数学课堂教学研究的分析框架

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1、数 学 课 堂 教 学 研 究的 分 析 框 架华 东 师 大 数 学 系 鲍 建 生 前 言 ： 教 师 成 为 研 究 者 教 师 ： 通 过 研 究 改 进 自 己 的 教 学 （ 算 法案 例 ） 教 育 研 究 ： 走 进 课 堂 ， 解 决 教 与 学 中 的实 际 问 题 数 学 课 程 改 革 ： 教 师 事 关 重 大 教 师 专 业 发 展 ： 教 师 的 真 功 夫 在 课 堂 上 教 与 学：东 西 方 的 两 个 不 同 视 角教学教材教法教 学 内 容 的 理 解教 学 经 验焦 点 ： 老 师 如 何 教 ？学习理论学 习 过 程 的 理 解理 论 模 型焦 点

2、： 学 生 如 何 学 ？课 堂 理 论 与 经 验 的 互 动经 验 理 论z 支 持 预 测z 为 研 究 提 供 分 析 框 架z 具 有 解 释 的 能 力z 能 应 用 于 广 泛 的 现 象z 有 助 于 对 复 杂 现 象 的 思 考z 作 为 资 料 分 析 的 工 具z 提 供 一 种 深 层 次 交 流 的 语言z 实 用z 个 人 化z 嵌 于 特 定 的 情 境 之 中z 通 过 视 觉 逐 步 积 累z 比 较 模 糊 ， 不 易 表 征 、 把握 和 传 授z 难 以 跨 领 域 的 交 流 。 解 释建 构 一 条 可 行 的 研 究 思 路z 青 浦 实 验（如

3、 变 式 教 学）z GX实 验z 基 本 图 形 分 析 法z上海育才的“读 读 、 议 议 、 练练 、 讲 讲 （段力佩 ）z李庾南“自 学 、 议 论 、 引 导”教 学 法z 孙 维 刚 的 “结 构 教 学 法”z 邱 学 华 的“尝 试 教 学 法”z馬明、陳振宣、赵 宪 初、吳正宪、杨象富等大批的名师和不 知名的优 秀 教 师挖 掘 和 提 炼 优 秀 的 教 学 经 验 梳 理 国 内 外 的 学 习 理论研究成果解 释 理 论 模 型研 究 课 题研究方法新 的模 型建 构 一、课堂教学研究的方法 课堂教学研究的焦点： PCK学科教学知识内容知识学习者知识背景知识一般教学法

4、课程知识教育目标教学推理理解转化教学评价反思新理解 PCK的核心成分PCK的成分指 标学 科 最 核 心 、 最 有价 值 的 知 识 学科本身最核心、最基本的知识学科的思想、方法、精神和态度对学生今后学习和发展最有价值的知识知 识 间 的 联 系 某一知识在整个学科体系中的地位和作用上位知识与下位知识的联系新旧知识间的联系所学知识与儿童生活、经验的联系学 生 在 学 习 某 一 知识 过 程 中 容 易 误 解和 混 淆 的 问 题 哪些知识学生易解，教师可以少讲、不讲或让学生自学？ 哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？ 学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？如 何 将 特 定 的 知 识呈

5、 现 给 不 同 学 生 的策 略 如何做学情调查，了解不同学生的认知基础、认识方式与差异呈现方式多样化策略的选择与应用对呈现效果的检测与反馈 面 向 教 学 的 数 学 知 识 （ MKT） 课 堂 教 学 的 分 析 框 架 概念界定水平模型分类模型因素模型指标体系过程模型 数 学 课 堂 教 学 的 基 本 任 务 环境、先前知识、评价问题解决技能训练概念理解数与运算测量几何代数概率与统计微积分元认知、情感与态度 二、概念理解的分析框架 当 我 理 解 了 我 就 感 到 愉 快 ； 我 就 自 信 ； 我 可 以 忘 掉 所 有 细 节 ， 而 在 需 要的 时 候 重 新 构 造 ；

6、 我 觉 得 它 已 经 属 于 我 ； 我 可 以 把 它 解 释 给 别 人 听 。 (Duffin 另 一 类 是 集 中 练 习 ， 指 将 所 学 技 能 包 含 的 各 动 作 在 一 次 时 间内 完 成 ， 中 间 没 有 休 息 。 这 两 种 练 习 形 式 的 效 果 存 在 差 异 。一 般 认 为 分 散 练 习 效 果 优 于 集 中 练 习 。 这 是 因 为 ， 如 果 在 一段 长 时 间 内 练 习 同 一 技 能 容 易 使 人 疲 劳 ， 容 易 产 生 消 极 态 度 ，兴 趣 减 退 ， 从 而 导 致 练 习 的 效 果 下 降 ， 而 适 当 的

7、 分 散 练 习 ，则 可 使 每 次 练 习 的 效 果 都 比 较 好 。 盖 伊 (I.R.Gay)曾 经 实 验 证 明 :代 数 规 则 的 分 散 练 习 比 集 中 练 习 效 果 好 。 技 能 训 练 的 注 意 事 项 （ 2）3. 练 习 的 形 式 要 多 样 化 。 适 当 地 使 练 习 方 式 多 样 化 不 仅 可以 引 起 学 生 的 学 习 兴 趣 ， 保 持 学 生 的 注 意 ， 而 且 还 可 以培 养 学 生 灵 活 地 运 用 技 能 以 实 现 技 能 的 有 效 迁 移 。 其 中一 种 重 要 方 式 就 是 在 技 能 练 习 中 编 人

8、一 些 训 练 学 生 掌 握新 技 能 的 练 习 。4. 充 分 利 用 练 习 中 的 及 时 反 馈 的 强 化 与 矫 正 功 能 。 反 馈 对训 练 有 重 要 影 响 。 学 生 获 得 反 馈 信 息 的 渠 道 有 两 个 。 其一 是 练 习 活 动 本 身 所 显 示 的 结 果 ， 这 一 结 果 往 往 易 为 学生 所 知 晓 和 察 觉 。 其 二 是 教 师 把 练 习 结 果 。 告 诉 学 生 ，这 主 要 是 在 练 习 那 些 从 表 面 上 不 易 觉 察 正 误 的 技 能 项 目时 所 采 用 的 方 法 。 通 过 这 两 种 反 馈 形 式

9、及 时 获 悉 练 习 的结 果 并 对 结 果 进 行 分 析 就 能 对 自 己 掌 握 技 能 的 水 平 做 出正 确 评 价 ， 也 就 能 使 正 确 掌 握 技 能 的 动 作 成 份 得 到 巩 固 ， 错 误 之 处 得 到 纠 正 。 熟 能 生 巧 ？技 能 错 误 的技 能正 确 的技 能 错 误 的方 法正 确 的方 法 熟 能 生 巧熟 能 生 笨熟 能 生 厌 熟 练 熟 练熟 练-ACT-R对 “ 熟 能 生 巧 ” 的 解 释 - 四、问题解决的分析框架 波 利 亚 的 话 一 个 重 大 的 发 现 可 以 解 决 一 个 重 大 的 问 题 ， 但在 求

10、解 任 何 问 题 的 过 程 中 ， 也 都 会 有 点 滴 的 发 现 。你 要 求 解 的 问 题 可 能 不 大 ， 但 如 果 它 能 引 起 你 的 好奇 心 ， 如 果 它 能 使 你 的 创 造 才 能 得 以 展 现 ， 而 且 ，如 果 你 是 用 自 己 的 方 法 去 解 决 它 们 的 ， 那 么 ， 你 就会 体 验 到 这 种 紧 张 心 情 ， 并 享 受 到 发 现 的 喜 悦 。 在易 塑 的 青 少 年 时 期 ， 这 样 的 体 验 会 使 你 养 成 善 于 思维 的 习 惯 ， 并 在 你 的 心 中 留 下 深 刻 的 印 象 ， 甚 至 会影 响

11、 到 你 一 生 的 性 格 。 调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 1. 给 学 生 一 条 教 师 认 为 是 捷 径 的 思 路 ， 让 学 生 去 模 仿2. 缺 少 “ 直 觉 ” “ 顿 悟 ” 式 的 熏 陶3. 答 案 与 方 法 往 往 只 有 一 个 标 准4. 解 题 思 路 单 一 ， 缺 乏 创 新 、 个 性5. 题 目 缺 少 开 放 性6. 与 实 践 活 动 脱 节 ， 不 能 密 切 与 生 活 相 联 系7. 强 调 机 械 化 的 分 析 推 理 过 程 的 表 述 ， 简 单 问 题 复 杂 化8. 教 材 中 的 习 题 ， 把

12、 数 学 镶 嵌 在 具 体 问 题 背 景 中 出 现 的 较9. 灌 输 的 教 学 方 法 越 来 越 烈10.知 识 缺 乏 内 在 的 联 系 调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 11.纯 粹 为 解 题 而 解 题12.太 注 重 格 式 和 形 式13.教 科 书 的 例 题 偏 容 易 ， 练 习 题 偏 难 ， 学 生 在 练 习 中 困 难 较 多 ，教 师 经 常 要 将 某 些 练 习 题 做 为 例 题 来 讲 （ 中 高 年 级 尤 为 突 出 ）14.学 生 只 会 机 械 解 题 ， 对 为 什 么 要 这 样 解 题 很 少 提 出 自

13、己 的 意见 和 见 解 ， 直 至 有 时 学 生 能 提 出 自 己 独 特 的 思 路 也 被 老 师 粗暴 地 否 定15.还 停 留 在 领 会 、 记 忆 阶 段 ， 教 师 扶 得 过 多 ， 让 学 生 自 己 探 究的 机 会 少16.个 别 学 生 有 些 对 数 学 不 感 兴 趣 ， 没 有 掌 握 基 本 解 题 方 法17.主 要 问 题 是 解 题 公 式 化 ， 方 法 单 一18.缺 少 学 生 自 由 发 挥 的 空 间 ， 老 师 总 是 牵 着 学 生 走 ， 抑 制 了 学 生 的 想 象 力 调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？

14、19.教 师 只 注 重 解 题 结 果 的 教 学 ， 而 忽 视 解 题 过 程 的 展 现 ， 对 学生 解 题 中 存 在 的 问 题 缺 少 分 析 研 究20.局 限 于 教 本 ， 知 识 面 不 广21.考 试 （ 测 验 ） 体 制 有 问 题22.还 没 有 一 个 系 统 的 、 行 之 有 效 的 数 学 解 题 教 学 模 式23.喜 欢 去 规 定 一 种 问 题 是 一 种 什 么 样 的 解 题 模 式 。 比 如 ： 喜 欢把 应 用 题 分 为 几 种 类 型 解 题 ， 这 样 对 优 生 很 有 帮 助 ， 但 是 对差 生 只 能 造 成 一 种 机

15、械 记 忆 ， 不 能 达 到 举 一 反 三 、 触 类 旁 通的 作 用24.只 教 给 学 生 特 殊 的 解 题 方 法 ， 学 生 缺 乏 一 般 的 解 题 策 略 25.把 解 题 方 法 分 类 ， 套 用 公 式 的 现 象 严 重 ， 停 留 在 模 仿 上 调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 26.教 师 带 有 “ 强 制 性 ” ， 学 生 不 能 生 动 活 泼 主 动 地 来 学 习27.题 目 过 难28.框 框 太 多 ； 各 种 考 试 制 度 对 学 生 、 教 师 的 压 力 太 大29.教 学 的 过 程 只 展 示 教 师 已

16、经 做 熟 的 问 题 ， 不 能 与 学 生 同 步 思考 一 个 新 的 数 学 问 题30.四 化 : 把 问 题 解 决 模 式 化 ； 把 问 题 解 决 程 序 化 ； 把 问 题 解 决的 过 程 过 分 的 规 范 化 ； 套 路 化 。31.太 多 的 数 学 题 ， 重 复 的 数 学 题 ， 模 式 化 的 数 学 题 。 这 种 题 海会 影 响 教 学 的 灵 活 性 、 随 意 性 和 思 想 性 ， 很 难 培 养 学 生 的 独立 作 业 能 力 ， 学 生 自 主 思 考 解 题 的 机 会 少 ， 联 想 、 总 结 、 回 顾 差 习 题 的 分 析 框

17、架记忆理解探究 数 学 习 题 难 度 因 素 分 析 框 架因 素 层 次探 究 识 记 理 解 探 究背 景 无 个 人 生 活 公 共 常 识 科 学 情 境运 算 无 数 值 计 算 简 单 符 号 运 算 复 杂 符 号 运 算推 理 无 简 单 推 理 复 杂 推 理知 识 含 量 单 个 知 识 点 两 个 知 识 点 三 个 以 上 认知水平的分类记 忆 型 任 务1. 包 括 对 已 学 过 的 事 实 、 法 则 、 公 式 以 及 定 义 的 记 忆 重 现 或 者 把 事 实 、 法则 、 公 式 和 定 义 纳 入 记 忆 系 统 。2. 使 用 程 序 不 能 解

18、决 ， 因 为 不 存 在 某 种 现 成 的 程 序 或 因 为 完 成 任 务 的 限 定时 间 太 短 而 无 法 使 用 程 序 。3. 模 糊 这 种 任 务 包 括 对 先 前 见 过 的 材 料 的 准 确 再 现 以 及 再 现 的 内 容 可以 明 白 而 直 接 地 陈 述 。4. 与 隐 含 于 已 学 过 的 或 再 现 的 事 实 、 法 则 、 公 式 和 定 义 之 中 的 意 义 或 概 念无 任 何 联 系 无 联 系 的 程 序 型1. 算 法 化 。 程 序 的 使 用 要 么 是 特 别 需 要 ， 要 么 明 显 基 于 先 前 的 教 学 、 经 验

19、或 对 任 务 的 安 排2. 成 功 完 成 任 务 需 要 的 认 知 要 求 有 限 。 对 于 应 做 些 什 么 和 如 何 做 几 乎 是 一 目 了 然3. 与 隐 含 于 程 序 之 中 的 意 义 或 概 念 无 任 何 联 系 。4. 更 强 调 得 出 正 确 答 案 而 不 是 发 展 数 学 的 理 解 。5. 不 需 要 解 释 或 需 要 的 解 释 仅 仅 是 对 解 题 程 序 的 描 述 。 有 联 系 的 程 序 型1. 为 了 发 展 对 数 学 概 念 和 思 想 的 更 深 层 次 理 解 ， 学 生 的 注 意 力 应 集 中 在 程序 的 使 用

20、 上 。2. 暗 示 有 一 条 路 径 可 以 遵 循 （ 显 性 地 或 隐 性 地 ） ， 这 种 路 径 即 是 与 隐 含 的观 念 有 密 切 联 系 的 、 明 晰 的 、 一 般 性 程 序 。3. 常 用 的 呈 现 方 式 有 多 种 （ 如 可 视 图 表 、 学 具 、 符 号 、 问 题 情 景 ） 。 在 多种 表 现 形 式 之 间 建 立 起 有 助 于 发 展 意 义 理 解 的 联 系 。4. 需 要 某 种 程 度 的 认 知 努 力 。 尽 管 有 一 般 的 程 序 可 资 遵 循 ， 但 却 不 能 不 加考 虑 地 应 用 。 为 了 成 功 完

21、成 任 务 和 发 展 数 学 的 理 解 ， 学 生 需 要 参 与 存 在于 这 些 程 序 中 的 观 念 。 做 数 学1. 需 要 复 杂 的 、 非 算 法 化 的 思 维 。 （ 即 任 务 ， 任 务 讲 解 、 或 已 完 成 的 例 子没 有 明 显 建 议 一 个 可 预 料 的 、 预 演 好 的 方 法 或 路 径 借 鉴 。2. 要 求 学 生 探 索 和 理 解 数 学 观 念 、 过 程 和 关 系 的 本 质 。3. 要 求 对 自 己 的 认 知 过 程 自 我 调 控 。 4. 要 求 学 生 启 用 相 关 知 识 和 经 验 ， 并 在 任 务 完 成

22、 过 程 中 恰 当 使 用 。5. 要 求 学 生 分 析 任 务 并 积 极 检 查 对 可 能 的 问 题 解 决 策 略 和 解 法 起 限 制 作 用的 因 素 。6. 需 要 相 当 大 的 认 知 努 力 ， 也 许 由 于 解 决 策 略 不 可 预 期 的 性 质 ， 学 生 还 会有 某 种 程 度 的 焦 虑 。 认知水平的分类 什 么 是 “好 的 ”数 学 题一个好问题必须：1. 是 容 易 接 受 的 （ 不 需 要 大 量 的 技 巧 ）2. 有 多 种 解 题 方 法 （ 或 者 至 少 有 多 种 思 路 ）3. 蕴 涵 了 重 要 的 数 学 思 想 （ 好

23、 的 数 学 ）4. 不 故 设 陷 阱 (通 性 通 法 )5. 可 以 进 一 步 开 展 和 一 般 化 （ 导 致 丰 富 的数学 探 索 活 动 ） 匈 菲 尔 德 ， 1994 有 些 数 学 是 具 有 开 创 性 的 ， 有 发 展 的 ， 这 就是 好 的 数 学 。 还 有 一 些 数 学 也 蛮 有 意 思 ， 但 渐 渐变 成 一 种 游 戏 了 。 陈 省 身 ， 2004 问 题 解 决 过 程 模 型 结 论检 验尝 试 解 题实 施解 题 方 案 探 究计 划原 理 与 系 统 相 关 问 题 或 新 信 息 分 析给 定 问 题 小 困 难主 要 困 难匈 菲

24、 尔 德 ， 1985 问 题 解 决 的 专 家 -新 手 比 较 研 究 问 题 解 决 的 专 家 -新 手 比 较 研 究 问 题 解 决 的 专 家 -新 手 比 较 研 究 问 题 解 决 的 专 家 -新 手 比 较 研 究 问 题 解 决 的 因 素 模 型知 识 与经 验表 征 与探 索 监 控 与调 节情 感 与信 念 范 希 尔 几 何 思 维 水 平层 次 0 视 觉 ( visuality) 层 次 1 分 析 (analysis) 层 次 2 非 形 式 化 的 演 绎 (informal deduction) 层 次 3 形 式 的 演 绎 (formal ded

25、uction) 层 次 4 严 密 性 ( rigior ) 中 小 学 生 数 学 能 力 结 构 1. 获 得 数 学 信 息 A. 对 于 数 学 材 料 形 式 化 感 知 的 能 力 ； 对 问 题 形 式 结 构 的 掌 握 能 力 。2. 数 学 信 息 加 工A. 在 数 量 和 空 间 关 系 ， 数 字 和 字 母 符 号 方 面 的 逻 辑 思 维 能 力 ； 对数 学 符 号 进 行 思 维 的 能 力 。B. 迅 速 而 广 泛 地 概 括 数 学 对 象 、 关 系 和 运 算 的 能 力 。C. 缩 短 数 学 推 理 过 程 和 相 应 的 运 算 系 统 的

26、能 力 ； 以 简 短 的 结 构 进 行思 维 的 能 力 。D. 在 数 学 活 动 中 心 理 过 程 的 灵 活 性 。E. 力 求 解 答 的 清 晰 、 简 明 、 经 济 与 合 理 。F. 迅 速 而 自 如 地 重 建 心 理 过 程 的 方 向 、 从 一 个 思 路 转 向 另 一 个 相 反思 路 的 能 力 （ 数 学 推 理 中 心 理 过 程 的 可 逆 性 ） 。3. 数 学 信 息 保 持 A. 数 学 的 记 忆 （ 关 于 数 学 关 系 ， 类 型 特 征 ， 论 据 和 证 明 的 图 式 ， 解题 方 法 及 探 讨 原 则 的 概 括 性 记 忆

27、） 。4. 一 般 综 合 性 组 成 成 分 A. 数 学 气 质 。 五 、 几 点 建 议 选 择 一 个 适 合 自 己 的 研 究 方 向 数 学 教 育 涉 及 的 研 究 领 域 和 方 向 很 多 ， 教 师 的工 作 又 比 较 繁 忙 ， 不 可 能 关 注 数 学 教 育 研 究 的 方 方 面面 ， 因 此 ， 首 先 要 选 择 一 个 适 合 自 己 的 研 究 方 向 ， 作为 自 己 的 立 足 之 地 ， 然 后 安 营 扎 寨 ， 踏 踏 实 实 地 做 一点 自 己 的 东 西 。 现 在 学 术 界 的 新 观 点 、 新 口 号 很 多 ，但 笔 者

28、以 为 ， 做 研 究 不 能 赶 潮 流 ， 因 为 引 领 潮 流 的 毕竟 只 有 极 少 数 的 人 ， 大 多 数 只 能 随 波 逐 流 ， 容 易 迷 失方 向 。 大 约 在 7年 前 ， 笔 者 因 为 出 国 访 学 的 事 ， 罗 列了 自 己 的 一 些 研 究 成 果 去 拜 访 张 奠 宙 先 生 。 先 生 的 评价 是 ： 你 的 研 究 只 是 东 一 榔 头 、 西 一 榔 头 ， 看 不 出 自己 的 研 究 特 长 。 这 让 我 很 是 振 动 。 从 此 ， 我 就 在 努 力寻 找 适 合 自 己 的 研 究 领 域 。 从 “ 小 ” 做 起 喜

29、 欢 做 大 做 空 ， 是 我 国 传 统 教 育 研 究 的 一 个 通病 ， 为 此 ， 张 奠 宙 先 生 曾 多 次 呼 吁 要 改 一 改 我 们 的 文风 。 从 研 究 角 度 来 看 ， 大 体 上 有 两 种 ： 一 种 是 “ 望 远镜 ” 式 的 ， 高 瞻 远 瞩 ， 整 体 把 握 ； 另 一 种 是 “ 显 微 镜 ”式 的 ， 选 一 个 小 的 切 入 点 ， 逐 步 深 入 。 从 目 前 的 国 际趋 势 来 看 ， 更 喜 欢 后 一 种 方 式 ； 而 从 我 们 教 师 的 实 际情 况 看 ， 比 较 合 适 的 也 是 后 一 种 。 注 意 相

30、 关 文 献 的 积 累 做 研 究 不 能 靠 拍 脑 袋 。 虽 然 论 点 的 选 择 可 以 来 自 经 验 ，但 经 验 不 能 代 替 有 效 的 论 据 。 在 一 些 学 术 期 刊 的 文 章 中 ， 我 们仍 然 可 以 看 到 ： “ 我 认 为 ”这 类 比 较 随 意 的 断 言 ， 却 始 终 没 有给 出 为 什 么 可 以 这 样 认 为 的 证 据 ， 则 不 是 研 究 的 态 度 。 当 然 ，像 中 学 数 学 月 刊 这 样 兼 顾 学 术 性 和 实 用 性 的 刊 物 ， 并 不 排斥 有 效 教 学 经 验 的 分 享 ， 但 要 成 为 一 个

31、 研 究 者 ， 就 不 能 仅 仅 是经 验 之 谈 。提 高 研 究 水 平 的 一 条 具 体 措 施 就 是 注 意 相 关 文 献 的 搜 集与 积 累 ， 也 就 是 要 理 清 楚 在 自 己 的 研 究 方 向 上 ， 别 人 已 经 做 了哪 些 工 作 。 这 样 才 不 会 原 地 踏 步 ， 或 者 做 重 复 劳 动 。 我 国 老 一代 数 学 教 育 研 究 者 戴 再 平 教 授 在 这 方 面 可 以 说 是 一 个 典 范 ， 他不 仅 自 费 订 阅 几 乎 全 部 的 中 小 学 数 学 类 期 刊 ， 而 且 制 作 了 大 量的 学 术 卡 片 。

32、正 是 这 种 勤 奋 ， 使 得 他 几 乎 可 以 著 作 等 身 。 虽 然在 网 络 时 代 ， 研 究 资 料 的 搜 集 更 为 便 捷 ， 但 也 同 样 需 要 日 积 月 累 。 掌 握 基 本 的 研 究 方 法 长 期 以 来 ， 学 科 教 育 研 究 常 常 受 到 学 科 专 家的 质 疑 ， 其 根 本 原 因 就 是 研 究 方 法 的 科 学 性 。 与自 然 科 学 不 同 的 是 ， 教 学 假 设 是 不 能 用 纯 逻 辑 的方 法 来 论 证 的 ， 教 学 实 验 也 通 常 是 不 可 复 制 的 。因 此 ， 研 究 方 法 的 适 用 性 及

33、 信 度 和 效 度 就 成 为 关键 的 因 素 。 近 年 来 流 行 的 教 学 研 究 方 法 包 括 ： 案例 研 究 ， 问 卷 调 查 ， 深 度 访 谈 ， 出 声 思 维 ， 录 像带 分 析 ， 教 学 实 验 等 等 。 这 些 方 法 并 不 需 要 高 深的 理 论 知 识 ， 用 几 次 就 熟 悉 了 。 增 加 合 作 与 交 流 现 代 社 会 越 来 越 强 调 人 与 人 的 合 作 交 流 ， 数学 教 育 研 究 也 是 一 样 。 这 里 的 合 作 交 流 不 仅 仅 指研 究 结 果 的 呈 现 ， 更 在 于 研 究 过 程 的 开 放 性 。

34、 近年 来 ， 国 外 的 一 些 研 究 人 员 往 往 从 选 题 开 始 就 在网 络 上 公 布 ， 并 毫 无 保 留 地 展 现 自 己 的 研 究 过 程 ，包 括 其 中 的 困 惑 ， 希 望 引 起 别 人 的 关 注 与 介 入 。这 种 做 法 ， 于 人 于 己 都 有 益 处 。 书 讯 谢 谢 ！ aK#Vg8Upzp9e%q99fZcs9Q3&yiR2I0kJsLz5nfGVVty38VD0nNZKjgShiWH-AdOMZ$mebc-Uo%Pcsm(A)MHwIIRfs4YU5ca$xN0uNBv-D+sm94WX3HQGEXuY5$xujD5dwCv8s75

35、z28OAw0zDYNnZ%ORaP0Ma9RpOv%36A1L+89RwmCyGYGQtj%a&p8cbnU80KOFtQD&DpGb9ELqu%DNW3eZjk4VvMHj)E10Kv#E5oEf$Vc-qR-1!Kfy3yT6PXd#cp)p$4DaM-w&a-sDhHmwQXTYf86XCp#JYLg6AGCgHF$s1UTr-y9utFR)Zz8#AWp(kISqC*pytN4O+J+vWz-PjVhaz9I-($QM05ua-V5MfMilGZj*TJp9EYLqECWK!HQ)n$!c*7)K6lzJPrfRrv0ig)g9pGfM3+beFfC0dQqKH(pcCdX6kTCV

36、0dPJMdmPlTQJ1gJs*pN)M2gi*0WDyqi#OQElVUJYTPtPM)1kUzxjny$KjXj&U5RPY$94aA5hBlwjE%5EqOgZ3LVDfBZ0l3nH9$eY)-pJn5GqD&%zIsc88wsaz!N%(m0yWLX5Cay+36OA!nE!K-XxekAE7%B9ck-&T(r&)YkZ&OzR7ahR&UMr+VFzlV2eGBTkOFw%Q*ngWe31&TdPxxsPB9Nz0PNC4gZa69PQl2wfdlQ6qyYY-ZRyXD4MBRvp8qOeSyhg-Jl+i-lyDnxu%7#KNlc0r8SvtyKhxW8GlDQm!EIu

37、1GLM)QbBzlhooo+c9KWY)L89&-d$01nvpC0 xu1ZBqbRtX4ma6oY)6wEQQP*GD!oi!+4(!NqX1)#AVLIkD0g7V!k1G9ihb%&-QXp%97%F)YP$nuMb&B5LAVWvi6va!GbpcfBdsaiiJWON0a702Dn6MgzwHjWNw9za2RKRbYn)hd!PtNl)mK4f7q#J0MBn&T#eQ4+9sa9Ugse#Cjb3NxuwJ2VjrZdr5j0p&f5WRvTskB0vwYVnS+a()BnYO7BWEDAiDORLmqO$)IG%c7jOMQRzH&aT-KPxm#)bZ%aBOHbOeRE

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