离散型随机变量均值

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1、问 题 1： 你 的 期 中 数 学 考 试 成 绩 为 70， 平 时 表 现 成 绩为 60， 学 校 规 定 ： 在 你 学 分 记 录 表 中 ， 该 学 期 的 数 学成 绩 中 考 试 成 绩 占 70%、 平 时 成 绩 占 30%， 你 最 终 的数 学 成 绩 为 多 少 ？问 题 2: 某 商 场 要 将 单 价 分 别 为 36元 /kg， 24元 /kg， 12元 /kg的 3种 糖 果 按 3： 2： 1的 比 例 混 合 销 售 ， 其 中 混 合糖 果 中 每 一 颗 糖 果 的 质 量 相 等 ,如 何 对 混 合 糖 果 定 价 才合 理 ？ X 36 24

2、12P把 3种 糖 果 的 价 格 看 成 随 机 变 量 的 概 率 分 布 列 ： 36 26 1612 P(X=12)+24 P(X=24)+36 P(X=36)平 均 价 格 = 离 散 型 随 机 变 量 的 均 值若 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 为 ：X a1 a2 ai arP p1 p2 pi pr则 称 ： EX=a1p1+a2p2+aipi+arpr为 该离 散 型 随 机 变 量 X的 均 值 或 数 学 期 望 。它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 。 例 1、 在 10件 某 种 产 品 中 ， 有 4件 次 品

3、。 从 这 10件 产 品中 任 取 3件 ， 用 X表 示 取 得 产 品 中 的 次 品 数 ， 现 在 我 们关 心 ， 取 3件 该 产 品 时 ， 平 均 会 取 到 几 件 次 品 ？ 例 2、 令 X为 掷 一 枚 均 匀 骰 子 出 现 的 点 数 ， 求 EX。 例 3、 若 对 于 某 个 数 学 问 题 ， 甲 、 乙 两 人 都 在 研 究 ，甲 解 出 该 题 的 概 率 为 ， 乙 解 出 该 题 的 概 率 为 ，设 解 出 该 题 的 人 数 为 X， 求 EX。23 45 例 4、 设 X只 取 0， 1两 个 值 ， 并 且P(X=0)=1-p， P(X=1

4、)=p， 求 EX。 如 果 随 机 变 量 X服 从 两 点 （ 01） 分 布 ， 那 么 EX= p 若 X B (n， p)， 则 EX= n p若 X 参 数 为 N， M， n的 超 几 何 分 布 则 ：EX= nMN常 见 分 布 的 均 值 离 散 型 随 机 变 量 的 均 值若 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 为 ：X a1 a2 ai arP p1 p2 pi pr则 称 ： EX=a1p1+a2p2+ +aipi+ +arpr为 该离 散 型 随 机 变 量 X的 均 值 或 数 学 期 望 。它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平

5、均 水 平 。若 X B (n， p)， 则 EX= n p若 X 参 数 为 N， M， n的 超 几 何 分 布 则 ： EX= nMN常 见 分 布 的 均 值 例 1、 已 知 随 机 变 量 X的 分 布 列 为（ 1） 求 EX； X 0 2 4P 0.4 m 0.3（ 2） 若 Y=5X+4， 求 EY； E(aX+b)=aEX+b离 散 型 随 机 变 量 均 值 的 性 质 常 量 的 期 望 等 于 这 个 常 量 线 性 组 合 的 期 望 等 于 期 望 的 线 性 组 合 。练 习 若 X是 一 个 随 机 变 量 ， 则 E(X-EX)的 值 为 _ 练 习 1 甲

6、 、 乙 两 人 各 进 行 3次 射 击 ， 甲 每 次 击 中 目 标的 概 率 为 ， 乙 每 次 击 中 目 标 的 概 率 为 。 记 甲 击中 目 标 的 次 数 为 X， 乙 击 中 目 标 的 次 数 为 Y。2312求 X和 Y的 数 学 期 望 ；练 习 2 从 4名 男 生 和 2名 女 生 中 任 选 3人 参 加 纪 念 新 中国 成 立 60周 年 演 讲 活 动 ， 设 随 机 变 量 X表 示 所 选 3人 中女 生 的 人 数 ， 求 X的 均 值 。题 型 一 例 2、 甲 、 乙 两 人 玩 石 头 、 剪 刀 、 布 游 戏 ， 假 设 玩 家在 游 戏

7、 时 出 示 三 种 手 势 是 等 可 能 的 。(1)求 在 1次 游 戏 中 玩 家 甲 胜 玩 家 乙 的 概 率 ；(2)若 玩 家 甲 、 乙 双 方 共 进 行 3次 游 戏 ， 其 中 玩 家 甲 胜玩 家 乙 的 次 数 记 作 随 机 变 量 X， 求 X的 分 布 列 及 期 望 。常 见 分 布 列 的 均 值 题 型 二（ 2） 在 (1)条 件 下 ， 从 B中 有 放 回 地 摸 球 ， 每 次 摸 出 一个 ， 有 3次 摸 到 红 球 即 停 止 。 求 恰 好 摸 5次 停 止 的 概 率 ； 记 5次 之 内 (含 5次 )摸 到 红 球 的 次 数 为

8、X， 求 随 机 变 量X的 分 布 列 及 数 学 期 望 。 例 3、 袋 子 A和 B中 装 有 若 干 个 均 匀 的 红 球 和 白 球 ， 从A中 摸 出 一 个 红 球 得 概 率 是 ， 从 B中 摸 出 一 个 红 球 的概 率 是 p。（ 1） 若 A、 B两 个 袋 中 球 数 之 比 为 1:2， 将 两 袋 中 的 球装 在 一 起 后 ， 从 中 摸 出 一 个 红 球 的 概 率 是 ， 求 p的值 ； 其 他 分 布 列 的 均 值 练 习 ： 盒 子 中 有 大 小 相 同 得 球 10个 ， 其 中 标 号 为 1的 球3个 ， 标 号 为 2的 球 4个

9、， 标 号 为 5的 球 3个 ， 第 一 次 从 盒子 中 任 取 1个 球 ， 放 回 后 第 二 次 再 任 取 1个 球 （ 假 设 取到 每 个 球 的 可 能 性 都 相 同 ） 。 记 第 一 次 与 第 二 次 取 到球 的 标 号 之 和 为 X。（ 1） 求 随 机 变 量 X的 分 布 列 ；（ 2） 求 随 机 变 量 X的 期 望 EX。 题 型 三 均 值 在 实 际 问 题 中 的 应 用例 1： 据 气 象 预 报 ， 某 地 区 下 月 有 小 洪 水 的 概 率 为 0.25,有 大 洪 水 的 概 率 为 0.01。 该 地 区 某 工 地 上 有 一 台

10、 大 型设 备 ， 为 保 护 设 备 有 以 下 3种 方 案 。(1)运 走 设 备 ， 此 时 需 花 费 3800元 ；(2)建 一 保 护 墙 ， 需 花 费 2000元 ， 但 围 墙 无 法 防 止 大洪 水 ， 当 大 洪 水 来 临 时 ， 设 备 会 受 损 ， 损 失 费 为60000元 ；(3)不 采 取 设 施 ， 希 望 不 发 生 洪 水 ， 此 时 大 洪 水 来 临将 损 失 60000元 ， 小 洪 水 来 临 将 损 失 10000元 。你 会 采 取 哪 一 种 方 案 ？ 练 习 :某 饮 料 公 司 招 聘 了 一 名 员 工 ， 现 对 其 进 行

11、 一 项 测 试 ， 以便 确 定 工 资 级 别 。 公 司 准 备 了 两 种 不 同 的 饮 料 共 8杯 ， 其 颜 色 完全 相 同 ， 并 且 其 中 4杯 为 A饮 料 ， 另 外 4杯 为 B饮 料 ， 公 司 要 求 此员 工 一 一 品 尝 后 ， 从 8杯 饮 料 中 选 出 4杯 A饮 料 。 若 4杯 都 选 对 ，则 月 工 资 定 为 3500元 ； 若 4杯 选 对 3杯 ， 则 月 工 资 定 为 2800元 ，否 则 月 工 资 定 为 2100元 ， 今 X表 示 此 人 选 对 A饮 料 的 杯 数 ， 假 设此 人 对 A和 B两 种 饮 料 没 有

12、鉴 别 能 力 。 （ 1） 求 X的 分 布 列 ； （ 2） 求 此 员 工 月 工 资 的 期 望 。练 习 ： 甲 、 乙 两 个 工 人 生 产 同 一 产 品 ， 在 相 同 的 条 件 下 ， 他 们生 产 100件 产 品 所 出 的 不 合 格 品 数 分 别 用 X 1,X2表 示 ， X1， X2的 概 率 分 布 下 ：X1 0 1 2 3P 0.7 0.1 0.1 0.1 X2 0 1 2 3P 0.5 0.3 0.2 0如 何 比 较 甲 、 乙 两 个 工 人 的 技 术 ？ 例 2： 体 育 课 进 行 篮 球 投 篮 达 标 测 试 ， 规 定 ： 每 位 同

13、 学 有 5次 投篮 机 会 ， 若 投 中 3次 则 “ 达 标 ” ； 为 节 省 测 试 时 间 ， 同 时 规 定 ：若 投 篮 不 到 5次 已 达 标 ， 则 停 止 投 篮 ； 若 后 面 投 篮 全 中 ， 也 不 能达 标 （ 例 如 前 3次 都 未 投 中 等 情 形 ） ， 则 停 止 投 篮 。 同 学 甲 投 篮命 中 率 为 2/3， 且 每 次 投 篮 互 不 影 响 。（ 1） 求 同 学 甲 恰 好 头 4次 达 标 的 概 率（ 2） 设 测 试 中 甲 投 篮 次 数 记 为 X， 求 X的 分 布 列 及 数 学 期 望 。练 习 ： 现 有 甲 、

14、乙 两 个 靶 ， 某 射 手 项 甲 靶 射 击 一 次 ， 命 中 的 概率 为 3/4， 命 中 得 一 分 ， 没 有 命 中 得 0分 ， 向 乙 靶 射 击 两 次 ， 每次 命 中 的 概 率 为 2/3， 每 命 中 一 次 得 2分 ， 没 有 命 中 的 0分 。 该 射手 每 次 射 击 是 相 互 独 立 的 。 假 设 该 射 手 完 成 以 上 三 次 射 击 。 （ 1） 求 该 射 手 恰 好 命 中 一 次 的 概 率 。 （ 2） 求 该 射 手 的 总 得 分 X的 分 布 列 及 数 学 期 望 EX. EX表 示 X所 表 示 的 随 机 变 量 的

15、均 值 ； E(aX+b)=aEX+b 两 点 分 布 ： EX= p 二 项 分 布 ： EX= n p 超 几 何 分 布 ： EX= n 求 数 学 期 望 时 ：1. 已 知 是 两 点 分 布 或 二 项 分 布 或 超 几 何 分 布 ,直 接 代 用 公 式 ；2. 其 它 分 布 的 随 机 变 量 ， 先 求 出 分 布 列 ， 再对 应 求 值 。 数 学 期 望 小 结NM 加 权 平 均 数 权 ： 权 衡 轻 重 的 数 值 ； 加 权 平 均 ： 计 算 若 干 数 量 的 平 均 数 时 ， 考 虑到 每 个 数 量 在 总 量 中 所 具 有 的 重 要 性 不 同 ，分 别 给 予 不 同 的 权 数 。 返 回