x(h)变化的图象(全程)如图1512所示有下列说法：起跑后1 h内，甲在乙的前面；第1 h两人都跑了10 km；甲比乙先到达终点；两人都跑了20 km.其图图1512中正确的说法有中正确的说法有 ()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个【错解】当0 x1时，实线在虚线的上面，所以正确；两个函数图象的交点在(1，10)，所以正确；因为甲图象在乙的右边，所以正确；从乙图象可知，当x2时，y20，所以两人都跑了20 km，故正确选项为D.【错因】没有正确看懂图象，当x2时，乙到达了终点，而甲还没到达终点，故乙比甲先到达终点，错，故正确的只有.【正解】C