（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.5 复数教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

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1、第十三章 推理与证明、算法、复数 13.5 复数教师用书 理 苏教版1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对

2、应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()1(2016全国乙卷改编)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数

3、，则a_.答案3解析(12i)(ai)a2(2a1)i，a22a1，解得a3.2(2016泰州模拟)已知复数z满足(3i)z10i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是_答案13i解析复数z13i，则复数z的共轭复数是13i.3(2016南京一模)设i是虚数单位，若zcos isin ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则位于第_象限答案二解析zcos isin 对应的点的坐标为(cos ，sin )，且点(cos ，sin )位于第二象限，为第二象限角4i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.答案1解析原式i3i4i1i2i3i4i1.5(教

4、材改编)在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是_答案34i解析13i(2i)34i. 题型一复数的概念例1(1)(2016无锡模拟)若复数z(1i)(m2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为_(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的_条件(3)(2016天津)i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_答案(1)2(2)充分不必要(3)1解析(1)zmmi2i2(m2)(2m)i.z为纯虚数，m2.(2)由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件(3)(1i)z2，z1i，其实

5、部为1.引申探究将本例(3)中的条件“(1i)z2”改为“(1i)3z2”，求z的实部解zi，z的实部为.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(1)(2016镇江模拟)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为_(2)(2016苏北四市调研二)已知复数z满足z24，若z的虚部大于0，则z_.答案(1)(2)2i解析(1)|43i|5，zi，虚部为.(2)设zabi(a，b

6、R，b0)，则z2a2b22abi4，因此a0，b24，b2，又b0，b2，z2i.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2016四川改编)设i为虚数单位，则复数(1i)2_.(2)(2016全国乙卷改编)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|_.(3)(2015课标全国改编)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a_.答案(1)2i(2)(3)0解析(1)(1i)212i22i112i2i.(2)由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|.(3)因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得4a0且a244，解得a0.命题点2复数的除法运算例3

7、(1)(2016全国丙卷改编)若z12i，则_.(2)(2016北京改编)复数_.(3)()6_.答案(1)i(2)i(3)1i解析(1)z12i，z5，i.(2)i.(3)原式6i61i.命题点3复数的综合运算例4(1)(2016山东改编)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z_.(2)(2016全国丙卷改编)若z43i，则_.答案(1)12i(2)i解析(1)设zabi(a，bR)，则abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i.(2)43i，|z|5，i.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，

8、可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的(1)(2016常州模拟)若i为虚数单位，复数z12i，则_.(2)2 017_

9、.(3)2 017_.答案(1)i(2)i(3)(1)i解析(1)因为z12i，所以z2(12i)234i，|z|，所以i.(2)()2 0172 017i2 017i.(3)()2 017()()21 008ii1 008(1i)(1)i.题型三复数的几何意义例5(1)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的_答案外心解析由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：，所表示的复数；对角线所表示的复数；B

10、点对应的复数解，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i

11、，根据条件，可知解得2a0，b0，且(1ai)(bi)5i(i是虚数单位)，则ab_.答案4解析由题意得(1ai)(bi)(ba)(1ab)i5i，则又a0，b0，所以ab2，则ab4.2(2016苏北联考)如果复数1，ai,3a2i(aR)成等比数列，那么a的值为_答案2解析由题意知，(ai)21(3a2i)，即a212ai3a2i，解得a2.3若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是_答案H解析由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.4(2017南昌模拟)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z_.答案1i解析方法一设zabi，a，b为实数，则abi

12、.z2a2，a1.又(z)i2bi22b2，b1.故z1i.方法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.5(2016新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，则的取值范围是_答案解析由复数相等的充要条件可得 化简得44cos23sin ，由此可得4cos23sin 44(1sin2)3sin 44sin23sin 42，因为sin 1,1，所以4sin23sin .6已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_答案(1，)解析由于复数z的实部为a，虚部为1，且0a2，所以

13、由|z|，得1|z|2，点(a，b)在圆x2y22外8复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_答案(，)解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，mb，则aibi；若aR，则(a1)i是纯虚数；若zi，则z31在复平面内对应的点位于第一象限其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析由复数的概念及性质知，错误；错误；若a1，则(a1)i0，错误；z31(i)31i1，正确13复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.14计算：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.15.若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi(a，bR且b0)，zabiabii.z是实数，b0.又b0，a2b25.又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数，a3b0.由得解得或故存在虚数z，z12i或z2i.