部审湘教版八年级数学下册精品ppt课件1.2 第3课时 勾股定理的逆定理

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1、1.2 直 角 三 角 形 的 性 质 和 判 定 （ ）第 1章 直 角 三 角 形第 3课 时 勾 股 定 理 的 逆 定 理 八 年 级 数 学 下 （ XJ） 教 学 课 件 学习目标1.掌 握 勾 股 定 理 的 逆 定 理 及 勾 股 数 .（ 重 点 ）2.能 证 明 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ， 能 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 判 断 一 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 .（ 难 点 ）3.能 够 运 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 解 决 问 题 （ 难 点 ） 导入新课B C A 问 题 1 勾 股 定 理 的 内 容 是 什 么 ? 如 果

2、直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长分 别 为 a,b,斜 边 长 为 c,那 么 a2+b2=c2. bca问 题 2 求 以 线 段 a、 b为 直 角 边 的 直 角 三 角 形 的 斜边 c的 长 ： a 3， b 4； a 2.5， b 6； a 4， b 7.5. c=5c=6.5c=8.5复习引入思 考 以 前 我 们 已 经 学 过 了 通 过 角 的 关 系 来 确 定 直 角三 角 形 ， 可 不 可 以 通 过 边 来 确 定 直 角 三 角 形 呢 ？ 同 学 们 你 们 知 道 古 埃 及 人 用 什 么 方 法 得 到 直 角 的 吗 ?（ 1） （ 2）

3、 （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） （ 13） （ 12） （ 11） （ 10） （ 9） 打 13个 等 距 的 结 ,把 一 根 绳 子 分 成 等 长 的 12段 ,然 后 以3段 ， 4段 ， 5段 的 长 度 为 边 长 ， 用 木 桩 钉 成 一 个 三 角形 ， 其 中 最 大 的 角 便 是 直 角 . 情景引入 思 考 ： 从 前 面 我 们 知 道 古 埃 及 人 认 为 一 个 三 角 形 三边 长 分 别 为 3,4,5,那 么 这 个 三 角 形 为 直 角 三 角 形 .按 照这 种 做 法 真 能 得 到 一 个 直 角 三 角 形 吗

4、 ?大 禹 治 水 相 传 ， 我 国 古 代的 大 禹 在 治 水 时也 用 了 类 似 的 方法 确 定 直 角 . 讲授新课勾股定理的逆定理一下 面 有 三 组 数 分 别 是 一 个 三 角 形 的 三 边 长 a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.问 题 分 别 以 每 组 数 为 三 边 长 作 出 三 角 形 ， 用 量 角 器 量一 量 ， 它 们 都 是 直 角 三 角 形 吗 ？ 0180 150 120 90 60 30 7 24 25 5 1312 17 8 15 是 下 面 有 三 组 数 分 别 是 一 个 三 角 形 的 三 边 长

5、 a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.问 题 2 这 三 组 数 在 数 量 关 系 上 有 什 么 相 同 点 ？ 5,12,13满 足 52+122=132, 7,24,25满 足 72+242=252, 8,15,17满 足 82+152=172.问 题 3 古 埃 及 人 用 来 画 直 角 的 三 边 满 足 这 个 等 式 吗 ？因 为 3 2+42=52， 所 以 满 足 .a2+b2=c2 我 觉 得 这 个 猜想 不 准 确 ， 因为 测 量 结 果 可能 有 误 差 .我 也 觉 得 猜 想 不严 谨 ， 前 面 我 们只 取 了 几 组

6、数 据 ，不 能 由 部 分 代 表整 体 .问 题 3 据 此 你 有 什 么 猜 想 呢 ?由 上 面 几 个 例 子 ， 我 们 猜 想 ：如 果 三 角 形 的 三 边 长 a,b,c满 足 a2+b2=c2,那 么 这 个 三角 形 是 直 角 三 角 形 . ABC ABC ？ C是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形 AB Ca b c 已 知 ： 如 图 ， ABC的 三 边 长 a， b， c， 满 足 a2+b2=c2 求 证 ： ABC是 直 角 三 角 形 构 造 两 直 角 边 分 别为 a,b的 Rt ABC证 一 证 : 证 明 ： 作 Rt ABC， 使 C=

7、90 ，AC=b， BC=a， ABC ABC(SSS)， C= C=90 ， 即 ABC是 直 角 三 角 形 . 则 2 2 2 2 2AB BC AC a b .2 2 2a b c ，2 2 .AB c AB c ，ABC A B C 在 和 中A C ACB C BCA B AB ， CB a Abc A CaB bc 勾 股 定 理 的 逆 定 理 : 如 果 三 角 形 的 三 边 长 a 、 b 、 c满 足 a2+b2=c2，那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 . ACB a bc 勾 股 定 理 的 逆 定 理 是 直 角 三 角 形 的 判 定 定 理 ，

8、 即 已知 三 角 形 的 三 边 长 ， 且 满 足 两 条 较 小 边 的 平 方 和 等 于最 长 边 的 平 方 ， 即 可 判 断 此 三 角 形 为 直 角 三 角 形 ， 最长 边 所 对 的 角 为 直 角 .特 别 说 明 ：归纳总结 例 1 下 面 以 a,b,c为 边 长 的 三 角 形 是 不 是 直 角 三 角 形 ？如 果 是 ,那 么 哪 一 个 角 是 直 角 ？(1) a=15 ， b=8 ， c=17; 解 ： (1) 152+82=289， 172=289， 152+82=172，根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ， 这 个 三 角 形 是 直 角

9、三 角 形 ，且 C是 直 角 . (2) a=13 ， b=14 ， c=15. (2) 132+142=365， 152=225， 132+142152， 不 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ， 这 个 三 角 形 不 是 直 角 三 角 形 . 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ， 判 断 一 个 三 角 形 是 不 是直 角 三 角 形 ， 只 要 看 两 条 较 小 边 长 的 平 方 和 是 否 等 于最 大 边 长 的 平 方 .归纳 【 变 式 题 1】 若 ABC的 三 边 a,b,c满 足 a:b: c=3:4:5，试 判 断 ABC的 形 状 .解 ： 设

10、a=3k,b=4k,c=5k(k 0),因 为 (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所 以 (3k)2+(4k)2=(5k)2,所 以 ABC是 直 角 三 角 形 ， 且 C是 直 角 . 已 知 三 角 形 三 边 的 比 例 关 系 判 断 三 角 形 形 状 ： 先设 出 参 数 ， 表 示 出 三 条 边 的 长 ， 再 用 勾 股 定 理 的 逆 定理 判 断 其 是 否 是 直 角 三 角 形 .如 果 三 角 形 的 三 边 比 中 有两 个 相 同 的 数 ， 那 么 该 三 角 形 还 是 等 腰 三 角 形 .归纳 【 变 式 题 2】 (1)若 AB

11、C的 三 边 a,b,c， 且 a+b=4,ab=1,c= ， 试 说 明 ABC是 直 角 三 角 形 .14解 ： 因 为 a+b=4,ab=1,所 以 a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又 因 为 c2=14,所 以 a2+b2=c2,所 以 ABC是 直 角 三 角 形 . (2) 若 ABC的 三 边 a,b,c 满 足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试 判 断 ABC的 形 状 .解 ： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a2 6a+9+b2 8b+16+c2 10c+25=0. 即 (a 3)+ (b 4)+ (c 5)=0. a=3,

12、 b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ABC是 直 角 三 角 形 . 例 2 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， F是 CD的 中 点 ， E为BC上 一 点 ， 且 CE CB， 试 判 断 AF与 EF的 位 置 关系 ， 并 说 明 理 由 解 ： AF EF.理 由 如 下 ：设 正 方 形 的 边 长 为 4a, 则 EC a， BE 3a， CF DF 2a.在 Rt ABE中 ， 得 AE2 AB2 BE2 16a2 9a2 25a2.在 Rt CEF中 ， 得 EF2 CE2 CF2 a2 4a2 5a2.在 Rt ADF中 ， 得 AF2 AD2 DF2 1

13、6a2 4a2 20a2.在 AEF中 ， AE 2 EF2 AF2， AEF为 直 角 三 角 形 ， 且 AE为 斜 边 AFE 90 ， 即 AF EF.14 练一练1.下 列 各 组 线 段 中 ， 能 构 成 直 角 三 角 形 的 是 （ ）A 2， 3， 4 B 3， 4， 6 C 5， 12， 13 D 4， 6， 7 C2.一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 是 3， 4， 5， 则 这 个 三 角形 最 长 边 上 的 高 是 （ ）A 4 B 3 C 2.5 D 2.4D3.若 ABC的 三 边 a、 b、 c满 足 (a-b)(a 2+b2-c2)=0， 则 A

14、BC是 _.等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 如 果 三 角 形 的 三 边 长 a， b， c满 足 a2+b2=c2, 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 .满 足 a2+b2=c2的 三 个 正 整 数 ， 称 为 勾 股 数 .勾股数二概念学习 常 见 勾 股 数 ：3， 4， 5； 5， 12， 13； 6， 8， 10； 7， 24， 25；8， 15， 17； 9， 40， 41； 10， 24， 26等 等 .勾 股 数 拓 展 性 质 ： 一 组 勾 股 数 ， 都 扩 大 相 同 倍 数 k(k为 正 整 数 )， 得 到一 组 新 数 ， 这 组

15、 数 同 样 是 勾 股 数 . 下 列 各 组 数 是 勾 股 数 的 是 ( ) A.6， 8， 10 B.7， 8， 9 C.0.3， 0.4， 0.5 D.52， 122， 132A方 法 点 拨 ： 根 据 勾 股 数 的 定 义 ， 勾 股 数 必 须 为 正 整数 ， 先 排 除 小 数 ， 再 计 算 最 长 边 的 平 方 是 否 等 于 其他 两 边 的 平 方 和 即 可 .练一练 12勾股定理的逆定理的应用三例 3 如 图 ， 某 港 口 P位 于 东 西 方 向 的 海 岸 线 上 . “远 航 ”号 、 “海 天 ”号 轮 船 同 时 离 开 港 口 ， 各 自 沿

16、 一 固 定 方 向航 行 ,“远 航 ”号 每 小 时 航 行 16海 里 ,“海 天 ”号 每 小 时 航 行12海 里 .它 们 离 开 港 口 一 个 半 小 时 后 分 别 位 于 点 Q,R处 ，且 相 距 30海 里 .如 果 知 道 “远 航 ”号 沿 东 北 方 向 航 行 ,能 知道 “海 天 ”号 沿 哪 个 方 向 航 行 吗 ？ N EP QR 问 题 1 认 真 审 题 ， 弄 清 已 知 是 什 么 ？ 要 解 决 的问 题 是 什 么 ？12 N EP QR 16 1.5=2412 1.5=1830 “远 航 ”号 的 航 向 、 两 艘 船一 个 半 小 时

17、后 的 航 程 及 距离 已 知 ， 如 图 .问 题 2 由 于 我 们 现 在 所 能 得 到 的 都 是 线 段 长 ， 要求 角 ， 由 此 你 联 想 到 了 什 么 ？实 质 是 要 求 出 两 艘 船 的航 向 所 成 角 .勾 股 定 理 逆 定 理 解 ： 根 据 题 意 得PQ=16 1.5=24(海 里 ),PR=12 1.5=18(海 里 ),QR=30海 里 .因 为 242+182=302， 即 PQ2+PR2=QR2,所 以 QPR=90 . 由 “ 远 航 ” 号 沿 东 北 方 向 航 行 可 知 1=45 .因 此 2=45 ， 即 “海 天 ”号 沿 西

18、北 方 向 航 行 . N EP QR 12 解 决 实 际 问 题 的 步 骤 ： 构 建 几 何 模 型 (从 整 体到 局 部 )； 标 注 有 用 信 息 ,明 确 已 知 和 所 求 ； 应 用 数学 知 识 求 解 .归纳 【 变 式 题 】 如 图 ， 南 北 方 向 PQ以 东 为 我 国 领 海 ， 以西 为 公 海 ， 晚 上 10时 28分 ， 我 边 防 反 偷 渡 巡 逻 101号艇 在 A处 发 现 其 正 西 方 向 的 C处 有 一 艘 可 疑 船 只 正 向我 沿 海 靠 近 ， 便 立 即 通 知 在 PQ上 B处 巡 逻 的 103号 艇注 意 其 动 向

19、 ， 经 检 测 ， AC=10海 里 ， BC=8海 里 ，AB=6海 里 ， 若 该 船 只 的 速 度 为 12.8海 里 /时 ， 则 可 疑船 只 最 早 何 时 进 入 我 领 海 ？ 东北P ABC QD 分 析 ： 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定可 得 ABC是 直 角 三 角 形 ， 然 后利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 及 直 角三 角 形 的 面 积 公 式 可 求 PD， 然后 再 利 用 勾 股 定 理 便 可 求 CD. 解 ： AC=10， AB=6， BC=8， AC2=AB2+BC2，即 ABC是 直 角 三 角 形 .设 PQ与 AC相 交 于

20、点 D， 根 据 三角 形 面 积 公 式 有 BCAB=ACBD，即 6 8=10BD， 解 得 BD=在 Rt BCD中 ， 22 2 2 248 6.4( ).5CD BC BD 海 里又 该 船 只 的 速 度 为 12.8海 里 /时 ，6.4 12.8=0.5（ 小 时 ） =30（ 分 钟 ） ， 需 要 30分 钟 进 入 我 领 海 ， 即 最 早 晚 上 10时 58分 进 入我 领 海 . 东 北P ABC QD24.5 例 4 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， B 90 ， AB 3，BC 4， CD 12， AD 13,求 四 边 形 ABCD的 面 积 .解

21、析 ： 连 接 AC， 把 四 边 形 分 成 两 个 三 角 形 .先 用 勾股 定 理 求 出 AC的 长 度 ， 再 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 判断 ACD是 直 角 三 角 形 .A DB C3 4 1312 解 ： 连 接 AC. A DB C3 4 1312在 Rt ABC中 ，在 ACD中 ，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所 以 ACD是 直 角 三 角 形 ，且 ACD=90 .所 以 S四 边 形 ABCD=SRt ABC+SRt ACD=6+30=36.2 2 2 23 4 5,AC AB BC 四 边 形 问 题 中 ， 对 角 线 是 常

22、用 的 辅 助 线 ， 它 把 四边 形 问 题 转 化 成 两 个 三 角 形 的 问 题 .在 使 用 勾 股 定 理 的逆 定 理 解 决 问 题 时 ， 它 与 勾 股 定 理 是 “ 黄 金 搭 挡 ” ，经 常 配 套 使 用 .归纳 【 变 式 题 1】 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AB AD， 已 知AD=3cm ， AB=4cm ， CD=12cm ， BC=13cm ， 求 四 边 形ABCD 的 面 积 .解 ： 连 接 BD.在 Rt ABD中 ,由 勾 股 定 理 得 BD2=AB2+AD2， BD=5m .又 CD=12cm ， BC=13cm , BC

23、2=CD2+BD2， BDC是 直 角 三 角 形 . S 四 边 形 ABCD=SRt BCD SRt ABD= BDCD ABAD = (5 12 3 4)=24 (cm 2) 121212 CB AD 【 变 式 题 2】 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， AC DC， ADC的 面 积 为 30 cm 2， DC 12 cm ， AB 3cm ， BC 4cm ， 求 ABC的 面 积 . 解 : S ACD=30 cm 2， DC 12 cm . AC=5 cm .又 ABC是 直 角 三 角 形 , B是 直 角 . D C BA 例 5 如 图 ， ABC中 ， AB=

24、AC， D是 AC边 上 的 一 点 ，CD=1， BC 5 ， BD=2（ 1） 求 证 ： BCD是 直 角 三 角 形 ；（ 2） 求 ABC的 面 积 （ 1） 证 明 ： CD=1， BC 5 ， BD=2， CD2+BD2=BC2， BDC是 直 角 三 角 形 ；（ 2） 解 ： 设 腰 长 AB=AC=x，在 Rt ADB中 ， AB2=AD2+BD2， x 2=(x-1)2+22，解 得 5.2x 1 1 5 52 .2 2 2 2ABCS AC BD 用 到 了 方程 的 思 想 1.A、 B、 C三 地 的 两 两 距 离 如 图 所 示 ， A地 在 B地 的 正东 方

25、 向 ， C在 B地 的 什 么 方 向 ？ ABC5cm 12cm13cm解 ： BC2+AB2=52+122=169，AC2 =132=169， BC2+AB2=AC2，即 ABC是 直 角 三 角 形 ， B=90 .答 ： C在 B地 的 正 北 方 向 练一练 2.如 图 ， 是 一 农 民 建 房 时 挖 地 基 的 平 面 图 ， 按 标 准应 为 长 方 形 ， 他 在 挖 完 后 测 量 了 一 下 ， 发 现 AB DC 8m ， AD BC 6m ， AC 9m ， 请 你 运 用 所 学 知 识帮 他 检 验 一 下 挖 的 是 否 合 格 ？解 ： AB DC 8m

26、， AD BC 6m ， AB2 BC2 82 62 64 36 100.又 AC2 92 81， AB2 BC2AC2， ABC90 ， 该 农 民 挖 的 不 合 格 当堂练习1.下 列 各 组 数 是 勾 股 数 的 是 ( ) A.3， 4， 7 B.5， 12， 13 C.1.5， 2， 2.5 D.1， 3， 52. 将 直 角 三 角 形 的 三 边 长 扩 大 同 样 的 倍 数 ,则 得 到的 三 角 形 ( )A.是 直 角 三 角 形 B.可 能 是 锐 角 三 角 形C.可 能 是 钝 角 三 角 形 D.不 可 能 是 直 角 三 角 形BA 3.已 知 a、 b、

27、c是 ABC三 边 的 长 ， 且 满 足 关 系 式 ， 则 ABC的 形 状 是 _2 2 2 0c a b c a+ - + - =等 腰 直 角 三 角 形4.一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 15cm 、 20cm 、 25cm ，则 这 个 三 角 形 最 长 边 上 的 高 是 _cm ;12 5.已 知 ABC， AB=n-1， BC=2n， AC=n+1(n为 大于 1的 正 整 数 ).试 问 ABC是 直 角 三 角 形 吗 ？ 若 是 ，哪 一 条 边 所 对 的 角 是 直 角 ？ 请 说 明 理 由 .解 ： AB+BC=(n-1)+(2n) =n4

28、-2n+1+4n =n4 +2n+1 =(n+1) =AC， ABC是 直 角 三 角 形 ， 边 AC所 对 的 角 是 直 角 . 6. 一 个 零 件 的 形 状 如 图 所 示 ,按 规 定 这 个 零 件 中 A和 DBC都 应 为 直 角 ,工 人 师 傅 量 得 这 个 零 件 各边 的 尺 寸 如 图 所 示 ,这 个 零 件 符 合 要 求 吗 ?DA B C4 35 13 12DA B C图 图 在 BCD中 ， 所 以 BCD 是 直 角 三 角 形 ， DBC是 直 角 .因 此 ， 这 个 零 件 符 合 要 求 .解 ： 在 ABD中 ， 所 以 ABD 是 直 角

29、 三 角 形 ， A是 直 角 .DA B C4 35 13 12图 7.在 寻 找 某 坠 毁 飞 机 的 过 程 中 ， 两 艘 搜 救 艇 接 到 消 息 ，在 海 面 上 有 疑 似 漂 浮 目 标 A、 B 于 是 ， 一 艘 搜 救 艇 以16海 里 /时 的 速 度 离 开 港 口 O（ 如 图 ） ， 沿 北 偏 东 40的 方 向 向 目 标 A前 进 ， 同 时 ， 另 一 艘 搜 救 艇 也 从 港 口O出 发 ， 以 12海 里 /时 的 速 度 向 着 目 标 B出 发 ， 1.5小 时后 ， 他 们 同 时 分 别 到 达 目 标 A、 B 此 时 ， 他 们 相

30、距 30海 里 ， 请 问 第 二 艘 搜 救 艇 的 航 行 方 向 是 北 偏 西 多 少 度 ？ 解 ： 根 据 题 意 得 OA=16 1.5=24(海 里 ),OB=12 1.5=18(海 里 )， OB2+OA2=182+242=900， AB2=302=900， OB2+OA2=AB2， AOB=90 . 第 一 艘 搜 救 艇 沿 北 偏 东 40 的 方 向 向 目 标 A前 进 ， BOD=50 ，即 第 二 艘 搜 救 艇 的 航 行 方 向 是 北 偏 西 50 课堂小结勾 股 定 理的 逆 定 理 内 容 如 果 三 角 形 的 三 边 长 a 、 b 、 c满 足 a2+b2=c2， 那 么 这 个 三 角形 是 直 角 三 角 形 .注 意 最 长 边 不 一 定 是 c， C也 不一 定 是 直 角 .勾 股 数 一 定 是 正 整 数应 用 航 海 问 题与 勾 股 定 理 结 合 解 决不 规 则 图 形 等 问 题