解三角形中的最值与范围问题4大题型

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1、解三角形中的最值与范围问题4大题型命题趋势解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对 综 合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。满分技巧一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有 平方和 和 积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意 一正二定三相等，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难

2、以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。二,边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有“、b、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自

3、由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.热点题型解读I题型1与角或三角值有关的问题题型2求周长的最值与范围问题题型3求面积的最值与范围问题题型4与边有关的最值与范围问题【题型1与角或三角值有关的问题】例1 （2023春江西赣州高三统考阶段练习）在 锐 角M C中，角A,8,C所对 的 边 分 另（J为。，c.已知。=1 ，且入cosA-cos8=l，贝 Gsin B+2sin2 A的取值范围是（）A.（0,G+l）B.（2,G+1）C.（1,3 D.（2,3【变式I】（2023四川泸州统考二模）在ABC中，B C 2,A B =2 A C，。为BC的中点，则tan 的最大值为【变式1

4、-2（2023福建福州.统考二模）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知-片=2/（1）求 黑 的 值:（2）求C的最大值.【变式1-3（2023春辽宁本溪高三校考阶段练习）已知 回。的内角A B,C的对边分别为“7，c,8为钝角.若A B C的面积为$,且46S =W+c2/).(1)证 明：8=4 ；(2)求s i nA+s i nC的最大值.【变式1-4(2023春湖北武汉高三华中师大一附中校考阶段练习)在锐角A B C中,角A I,C所对的边分别是“也c,满足(1)求证：C =2B ;(2)求U-C+3s i nC的取值范围.t anB t anc【题型2求周长的最值与

5、范围问题】例2(2023春四川成都高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习衽A 8 C中，cs i n B =y/3 bcosC.(1)求 N C ；(2)若a+6=6,求A B C周长的最小值.【变式2-1X 2023云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知 A B C的内角A,B ,C 所对边分别为 a,b,c,且 s i nA=(F *).2bc(1)求8的大小；(2)若 A B C为钝角三角形，且b=6 ,求 A B C的周长的取值范围.【变式2-2】(2023.全国.高三专题练习)已知函数f(x)=cos2(y x)+A/3 s i n(t w x)cos(0,且函数/(x)的两个相邻零点

6、间的距离为5，(1)求。的值及函数/的对称轴方程；(2)在4 5 c中，a/,c分别是角A ,8 ,C的对边,若/(A)=-l,a=打，求4 3 c周长的取值范围.【变式2-3*2023湖南模拟预测在4?C中，内角A，8，C所对的边分别为a,b,c,已知 C的面积为S ,且25(-+-)=(a2+/?2)sinA .s i n B s i n C(1)求C的值：(2)若a=G ,求4?C局长的取值范围.【变式2-4】(2023春河北邢台高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形_ 3A 3 C D 中，A8,C,。四点共圆，AB=5,B C =3,cos ZABC=-j .(1)若 s i n/

7、ACQ=,求 AZ)的长；(2)求四边形ABC。周长的最大值.【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】(2023重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数/(x)=2/3s i n(7 t-x)-cos x-2cos2x(XG R).(1)求函数“X)的值域；(2)在 A 3 C中，角A ,8 ,C的对边分别为a,b,c,若A)=-2,“,求A A B C的面积S的最大值.【变式3-1】(2023浙江嘉兴统考模拟预测)已知 越C中，内角A,8,C所对的边分别为。，b,，且满足s i n 23l +cos 2Bt an C +1t an C -1(1)求角A的大小；(2)设A O是B C边上

8、的高，且4)=2,求A B C面积的最小值.【变式3-21 2023山东临沂统考一模在 他C中 角4 B,C所对的边分别为也c,已知“cos B+Z?cos A =2ccos C .(1)求C ;(2)若c=l ,求A B C面积的取值范围.【变式3-3】(2023全国模拟预测)已知4?C的内角A,B ,C的对边分别为a,h t C,/5/s i n C =s i n 3(4as i n C .(1)求 A；(2)若。是A B C的内心，q =2,且从+c2 4,求 O5C面积的最大值.【变式3-4】(2023江苏南通校联考模拟预测)如图，在平面四边形AB C D中,A B =,A D =7

9、3,CD=2,BC=y/2.D5c(1)若 BC1.CD,求 s i nZADC；(2)记M O与 AB C D的面积分别记为M和邑，求S；+的最大值.【题型4与边有关的最值与范围问题】例41 2023江西南昌统考一模在锐角4?C中 角A,B,C所 对 的 边 分 别 为,若a=1,8=6 0，则 匕 的 取 值 范 围 为.【变式4-1(2023春湖南高三校联考阶段练习)已知的C的内角A、B、C所对的边分别为“、b、c,acos(8-C)=(2百cs i nB cos A.(1)求角A；(2)若M C为锐角三角形，且外接圆的半径为6,求空式的取值范围.b【变式4-2 （2023.广东江门.统

10、考一模）在锐角 舫C中，角A,B,C的对边分别为3,且 心，-二，不依次组成等差数列.t anB snA t anc（1）求1的值；be（2）若b c,求 的 取 值 范 围.【变式4-3 （2023.江苏南通统考模拟预测）在 ABC中，角A,8,C的对边分别是。,b,c,已知 8=4,且8cos c+gc=a.（1 ）求8；（2）若。在A C上，且B D L A C,求BD的最大值.【变式4-4】（2023新疆统考一模）在A B C中，。也c分别为内角A,8,C的对边，c2=2absinC.（1 ）s i nCcos B+s i nB=s i nA,求 t anC 的值；（2）求 的最大值.

11、限时检测（建议用时：60分钟）1 .（2023甘肃武威统考一模）在 9 C中，A8=3,AC=2,B C 短，则cos A的范围是（）2.（2023秋浙江宁波高三期末）在AB C中，内角A,B,C的对应边分别为a,3 C,已知6s i n(8+C)=as i n丁，且ABC的 面 积 为 坊，则 四。周长的最小值为()A .2夜 B.2 g C.6应 D .6+2#)3.(2023江西赣州统考一模)已知锐角A 3 C的内角A&C的对应边依次记为“反c,且满足c-b=2反os A,则3。+3)+2852(4-3)的取值范围为.4.(2023.陕西西安统考一模)已知在.ABC中，角A,8,C所对边

12、分别为a,b,C,满足处cos A+a=2c,且6=26，则周长的取值范围为.5.(2023.全国校联考一模)在4 3 C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,c2+ac=b1.(1)证 明：B =2C ;(2)求一的取值范围.6.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已 知A 8 C的内角A ,B ,C的对边分别为 a,b,c,且2s i nC-s i nB=t anAcos B.(1)求 A；(2)若。=2,求2c-b的取值范围.7.(2023河南.校联考模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已 知 标 是2 与s i n(c+|的等比中项.(1)求A;(2)

13、若一钻C是锐角三角形，且c=2,求“s i nB的取值范围.8.(2023全国高三专题练习)在 6(-反。s C)=cs i nB,2a-c=cos C,e-b)(+6)=(a-c)c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在 AB C中，内角4 8 C的对边分别是。，b,c,且满足_ _ _ _ _ _ _ ,6=2 6 .(1)若a+c=4,求 一 ABC的面积；(2)求一ABC周长/的取值范围.9.(2023春山西高三校联考阶段练习)求 A BC，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,已知A=g ,且 ABC的周长为6.(1)证 明：税+12=4(b+c)；(2)求 AB

14、C面积的最大值.10.(2023四川凉山统考一模)在锐角.M C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,b-csnA=acosC(1)求A；(2)若。=2,求A3C面积的取值范围.参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】【例11（2023春江西赣州高三统考阶段练习）在 锐 角A 8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=l,且6cos A-cosB=l,则/sin3+2sin2 A的取值范围是（）A.（0,+1）B.（2,6 +1）C.（1,3 D.（2,3【答案】B【解析】：&cosA-cosB=l,gp：Z?cosA=cosB+l,a=,A Z?cosA=（cosB+l）,由

15、正弦定理得：sin Bcos A=（cosB+l）sin A,即：sin Bcos A=sin Acos B+sinA,/.sin（B-A）=sin A,3-A =A或8 A+A =7T,解彳导：8=2A或8=乃（舍），又.A B C为锐角三角形，则C=A4-3 =兀-3A,_.7 T0 A 2.7 T0 A 27 T0 B 20 2A -2，解得:兀 4 兀 A 一6 40 C -20TI-3A/3sin B+2sin2 A=5/3sin 2A+1 -cos2A =2sin（2A-）+1 ,6又 建 苦（-4 si n（2/1-i）T，二2 2sin（2A-）+1/3+1,6即抬sinB+2

16、sii?4的取值范围（2,若+1）.故 选：B.【变 式 I】（2023四川泸州统考二模）在 旗C中,BC=2，AB=2AC,D为BC的中点，则tanZ AOC的 最 大 值 为 .【答案】|4【解析】设AC=x,则A3=2x,因为。为B C的中点，B C =2,所以8/）=C=l ,由三角形三边关系，可知2 x+x 2且2x-x2,解得：x5=，二）,2A D在.A 8中，由余弦定理，得cos NAC=.空三二,因为 NAD6+NAQC=T I,所以cos NADB=cos（兀-NAC）=-cos NA）C,所以 尘 士 色=_ 改 二,解得A。、衣?，2A D 2A D 2则cos/A D

17、C京乒尹木/小卡卜色+2=1,当且仅当 :，即 1时，等号成立，此时/一 I ,解得“竺因为cos NADC 0,所以N A O C e o,|.因为y =cos x在代）上单调递减，y =t anx在 恒）单调递增，所以当COS Z A D C取得最小值时，t an/ADC取得最大值,此时 s i n 4 C =J1 cos?N A D C =g,贝J t an Z A O C =g,所以t an Z A O C的最大值为，【变式1-2】（2023.福建福州.统考二模）记A A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,.已知2 。2=2/（1）求 鬻 的 值:（2）求C的最大值.答案（1）

18、售=3;（2）t anA O【解析】（1）由余弦定理可得从=c2+/-2accosB ,代入方_ 0 2=2 2 ,得到0 2+/_2 8 8町-0 2=勿2,化简得c2+2accosB=0,即c+2acosB=0,由正弦定理可得s i nC+2s i nAcos B=0,即5皿(24+3)+2 1 1 1 2 4 ：053=(),展开彳导$1048$8+005由105+2$1040$3=0,即 3s i n/4cos 8=-cos As i nb 所以 =一3t anA（2）由 一/=2/得02=亡 互/+i_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 _2ab故 2安3a2+M _3a+b f

19、3 _ 百4ab-4 +4 -V16 2 1当且仅当/=32,即）=百4时等号成立.因为人（。，虫所以cq，所以C的最大值为看.【变式1-31（2 0 2 3春辽宁本溪高三校考阶段练习）已 知A 8 C的内角A,B,C的对边分别为。力，。，8为钝角.若.A B C的面积为$,且46S =W+c 2/）.（1 ）证 明：8=畀4；（2）求s i nA+s i nC的最大值.9【答案】（1 ）证明见解析；（2）?O【解析】（1 ）由余弦定理c o s A=+（一。得次-4=y+/-0 2 ,2bc4bs A 4。1.A.n X（l?始a a 2 1 I 2广8为钝角，则A 8-均为锐角，IT TT

20、-B 2 =A，即八万+A(2)s i n A+s i n C =s i n(8 一 +s i n(8+8 一 力=一 cos B-cos IB=-2cos2 B-cos B+1令cosB=f t 8为钝角,则f T,0),s i n A +s i n C 2厂-r +1 =-2 t H.I 4；8 7i i 9当，=-彳，即cos B=_,时，s i nA+s i nC取最大值，且为4 4 o【变式1-4（2 0 2 3春湖北武汉高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角A B C中，角4 B,C所对的边分别是“，c,满足、2=贴+力（1 ）求 证：C =2B ;（2）求-R +3s i nC的

21、取值范围t anB t anC【答案】（1 ）证明见解析；（2）（竽,4）【解析】（I ）由。2=从+成及余弦定理/=a2+b2-2abcosC，得a=6（2cos C+l）,由正弦定理得：s i M=s i nB（2cos C+l）,又 A+B+C=7t,s i nA=s i n(B+C)=s i nBcos C+cos B s i nC=2s i nBCos C+s i nB/.cos Bs i nCs i nBcos C=s i nB,.s i n(C-3)=s i nB,A。都是锐角，,C B =B,即C =2,.、人 1 1 r .r cos B cos C _ ._ s i nCc

22、os B-cos C-s i nB _ ._(2 )令)=-+3s i nC=-+3s i nC=-+3s i nCt anB t anC s i nB s i nCs i nBs i nC_ s i n(C-B)s i nBs i nC+3s i nC,由()C =2 B得 V=+3s i nC，在锐角三角形A B C中，八/兀0 A 一20 8 四20 C -2,即7 To-(z?+c)-八 C 兀0 B =v 2 20 C cos C.(1)求 N C ；(2)若a+8=6,求.ABC周长的最小值.【答案】(1)C=；(2)9【解析】()因为cs i n 8=6cos C,所以由正弦定理

23、得s i nCs i n 8=Qs i n S eos C,又因为 B e (，兀),s i nBkO,所以 s i n C=6 cos C,即有t anC=G ,又因为C(),兀)，所以eg7 T(2)因为 C =,a+b=6 ,所以由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-2ab-ab=36-3ab36-3x=9,当。=。=3时，等号成立，所以c*3,故A 8 C周长的最小值9.【变式2-1X 2023.云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知 A 8 C的内角A ,B,C所对边分别为a,b,C,且s i nA=2bc(1)求8的大小；(2)若 A B C为钝角三角形，

24、且 =6,求 A B C的周长的取值范围.【答案】(1 )W ；(2)仅6 3 +【解析】()根据余弦定理可知，,2ac所以s i n 4 V3-2i 7 ccos B 即 s i n A-CacosB=A 百s i n Acos 32bc b s i n B贝U t anB=6/e（）,兀），所以 三；（2）设八兀2汽2,根据正弦定理可知 s i n A s i n C s i n B五=2.兀s i n3所以a=2 s i n A,c=2s i nC=2s i nb=2 sin A+所以周长a+h+c=2s i n 4+2s i n(g-A)+cos A 4-sin A+2=3s i n

25、A+/5cos A+百=25/3s i n(A+J+/3,因为Awi t 2花2 T兀A+62兀5兀TT所以如上+2KS，所以班2石s i n（A+e）+石3+石，所以一 C的周长为（2 3+.【变式2-2（2023全国高三专题练习）已知函数/（x）=cos2（%）+/3s i n（9x）cos（8）,其中（y 0,且函数/的两个相邻零点间的距离为3,（1 ）求。的值及函数/的对称轴方程；（2）在4A B e中,a,c分别是角A ,B,C的对边，若A）=-1M=6，求 一ABC周长的取值范围.【答案】(1 )g =1 ,对称轴方程为：x考+处闭;(2)(26,2+肉.【解析】(1 )f(x)=

26、cos?(0 x)+6s i n(0 x)cos x)-g=c o；2 x)+GS I；2O X)一；x)=.(c 兀s i n 2a)x+-I 6因为函数/（X）的两个相邻零点间的距离为5 ,所以函数/（X）的最小正周期为2乂尹兀，因为。0,所以芸=兀=。=1 ,即/(x)=s i n 2x+-,2co I 6/令2x+?=E +g(%Z)nx=+9&G Z),所以对称轴为o 2 2 0X =A l t T C/.z T+6(；(2)由/(A)=-l n s i n(2 A+/_ l ,1 .、，./c 、LLt i c,兀 /兀13兀、c,兀 37 r .2兀因为 AE(O,兀)，TUZ2

27、71+G(,)=2A+=A=,6 6 6 6 2 3因为。=G,所以由正弦定理可知：-=-=-=i=2 n b=2s i n B,c=2s i n Cs i n A s i n 3 s i nC，3,T所以三角形的周长为 g+2s i n 8+2s i n C =6+2s i n B+2s i n(；-8=V3+2s i n B+2 c o s B s i n B=G cos 8+s i n 8+G =2 s i n 8+1)+G因为北（。令，所以8+9（头）,D 3 3 3因此s i n（8+）（*,l =2s i n（3+1）+石e（2 g,2+石,所以,校7周长的取值范围为（2 6,2+

28、后.【变式2-3*2023湖南模拟预测在一M C中，内角A B,C所对的边分别为“也c,已知 加C的面积为S ,且2S（包+包_1）=（/+/）制”4.s i n B s i n C（1 ）求c的值；（2）若a=6 ,求A B C周长的取值范围.【答案】（1 ）J ；（2）（2 +引.【解析】（1 ）在A 8 C中，由三角形面积公式得:s j c s i n A ,由正弦定理得：2x次s i r心+升.+小4,整理得：a+b-c2-cib,由余弦定理得：cos C=”=,冗又0 C%,故C =.（2）因为八 百，C吟,由正弦定理得，=不 三,3 S lr lz*八 Gs i nS 13叫 乃-

29、AJ 3cos A 石，b-=-=-+s i nA sinA 2s i n4 2即A B C的周长/=a+b+c=3 3cos A 3y/3 3(l+cos A)3 G2s i nA 2s i nA 2 2s i nA ,2 A2,3 3+3 因为A eO仔J,则）（。9），故0t an1/3 7-所 以 募7F，即 一M C的周长的取值范围是（26,+8）.2【变式2-4 （2023春河北邢台高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形_ 3ABCZ）中，4 8,。,。四点共圆，A B=5 ,B C =3,cos ZABC=-.（1 ）若 s i n/AC=,求 AL）的长；（2）求四边形ABC

30、。周长的最大值.【答案】（1 ）病；（2）8+2病【解析】(1 )因为A B C。四点共圆，所以ZA8C+ZAQC=T T,3 3g cos ZABC=-,所以cos/AOC=-cos ZA8C=g,因为 ZADCe(O,7 t),故s i nZA)C=7 i cos;-Z-A-D-C-4=5在M C中，由余弦定理得：A C2=A B2+BC2-2A B-8。cos ZA BC=25+9 30 x3二52故 A C =2 g ,A nA C在A A D C中，由正弦定理得：诉揄 加,，A D 2V13即 而=丁，解 得：AD=A;r 53(2)由(1 )知：4c=2而,cosZ ADC=1,在

31、人4。中，由余弦定理得:cos ZA DC =A D2+C D2-A C22A DC DA D2+C D-52 J i2A DC D-5整理得：A D2+C D2 A D C D+52，故(AO+C。)2-52若AOC。，其中皿,故(A D+C D),-52=16 A D C D-4(A D+C D)-9 z解 得:A D+C DW2旅,当且仅当AD=8 =历 时，等号成立，故四边形ABC。周长的最大值为A B +B C+A D+C D/3sin2x-cos2x-l=2sin2x-l,/(x)的值域为Tl.(2)A)=2sin(2 4 q卜=2,即sin(2 4-=-；,由 4 e(0,兀)得

32、-江？4-9)O 7 2 O O Oc 4兀 7兀 口 门A 2兀2A)二,即 A二,6 6 327rJ3=6Z2=b2+c2-2bccos=b2+c2+bc3 bc,即bcWl,S ABC2,(S ABC)“ax2 2 4=，当且仅当8=c T时 取 得.【变 式 3-1】(2023浙江嘉兴.统考模拟预测)已知A B C 中，内角A,，C 所对的边分别为。，b,，且满足sin 231 +cos 28tan C+1tan C-1(1)求角A 的 大 小；(2)设 A D 是 8c边上的高，且)=2,求 AB C面积的最小值.【答案】(1 )；(2)47 2-4tx.sin 28 2sin Bc

33、osB sin B【解析】(1)法一：左边=不 嬴 方=万 k=狒右边=tan C 4-1tan C-1sinC+cosC=sinC+cosCsinC sin C-cos CcosC由题意得sin 3 sin C+cosC 一 一 八 厂-=-=sin B sinC-sin ncos C=cos BsinC+cos Bcos Ccos 3 sin C-cosCsin(8+C)+cos(8+C)=0tan(8+C)=1 ,艮|JtanA=l,又因为0 A 兀，所以=；法 二：左边=sin2B1 +cos 232 sin BcosB n-z=tanB,2cos-B右边=tan C 4-1tan C

34、-1c 7 1tan C+tan 4 x-.兀1 -tan C tan 4TT TT由 题 意 彳 导 8=C 1 +B+C=+E ,又因为08+。-b2c2=b2+c2-42bc=-b2c2+/2bc=b2+c2 2bc f8 8=b c 1（2-码，当且仅当6=c时取“等号”，而以诋=；儿疝咛=乩，故区 皿）1nhi=.x 8（2-0）=4近一4【变式3-2（2023.山东临沂.统考一模在A B C中 角4仇。所对的边分别为“也。，已知 a cos B+bcos A=2ccos C ,(I)求C ；(2)若c=l ,求4 3 c面积的取值范围.【答案】(1)C =g ;(2)(0当.3 4

35、【解析】(1 )在二M C中，由已知及正弦定理得：s i n Acos B+s i n Bcos A =2s i n Ccos C ,即有s i n(A+B)=2s i nCcos C,即s i nC=2s i nCcos C,1 jr而0C0,则cos C=5,所以C=.(2)在A B C中,由余弦定理/=/+尸-2 c o s C彳 导：1 =42+从-”。，因此122成-必,即0必41,当且仅当a=b时取等号，又 S*=g bs i n C=；x 曰=“匕 e(0,曰 所 以 枷面积的取值范围是。%【变式3-3 (2023.全国.模拟预测)已知A B C的内角A,B ,C的对边分别为a,

36、b!C,C=s i n Z?4as i n C 3c.(1)求A；(2)若。是M C的内心，a=2,且+/4,求 OBC面积的最大值.【答案】(1)概 年；(2)乎 解析(1 =sin s i n C-s/3c)y/3bsin C+V3cs i n B=4as i n s i n C,由正弦定理得 G(s i n Bs i nC+s i n Cs i n B)=4s i n As i n Bs i nC,所以Gs i n5s i nC=2s i nAs i nBs i nC，因为s i nBs i nCw O,所以s i nA=F,因为A 0，所以白卷或A号(2 )因为。=2,且从+/4 ,所

37、以由余弦定理得所以A为锐角，由（1 ）知4咚因为。是的内心，所以Z BGC=7r-（Z ABC+Z ACB）=7t-1（7t-A）=y ,在 AOBC 中,由余弦定理得 3 c2 =OB2+OC2-2OB OC cos ZBOC,所以4=OB2+OC2-20B OCcosy=OB2+OC2+OB OC 2OB OC+OB OC=3OB OC,当且仅当08=。=芈 时 等 号成立，所以,.J oAffUISOBC=OB-OCsinZ.BOC=,所以AOBC面积的最大值为9.【变式3-4（2023江苏南通校联考模拟预测）如图,在平面四边形A B C D中，AB=t AD=y/3,CD=2,BC=6

38、 .Dc（1 ）若8C_LCD,求sinZ ADC；（2）记48。与乙B C D的面积分另（!记为3和$【答案】（1呼；（2）【解析】（1 ）；BC 上 CD,：.BD=y4T2=y/6,/6+3 1 8 2 0cos N ADB l l /.2-V6-V3 6V2 3sin ZBDC=,cos NBDC=43 V6 3,求s：+s；的最大值.D hxM吟，2熹:C V2 B/.sin N ADC=sin(/BDC+N ADB)=sin ZBDCcos ZADB+cos Z.BDCsin Z.ADB由20娓 3屈 屈-X-1-X=-=-；(2)设/胡。=口 ,Z-BCD=p ,，=3+1 2百

39、 cosa=4+2 4 点 cos，二 4/cosP-2石cosa=2,2/cos分 一G cosa=1 t S：+S；=(gG x lx sina)+(g.20 x lx sin 尸)=sin2 a+2sin2 p3.2 c/1 2 3.2-11+G cosa=sin a+2(1-cos Z?I=sin a+2 1-j=-4 )4 2V23 2 J3 5=cos a-cos a+=2 2 2523,V3 cos-a+cos a+2 3 7当且仅当cosa=-4 ,cos/?=咯 时取最大值?O O O综上，sin/ADC=*,S；+的最大值是？.3o【题型4与边有关的最值与范围问题】例41

40、2023江西南昌统考一模在锐角ABC中 角A 8,C所对的边分别为a,c,若a=1,B=60，则的取值范围为.【答案】俘，百2【解析】在 一例中，由正弦定理得急=熹s i n C,所以土=焉，即 戒 嘉因为锐角ABC,所以0 A 90,0 C90,gpo A 90,0 120-A/0,sinB0,所以sinA=VicosA,所以tanA=G ,因为A 0，所以Aha=b R（2）因为啖=-=2后,即不 二 而sinA sinB si n 3所以。=3 z b=2/3sinB,所 以 以=人+=2瓜inB+3 =2同sinB+二,h h 2sinB 1 4sinfiJ 12冗因为.C为锐角三角形

41、且8+。=与，所以0/?-2八 2兀 八 7 T0-Bc,求空匚的取值范围.a【答案】(1 )2;(2)1旬【解析】(1)由条件得：昌2=/11+七1=s i nA t anB t anCs i n(C+3)_ s i nAs i nBs i nC s i nBs i nC cosB cos C s i nCcos B+cos Cs i nB-1-sinB s i nCs i nBs i nC所以 s i n2A=2s i n3s i nC,由正弦定理得：=2，所以4 =2.be(2)b c及a、2bc,贝”C,角C一定为锐角，又_4 5 c为锐角三角形，所以cos A 0cosB 0由余弦定

42、理得：(b2+c2-a2 八-02bc _n 02hc=2hc+c2-h2 n-02acb2+c2-2bc02bc+c2-b2 0 所以次+-从0,即l,所以ge(l,l+a).,解 得：1-&20又2所以力在(1,1+0)上递增，又 1)=1,/(1+&)=后,所 以 手 的取值范围是(1,x/2).【变式4-3 (2023江苏南通统 考 模 拟 预 测)在5 c中，角A ,3 ,C的对边分别是。,b,c,已知。=4,且8cos c+gc=a.(1)求B；(2)若。在A C上，且B D L A C,求BD的最大值.【答案】(1 )y；(2)27 3【解析】(1 )方法一：bcosC+g c

43、=a,s i nBcos C+gs i nC=s i nA=s i n(B+C),所以 s i nBcos C+g s i nC=s i nBcos C+cos 3 s i n C ,所以gs i nC=s i nCcos B,C e(0,7 t),.s i nC 0,cos B=g,j r方法二：在.ABC中，由正弦定理得：s i nBcos C+s i nC=sinA=s i n(B +C),所以 s i nBcos C+g s i nC=s i nBcos C+cos 3 s i n C ,所以 gs i nC=cos Bs i nC.因为C 0,兀)，所以s i nCHO,所以cos

44、8=；,7 T因为 Be(O,n),B=.(2)方法一：b1=a2+c2-2accosB =a2+c2-ac 2ac-ac=ac,.,.ac16当且仅当。=c=4时取“=”,1 .I -acs i nn/r acsinB =B D b,B D=-=ac/3 2 2 2 8.8%=2技方法二：在4?C中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB =I6=a2+c2-ac lac-ac(当且仅当 a=c 取=)所以以/s i nAT i n8,gP V2s i n Ccos B=x/2 s i n(Z?+C)-s i n B,即 A/2 s i n C cos B=5/2(s i n B c

45、os C+cos Bs i n C)-s i n B即忘s i n 3cos C=s i n B,因为 s i n B 0,所以 0 c o s c =1 ,即 cos C=.,由C0,7 i)得C=：,故t anC=l.(2)由2必s i nC=/结合余弦定理得c2=a2+)2 2cos C=2s i nC,贝 /+/=2b(s i nC+cos C)=2 及 s i n(c+；J,于是一+1=2=x f x s i n(C+9 2 0 4,即 W-2夜 x+l0.b，b 4J b b2 b解得血/5,当且仅当a=b=c=2 O时取等.故选：C.3.（2023.江西赣州统考一模）已知锐角一M

46、 C的内角A B、C的对应边依次记为久久c,且满足c-A=2/xx）s A,则5山（。+8）+28$2（4-8）的取值范围为【答案】2,6 +3丁 1【解析】因 为 =2hcosA,所以 s i nC-s i nB=2s i nB0os A,即s i n(A+N)_ s i nB=2s i r d3cos A,展开整理得s i n(A-5)=s i n5,因为锐角 A B C中，A B e 0,T t27 i n2,2所以 A B=B,即 A=28,由0 B -20A =2B-彳 导 工 5(工2，1?6 4，0C =n-3 B-2s i n(C+B)+cos2(A-B)=s i r i A+

47、2cos2B=s i n2B+cos 2B+1=&s i n(2B+:+1一、1兀 c 兀 7兀 -c 兀 3兀因3 1 B EFr L Jv 2B T U/J6 4，力以 12 4 4s i nl 25+1/2+y/b4所以s i n（C+8）+2cos 2（A-8）的范围为 2,+2)4.（2023.陕西西安统考一模）已 知 在A B C中，角A ,8，。所对边分别为a,b,C,满足cos A+a=2c,且6=2百，则A B C周长的取值范围为.【答案】（40,6我【解析】在-M C中，由26cos A+a=2c及正弦定理得:2s i n Bcos A+s i n A=2s i n C ,

48、而。=兀 一（A+3）,于是 2s i n B cos A+s i n A =2s i n(A+5)=2s i n Acos B+2cos As i n B，有s i n A=2s i n Acos B,而 OVAVT I#s i n A 0，因此 cos 3=g，由余弦定理得从=/+c?-2accos B,12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac(a+c)2-3()2=(+c)2,当且仅当”=c时取等号，从而。+c 4 G ,而a+c/2=2 6 ,贝 4 G Q+/?+CK 6百，所 以C周长的取值范围为(4 6,6向.5.(2 0 2 3全国校联考一模)在-皿。中，角A ,B ,。所

49、对的边分别为a,b ,c ,c2+a c =b2.(1)证 明：B =2 C ;(2 )求?的取值范围.【答案】(1 )证明见解析；(2)(1,5).【解析】(1)c2+a c =b2,/.c2-b2=-ac,由余弦XE理 得：cos B=-=,即：2ac 2ac 2c2c cosB=a-c ,由正弦定理得：2 s i n C -cos B =s i n A -s i n C f/.2s i n C -cos B =s i n(B+C)-s i n C =s i n Bcos C +s i n Ccos B -s i n C ,整理得：s i n B c o s C s i n Ceos 6

50、s i nC=0,即：s i n(B-C)=s i nC,又.3、Ce(0,7 t)/.B-C =C ,即：B =2C.(2 )V B =2 C ,：.A =n-3 C ,54 V s i n2C=2s i nC cos C,s i n 3 C =s i n(C+2C)=s i n C cos 2 C +cos C s i n 2 C=s i n C cos 2 C +2s i n C c o s2 C,s i n C V O ,.由正弦定理得a+b _ s i n A+s i n B _ s i n(兀-3C)+s i n 2C_ s i n3C+s i n 2Cc s i n C s i

51、n C s i n C_ s i n C -cos 2C+2 s i n C -cos2 C +2 s i n C -cos Cs i nC=cos 2C+2cos2 C +2cos C=2 cos2 C-l +2cos2 C +2 cos C=4cos2 C+2 c o s c-1,0 V A 兀又，0 8 兀 n0 C 7 107 T-3C7 T兀 0 2 C 0 C 一30 C 7 T cos C 12令r =cos C,贝J一=4 +2f-l,|/1 ,；y =4产+2.1对称轴为，y =4产+2/7在(；)上单调递增，当g时,y =4x；+2xg-l=l；当f=l时,y =4+2-1

52、=5,1草 5,即：竺辿的范围为(U).6.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知一 A B C的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且2s i nC-s i nB=t anAcos 8.(1)求A；(2)若。=2,求2c-b的取值范围.【答案】(1 )；(2)(-2,4)【解析】(1 )由题意知,2s i nC-s i n8=剪吐 xcos BcosA所以 2cos As i nC-cos As i nB=s i nAcos B,贝|2cos As i nC=s i nAcos B+cos As i nB=s i n(A+B)=s i nC,又Cc(O,兀)，所以s i nC

53、*0,所以cos 4=g ,又Ae(O,兀)，所以A=W.(2)由(1 )得2s i nC-s i n8=x c o s8 ,由正弦定理得2 c =穿，COS/i COS/i又a=2,A=,所以2c-Z=4cos B.因 为 呵。，引，所以 c o s8 e(f)，所以 4COS3G(-2,4),故2c 匹(一2,4),即2c-b的取值范围为(-2,4),7.(2023.河南校联考模拟预测)记一mC的内角A,B,C的对边分别为a,b ,c已 知 际 是2“与s i n(c+|的等比中项.(1)求A ;(2)若A B C是锐角三角形，且c=2,求as i nB的取值范围.【答案】(1 )f ；(

54、2)惇,26【解析】（1 ）因 为 它 是2a与s i n（c+1的等比中项，所以24s i n（c +?）=（+c）=b+c,由正弦定理及两角和的正弦公式，得1 2s i n A-I-21-s i nC+2 cos C J=s i n 8+s i n C因为 A+3+C=7 t ,所以Gs i n As i n C+s i n Acos C=s i n（A+C）+s i nC=s i n AcosC+cos As i nC+s i nC,P/3 s i n A s i n C =（cos A 4-1）s i n C .因为。（0,兀），所以s i nCw O,所以6 s i n A cos

55、A=l ,gps i n/4-J=.又A e（U），所以人一部卜去青,所以A丁,，即、a _ b _ 2(2)由正弦定理，得乖=诉=碇，3所以as i nB;立 人3=勺 喧 二。2 s i n C s i n C3cos c+G s i nC2s i nC因为“A B C是锐角三角形，所以0 C八 2兀 兀0 -C/3cos s i nC=s i nCs i n B ,因为。C 兀,所以s i nCw O z所以t an3=G ,因为()5(兀,所以.若选条件，由2a-c=给cos。及正弦定理，得2s i n A -s i n C =2 s i n Bcos C ,即2s i n(B+C)-

56、s i nC=2s i n8cos C，化简得2cos 3s i nC=s i nC,因 为0CT T,所以s i nCxO,所以cos 8=g ,因 为0B n,所以B=；若选条件，由(。+。)(所A)=S-c)c化简得，由余弦定理得cos 8笠一,即cos B=w ,因为0/Jsin（A+/）,_ xl.2兀 1 V.兀 .7 1 5 7 1 .I 4 7 1 I I 1 ,因为。A 7,7 i 4+6T,s i nr4+7 e3 o o o o J所以c 1 十（2 6,4 6 z 艮a+b+C（4 6,6 G ,所以一ABC周长/的取值范围为（4 6 6 g .9.（2023春山西高三

57、校联考阶段练习）求ABC,角A,8,。所对的边分别为a,b,c,已知A=?,且A B C的周长为6.（1 ）证 明：bc+12=4（b+c）；（2）求A BC面积的最大值.【答案】（1 ）证明见解析；（2）6【解析】（1 ）在A B C中，由余弦定理可得：=Z 72+c2-2Z?ccos A ,gPiz2=h2+c2-he=（h+c）2-3 hc,又因为 a+h+c=6 t所以 6 S+c）2=S+c）2 3bc,整理可得：12 4S+c）=-灰,所以历+12=4R+c）得证.（2）由（1 ）可 知：bc+l2=4（b+c）,所以儿+1224x2痴，当且仅当b=c时取等号，所 以 痴*6或 病

58、42,因为b+c6,所 以 痴42,则从 4，所以5人庭=:儿$皿4 4曰*4=6 ,故A 8C面积的最大值为G .10.（2023四川凉山统考一模）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b-csirtA=acosC（1 ）求A；（2）若b=2,求 相C面积的取值范围.【答案】（1 ）A=；（2）（1,2）【解析】（1 ）因为A-csinA=ocosC,由正弦定理得sinB-sinCsinA=sinAcosC,gp sin(A+C)sinAcosC=sinCsirtA.所以 cosAsinC=sinCsiaA,因为sinCwO,所以tanA=l,由 A e(。,5 得A=；(2)因为b=2,由正弦定理得2sinC _ 2 si n(T-_ 2(sin-cosB-coSsinB)_ 夜,sinB sinB sin B tanB由 千8苦 可 得B：,所以备(抬),则tanB),故cw(夜,2&),1s所 以AHC的面积5=bcsinA=c e(1,2).即M C面积的取值范围为(1,2).