连续时间信号与系统的频域分析

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1、1第五章第五章连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布目录非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换5-4信号的分解信号的分解5-1周期信号的傅立叶级数分析周期信号的傅立叶级数分析5-2周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析5-3典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换5-5周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换5-62无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布目录目录连续系统的频域分析连续系统的频域分析5-9傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质5-7功率功率谱与能量与能量谱5-8无失真传输系统无失真传输系统5-10理想低通滤波器的响

2、应理想低通滤波器的响应5-113 5-7无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布目录目录4信号的时域抽样与抽样定理信号的时域抽样与抽样定理5-12调制与解调调制与解调5-13频分复用与时分复用频分复用与时分复用5-14无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布 用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，显用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，显示示信号信号随随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短以时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短以及信及信号号是否按一定的时间间隔重复出现等。是否按一定的时间间隔重复出现等。用频率作为变量描用频率作为变量描述信述信号称为频域描述，揭示了信号各号称为频

3、域描述，揭示了信号各个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。围等特性。信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面对信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面对信号进行描述，信号进行描述，在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。5引言引言无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-1信号的分解信号的分解6在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号在时域系统中任何信号都可以表示为移位

4、冲激信号的线性、加权组合，即的线性、加权组合，即冲激信号的响应冲激信号的响应 是单位冲激响应是单位冲激响应若若 对应对应的冲激响应表示成的冲激响应表示成则系统的零状态响应为则系统的零状态响应为无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布75-1-1信号的正交分解信号的正交分解和和三角函数三角函数，以及复指数函数，以及复指数函数与与也是正交基底函数，同样可以对信号进行也是正交基底函数，同样可以对信号进行分解。当我们选用三角函数分解。当我们选用三角函数,复指数函数作为基本信号复指数函数作为基本信号来对信号与系统进行分解来对信号与系统进行分解,这就是傅立叶频域分析法这就是傅立叶频域分析法.对信号进行分解处理

5、的信号对信号进行分解处理的信号(函数函数)称为基底函数称为基底函数.图图5-1二维信号的正交分解二维信号的正交分解图图5-2三维信号的正交分解三维信号的正交分解无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布信号的正交分解信号的正交分解8设设,为两个任意信号为两个任意信号,如图所示如图所示5-3(5-3)若设若设,则误差函数则误差函数在此定义在此定义为两个信号的相关系数为两个信号的相关系数.两个任意信号间的关系两个任意信号间的关系:图图5-3信号的波形信号的波形无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-1-1信号的正交分解信号的正交分解在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原在对信号的分解过程中，

6、需要遵循信号能量误差最小的原则，也就是说则，也就是说fe(t)的均方值的均方值应应该最小。令该最小。令为为误差误差函数的均函数的均方值方值,则则9若若C12为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：从而求得相关系数从而求得相关系数C12的大小的大小:无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-1-1信号的正交分解信号的正交分解此时，此时，f1(t)、f2(t)称为互为正交的函数，表示称为互为正交的函数，表示f 1(t)函数函数中中不含有不含有f2(t)的信息或者分量，同理，的信息或者分量，同理，f2(t)函数函数中不含有中不含有f1(t)的的的信息或者分量，反

7、过来讲，如果两个信号不正交，的信息或者分量，反过来讲，如果两个信号不正交，就有相关关系，必能从一个信号中抽出另外一个信号的分就有相关关系，必能从一个信号中抽出另外一个信号的分量。我们对上面的分析重新表述为下列两式量。我们对上面的分析重新表述为下列两式:(5-7)(5-8)凡是满足（凡是满足（5-7）与（）与（5-8）两式的函数称为正交函数，当）两式的函数称为正交函数，当然在复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性，在然在复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性，在此不再赘述。此不再赘述。10、无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-1-1信号的正交分解信号的正交分解信号的分解是在正交基底函

8、数下进行分解，那么任意信号信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号f(t)就可以分解为就可以分解为n 维正交函数之和：维正交函数之和：等式左边表示原函数，等式右边表示近似函数，等式左边表示原函数，等式右边表示近似函数，称为相互正交的基底函数，上式适用于任何正交函数集。称为相互正交的基底函数，上式适用于任何正交函数集。式中式中11无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-1-1信号的正交分解信号的正交分解表示信号表示信号f(t)与基底函数间的相关系数与基底函数间的相关系数,是相互独立的，互不影响，计算时先抽取是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都

9、可以，非正交函数就无此特性。12无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-1-2完备正交函数集完备正交函数集能使信号能使信号f(t)进行正交分解的基底函数，并且分解后均方差进行正交分解的基底函数，并且分解后均方差为零的一组正交基底函数称为为零的一组正交基底函数称为完备的正交函数集完备的正交函数集。一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集有许一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集有许多，如：多，如：正弦函数集正弦函数集指数函数集指数函数集walsh函数集函数集正交函数集有许多重要的用途，例如进行频谱分析、信道正交函数集有许多重要的用途，例如进行频谱分析、信道编码等。编码等。13无忧无忧P

10、PTPPT整理发布整理发布周期信号的定义是在（周期信号的定义是在（）区间，满足）区间，满足(5-11)最小的最小的称为周期信号称为周期信号的基波周期，的基波周期，角频率角频率称为称为的基波角频率，的基波角频率，称为称为的基波频率的基波频率,5-2周期信号的傅立叶级数分析周期信号的傅立叶级数分析14(，表示一个固定的常数表示一个固定的常数，注意符号与变量注意符号与变量的区的区别别)无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布当周期信号当周期信号满足狄里赫利条件时，就可以用复指数函满足狄里赫利条件时，就可以用复指数函数集或三角函数集的线性组合来表示，这种线性组合的表数集或三角函数集的线性组合来表示，这种线

11、性组合的表示称为傅立叶级数展开。示称为傅立叶级数展开。狄里赫利条件：狄里赫利条件：在一个周期内，信号绝对可积；在一个周期内，信号绝对可积；在一个周期内，极大值与极小值数目为有限个；在一个周期内，极大值与极小值数目为有限个；在一个周期内，信号的间断点数目应是有限个，在一个周期内，信号的间断点数目应是有限个，工程中所遇到的信号都满足狄氏条件。工程中所遇到的信号都满足狄氏条件。15无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-1指数形式的傅立叶级数分析指数形式的傅立叶级数分析复指数函数集复指数函数集是一个完备的正交基底函数集，任意是一个完备的正交基底函数集，任意满足狄里赫利条件的信号满足狄里赫利条件的

12、信号f(t)可以用复指数函数集进行分解，可以用复指数函数集进行分解，(5-12)（5-12）式称为周期信号）式称为周期信号的指数形式的傅立叶级数。的指数形式的傅立叶级数。表明周期信号表明周期信号可以分解成无穷多项，不同频率的指数可以分解成无穷多项，不同频率的指数函数的线性组合。函数的线性组合。16无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布当当n0时，信号分解出负频率，在现在人们的认知范围时，信号分解出负频率，在现在人们的认知范围不存在负频率。不存在负频率。这是因为这是因为是一个实数信号，在引入复数分解信号是一个实数信号，在引入复数分解信号时必须出现共轭项才能完整表示信号时必须出现共轭项才能完整表示信

13、号，因此负频率，因此负频率在这里只有数学含义。在这里只有数学含义。式中的式中的称为傅立叶系数，又称为频谱函数或复系数称为傅立叶系数，又称为频谱函数或复系数17无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-1指数形式的傅立叶级数分析指数形式的傅立叶级数分析从（从（5-12）中可以看出，周期信号）中可以看出，周期信号在复指数函数集上在复指数函数集上分解的各分量称为谐波分量。分解的各分量称为谐波分量。n=0时时,称为直流分量；称为直流分量；时时，频率取，频率取，称为一次谐波（也称为基波）；，称为一次谐波（也称为基波）；时，时，称为二次谐波称为二次谐波;以此类推，可知各次谐波是基波以此类推，可知各次谐波

14、是基波的整数倍的整数倍。18无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布对（对（5-12）上式两边同时乘以）上式两边同时乘以，然后再一个周期内积，然后再一个周期内积分，即分，即19或者写为或者写为式（式（5-13）式表明，周期信号）式表明，周期信号的指数形式的傅立叶级的指数形式的傅立叶级数的系数是一个复数，所以数的系数是一个复数，所以也可以表示成也可以表示成(5-13)无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-2三角形傅立叶级数三角形傅立叶级数通过欧拉公式得到傅立叶级数的正弦形式表达式通过欧拉公式得到傅立叶级数的正弦形式表达式若若n为为之间的整数，则之间的整数，则(5-15)其中其中(5-16)(5

15、-17)(5-18)20无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-2三角形傅立叶级数三角形傅立叶级数式（式（5-15）称为周期信号）称为周期信号的正弦形式的傅立叶展开式的正弦形式的傅立叶展开式也经常写成也经常写成(5-19)或或(5-20)由欧拉公式可知：由欧拉公式可知：(5-21)代入（代入（5-13）式可得）式可得(n取取间的整数间的整数)21无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-2三角形傅立叶级数三角形傅立叶级数(5-22)（n取取之间的整数）之间的整数）通过比较可以得到指数形式的傅里叶系数与三角形式的傅通过比较可以得到指数形式的傅里叶系数与三角形式的傅里叶系数有以下关系：里叶系

16、数有以下关系：22无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-2三角形傅立叶级数三角形傅立叶级数23无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-2-3信号的对称性与傅立叶级数的关系信号的对称性与傅立叶级数的关系周期信号的对称性大致分为两类，一类是整个周期对称，周期信号的对称性大致分为两类，一类是整个周期对称，如奇函数或偶函数。另一类对称性是半波对称，即波形前如奇函数或偶函数。另一类对称性是半波对称，即波形前半周期与后半周期是否相同或形成镜像关系。半周期与后半周期是否相同或形成镜像关系。1、偶函数、偶函数如果实周期信号如果实周期信号，若满足，若满足关系关系，则，则是关于时间是关于时间t的偶函数，其波

17、形是关于纵轴对称，例如图的偶函数，其波形是关于纵轴对称，例如图5-4所示。所示。24图图5-4偶函数偶函数无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布显然，显然，不一定为零不一定为零2奇函数奇函数如果实周期信号如果实周期信号，若满足，若满足关系关系，则，则是是关于时间关于时间t的奇函数，其波形是关于原点对称的图形。的奇函数，其波形是关于原点对称的图形。25无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布例如图例如图5-5所示所示,根据式（根据式（5-16）、（）、（5-17）可知）可知26图图5-5奇函数奇函数无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布奇函数的三角形式的傅立叶级数只有正弦分量，其频谱函奇函数的三角形式的

18、傅立叶级数只有正弦分量，其频谱函数数是虚函数。是虚函数。3半波镜像函数半波镜像函数如果实周期信号如果实周期信号，若满足若满足关系关系则称则称是半波镜像函数，是半波镜像函数，27无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布信号信号不论是左移还是右移半个周期后再关于时间轴对不论是左移还是右移半个周期后再关于时间轴对称，得到信号称，得到信号，那么，那么与原信号重合。与原信号重合。半波镜像周期信号的三角形式傅里叶级数只有奇次谐波分半波镜像周期信号的三角形式傅里叶级数只有奇次谐波分量，而无直流分量和偶次谐波分量。量，而无直流分量和偶次谐波分量。28的傅立叶级数的偶次谐波为零的傅立叶级数的偶次谐波为零,即即无忧无

19、忧PPTPPT整理发布整理发布4半波重叠函数半波重叠函数如果实周期信号如果实周期信号，若满足，若满足关系，则称关系，则称为半波对称函数。为半波对称函数。从图中可以看出对信号从图中可以看出对信号，原波形向前或向后移动半个原波形向前或向后移动半个周期，得周期，得，并且与原波形重合。，并且与原波形重合。对对进行傅立叶级数展开，即：进行傅立叶级数展开，即：29图图5-7半波重叠信号半波重叠信号无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布半波重叠周期信号的三角形式傅里叶级数的奇次谐波项为半波重叠周期信号的三角形式傅里叶级数的奇次谐波项为零，只有偶次谐波分量。零，只有偶次谐波分量。30 无忧无忧PPTPPT整理发

20、布整理发布5-3周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析5-3-1频谱的概念频谱的概念频谱就是信号中包含的所有频率成分的大小。信号分解频谱就是信号中包含的所有频率成分的大小。信号分解为为振幅振幅不同和不同和频率频率不同的正弦信号，这些正弦信号的幅不同的正弦信号，这些正弦信号的幅值按频率排列的分布曲线，叫做频谱。值按频率排列的分布曲线，叫做频谱。如果把如果把对对的关系绘成如图的关系绘成如图5-8（a）所示的线图，）所示的线图，就可以清楚直观地看出各频率分量的相对大小，这种图就可以清楚直观地看出各频率分量的相对大小，这种图称为信号的幅度频谱，简称为称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱。幅度谱。图中的每条线

21、代表某一频率分量的幅度，成为谱线。图中的每条线代表某一频率分量的幅度，成为谱线。连续各谱线顶点的虚线称为包络线，它反映了各分量幅度变连续各谱线顶点的虚线称为包络线，它反映了各分量幅度变化的情况。化的情况。31无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布似还可以画出相位似还可以画出相位对频率对频率的线图，称为相位频的线图，称为相位频谱，或简称为相位谱，如图谱，或简称为相位谱，如图5-8（b）所示。）所示。幅度谱和相位谱统称为信号的频谱图。幅度谱和相位谱统称为信号的频谱图。32(a)幅度谱幅度谱（b)相位谱相位谱周期信号的频谱只会出现在周期信号的频谱只会出现在0，等离散频率点，等离散频率点，这种谱线称为离

22、散谱这种谱线称为离散谱.无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-2周期信号的频谱特征周期信号的频谱特征指数形式傅立叶级数的频谱图指数形式傅立叶级数的频谱图那么可以画出幅度那么可以画出幅度间的关系，也可画出间的关系，也可画出间的关系，如图间的关系，如图5-9所示。所示。33 图图5-9周期信号指数形式的频谱图周期信号指数形式的频谱图幅度谱幅度谱相位谱相位谱无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布从图从图5-9可以看出，对于指数函数的谱系数，可以看出，对于指数函数的谱系数，的幅度的幅度谱谱为偶对称为偶对称，而，而的相位谱的相位谱为奇对称。为奇对称。信号的频谱清晰地描述了信号中的频率成分，即构成信信

23、号的频谱清晰地描述了信号中的频率成分，即构成信号的各谐波分量的幅度和相位。号的各谐波分量的幅度和相位。频谱提供了另一种描述信号的方法，即信号的频域描述。频谱提供了另一种描述信号的方法，即信号的频域描述。信号的时域和频域描述从不同的角度展现了信号的特征。信号的时域和频域描述从不同的角度展现了信号的特征。34无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布【例题例题5-1】已知周期性矩形脉冲号已知周期性矩形脉冲号，如图，如图5-10所示，所示，试求试求的傅立叶级数展开形式，并画出的傅立叶级数展开形式，并画出频谱图。频谱图。35图图5-10例题例题5-1的信号的信号解：解：周期矩形脉冲信号进行傅立叶级数展开，既

24、可以展开成指周期矩形脉冲信号进行傅立叶级数展开，既可以展开成指数形式，也可以展开成三角函数形式，下面就两种形式分数形式，也可以展开成三角函数形式，下面就两种形式分别展开。别展开。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布1）先求展开成指数形式的傅立叶级数，为求展开式，先求）先求展开成指数形式的傅立叶级数，为求展开式，先求谱系数谱系数。36无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布则则的傅立叶级数展开形式的傅立叶级数展开形式频谱图：画出频谱图：画出和相位谱和相位谱，如图，如图5-11所示。所示。(a)37无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布从上述分析我们可以看到从上述分析我们可以看到（1）周期信号）周期信号

25、是时域表达式，是时域表达式，是变量，频谱函数是变量，频谱函数是周期信号是周期信号在频域中的表达式，在频域中的表达式，是变量；是变量；（2）周期信号）周期信号是连续信号，但它的频谱函数是连续信号，但它的频谱函数是离是离散的，散的，只存在于频率为只存在于频率为0，这些离散点上。这些离散点上。38无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-2周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性（3）频谱函数）频谱函数的幅度具有的幅度具有收敛性收敛性，随着频率增加，随着频率增加，逐渐减小；逐渐减小；（4）指数形式的频谱图是双边谱，幅度谱）指数形式的频谱图是双边谱，幅度谱是偶函数，是偶函数，相位谱相位谱是奇函数。是奇函

26、数。（5）与与具有唯一对应性，具有唯一对应性，包含了信号包含了信号的的全部信息。全部信息。下面求三角形式的傅立叶级数与频谱下面求三角形式的傅立叶级数与频谱根据三角形式傅立叶级数展开形式根据三角形式傅立叶级数展开形式去掉直流分量去掉直流分量，则，则为奇函数，如图为奇函数，如图5-12所示所示39无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-2周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性所以所以40图图5-12去掉直流分量的周期信号去掉直流分量的周期信号无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-2周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性三角形式傅立叶级数的频谱图，如图三角形式傅立叶级数的频谱图，如图5-13所

27、示。所示。41将（将（1）式化为）式化为（1）无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-2周期函数的频谱特性周期函数的频谱特性从三角形式的频谱图可以看到：从三角形式的频谱图可以看到：（1）周期信号）周期信号三角形式的傅立叶级数是频谱图仍然三角形式的傅立叶级数是频谱图仍然具有离散性，具有离散性，（2）幅度）幅度具有收敛性，具有收敛性，随随增大而减小。增大而减小。42（a)幅度谱幅度谱(b)相位谱相位谱无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-2周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性（3）三角形式的傅立叶级数的频谱是单边谱；）三角形式的傅立叶级数的频谱是单边谱；（4）比较三角形式与指数形式傅立叶

28、级数的频谱，可以看）比较三角形式与指数形式傅立叶级数的频谱，可以看到，三角形式幅度谱线的高度是指数形式幅度谱线高度的到，三角形式幅度谱线的高度是指数形式幅度谱线高度的二倍，（注意：二倍，（注意：n=0除外），也就是说把负频率上的谱线除外），也就是说把负频率上的谱线与正频率上的谱线加起来，即是与正频率上的谱线加起来，即是的谱线。的谱线。43无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-3信号的有效带宽信号的有效带宽分析周期矩形脉冲信号的频谱。分析周期矩形脉冲信号的频谱。则其指数形式的傅里叶级数的系数则其指数形式的傅里叶级数的系数44图图5-14周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号无忧无忧PPTPPT整

29、理发布整理发布5-3-3信号的有效带宽信号的有效带宽因为周期矩形脉冲信号是偶函数，所以求出的谱系数因为周期矩形脉冲信号是偶函数，所以求出的谱系数是实函数。是实函数。对于实函数，当对于实函数，当，其谐波分量的相位为零；，其谐波分量的相位为零；当当相位为相位为，如图，如图5-15所示。因此可以将其幅度谱所示。因此可以将其幅度谱和相位谱画在同一张图中。如图和相位谱画在同一张图中。如图5-16所示。（注意：只有所示。（注意：只有在傅里叶级数在傅里叶级数是实函数时，才可以这样画。是实函数时，才可以这样画。45无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布在一般情况下，如果在一般情况下，如果是复函数，则必须分别画出

30、幅度谱和是复函数，则必须分别画出幅度谱和相位谱两张图）相位谱两张图）5-3-3信号的有效带宽信号的有效带宽46图图5-15周期矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱周期矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-3信号的有效带宽信号的有效带宽从周期矩形脉冲信号的频谱图中我们可以看出幅度谱的包从周期矩形脉冲信号的频谱图中我们可以看出幅度谱的包络线是络线是函数波形。函数波形。最大值出现在最大值出现在时，为时，为频率间隔为频率间隔为频谱包络线在当频谱包络线在当时，曲线时，曲线通过零点。通过零点。47。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-3信号的有效带宽信号的有效带宽其中第一

31、个零点在其中第一个零点在。在在区间，信号包含了区间，信号包含了90%的能量（具体推导见例的能量（具体推导见例题题5-2）。）。超过第一个零点，则谐波的幅度衰减得很快。超过第一个零点，则谐波的幅度衰减得很快。因此对于矩形脉冲信号，我们将包含主要谐波分量的因此对于矩形脉冲信号，我们将包含主要谐波分量的这段频率范围称为其有效频带宽度（简称带这段频率范围称为其有效频带宽度（简称带宽），以符号宽），以符号（单位（单位rad/s）或者）或者（单位（单位Hz）表示，）表示，即有即有48无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布从式（从式（5-24）中可以看出，信号的有效带宽与信号时域持）中可以看出，信号的有效带宽

32、与信号时域持续时间续时间成反比。成反比。即即越大，带宽越大，带宽越窄；越窄；越小，带宽越小，带宽越宽。越宽。对于一般周期信号，将其幅度谱中幅度下降为对于一般周期信号，将其幅度谱中幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。的频率区间定义为频带宽度。语音信号的有效频率为语音信号的有效频率为3003400Hz，它属于低频信号。，它属于低频信号。49无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-4平均功率平均功率(1)周期信号的平均功率与谱系数周期信号的平均功率与谱系数的关系的关系周期信号的平均功率为周期信号的平均功率为由于周期信号由于周期信号的指数形式傅里叶级数为的指数形式傅里叶级数为将其代入周期信号的功率

33、计算式，有将其代入周期信号的功率计算式，有50无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-4平均功率平均功率51（5-25）交换求和与积分的次序，得交换求和与积分的次序，得（5-25）式也称为帕斯瓦尔定理。）式也称为帕斯瓦尔定理。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布表示信号中所包含所有频率成分的功率，与频谱类似，表示信号中所包含所有频率成分的功率，与频谱类似，但是横坐标是频率，纵坐标是功率但是横坐标是频率，纵坐标是功率。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。从周期信号的功率谱中不仅可以看到各个功率分布的情从周期信号的功率谱中不仅可以看到各个功率分布的情况，而且同样

34、可以确定周期信号的有效带宽。况，而且同样可以确定周期信号的有效带宽。52分布的特性曲线称为周期信号的功率谱。分布的特性曲线称为周期信号的功率谱。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布(2)周期信号的平均功率与三角形式的傅里叶系数的关系周期信号的平均功率与三角形式的傅里叶系数的关系周期信号的平均功率为周期信号的平均功率为由于周期信号由于周期信号f(t)的三角形式傅里叶级数为的三角形式傅里叶级数为53代入平均功率的计算式中，有代入平均功率的计算式中，有无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-4平均功率平均功率54交换积分和求和次序，由于三角函数的正交性，交换积分和求和次序，由于三角函数的正交性，

35、无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-4平均功率平均功率55由上式可以看出，周期信号的平均功率等于傅立叶级数展由上式可以看出，周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开式各谐波分量有效值的平方和。从另一个方面也反映出开式各谐波分量有效值的平方和。从另一个方面也反映出时域和频域功率守恒。时域和频域功率守恒。和和所以所以无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布【例题例题5-2】图图5-17所示的周期矩形脉冲信号，已知所示的周期矩形脉冲信号，已知，计算信号的总功率，以及前，计算信号的总功率，以及前5次谐波的次谐波的功率之和。功率之和。解：解：信号的总功率信号的总功率周期信号的谱系数周期信号的谱系数56图

36、图5-17例题例题5-2的信号的信号无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布,所以所以rad/s。而第一个零值点而第一个零值点。即在即在0到第一个零值点之间含有到第一个零值点之间含有5次谐波。次谐波。5-3-4平均功率平均功率57无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布同理可得同理可得58无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-3-4平均功率平均功率前前5次谐波得次谐波得59通过计算我们验证了在信号的有效带宽（通过计算我们验证了在信号的有效带宽（）内）内含有信号的绝大部分能量。有效带宽外信号的能量迅速衰含有信号的绝大部分能量。有效带宽外信号的能量迅速衰减，在工程上可以忽略。减，在工程上可以忽略。无忧无

37、忧PPTPPT整理发布整理发布5-4非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换当周期信号的周期当周期信号的周期T趋于趋于时，周期信号就转变为了非时，周期信号就转变为了非周期信号，设周期矩形脉冲信号周期信号，设周期矩形脉冲信号f(t)（其中角标（其中角标T为周期信为周期信号的表示，以期区别与非周期信号的表示），如图号的表示，以期区别与非周期信号的表示），如图5-11所所示。示。60图图5-18周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-4非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换为周期为周期，脉宽为脉宽为，基频为基频为，用指数形式傅

38、立，用指数形式傅立叶级数展开可得叶级数展开可得61（5-27）无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-4非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换由（由（5-27）式可知，当）式可知，当变为非周期信号变为非周期信号时，周期时，周期T趋于无穷大，此时趋于无穷大，此时趋于零，趋于零，趋于无穷小，趋于无穷小，也就是说随着也就是说随着T的增大，谱线幅度越来越小，谱线也间隔的增大，谱线幅度越来越小，谱线也间隔越来越小。越来越小。当当时，谱线幅度无穷小，离散的频谱将变成连续时，谱线幅度无穷小，离散的频谱将变成连续谱，谱，这时无法用傅立叶级数展开对非周期信号进行频谱分析，这时无法用傅立叶级

39、数展开对非周期信号进行频谱分析，但是谱线幅度仍然具有相对大小的特性，为了分析非周期但是谱线幅度仍然具有相对大小的特性，为了分析非周期信号的频谱，下面引入傅立叶变换。信号的频谱，下面引入傅立叶变换。62无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布假设有周期信号假设有周期信号，其周期为，其周期为T，频率，频率，则谱系数则谱系数则展开成级数有则展开成级数有63无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布当周期当周期，周期信号演变成非周期信号，周期信号演变成非周期信号,谱线间隔谱线间隔，即离散谱变成连续谱，即离散谱变成连续谱，原来的离散量原来的离散量演变成连续量演变成连续量。离散求和离散求和运算运算变成连续积分变成连

40、续积分运算运算，即，即64式（式（5-28）（）（5-29）是一对傅立叶变换对，式（）是一对傅立叶变换对，式（5-28）称为非周期信号称为非周期信号的傅立叶正变换或称为频谱密度函的傅立叶正变换或称为频谱密度函数数.（5-28）（5-29）无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布傅里叶正变换傅里叶正变换傅里叶傅里叶反变换反变换65也可表示为也可表示为式（式（5-28）表明，非周期信号可以分解成无穷多个虚指数）表明，非周期信号可以分解成无穷多个虚指数函数函数之和，指数分量的谐系数振幅是一个无穷小量之和，指数分量的谐系数振幅是一个无穷小量，它占据了从，它占据了从到到的整个频域。的整个频域。无忧无忧PPT

41、PPT整理发布整理发布5-4-2非周期信号的频谱非周期信号的频谱非周期信号非周期信号的傅立叶变换的傅立叶变换还可以写为：还可以写为：（5-30）66定义定义则则显然，显然，是一个复数，其实部是一个复数，其实部是频率是频率的偶函数，的偶函数，虚部虚部是频率是频率的奇函数。的奇函数。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱67幅模幅模表示了信号表示了信号的各频率分量的比例关系，的各频率分量的比例关系，称称的关系为幅度频谱，如图的关系为幅度频谱，如图5-19(a)所示。所示。幅角幅角表示了信号表示了信号的各频率分量的初相角，称的各频率分量的初相角，称的关系为相位频谱，如图

42、的关系为相位频谱，如图5-19（b）所示。）所示。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布根据信号根据信号的奇偶性，还可以写出频谱函数的奇偶性，还可以写出频谱函数的特的特殊形式。殊形式。若若是偶函数，则是偶函数，则只含有实部只含有实部，若若是奇函数，则是奇函数，则只含有虚部只含有虚部68另外，利用另外，利用与与的关系，还可以把的关系，还可以把写成写成无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-4-2非周期信号的频谱非周期信号的频谱上式说明非周期信号也可以分解成无限多个，无穷小量不上式说明非周期信号也可以分解成无限多个，无穷小量不同频率的正弦信号之和。各频率分量的振幅为同频率的正弦信号之和。各频率分量的

43、振幅为它占据了从它占据了从0到到的频率范围，从各分量的振幅总可以的频率范围，从各分量的振幅总可以看看出出是单位频率上的幅度，所以频谱函数是单位频率上的幅度，所以频谱函数又称为又称为频谱密度函数。频谱密度函数。69无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-4-3傅立叶变换存在的条件傅立叶变换存在的条件当信号当信号在无限区间内满足绝对可积的条件时，则它的在无限区间内满足绝对可积的条件时，则它的傅立叶变换傅立叶变换存在，则存在，则(5-32)这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件，这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件，因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函因为有些不满足绝对可

44、积条件的信号，但当引入了冲激函数数之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。70无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换1单个门函数单个门函数图图5-20中的门函数中的门函数，图图5-20单个门函数单个门函数其幅度为其幅度为A，宽度为，宽度为，则则71无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换（5-33）式（式（5-32）表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。）表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。当当时时，。取取，的第一个零点的频率为的第一个零点的频率为，定义定义（

45、或者（或者）之间的频率范围称为信号宽度）之间的频率范围称为信号宽度。72无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换（5-34）式（式（5-33）式表明，信号在时域中）式表明，信号在时域中越窄，信号带宽越宽；越窄，信号带宽越宽；反之，反之，越小，带宽越窄。越小，带宽越窄。非周期信号非周期信号是一个偶函数，其傅立叶变换是一个偶函数，其傅立叶变换是是的的实函数，所以频谱函数实函数，所以频谱函数的幅度频谱的幅度频谱和相位频谱和相位频谱可以画在同一个图上，如图可以画在同一个图上，如图5-14所示。所示。73无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶

46、变换典型信号的傅立叶变换当然，当然，也可以分别画在两个图上，即幅度谱也可以分别画在两个图上，即幅度谱和相位和相位谱谱，如图，如图5-22所示。所示。74图图5-21矩形脉冲信号的频谱图矩形脉冲信号的频谱图图图5-22幅度谱幅度谱相位谱相位谱无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换2单边单边e指数函数指数函数如图如图5-23所示，它的傅立叶变换为所示，它的傅立叶变换为即即（5-35）可进一步表示为可进一步表示为75 无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布其中幅度频谱其中幅度频谱76相位频谱相位频谱无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变

47、换典型信号的傅立叶变换3单位冲激信号单位冲激信号单位冲激信号单位冲激信号的傅立叶变换的傅立叶变换77即即无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换4直流信号直流信号直流信号不满足绝对可积条件，所以不能用傅立叶积分式直流信号不满足绝对可积条件，所以不能用傅立叶积分式求其傅立叶变换。但是频谱函数引入冲激信号求其傅立叶变换。但是频谱函数引入冲激信号之后，之后，这些信号的频谱存在。这些信号的频谱存在。频谱函数为频谱函数为的原函数是时域中的一个直流信号，即的原函数是时域中的一个直流信号，即所以所以或写成或写成则直流信号则直流信号A的傅立叶变换为的傅立叶变换为78无

48、忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换直流信号及其频谱函数，如图直流信号及其频谱函数，如图5-25所示。所示。79无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5符号函数符号函数符号函数的定义式为符号函数的定义式为80上式还可以用指数函数的极限来定义，如图上式还可以用指数函数的极限来定义，如图5-26所示所示对上式取傅立叶变换得对上式取傅立叶变换得无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换81即即（5-39）正负号函数及其频谱如图正负号函数及其频谱如图5-27所示。所示。图图5-27无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-

49、5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换6单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号同样不满足绝对可积条件，因此我们可同样不满足绝对可积条件，因此我们可以写成直流与负号函数的线性组合以写成直流与负号函数的线性组合其傅立叶变换为其傅立叶变换为（5-40）82即即无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-5典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换阶跃信号及其频谱如图阶跃信号及其频谱如图5-28所示。所示。图图5-2883无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-6周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换1.正弦型信号的傅里叶变换正弦型信号的傅里叶变换利用欧拉公式利用欧拉公式下面我们利用定义式求

50、下面我们利用定义式求的傅里叶变换的傅里叶变换所以所以，其频谱、相位谱分别如图，其频谱、相位谱分别如图5-29（a）、（）、（b）所示）所示84无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-6周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换图图5-29（a）幅度谱）幅度谱（b）相位谱）相位谱85无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-6周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换2.一般周期信号一般周期信号则周期信号则周期信号为为对上式取傅立叶变换得对上式取傅立叶变换得交换运算顺序交换运算顺序86设周期信号一般周期信号设周期信号一般周期信号，基频，基频，其复系数，其复系数（5-41）无忧无忧PPTPPT整理发布整

51、理发布5-6周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换利用定义式计算得利用定义式计算得所以所以也就是周期信号的傅立叶变换为也就是周期信号的傅立叶变换为（5-42）从（从（5-42）式可清楚地看出：周期信号的频谱函数是离散）式可清楚地看出：周期信号的频谱函数是离散的，但是它不同于傅立叶级数。的，但是它不同于傅立叶级数。单个脉冲的傅立叶变换与周期性脉冲信号的傅立叶级数之单个脉冲的傅立叶变换与周期性脉冲信号的傅立叶级数之间的关系。从周期信号间的关系。从周期信号中取一个周期的信号称单个中取一个周期的信号称单个87无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-6周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换脉冲信号脉

52、冲信号，其傅立叶变换为，其傅立叶变换为（5-43）比较（比较（5-41）与（）与（5-43）两式，可得到关系式）两式，可得到关系式（5-44）88上式表明：若求周期信号的复系数上式表明：若求周期信号的复系数，可先求单个脉冲的，可先求单个脉冲的傅立叶变换傅立叶变换，然后将其变换式中的，然后将其变换式中的用用替代，替代，再乘以再乘以即可。即可。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布【例题例题5-3】：如图：如图5-32（a）所示，求周期冲激序列）所示，求周期冲激序列的傅里叶变换。的傅里叶变换。89图图5-32（a）冲激序列）冲激序列解：解：已知已知的傅里叶变换为的傅里叶变换为，根据（，根据（5-43

53、）可知：）可知：无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布90冲激序列的傅里叶冲激序列的傅里叶变换频谱如如图5-31（b）所示）所示无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布91 【例例题5-4】如如图5-31所示，求矩形脉冲序列的傅里叶所示，求矩形脉冲序列的傅里叶变换解：已知单个矩形脉冲的傅里叶变换解：已知单个矩形脉冲的傅里叶变换无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-6周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换根据（根据（5-42）式可）式可知：知：92无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质1线性线性傅里叶变换是一种线性运算，因此它的线

54、性特性表示为傅里叶变换是一种线性运算，因此它的线性特性表示为若若则则（5-45）上式表明，两个时间信号的线性组合，其频谱函数等于两上式表明，两个时间信号的线性组合，其频谱函数等于两个时间信号的频谱函数的线性组合。在线性时不变系统中，个时间信号的频谱函数的线性组合。在线性时不变系统中，这个性质是显而易见的。（这个性质是显而易见的。（5-44）式可以推广到多个信号）式可以推广到多个信号的线性组合。的线性组合。93无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质2、共轭对称特性、共轭对称特性若若则则证明：证明：由于由于94无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换

55、的性质傅立叶变换的性质显然显然95为偶函数为偶函数为奇函数为奇函数根据定义，有根据定义，有无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质3互易对称性互易对称性若若则则（5-49）证明：证明：根据傅立叶反变换式，根据傅立叶反变换式，96无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质用用-t置换式中的置换式中的t，则变为，则变为再将上式中的再将上式中的与与 t 互换，即互换，即用用置换置换 t ，则上式变为，则上式变为或者写成或者写成在上一节中我们研究直流信号与冲激信号的频谱函数时，在上一节中我们研究直流信号与冲激信号的频谱函数时，已经看到了

56、这种对称性，如图已经看到了这种对称性，如图5-22所示即所示即97无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质图图5-32傅里叶的对称性傅里叶的对称性从图从图5-32也清楚地表明了单个门函数抽样函数的对称性。也清楚地表明了单个门函数抽样函数的对称性。98无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质99图图5-33门函数与抽样函数的对称特性门函数与抽样函数的对称特性无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质对于偶函数有对于偶函数有，100所以通过对称性，我们可以求出函数的频谱函数所以通过对称性，我们可以求

57、出函数的频谱函数，是一个矩形的频谱。是一个矩形的频谱。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质【例题例题5-5】求信号求信号的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：解：符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换则利用傅里叶变换的对称性质，把符号函数的频谱则利用傅里叶变换的对称性质，把符号函数的频谱再将符号函数的时域表达式中的变量再将符号函数的时域表达式中的变量，则有，则有它的幅度谱和相位谱如图它的幅度谱和相位谱如图5-34所示。所示。101无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质102图图5-34信号信号的幅度谱和相位谱图的幅度谱和相位

58、谱图无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质4尺度变换尺度变换若若则则，a为实常数为实常数（5-50）证明：证明：假设假设的变换式为的变换式为103令令对上式进行变量置换，得对上式进行变量置换，得无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质若若，用同样的方法可以很容易证明，用同样的方法可以很容易证明综合以上两种情况，即证明了式（综合以上两种情况，即证明了式（5-47）。）。式（式（5-47）表明，信号在时域中持续的时间与在频域中占）表明，信号在时域中持续的时间与在频域中占有的频宽成反比。也就是说，信号在时域内有线性标度因有的频宽成

59、反比。也就是说，信号在时域内有线性标度因子子a的变换，相应它在频域内则有线性因子的变换，相应它在频域内则有线性因子的变换，的变换，104无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质其幅度则应乘以因子其幅度则应乘以因子1/a。在通讯中，为了加快通讯速度，就得压缩信号占有的时间，在通讯中，为了加快通讯速度，就得压缩信号占有的时间，这样信号占有的频带宽度就得加宽，所以通讯设备必须有这样信号占有的频带宽度就得加宽，所以通讯设备必须有足够的宽带，才能保证信号传输不失真。因此，通讯速度足够的宽带，才能保证信号传输不失真。因此，通讯速度与频宽这一对矛盾必须兼顾考虑，这是通讯系统

60、分析中的与频宽这一对矛盾必须兼顾考虑，这是通讯系统分析中的一个重要问题。一个重要问题。105无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布106无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质假若有一信号假若有一信号，且存在频谱函数，且存在频谱函数，并满足，并满足，即信号与其频，即信号与其频谱函数都是衰减的函数。谱函数都是衰减的函数。的傅立叶变换式为的傅立叶变换式为107上式表明，上式表明，等于时间信号曲线下面的面积值，等于时间信号曲线下面的面积值，则则（5-51）无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布108同样，同样，的逆变换式为的逆变换式为则则上式表明，频谱函数上式表明，频谱

61、函数曲线下的面积值等于曲线下的面积值等于（5-52）无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质若令若令为时间信号为时间信号的等效宽度，的等效宽度，为频谱函数为频谱函数的的等效宽度，则信号等效宽度，则信号曲线下的面积等效为曲线下的面积等效为，而频，而频谱函数谱函数曲线下的面积等效为曲线下的面积等效为，如图，如图5-36所示所示（5-35）（）（5-36）式也可写为）式也可写为109图图5-36的等效宽度的等效宽度与与的等效带宽的等效带宽无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质110由此可以得到一个重要的公式由此可以得到一个重要的公

62、式（5-53）（5-53）式进一步阐明了信号的等效宽度）式进一步阐明了信号的等效宽度与所占有的与所占有的等效带宽等效带宽的反比关系。的反比关系。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5时移特性时移特性若若则则（5-54）证明证明对时移信号对时移信号进行傅立叶变换，进行傅立叶变换，111令令，进行变量置换，则，进行变量置换，则无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质112 时移特性还可以表示为时移特性还可以表示为上式说明了信号在时间轴上时移上式说明了信号在时间轴上时移（或或）并没有改变它的幅度频谱，只是在相位频谱中引入了相并没有改变它的幅度频谱，只是在相位频谱中引

63、入了相移移。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质113 【例题例题5-6】求图中三脉冲信号的频谱求图中三脉冲信号的频谱解：解：取中间的取中间的为矩形脉冲信号为矩形脉冲信号则其频谱函数为则其频谱函数为无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布因为因为114则，根据时移性质有则，根据时移性质有无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质6频移特性频移特性若若则则证明证明因为因为115无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的傅立叶变换的性质性质图图5-39频谱搬移性质频谱搬移性质频移特性是傅里叶变换的一个重要的性质，它表明信

64、号在频移特性是傅里叶变换的一个重要的性质，它表明信号在时域中乘上一个因子时域中乘上一个因子，它的频谱函数沿频率轴向右移动，它的频谱函数沿频率轴向右移动，这种频谱搬移技术，在通讯系统中得到了广泛的应用，它这种频谱搬移技术，在通讯系统中得到了广泛的应用，它是调制、解调和变频等技术的理论基础。是调制、解调和变频等技术的理论基础。116无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质7卷积定理卷积定理（1）时间卷积定理）时间卷积定理若若则则证明证明若若，对其等式两边取傅立叶变换对其等式两边取傅立叶变换交换积分顺序交换积分顺序117无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立

65、叶变换的性质傅立叶变换的性质也就是也就是时域内的卷积对应在频域内是相乘，这个性质是傅立叶变时域内的卷积对应在频域内是相乘，这个性质是傅立叶变换中最重要的性质之一，在分析换中最重要的性质之一，在分析LTI系统中有着重要的意义，系统中有着重要的意义，它是滤波技术的理论基础。它是滤波技术的理论基础。118无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质（2）频域卷积定理）频域卷积定理若若则则其证明方法与时间卷积定理的证明过程类同，读者可自行其证明方法与时间卷积定理的证明过程类同，读者可自行证明，这个性质说明两个时间信号乘积的频谱等于各个信证明，这个性质说明两个时间信号乘积的

66、频谱等于各个信号的频谱函数卷积再乘以号的频谱函数卷积再乘以。一个信号乘另一个信号，可以看作是一个信号调制另一个一个信号乘另一个信号，可以看作是一个信号调制另一个信号的振幅，因此称为幅度调制，这个性质是通信系统中信号的振幅，因此称为幅度调制，这个性质是通信系统中调制理论的基础，关于调制的概念在后面将专门分析。调制理论的基础，关于调制的概念在后面将专门分析。119无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布8时间微分和时间积分时间微分和时间积分（1）时间微分性质）时间微分性质若若，则则推广到推广到n阶导数，可有阶导数，可有120无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质证明证明由傅立叶逆变换式由傅立叶逆变换式121将等式两边对将等式两边对t 求导，则有求导，则有由此可以看出由此可以看出和和是一对傅立叶变换对。是一对傅立叶变换对。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布5-7傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质【例题例题5-7】求冲激偶求冲激偶的频谱函数的频谱函数解：解：首先我们用定义式求冲激偶首先我们用定义式求冲激偶的频谱函数的频谱函数122无忧无忧PPTPPT整理发布整理