定积分的概念与性质

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1、第 五 章积 分 学 不 定 积 分定 积 分定 积 分 及 其 应 用 第 一 节一 、 定 积 分 问 题 举 例二 、 定 积 分 的 定 义三 、 定 积 分 的 性 质定 积 分 的 概 念 与 性 质 一 、 定 积 分 问 题 举 例1. 曲 边 梯 形 的 面 积设 曲 边 梯 形 是 由 连 续 曲 线)0)()( xfxfy，轴及x 以 及 两 直 线 bxax ,所 围 成 , 求 其 面 积 A . ?A )(xfy 矩 形 面 积 a hha a h b梯 形 面 积 )(2 bah 1x ix1ix xa byo解 决 步 骤 :1) 大 化 小 . 在 区 间 a

2、 , b 中 任 意 插 入 n 1 个 分 点bxxxxxa nn 1210 , 1 iii xx 用 直 线 ixx 将 曲 边 梯 形 分 成 n 个 小 曲 边 梯 形 ;2) 常 代 变 . 在 第 i 个 窄 曲 边 梯 形 上 任 取作 以 , 1 ii xx 为 底 , )( if 为 高 的 小 矩 形 , 并 以 此 小梯 形 面 积 近 似 代 替 相 应窄 曲 边 梯 形 面 积 ,iA 得 )()( 1 iiiiii xxxxfA ),2,1, ni i 3) 近 似 和 . ni iAA 1 ni ii xf1 )(4) 取 极 限 . 令 ,max1 ini x

3、则 曲 边 梯 形 面 积 ni iAA 10lim ni ii xf10 )(lim xa byo 1x ix1ix i 2. 变 速 直 线 运 动 的 路 程设 某 物 体 作 直 线 运 动 , ,)( 21 TTCtvv 且,0)( tv 求 在 运 动 时 间 内 物 体 所 经 过 的 路 程 s.解 决 步 骤 :1) 大 化 小 . , 1 iii tt 任取将 它 分 成,),2,1(, 1 nitt ii 在 每 个 小 段 上 物 体 经2) 常 代 变 . ,)(代替变速以iv 得iii tvs )( ,1, 21个分点中任意插入在nTT ),2,1( nisi ),

4、2,1( ni 已 知 速 度n 个 小 段过 的 路 程 为 3) 近 似 和 . ini i tvs 1 )(4) 取 极 限 . ini i tvs 10 )(lim )max( 1 ini t 上 述 两 个 问 题 的 共 性 : 解 决 问 题 的 方 法 步 骤 相 同 :“ 大 化 小 , 常 代 变 , 近 似 和 , 取 极 限 ” 所 求 量 极 限 结 构 式 相 同 : 特 殊 乘 积 和 式 的 极 限 a b xo二 、 定 积 分 定 义 ,)(上定义在设函数baxf的若对, ba 任 一 种 分 法,210 bxxxxa n ,1 iii xxx令任 取, 1

5、 iii xx i时只要0max1 ini x ini i xf 1 )(总 趋 于 确 定 的 极 限 I , 则 称 此 极 限 I 为 函 数 )(xf 在 区 间, ba 上 的 定 积 分 , 1x ix1ixba xxf d)(即 ba xxf d)( ini i xf 10 )(lim 此 时 称 f ( x ) 在 a , b 上 可 积 .记 作 ba xxf d)( ini i xf 10 )(lim 积 分 上 限积 分 下 限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和称为积分区间, ba定 积 分 仅 与 被 积 函 数 及 积 分 区 间 有 关 , 而 与 积 分变

6、量 用 什 么 字 母 表 示 无 关 ,即ba xxf d)( ba ttf d)( ba uuf d)( 定 积 分 的 几 何 意 义 : Axxfxf ba d)(,0)( 曲 边 梯 形 面 积 ba xxfxf d)(,0)( 曲 边 梯 形 面 积 的 负 值a by x1A 2A 3A 4A 5A54321d)( AAAAAxxfba 各 部 分 面 积 的 代 数 和A o 1 xy ni定 理 1.上连续在函数,)( baxf .,)(可积在baxf定 理 2. ,)(上有界在函数baxf 且 只 有 有 限 个 间 断 点 可 积 的 充 分 条 件 : (证 明 略 )

7、例 1. 利 用 定 义 计 算 定 积 分 .d10 2 xx解 : 将 0,1 n 等 分 , 分 点 为 niix ),1,0( ni nix 1,nii 取 ),2,1( ni .,)(可积在baxf 2xy iiii xxf 2)( 则32ni o 1 xy niiini xf )(1 ni in 1 231 )12)(1(6113 nnnn )12)(11(61 nn ini i xxx 1 2010 2 limd nlim31 )12)(11(61 nn 2xy 注 利 用 ,133)1( 233 nnnn 得 133)1( 233 nnnn 1)1(3)1(3)1( 233 n

8、nnn 1131312 233 两 端 分 别 相 加 , 得1)1( 3 n )21(3 n n即 nnn 33 23 ni i1 23 3 2 )1( nn n ni i1 2 61 )12)(1( nnn )21(3 222 n 三 、 定 积 分 的 性 质 (设 所 列 定 积 分 都 存 在 ) abba xxfxxfba d)(d)(时，0d)( aa xxfba xd.1 xxfkxxfk b aba d)(d)(. 2 ( k 为 常 数 ) bababa xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()(.3 证 : iiini xgf )()(lim 10 左端iiniiin

9、i xgxf )(lim)(lim 1010 = 右 端ab对 定 积 分 的 补 充 规 定 bccaba xxfxxfxxf d)(d)(d)(.4证 : 当 bca 时 ,因 )(xf 在 , ba 上 可 积 ,所 以 在 分 割 区 间 时 , 可 以 永 远 取 c 为 分 点 ,于 是 , )(ba ii xf , )(ca ii xf , )(bc ii xf a bc0令ba xxf d)( ca xxf d)( bc xxf d)( a b c当 a , b , c 的 相 对 位 置 任 意 时 , 例 如 ,cba 则 有 ca xxf d)( ba xxf d)( c

10、b xxf d)( ca xxf d)( ba xxf d)( cb xxf d)( ca xxf d)( bc xxf d)( 5. 若 在 a , b 上 0)(1 iini xf 则 .0d)( xxfba证 : ,0)( xf ba xxf d)( 0)(lim 10 iini xf 推 论 1. 若 在 a , b 上 ,)()( xgxf 则xxfba d)( xxgba d)( 推 论 2. xxfba d)( xxfba d)(证 : )( xf )(xf )(xf )( ba xxfxxfxxf bababa d)(d)(d)( 即 xxfxxf baba d)(d)( 6.

11、 设 ,)(min,)(max , xfmxfM baba 则 )(d)()( abMxxfabm ba )( ba 7. 积 分 中 值 定 理 ,)( baCxf 若则 至 少 存 在 一 点 , ba 使)(d)( abfxxfba 证 : ,)( Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则 由 性 质 6 可 得 Mxxfabm ba d)(1根 据 闭 区 间 上 连 续 函 数 介 值 定 理 ,上至少存在一在, ba, ba点使 xxfabf ba d)(1)( 因 此 定 理 成 立 . o xbay )(xfy 说 明 : .都成立或baba 可 把 )(d)( fab xxfba .,)(上的平均值在理解为baxf故 它 是 有 限 个 数 的 平 均 值 概 念 的 推 广 . 积 分 中 值 定 理 对ab xxfba d)( 因 nabfab ni in )(lim1 1 )(1lim 1 ni in fn 内 容 小 结1. 定 积 分 的 定 义 乘 积 和 式 的 极 限2. 定 积 分 的 性 质3. 积 分 中 值 定 理连 续 函 数 在 区 间 上 的 平 均 值 公 式