随机变量及其分布(答案)
概率论与数理统计练习题学号专业 班姓名第二章 随机变量及其分布(一)一选择题:1. 设X是离散型随机变量,以下可以作为X的概率分布是Xxxxx1234-P%£,18儿Xxxxx234P13!1;A)C)2.设随机变量2的分布列为Xx1xxx234P%坨如丿8B)x x x x1234X(D)P/2 /3/4 - /12(A)二、填空题B)X0123p0.1 0.3 0.4 0.2C)F(x)为其分布函数,则F(2) = C D)11设随机变量 X 的概率分布为X 012,则a =p a 0.2 0.52. 某产品15件,其中有次品2件。现从中任取3件,则抽得次品数X的概率分布为P( X 二 0)二C31 C 366105,P( x 1)C1C213 C 3C2C1_13C 331051515153. 设射手每次击中目标的概率为,连续射击10次,则击中目标次数X的概率分布为_P(X k) Ck (0.7)k (0.3)10-k (k 0,1,2,10) 10三、计算题:1.同时掷两颗骰子,设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求:(1) X 的概率分布;(2) P(X < 3) ;(3) P(X > 12)解:(1) p( X 2)二,36P( X 3)-,36P( X - 4) - 36,P( X 5)-36P( X 6):,366P( X 7)-,36P( X 8) A,364P( X = 9) 363P( X 10),362P( X 11),36P( X 12)36所以 X 的概率分布列:X23456789101112P1234565432136363636363636363636363(2) P(X < 3)=363) P(X>12)=02产品有一、二、三等品及废品四种,其中一、二、三等品及废品率分别为 60%,10%,20%及 10%,任取一个产品检查其质量,试用随机变量X描述检查结果。解:设X=1、2、3及4分别表示一、二、三等品及废品X1234P3.已知随机变量X只能取-1, 0, 1, 2四个值,相应概率依次为2-,4-,8-,16-,试确定常数2c 4c 8c 16 cc,并计算P(X < 1)解:由于工(X = k) = 1,即丄+3+2丄=12- 4- 8- 16 -所以c=1716P( X < 1) = P( X = -1) + P( X = 0)8 4 12+ =3737374. 一袋中装有5只球编号1, 2, 3, 4, 5。在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中最大号 码,写出随机变量 X 的分布律和分布函数。解:X的可能取值为3、4、5。随机变量 X 的分布律为:310,P(X 二5)二C24C 311C 2P( X 二 3)二二 ,P(X 二 4)二 3C3 10'C3550x < 30l3 < x < 40.44 < x < 51x > 55设随机变量 X B(2, P), Y B(3,P),若 PX > 1 = 95,求 PY > 1解:由于PX > 1 = 1 -P(X < 1) = 1 -P(X = 0) = 1 -C0p0(1-p)2 =-291所以p = 3F (x)= <PY > 1 = 1 - P(Y < 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - Co31 )0 (1Y< 3 J8 _ 1927 _ 27一、选择题:概率论与数理统计练习题专业班姓名第二章 随机变量及其分布(二)学号12 x 0 < x < 11设连续性随机变量X的密度函数为f (x) _0 其他,则下列等式成立的是 A (a)p(x>-1)_1(B)p(x_2)_2(c)p(X<1)_2 (d)p(x>2)_2In x x e 102设连续性随机变量X的密度函数为f (x) _ 0 x笑10,则常数'_AA) e(B) e +1C) e - 1D)e23设XN(卩Q 2),要使YN(0,1),则C(B) Y _cX + 卩(C) Y _oD)Y_cX-p1 諒C4.设XN(0,1), (x) _J * e 2 dt(x > 0),则下列等式不成立的是2兀s(A)(x) = 1 一(-x)(B)(0) = 0.5(C)(-x)二(x)(D)P(I x l< a) = 2(a) -1C5. X服从参数九=9的指数分布,则P(3 < X < 9)=(A) F(1)-F(3)1(B)9(11(c)3 e e(D) J 9e9dx3、填空题:1设连续性随机变量X的密度函数为f (x)=Ax20其他则常数A= 32.设随机变量 X N(2,b 2),已知 P(2 < X < 4) = 0.4,则 P(X < 0) =三、计算题:1 设 X U (1,4),求 P(X < 5)和 P(0 < X < 2.5)解:P(X < 5) = 1 1xP(0 < X < 2.5) = J2.5dx = - |2.5 = 050< x<1371 < x < 2 , 且 P(0 < X <)=281 4 13 1x2.设随机变量X的密度函数为f (x) = < ax + b013求: (1)常数a, b解:( 1) 由归一性(2)尸匚< X < q)(3) X的分布函数F(x)J+8 f (x)dx = J1 xdx + J2 (ax + b)dx = + + b = 1a0122P(0 < X < -)=2J1 xdx + J 2 (ax + b)=1解得 a = 1 , b = 2x 0 < x < 1由此得f (x) = < x + 2 1 < x < 20 其他 p(2 < x < 3)=J1 xdx +12(-x + 2)二 3 =0.7543) X 的分布函数x<00< x<11<x<2x > 20J xtdtF (x) = < ffJ1 tdt + J * (t + 2)dt0110x <00.5x20 < x < 1=<0.5x2 + 2x 11 < x < 21x> 23设某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从参数九=丄的指数分布,现某种仪器使用三600 个该电子元件,且它们工作时相互独立,求:(1)一个元件时间在200h以上的概率;(2)三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。f1丄1解:(1)P(X > 200) = J+"200 600(2)设Y表示“三个元件中使用时间在200h以上元件的个数”P(Y > 2) = P(Y = 2) + P(Y =3)1 112=C 2 (e3 )2 (1 e3) + (e3 )3 = 3e3 2e-13概率论与数理统计练习题系专业 班 姓名学号第二章 随机变量及其分布(三)1已知 X 的概率分辨为,试求:X -2 -10 12 3 p 2a 0.1 3a a a 2ai(1)常数a;(2) Y = X2 1的概率分布。解:由于2a + 01 + 3a + a + a + 2a 二 1,所以 a 二 01 则 X 的概率分布列为:X -2 10123p ,0.2 0.1 0.3 0.1 0.1 0.2iX-2-10123P020103010102iY = X 2 -130-1038(2) Y = X2 1的概率分布为:即2.设随机变量X在(0, 1)服从均匀分布,求:Y = X 2 -1-1038P03020302i(1) Y = eX的概率密度;(2) Y = 21n X的概率密度。解:(1)当 y <1 时,F (y) = 0,当 y 三 e 时,F (y) = 1YY当 1 < y < e 时, F (y)二 P(Y < y)二 P(eX < y)二 P(X < ln y) Yy<11<y<ey n e1<y<e其他(2)当 y mo 时,F (y)二 0,f (y) = 0Y当 y > 0时,F (y)二 P(Y < y)二 P(-2 In X < y)二 P(X > e匕)y于=1 P( X < e 2) 1 e 2dF (y)1 于f (y)卡-2e21尹e 223 设 X N(0,1),求:(1) Y 2X 2 +1的概率密度;2) Y | X | 的概率密度。f(y)1解: (1) F (y) P(Y < y) P(2 X 21 < y) P( X 2 <YF2* 2 .1 ,e 22 严(y 一1).;2( y D J 2兀y<1f (y) (2) F(y) P(Y < y) P(|X| < y) P(y < X < y) 20(y) 1dF1 迅f (y)=石=2 鬲e -22I 0即f (y) = F 显0 < x < 兀.4.设随机变量X的概率密度为f (x)=兀2,求Y二smX的概率密度。0 其他解:F (y) = P(Y < y) = P(sin X < y) = P( X < arcsin y u X、兀-arcsin y)YF (arcsin y) +1 - F (兀-arcsin y)XXfY ( y)=dF ( y )YdyfX (arcsin y)-1;1 - y 2一 f (兀 一 arcsin y)-(X1v'1 - y 22 arcsin y兀21y'1 - y 22(兀-arcsin y)兀21v1 - y 2X 分布函数为2兀 .;1 - y20< y<1其他