随机变量及其分布(答案)

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1、概率论与数理统计练习题学号专业 班姓名第二章 随机变量及其分布(一)一选择题：1. 设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是Xxxxx1234-P%,18儿Xxxxx234P13!1；A)C)2.设随机变量2的分布列为Xx1xxx234P%坨如丿8B)x x x x1234X(D)P/2 /3/4 - /12(A)二、填空题B)X0123p0.1 0.3 0.4 0.2C)F(x)为其分布函数，则F(2) = C D)11设随机变量 X 的概率分布为X 012，则a =p a 0.2 0.52. 某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为P( X 二 0)

2、二C31 C 366105，P( x 1)C1C213 C 3C2C1_13C 331051515153. 设射手每次击中目标的概率为，连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为_P(X k) Ck (0.7)k (0.3)10-k (k 0,1,2,10) 10三、计算题：1.同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：(1) X 的概率分布；(2) P(X 12)解：(1) p( X 2)二，36P( X 3)-，36P( X - 4) - 36，P( X 5)-36P( X 6):,366P( X 7)-，36P( X 8) A，364P( X = 9) 363P( X 10

3、)，362P( X 11)，36P( X 12)36所以 X 的概率分布列：X23456789101112P1234565432136363636363636363636363(2) P(X 12)=02产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。解：设X=1、2、3及4分别表示一、二、三等品及废品X1234P3.已知随机变量X只能取-1, 0, 1, 2四个值，相应概率依次为2-，4-，8-，16-，试确定常数2c 4c 8c 16 cc,并计算P(X 1)解：由于工(X = k) =

4、 1，即丄+3+2丄=12- 4- 8- 16 -所以c=1716P( X 1) = P( X = -1) + P( X = 0)8 4 12+ =3737374. 一袋中装有5只球编号1, 2, 3, 4, 5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号 码，写出随机变量 X 的分布律和分布函数。解：X的可能取值为3、4、5。随机变量 X 的分布律为：310，P(X 二5)二C24C 311C 2P( X 二 3)二二 ,P(X 二 4)二 3C3 10C3550x 30l3 x 40.44 x 55设随机变量 X B(2, P), Y B(3,P)，若 PX 1 = 95，求 PY 1

5、解：由于PX 1 = 1 -P(X 1) = 1 -P(X = 0) = 1 -C0p0(1-p)2 =-291所以p = 3F (x)= 1 = 1 - P(Y 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - Co31 )0 (1Y 3 J8 _ 1927 _ 27一、选择题：概率论与数理统计练习题专业班姓名第二章 随机变量及其分布（二）学号12 x 0 x -1）_1（B）p（x_2）_2（c）p（X2）_2In x x e 102设连续性随机变量X的密度函数为f （x） _ 0 x笑10，则常数_AA) e(B) e +1C) e - 1D)e23设XN（卩Q 2），要使YN（0,1），

6、则C(B) Y _cX + 卩(C) Y _oD)Y_cX-p1 諒C4.设XN（0,1）， （x） _J * e 2 dt（x 0），则下列等式不成立的是2兀s(A)(x) = 1 一(-x)(B)(0) = 0.5(C)(-x)二(x)(D)P(I x l a) = 2(a) -1C5. X服从参数九=9的指数分布，则P(3 X 9)=(A) F(1)-F(3)1(B)9(11(c)3 e e(D) J 9e9dx3、填空题：1设连续性随机变量X的密度函数为f (x)=Ax20其他则常数A= 32.设随机变量 X N(2,b 2)，已知 P(2 X 4) = 0.4，则 P(X 0) =三

7、、计算题：1 设 X U (1,4),求 P(X 5)和 P(0 X 2.5)解：P(X 5) = 1 1xP(0 X 2.5) = J2.5dx = - |2.5 = 050 x1371 x 2 , 且 P(0 X )=281 4 13 1x2.设随机变量X的密度函数为f (x) = ax + b013求: (1)常数a, b解：( 1) 由归一性(2)尸匚 X q)(3) X的分布函数F(x)J+8 f (x)dx = J1 xdx + J2 (ax + b)dx = + + b = 1a0122P(0 X -)=2J1 xdx + J 2 (ax + b)=1解得 a = 1 , b =

8、 2x 0 x 1由此得f (x) = x + 2 1 x 20 其他 p(2 x 3)=J1 xdx +12(-x + 2)二 3 =0.7543) X 的分布函数x00 x11x 20J xtdtF (x) = ffJ1 tdt + J * (t + 2)dt0110x 00.5x20 x 1=0.5x2 + 2x 11 x 23设某种电子元件的使用寿命X （单位：h）服从参数九=丄的指数分布，现某种仪器使用三600 个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：（1）一个元件时间在200h以上的概率；（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。f1丄1解:（1）P（X 200） =

9、 J+200 600（2）设Y表示“三个元件中使用时间在200h以上元件的个数”P（Y 2） = P（Y = 2） + P（Y =3）1 112=C 2 (e3 )2 (1 e3) + (e3 )3 = 3e3 2e-13概率论与数理统计练习题系专业 班 姓名学号第二章 随机变量及其分布（三）1已知 X 的概率分辨为，试求：X -2 -10 12 3 p 2a 0.1 3a a a 2ai(1)常数a；(2) Y = X2 1的概率分布。解：由于2a + 01 + 3a + a + a + 2a 二 1，所以 a 二 01 则 X 的概率分布列为：X -2 10123p ,0.2 0.1 0.

10、3 0.1 0.1 0.2iX-2-10123P020103010102iY = X 2 -130-1038(2) Y = X2 1的概率分布为：即2.设随机变量X在(0, 1)服从均匀分布，求:Y = X 2 -1-1038P03020302i(1) Y = eX的概率密度；(2) Y = 21n X的概率密度。解：(1)当 y 1 时，F (y) = 0，当 y 三 e 时，F (y) = 1YY当 1 y e 时， F (y)二 P(Y y)二 P(eX y)二 P(X ln y) Yy11yey n e1y 0时，F (y)二 P(Y y)二 P(-2 In X e匕)y于=1 P(

11、X e 2) 1 e 2dF (y)1 于f (y)卡-2e21尹e 223 设 X N(0,1)，求:(1) Y 2X 2 +1的概率密度;2) Y | X | 的概率密度。f(y)1解: (1) F (y) P(Y y) P(2 X 21 y) P( X 2 YF2* 2 .1 ,e 22 严(y 一1).；2( y D J 2兀y1f (y) (2) F(y) P(Y y) P(|X| y) P(y X y) 20(y) 1dF1 迅f (y)=石=2 鬲e -22I 0即f (y) = F 显0 x 兀.4.设随机变量X的概率密度为f (x)=兀2，求Y二smX的概率密度。0 其他解：F (y) = P(Y y) = P(sin X y) = P( X arcsin y u X、兀-arcsin y)YF (arcsin y) +1 - F (兀-arcsin y)XXfY ( y)=dF ( y )YdyfX (arcsin y)-1;1 - y 2一 f (兀 一 arcsin y)-(X1v1 - y 22 arcsin y兀21y1 - y 22(兀-arcsin y)兀21v1 - y 2X 分布函数为2兀 .；1 - y20 y1其他