罗文斌高三数学复习课数系的扩充与复数的引入课件

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1、贵阳市41中 罗文斌 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念1、数的发展过程、数的发展过程自然数分数有理数无理数实数虚数复数复数集实数集虚数集纯虚数集http:/2、虚数的引入数系的扩充、虚数的引入数系的扩充为了解决x2这个方程在实数系无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2的根，即i.i=-1引入的这个数i显然不是实数系中的数，那么我们引入i以后，还希望它能与实数之间像实数系那样进行加法和乘法运算，并满足加法、乘法交换律、结合律，以及乘法对加法分配律。依照以上设想，实数a,b与i加法和乘法进行运算如下：a+i;b.i a+bi实数集产生了一个新的数集http:/新的数集新的数

2、集a+bi|a,b R、新数系中元素的特点、新数系中元素的特点i=1.i ;a=0时，比如2i,3i,-5i等；a=0且 b=0时，比如2+3i,4+i,-3+2i,5-2i等；b=0时,规定0i=0,则，对实数对实数a,b进行讨论：进行讨论：在新数集中我们完全可以把在新数集中我们完全可以把a+bi（a,b R）看作元素的代表）看作元素的代表http:/、复数的相关概念、我们把集合=a+bi|a,b R中的数，即形如a+bi（a,b R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合C叫做复数集。、复数常用字母z表示，即z=a+bi,以后不作特殊说明，都有a,b R，其中a与b分别叫做复

3、数z的实部与虚部。、规定a+bi=c+di a=c且c=d 4、对于a+bi当且仅当a=时，它是实数；当且仅当a=0且b=0时，它是实数；当b=0时，叫做虚数，当b=0且a=0时，叫纯虚数。http:/实数集虚数集纯虚数集复数集、复数集与实数集的关系、R C2、复数z=a+bi分类复数z实数（b=0)虚数（b=0)，当a=0时为纯虚数。、区分下列几个数分别是什么数？5i,2+i,-3i,-1+6i,0i,9,0.、熟悉应用例实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（）实数？（）虚数？（）纯虚数？复数的几何意义我们知道实数是客观存在的数，它可以用数轴上点直观表示。a实数与数轴上的点一一对

4、应http:/复数的几何意义（一）：a+biabxy实轴虚轴复数z=a+bi 复平面内的点z(a,b)一一对应复平面复平面http:/复数的几何意义（二 ）：a+biabxy实轴虚轴复平面复平面复数z=a+bi 平面向量OZ一一对应规定相等向量表示同一个复数规定相等向量表示同一个复数a+bi|=r=a2+b2http:/、熟悉应用例实数m取什么值时，复平面内表示复数（m-8m+15)+(m-5m-14)i的点（）位于第四象限？（）位于第一、三象限？（）位于直线y=x上？http:/、熟悉应用例在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i。（）如果点关于实轴的对称点为,求向量OB对应的复数；（）

5、如果（）中点B关于虚轴的对称点,求点对应的复数。http:/自我评价试题一、选择题（每题自我评价试题一、选择题（每题3分，共分，共30分）分）1、若复数z=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为（）A 1或2 B-1/2或2 C -1/2 D 2 2、复数i2+1的实部和虚部分别是（）A 1和i B i或1 C 1和-1 D 0和0 3、若a2-a+(a3-2a2-a+2)i是纯虚数，则a的值为（）A 1 B 0或1 C 0 D -1，1，2 4、若z=m-1+(m1-1)i是虚数，则（）A m1 B m1或m-1 C m1且m-1 D m-1 5、若a是任意实数，则复

6、数z=a2-2a+4+(a2-a+4)i所对应的点一定于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6、复数-5+6i的实部是 ，虚部是 。7、若（x-2y）+(2x+3y)i=3-2i，其中x,y属于R，则x=,y=.8、下列复数：2+3，0.618，i2，5i+2，i2，其中实数有 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算1、规定复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b)+(c,d)=(a+c ,b+d)2、复数加法交换律、结合律：对任意复数z1,z2,z3有 Z1+z2=z

7、2+Z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)复数加法复数减法3、规定复数的减法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i4、从向量的角度来认识复数加法、从向量的角度来认识复数加法0 xyz1z2z30 xyz1z2z3特别提醒：特别提醒：一般两个复数不能比较大小，若有大小之分时，一般两个复数不能比较大小，若有大小之分时，一定都是实数，即虚部为一定都是实数，即虚部为0.例1计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)I=-11i例2 若

8、z+(3-2i)=5i,求复数z的模例3、若a是任意实数，则复数z=a2(1+i)-a(2+i)+4+i所对应的点一定于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 例3,如图的向量oz对应的复数是z,在图中作出运算结果对应的向量.0 xyz作出z+(-2+i)复数的加减法例4,如图在平行四边形OABC中，顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,求：（1）AO所表示的复数，BC所表示的复数。（2）对角线AC所表示的复数；（3）对角线OB所表示的复数及OB的长度。0ABCXY复数的加减法学生练习；已知复平面内三点A，B，C,其中A点对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1

9、+2i，向量BC对应的复数为3-i，求点C对应的复数。复数的乘除法一、规定复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i1、两个复数相乘类似两个多项式相乘，只是在所得结果中将i2 换成-1,且把实部与虚部分别合并即可。2、两个复数的积是一个确定的复数3、两个虚数的积一定是虚数吗？复数乘法复数的乘法满足的运算律1、对于任意z1,z2,z3 C，有 z1.z2=z2.z1 (z1.z2)z3=z1(z2.z3)Z1(z2+z3)=z1z2+z1.z32、例题(1)、计算(1-2i

10、)(3+4i)(-2+i)(2)、(3+4i)(3-4i)(3)、(1+i)2 (4)、（2+3i)(4-6i)3、分解因式（1）、x2-4 (2)、a4-b4例5、已知x 为纯虚数，且x2+(t2-t+2tx)i=0，求实数t的值。解:令x=bi(bR,b0),则 (bi)2+t2-t+2t(bi)=0即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0-b2-2bt t2-t解得t=1或t=0(舍)故 t=1复数乘法复数的乘除法一、共轭复数1、这两个复数3+4i与3-4i称为共轭复数2、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。3、虚部不等于0的共轭复数也叫做共轭虚

11、数(如i与-i,2i与-2i等）。0 xyZ1:a+biZ2:a-bi思考、两个共轭复数的乘积一定是实数吗？乘积是实数的两个复数一定是共轭复数吗？（2+3i)(4-6i)(3+4i)(3-4i)复数乘法复数的乘除法思考：我们知道 i.i=-1,（-i)(-i)=-1,那么,若 x2=-1,则此方程和根有几个呢？是什么呢？归纳：方程X2=a当a 0时，x=a;当a 0时,x=a i已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值。两种方法求解复数除法复数的乘除法一、规定复数的除法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么这两个复数相除步骤:1、写成类似

12、分式形式；2、类似分母有理化分母有理化，将分子分母都乘以分母的共轭复数，将分母实数化分母实数化；3、分子按复数乘法法则算，最后写成两部分。复数除法复数的乘除法例题1、计算（1）、（1+2i)(3-4i)(2)、（1+i)(1-i)(3)、1 i (4)、(-1+i)(3+i)(-i)复数除法3.2复数的乘除法例题4、计算例题3、计算（1）、（1+i)2 (2)、复数除法复数的乘除法1、说出下列各式的值 i(4n+1),i(4n+2),i(4n+3),i(4n+4)(n N)。2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6 的值，并推测i n(n N),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。1

13、、已知关于x的方程（1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解，求a的值。2、已知关于x,y的方程组，（2 x-1)+i=y-(3-y)i (2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i 有实数解，求a,b的值。已知关于x的方程x2+(2+i)x+4ab+(2a-b)i=0，当方程有实数根时，求点(a,b)的轨迹。复数除法复数的乘除法1、说出下列各式的值 i(4n+1),i(4n+2),i(4n+3),i(4n+4)(n N)。2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6 的值，并推测i n(n N),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。通过今天的学习，你有什么收获通过今天的学习，你有什么收获？1、了解复数的基本概念 2、掌握复数的四则运算 3、理解复数的几何意义 4、学会求复数的一些方法