高三数学基础版-探索-归纳-论证-教师版讲义

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1、教师姓名学生姓名年 级高二上课时间学 科数学课题名称探索-归纳-论证探索-归纳-论证一、知识梳理1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊f 一般.2.不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，又叫做枚举法.4.数学归纳法：对于某些与正整数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：证明当 取第一个值“0时命题成立；假设当n=kk&N*,k 他）时命题成立，证明当=左+1时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题

2、的步骤:高中数学冲刺培优(1)证明：当 取第一个值期结论正确；这是推理的基础，少这一步下一步就是无本之木，无源之水；(2)假设当 =%2%)时结论正确，证明当 =%+1时结论也正确.这是推理的依据；由(1),(2)可知，命题对于从冏开始的所有正整数都正确.6.数学归纳法的形式第一数学归纳法：教材上的数学归纳法，称之为第一数学归纳法，是归纳法的基本形式；第二数学归纳法：证明当=。时，成立；假设当 女 时，尸(左)成立，由此推出=k+1,p(&+i)也成立，那么命题成立；7、探索-猜想-论证”的数学思想方法的应用：“检验有限个 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，而后再用数学归纳法证明所猜想的结论正

3、确”二、典型例题1、数学归纳法的深刻理解例 1、求证：=+!+,+(neN,)2 3 4 2n n+n+2 2n例 2、如果命题P()对=人成立，那么它对=后+1也成立；现已知P()对=4 不成立，则下列结论正确的是().A.P()对eN*成立 B.P()对 4且”eN*成立C.P()对“4且”成立 D.P()对力44且e N.不成立答案：D例 3、下列四个判断中正确的是式子1 +%+公+当=1时，式子值为1式子！+!+一(N*),当“=1时，式子值为i+1+11 2 3 2+八 7 2 3“加2+则4+】)=&)+-1-1-3Z+2 3Z+3 3k+4/()=1 +：+:+：(，)则/(2

4、)=/(2，)+y+饪 行 +.+乙 J f 竺(2 2/e N*)的过程中，从“k至 ijk+1”+1 +2 n+n 24左端需增加的代数式为()2(A)!(B)(c)!+-(D)-5 答案：D2、数学归纳法证明 F-22+3242+(2 1)2-(2)2=(2+1)(6)时，从=上到n=k+,等号左边需增加的代数式为()A.4Z3 B.4左+3 C.-4%1 D.4+1答案：A2、数学归纳法的应用应 用(1):证明和正整数有关的等式、不等式例4.用数学归纳法证明：当“2 7时，2-(+1)2.解：法一：数学归纳法当=7 时产=(7+1)2,当=8 时，28-=128,(8+1)2=81,即

5、 28T(8+户 281=128,假设当n=k(k 8)时不等式成立，即有*仕+i f ,则当=+1时，2伏“X =22 2仕+1)2 仅+2)2,即当 =%+1时不等式也成立.由可知当W 7时，2，4 +1)2恒成立.法二：数列的单调性(拓展)设a=2 1 _(+1,则 t l-=2,-(n +2)2-2-1+(n+l)2=2-2M-3设仇=2T_2”_3,则=2_2(+l)_3_(2T_2_3)=2T_2b、=-4,Z?2=-5力3 =5,Z?4=3,Z?5=3,/.a5 a6 a-j a 7时，a 0,即当“2 7时，2T(+1)2.试一试：1、当 x -l,eN*时，(1+x)1 l+

6、/ir；答案：当=1时，原不等式成立；当=2时，左边=l+2 x+/,右边=l+2r,因为fN O,所以左边2右边，原不等式成立；假设当=4时，不等式成立，即(1 +力 飞1 +收，则当=左+1时，二l+x 0,于是在不等式(1+x)*21+fcc两边同乘以1+x得(l+x)A+，=(l+x)A(l+x)(l+to)(l+x)=l+(+l)x+fa,2 l+(Z:+l)x,所以(1+x严21+(&+l)x.即当“左+1时,不等式也成立.由数学归纳法得：对一切正整数，不等式都成立.高中数学冲刺培优应 用(2)：整除问题例 5、用数学归纳法证明：3 2 2-8-9,e N*能被64 整 除.证明：

7、设)=3 2 2 一 8”-9(1)当=1 时，/(1)=3 4-8-9 =64 能被64 整除，命题成立.(2)假设当 =%时，/(%)=3 +2-8 9 能够被64 整除.则当=%+1 时，/(4 +1)=3 2*+4-8伏+1)-9 =9 3 2+2_ 8%-9 +6孰+64 ,由3 2M 2 -弘_ 9 能够被64 整除，二 k+1)能够被64 整 除.即 当 =k+l 时，命题也成立.由(1)(2)可知，/()=3 2/2-8”_ 9,Ne N,能被 64 整除，试一试：1、用数学归纳法证明：7 2 1+1 能被8 整除.方法一：数学归纳法；方法二：二项式展开例 6、利用数学归纳法证

8、明：(1)对任意e N*,一能被。+匕整除：(2)对任意n e N*，Q i 一户“能被a b整除.(3)对任意GN*,能 被 整 除.证：(2)当n=l 时，结论显然成立.假设当n=k时结论成立，即I-户 t 能 被 整 除.则当=4 +1 =A+1 时,/Z I -y2H l =/卜 1-y2y2 1=/:“_ /产 1 +/产 1 _ ,2产 1(/k 1 _ 产-,)+(7-/)y2b l ./H I 一 y2H l 也能被 x _ y 整除.故当=A+1 时结论也成立.由、可知，对于任意的 G N*,j -1 一/-1 能被b整除.3、探索-归纳-论证应 用(1)、数列的周期性与拟周

9、期性例 7、数列%：4=1,%=3,%=2,%+2=%+1 一。“，求 S20 W答案：04(3)+2+4用+约=丁 =3,(1)为+1=-。“(或 4+1=-1)=T=2an1-Q 4+i=j(或 4+d1+%1 +a,a,-1 a+1=)=T一 2,%产(或。用=J =7一4,l-a“a+a,-试一试:1、数列%满足。“+12 do2 ；)2%-1(白4 O,(wN*),且 2s(1)求出q,%,%并猜测出通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.答案：(1)令=1,则 2s1=4+,，解得 4=1(4 。)；令九=2 ,2s2 -。2+一 解得 =_ +0(2).。2同 理 q=7 5-

10、血.猜 测：a“=Vn V n 1 .(2)当=1 时，a=1 =V 1-V O 显然成立.假设当=人时原命题成立，即.=一 次=T/e N*)当=%+1 时，由题意2s*+=%*H-,2s*=%4-4+i ak两式相减得2a I=4+|4-(4 H-)aM ak又 因 为=yk A/左-1 代入得6+=yj k+1 yk综上所述，原命题成立2、(20 1 4 广东理)设数列 凡 的前项和为S“，满足S“=2a”+3 2-4”,GN*,且 S 3=1 51)求 q,q,q的值2)求数列 4“的通项公式答案：(1)3,5,7；(2)=2/7 +1(3)综合应用6例 10、记数列%的前 项和为S，

11、若 是 公 差 为 d 的等差数列，则”为等差数列的充要条件是4=_答案：1或L2关键点：U 由邑，区成等差数列，4 吗必成等差数列，求出=1 或1；q a2 a3 2n 当1=1或（时，%为等差数列例 11、已知数列 4 满 足*=2-同,”c A T,是否存在%,使得生,外,%，成等差数列？若存在，求出所有这样的力；若不存在，说明理由.解：假设这样的等差数列存在，那么4=2 一|力，O,=2-|2-|,|.由 2a2 =q +/得 2 4+2 =2,|（*）.以下分情况讨论：当,2 时，由（*）得/=（），与4 2 矛盾；当 0 V/M 2 时，由（*）得 q=l，从而a“=l（=1,2,

12、），所以 4 是一个等差数列；当 4 M o 时，则公差d=%-4 =（4+2）-4 =2 。，因此存在加2 2 使得a”，=4+2（加-1）2.此时矛盾.综合可知，当且仅当q=i 时，构成等差数歹八试一试.1、己知2为非零常数，数列”“与 2%+外均为等比数列，且。加L 3,贝 ljq=答案：？高中数学冲刺培优关键：；2 4+2 均为等比数列，/.(2t z2+几)2=(2 1+2)(2%+4)即 4 2+4 2兄 +%。=4。同 3+2%(q +%)+%2又.4 为等比数列，城=%，/.2(|+%-2a2)=0，a+a3=2a 2 q=1 ,2例 1 2、例 1：已知数列 和 也 满足：=

13、X,a+x=-an+n-A ,其中人为实数，e N+.对任意实数4 ,证明数列%不是等比数列；答案：假设存在一个实数2，使 4 是等比数列，则 有 抬=6 生，即(2丸一3)2=；l(3；L 4)o3；l 2-4 2 +9 =-22 42。9 =0,矛 盾.所 以%不是等比数列.3 9 9 9试一试：1、数 列 亿 满足4=1,矶=(1+_ 功/(=1 23,)，4是常数，问数列 叫是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由答案：不可能关键：由2a 2 =q+3 n 丸=3,但是当4 =3 时，a2 a=2,a4 =24,故%不可能为等差数列课堂练习迹1、设/(X)是定义

14、在正整数集上的函数，且/(X)满足：“当/(幻公成立时，总可推出了(4+1)，(k +1)2成立”.那 么，下列命题总成立的是()A .若成立，则/(1 0)1 0 0 成立；B .若 2)4成立，则成立；C .若/(3)/9 成立，则当攵2 1时，均有/(A)3 公成立；D .若 4)2 2 5 成立，则当4 2 4 时，均有了(左)与后2成立.8答案：B2、用数学归纳法证明命题：若求证：1+L 1+小，从1到女+1,不等式左2 3 2-1边添加的项的项数为答案：当=%时，左边为1 +，+1+工+_2 3 4 2一当=攵+1时，左边为i+l+1+_ L+L-+1+L _2 3 4 2*-1

15、24 2k+11H-：-F2+21 -T-：-2*+|-1左边需要添的项为，+一 一+/一+!2k 2k+l 2+2 2*+|-1项数为2|-1-2 +1 =2 .3、用数学归纳法证明:34*2+52+1能 被 14整除(止*).答案：当=1 时，32+5 2+I=36+53=854 能被 14 整除.假设当=左时原命题成立，即S,？+52+,能 被 14整除(e N*).当=k+1时,原式为3*旬+2+5 2-川=343 4-+5 2.5 2。=34(34 U 2+52U1)-52 W(34-52)=34(34；+2+52U1)-56-52 W.34,-2+52用 能 被 14整除，56也能

16、被14整除，所以上式能被14整除，所以当=女+1时原命题成立.综上所述，原命题成立.1 _/+24、用数学归纳法证明1+。+。在验证 =1 时，左端计算所得项-a为.答案：1+45设i 为虚数单位，为正整数.试用数学归纳法证明(cosx+isinx)=cos/LX+isin/tr.解：当=1时，左边=cosx+isinx=右边，此时等式成立；假设当=A时，等式成立，即(cosx+isinx)=cosA+zsin Ax.则当九=2+1时，(cosx+zsinx)Ad=(cosx+zsinx)(cosx+zsinx)=(cosAx+zsin点)(cosx+zsinx)=cos 依 cos x-sin Axsinx+z (sin A x cos x+cos kx sin x)=cos (攵 +1)x+i sin(A+1)x当 =女+1时，等式成立.由得，(cosx+isin jv)”=cos/?x+zsintrx.高中数学冲刺培优10