2023年数学预测模拟卷（共6份）学生版+解析版

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1、2023年(新高考)数学预测模拟卷本 试 卷 共2 2小 题，满 分1 5 0分。考 试 用 时1 2 0分 钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4 =-2,-1,0,1,2,3,4 ,B =x|2 x-1 3,则)A.(0,1,2 B.-2,1,0 C.-2,-1,0,1 D.-2,1,0,1,2)2 .若复数z满足z(i l)=2 i,则下列说法正确的是()A.z 的虚部为一i B.z 为实数 C.|z|=V 2 D.z +z =2 z3.己知向量2 =(1,2),向量万=(2,-2),Z +z B与垂直，则=

2、()1 0 1 7A.2 B.C.D.7 2 1 04.下列命题为真命题的是()若a b 0,则一 Z?0,则 a?b/a h若c a b 0,则-b c 0,则一-b b +c5 .设函数/(x)的导函数是f (x),若/(x)=r(co s x-s in x,则/号=()A.-B.C.D.-B2 2 2 26 .已知函数/(x)=xln x,若直线/过点(0,e),且与曲线y =/(x)相切，则直线/的斜率为()A.-2 B.2 C.e D.e7.已知函数/U)=(2)-乂 g(x)=lo g 一苍/i(x)=x3-x(x 0)的零点分别为 a,b,c ,2Z则a,4c的大小顺序为()A.

3、a b c B.c a b C.b c a D.b a c8.鳖膈(6)而。)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.已知三棱锥止质是一个鳖席，其中4弘园A B L B D,B CL CD,且1 4 6,B C=3,DC=2,则三棱锥的外接球的体积是()A.甄 B.%C,4 9，D,%3 2 6二、选择题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.等差数列%的前项和为S,，若 4 0,公差d彳0,则（）A.若S 5 S”则 兀 0B.若S 5=S”则 S 是 S,中最大的项C.若

4、S 6 S 7，则$75 8 D.若$6 S?则 S 5$6.7T1 0 .已知函数，f（x）=2 s in a co s x的图象的一条对称轴为犬=，则（）67TA.点（,0）是函数，f（x）的一个对称中心B.函数f（必在区间（工,左）上无最值2C.函数f（x）的最大值一定是4D.函数f（x）在区间（-工，包）上单调递增6 61 1 .已知函数/3=旭（大-1）|力。1 且/（。）=/（7?）,则（）A.lz z 2 B.a +b =a bC.ab的最小值为1 +3 D.一+一 2a-b-1 2.设数列 当，若存在常数a ,对任意正数r,总存在正整数N,当 2 N,有 上 一同 r,则数列%

5、为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（）A.等差数列不可能是收敛数列B.若等比数列 七 是收敛数列，则公比1,1 C.若数列 玉 满足x“=s in ，贝!七 是收敛数列D.设公差不为0的等差数列 七 的前项和为5.（5“。0）,则数列一定是收敛数列三、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.已知角a的终边上一点则ta n(乃+a)=_ _.1 4 .二项式(石工)6的 二 项 展 开 式 中 的 常 数 项 是.X1 5 .在棱长为4的正方体力成沙4 5 G中，E,尸分别是比和G的中点，经过点4 E,F的平面把正方体力aZH 4归G截成两部分，则 截 面 与 以 笛 笈

6、的 交 线 段 长 为.1 6 .已知“X)是定义域为(v,y o)的奇函数，满足了(I x)=l +x),若/=2,则/。)+/(2)+/(3)+/(2 0 2 0)=_ _ _ _ _ _ _.2 0 2 0/(l)+/(2)+/(3)+-+/(2 0 2 0)=-x/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=5 0 5 x 0 =0四、解答题：本题共6小题，共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 0 分)2 0.已知数列 凡 是等差数列，数列 2是等比数列，且满足q =4 =2,q +a5+a 7=3 0也%=(b b.(1)求数列 q与 的通项公式；设数列 ,2

7、的前项相分别为5.，T.是否存在正整数h使得=+仄+3 2成立?若存在，求出女的值，若不存在，请说明理由；解关于的不等式322.1 8 .(1 2 分)为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4 轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药2 3 4 一的治愈率分别是二和伙夕 ).3(1)若/?=，求 2 轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1 只的概率；(2)已知4公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花

8、费分别为3 千元和(1 0 4-1)千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和公司各承担该轮试验耗材总费用的5 0%；若甲药治愈，乙药未治愈，则 4公司承担该轮试验耗材总费用的7 5%,其余由科研机构承担，若甲药未治愈，乙药治愈，则 1公司承担该轮试验耗材总费用的2 5%,其余由科研机构承担.以/公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求力公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？1 9.(1 2 分)1 7.在6 =2；C=26；/+c2-岛c =/这三个条件中任选两个,补充在下面问题中，求 N 5C。的大小和AAC0的面积.问题：己知AA BC的内角A,B,C 的对

9、边分别为a*,c,a=2,设。为边A8上一点,BD=ECD，.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.（12分）如图所示，在四棱锥尸一 A B C。中，底面A B C。是正方形，侧棱底面ABCD,PD=DC,E 是 P C 的中点，过 E 点作石尸交 依 于 点 F.求证：pP A U 平面EDB；(2)P B工平面EFD.2 1.（1 2 分）2 2/T已知椭圆C:*+%=1（。人0）的 离 心 率 为 券，其右顶点为A ,下顶点为8,定点C(0,2),A A B C的面积为3,过点C作与 轴不重合的直线/交椭圆C于P,。两点，直线B P,BQ分别与x轴交于M,N两点.(D求椭

10、圆。的方程：(2)试 探 究 的 横 坐 标 的 乘 积 是 否 为 定 值，说明理由.2 2.(1 2分)已知函数”a +l n J R),在点(1)处 的 切 线 为 尸1.求”，的值及函数/(x)的单调区间；若 王，马是函数g(x)=H l n x-；f(Z e R)的两个极值点，证明/笑工 0.2023年(新高考)数学预测模拟卷本 试 卷 共2 2小 题，满 分1 5 0分。考 试 用 时1 2 0分 钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合4 =-2,-1,0,1,2,3,4 ,B =x|2 x 1 3

11、,则ADB=()A.(0,1,2 B.-2,1,0 C.-2,-1,0,1 D.-2,1,0,1,2)【答案】C【分析】先解出3集合，然后计算A D B.【解析】解不等式2 x-l 3得，x 2,即8 =x|x 2 ,所以Ac3=-2,-1,0,1 .故选：C.2 .若复数z满足z。-1)=2 1,则下列说法正确的是()A.z的虚部为 i B.z为实数 C.忖=也 D.z +z =2 i【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z =l-i,根据复数的概念、复数的模长公式、共轨复数的概念可得答案【详解】因为z(i-l)=2 i,所以Z=2=二二D ；=z-1 (Z-1 X-Z-1)2所以

12、z的虚部为一 1,z为虚数，|z i=(i i i=jrn=j5,z+5=i i+i+i=2,故A民。错误，C正确.故选：c3 .已知向量 =(1,2),向量石=(2,-2),2 +%石与-石垂直，则5=()A.2B.7【答案】D【解析】【分析】根据 a+kJb a-b 垂 直,由(a+Z).(a )=a kb+(左 一 1)4 =0 求解【详解】因为向量 =(1,2),向量5=(2,2),所以 a?=5,=8，。B=2,又Q+筋与-垂直所以(a+kb)(a-b)=a-kh+(%-l)a B,=5-8 攵-2d)=7-10左=0,所以左=7,10故选：D.4.下列命题为真命题的是()A.若 a

13、 v Z?0,则一a b 0,则 a b 0,则ac2 be2D.若 a b c 0,则 Vb b+c根据不等式性质，做差法比较大小等，依次分析各选项即可得答案.故选：D.解：对于A选项，当 =-2 1=-1 时，不等式不成立，故是假命题;对于B选项，当c=0 时，不满足，故为假命题；对于C选项，当c=3,a=2,b=l 时，=-=不满足，故为假命题.c-a 3-2 c-b 2对于D选项，由于a 6 c 0,所以a a+cb b+cQ(b+c)-/?(4+c)_ a c-b c _(一 力)c。0(b+c)b(0+c)b(b+c)即Aa+ch+c故为真命题.jr jr5.设函数/(x)的导函数

14、是/(x),若/(x)=/(5 c o s x-s in x,则/()=()A-1 B&C 1 D&2 2 2 2【答案】A【解析】【分析】求导后，令x=，可求得/(厘)=0,再 令 可 求 得 结 果.【详解】因为/(%)=/(9-0 5%-S 1 1 1,所以/(%)=/弓)(一5皿1)一8,所以/(1)=r唠)(-s in j)-c o s|=-r(|)，所以r(卞=0,7T JT I所 以/(x)=-cos x,所以/()=-C O S =-5.故选：A6.己知函数x)=x l nx,若直线/过点(O,e),且与曲线y =x)相切，则直线/的斜率为()A.-2 B.2 C.e D.e【

15、答案】B【解析】【分析】设切点坐标为(r,fl nr),利用导数求出切线/的方程，将点(0,e)的坐标代入直线/的方程,求出t的值，进而可求得直线I的斜率.【详解】设切点坐标为。，八n/),-.-/(x)=x l nx,/(x)=l nx+l,直线/的 斜率为/=2 +1,所以，直线/的方程为y-rl nr=(l nr+l)(x-r),将点(O,e)的坐标代入直线I的方程得-e-t n t =-t(n t +l),解得。=e,因此，直线/的斜率为/(e)=2.故选：B.7.已知函数/(x)=(-x,g(x)=log|x-尤,力=尤 。)的零点分别为a,4 c,23则a,b,c的大小顺序为()A

16、.abc B.c a b C.b c a D.b a c【答案】B【解析】【分析】将函数/(x)=()-x，g(x)=log%-尤,(幻=1 -x(x 0)的零点，转化为函数y=x2 5的图象分别与函数y=(：)，y=log x，y=0)的图象交点的横坐标，利用数形结合25法求解.【详解】函数/(x)=(g)-x，g(x)=logi x-x,h(x)x3-x(x 0)的零点，23即为函数y=x 的图象分别与函数y=(：)*，y=iogi x,y=/(x o)的图象交点的横坐25标，由图象可得:c a h,故 选：B8.鳖 膈（e 是 我 国 古 代 对 四 个 面 均 为 直 角 三 角 形

17、的 三 棱 锥 的 称 呼.已 知 三 棱 锥 止 腼是 一 个 鳖%其 中 力 用L 6 G A B VB D,B C V C D,且4 Q 6,B C=3,D C=2,则 三 棱 锥 儿 驱的外接球的体积是（）A.甄3。3 43 7 tD.-2D.等【答 案】D【解 析】【分 析】将 三 棱 锥 上 腼 可 放 在 长 方 体 中 确 定 直 径/，计算即得结果.【详 解】依题意，三 棱 锥 儿 时 可 放 在 长 方 体 中，如图所示易 得 三 棱 锥 小 版 的 外 接 球 的 直 径 为A D,则AD=V 62+32+22=7，故 三 棱 锥 儿 版 的 外 接球的半径所以小闫=?.

18、故选：D.二、选 择 题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目 要 求。全 部 选 对 的 得5分，部 分 选 对 的 得2分，有 选 错 的 得0分。9 .等 差 数 列 可 的 前 项 和 为S.，若40,公 差dw 0,则（）A.若S 5 S 9,则 号5 0 B.若S s=S 9,则S 7是S“中最大的项C.若 SQS”则 S?S 8 D.若 S 6 S?则 S s S 6.【答 案】B C【解 析】【分析】根据等差数列的前 项和性质判断.【详解】A 错：5 9 =4+%+/+4 =4+1 4 =S 5 S7=a7 d as a7 S8

19、；D 错：S6 S7 a7$6.故选：B C.T T10.已知函数，f(x)=2 s in ac os x 的图象的一条对称轴为犬=，则()67TA.点(,0)是函数，f(x)的一个对称中心B.函数f(必在区间(乙,万)上无最值2C.函数f(x)的最大值一定是4D.函数f(x)在区间(-工，包)上单调递增6 611.已 知 函 数/(力=旭=-1)|,。1且 。)=/,则()A.l zz 2a-b-【答案】A B D【详解】解:因 为 x)=|l g(x l)|且/=/，所以|l g(a-l)|=|l g S-l)|,因为人 a l,所以人一1 。一1,所以I g(a-l)x l g S-l)

20、,所以I g(a-l)与 怆(。-1)互为相反数,其中I g(。-1)0,所以0 。一1 1,所以1&0,“一 1 0,所以 1-+2 2、/.-=2,a-1 b-1 Na-1 b-因为一l a 1,所以取不到等号，所以 一+一 2,所以D正确;a-1 b-因为 QZ?=a+h 2ab，所以 ab 2 4 ,因为 b,所 以 而 4,所以C错误,故选：A B D12.设数列 玉,若存在常数a,对任意正数r，总存在正整数N ,当 2 N ,有人一 同 05（芸 ,则 七 是收敛数列D.设公差不为0的等差数列 玉 的前n项和为5.（S“/0）,则数列 一定是收敛数列【答案】B C D【详解】当s“

21、时，取S“=+4-,d为使得S“-,所以只需要&“+4 =n-2.=-2|+=N.r2 2 r dr2对于A,令x,=l,则存在。=1,使 氏-a|=0 1,则对任意正数广,|,|r+l,所以不存在正整数N使得定义式成立,若4 =1,显然符合；若4 =-1为摆动数列怎=（1）3%，只有%两个值，不会收敛于一个值，所以舍去;若 q (-l,1)，取Q=0，N=l og：r +l_ +1 ，当刀N 时,卜 一。|=|%|。|0 时，Sn单调递增并且可以取到比一更大的正数,d(d 当 2 +1 2 +n -d2d=N时,-0 =r,同理d 0,所以1)/(2)3)=4)5)一,又/(1)=0,4 4

22、)=4 5)=2,所以当且仅当=1,2,3,4时，/(n)0,所以不等式S“2 的解集为1,2,3,4.18.(12 分)为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药2 3 4一的治愈率分别是二和以/?),3(1)若 =E，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率；(2)已知力公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和(104-1)千元，每轮

23、试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和4公司各承担该轮试验耗材总费用的50%；若甲药治愈，乙药未治愈，则力公司承担该轮试验耗材总费用的75%,其余由科研机构承担，若甲药未治愈，乙药治愈，则/公司承担该轮试验耗材总费用的25%,其余由科研机构承担.以力公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求/公 司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？【答案】竺;(2)14 4 00元.625【解析】【分析】(1)利用和事件的概率公式、独立事件的概率公式，结合独立重复试验概率公式进行求解即可；(2)设随机变量才为每轮试验A公司需要支付的试验耗材费用的取值，根据题意求出随机变量X的可能取值，以

24、及相应的概率，列出分布列，计算数学期望，最后利用二次函数的单调性进行求解即可.【详解】解析：(1)记 事 件/为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”,事件8为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈。只白鼠”，事 件C为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，则 所吟令弓|)=黑3 3?3P(C)=C (-x-)x C K-x-)108625P(A)=P(B)+P(C)108 108 216-1-625 625 625(2)一次实验耗材总费用为(10/7+2)千元.设随机变量才为每轮试验力公司需要支付的试验耗材费用的取值,1 1 3则 X=a(10 +2),-(10

25、 +2),q(10/+2)1 3P(X z(10 +2)=/，1 2 2 3 1P(X=-(10/7+2)=-/?+(l-)x(l-)=-/?,3 2P(X=4(10/?+2)=-(l-/?).4 5X：(10夕+2)g(10 4+2)3-(10 +2)p12 一 )3 1 3 1 I?3E(X)=-(10 +2)4-(-/?)-(10 +2)+-(I-/?)-(10/?+2)IJ w-*/r令 所一耕+?+21 一 小169H-4 03 455511 3 4函 数/（乃）的对称轴为：夕=而，所 以/（月）在区间上单调递增,加 =/(=(千 科则 力 公 司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为

26、4 x =14.4 （千元）,即14 4 00元.19.（12分）17.在 b =2；c=2百；/+c2 一 岛c=这三个条件中任选两个,补充在下面问题中，求N B C D的 大 小和AACD的面积.问题：已 知AABC的 内 角A,B,C的对边分别为a,4 c,a=2,设。为 边A3上一点，B D =4 i C D，_注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.7T【答 案】Z B C D =-,A A C 的 面 积 为14【解 析】【详 解】若选作C E J _ A B于E，由A C=3 C得：B E =-A B =y/3,2在E/A B E C中，c o s B=，=因 为。=J

27、=2,所 以A=工，C =B C 2 6 6 3在ABC。中,C D B Ds i n Z B s i n Z B C DR n i B/.s i n /B C D =-s i n B=V2x =，C D 2 2)TTTT又因为。为边A B上一点，所以N B C D N A C B =，:.NB CD=%,34./.L2n 7t 57 r o 5兀 TC 5%/.Z A C D =-=,所以 N A）C =;r-=3 4 1 2-1 2-6 一1 2 在 A A CD 中 A C =A D =2,SAACDI1jr=-AC-AD-s i n A=-22-s i n-=l22 6若选,因为片+。

28、2 一 儡c =，所以c o s B=02+c2-=且,因为0 8万，所以8 =工2a c 2 6TT 27 r因为a =/?=2,所以A=,C =/6 3在d B C D中，C DB Ds i n B s i n /B C DR n i 5/.s i n /B C D -s i n B =V2 x =C D 2 2又因为。为边A 3上一点，所以N 3 C D N A C 3 =，.N 8 C O =&,34.A 2%兀 5 兀 -.,、o 5 兀 TV 57r：.Z.A CD=-=，所以 N A O C =-=3 4 1 2 1 2 6 1 2.在八4 8中，A C=A D 2,S l h

29、3I1 r r=-A C-A D-s m A =-22-sin-=l.22 6若选：,因为6+c 2-G a c =，所以c o s B=*b-”=走,因为0 8 C =;r-=3 4 1 2 1 2 6 1 2 在A A CD中，A C =A D =2,I1-rr=-AC-AD-s i n A=-22-s i n-=l.2 2 620.（1 2分）如图所示，在四棱锥P A B C。中，底面A B C。是正方形，侧棱尸。上底面ABCD,P D =DC,是P C的中点，过E点作交P B于点尸.求证：PA/平面 0 8；（2）PB_ L 平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分

30、析】（1）连结A C、B D，交于点。，连结0 E，通过。以 即 可证明：通 过P D LB C，C。，3 c可证BC _ L平面QD C,即得。_ L B C,进而通过平面P B C得D E上P B,结合所，依即证.【详解】证明：（1）连结A C、B D，交于点。，连结0E,pE 底面A B C D是正方形，.。是AC中点,.点 E是 PC 的中点，.O E/.O Eu 平面 0 8，B4U 平面 0 5，Q 4/平面03(2);PZ)=Z)C,点 E是 PC的中点，.DE_LPC.底面ABC。是正方形，侧棱FD_L底面ABC。，A P D L B C,C D L B C，且 P D c D

31、 C =D，：.B C 平面 P D C,：.D E 1 B C,又PCcBC=C，平面PBC，；D E 1 P B,-.EF A.P B.E F c D E=E，平面 EFO.21.(1 2 分)2 2 A已知椭圆C:3+=l(a b 0)的 离 心 率 为 券，其右顶点为A,下顶点为3,定点C(0,2),AABC的面积为3,过点。作与轴不重合的直线/交椭圆。于P,Q两点，直线BP,B Q分别与x轴交于M,N两点.(D 求椭圆。的方程；(2)试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.2【答案】(D +2=1；(2)是，理由见解析.4.【解析】【分析】(1)求出。代入即可；(2)设直线P

32、 Q的方程为丁 =麻+2,p,。的坐标分别为P(%,y),Q(X2，%)，求出M，N 的横坐标，XX,X x.x0M.=7-=7 i-方7 7,利用直线和椭圆联立,(%+1)(%+D k 平 2+34(+%2)+9由韦达定理得司%=%+*2=V?即可求出._ 1+4左 2?1+4-【详解】由已知，A 3 的坐标分别是A(a,0),8(0,5)山于A A 8C的面积为3,:.-(2+h)a =3,又由e =正 得 a =2b,2 2解得：b=,或8=-3(舍去)，a=2,b=lr2，椭圆方程 为 二+V=1；4设直线尸。的方程为y =履+2,P,Q的坐标分别为P&,乂),Q(,%)V.+1 八

33、X.则直线BP的方程为y=-X-1,令 y =0,得点M的横坐标XM=17%y +iy9 4-1x、H 线 3。的方程为y =X-1,令 y =o,得点N 的横坐标 +1中 2(X+1)(%+1)石 入2_(k xt+3)(纥 +3)中2_k2xxx2+3 火(占 +X2)+9把直线丁 =履+2 代入椭 圆 工+V=I得（1 +4后 2）/+16 日+1 2=04.1 1 （、,.1 2 1 6人i l l 韦达定理得 X,X2=-T ,玉 +=；T1+4左2 1+4公1 2.M N-R 一欣厂;-1 2 -4 8 区+9 +36外 一 屋 无止值.-F91 +4&2 1+4产r/_ b x/

34、.f 22.（1 2分）已 知 函 数 a +l n x ,在点（1 ，。）处的切线为 =L（1）求。，。的值及函数/（x）的单调区间；（2）若王，%是 函 数 8（尢）=履 1 1 1%-；1 2（%/?）的两个极值点，证明/（后 三）。【答案】（1）=1/=1,单调减区间是1 o,2 和（Li,单调增区间是（L ”）；（2）证明k e j k e J见解析hr【详解】（1）因为/（x）=-L（a,b w R）,所以a +n xb a-n x)-b x-_ b a-b +hn x/(x)=/72-(z +l n x)2，(t z +l n x)v)由题意可知/=i,r(i)=o,即2=1,加

35、=o,a a可解得。=1,b=l.所以/（x）品,则 八 上瑞彳由/(x)0,得x l,由广(x)=0得x=l,由尸(x)0得 了1；又 的 定 义 域 为所以/(x)的单调减区间是0,1和(5 1)，单调增区间是。，+8).(2)由王，/是函数g(%)=Hlnx的两个极值点，得g (x)=Z(1 +In x)-x =Zl n x +k-x 有两个变号零点，令 Zl n x +攵一x =0即左(1 +l n x)=x,当1 +In x =0时，上述等式不成立；X当1 +l n x HO时，上式转化为左=1 +l n x(o=/(x),由(1)知/(X)的单调减区间是0,-和、e/,1),单调增

36、区间是(1,+8),且，/(x)2 -,.1 -%!1 1 ,由(1)知 f(x)在(1,+c o)上单调递增,e二要证 2-斗只需证/()/(2-),又，(%)=/(%2),故即证/(%)/(2-)令力(x)=f(x)-，(2-x),xlIn x.如=而前l n(2 -x)(l +l n(2 x)2In x ln(2-x)限，-/)(1 +l n x)2 +(1 +l n x)2-(1 +l n x)2又y=l n(2 x /)在(Jl)上为增函数，y=l n(2 x-x2)l n(2 x 1 -12)=0 ,h(x)h(l)=0,即 f(x)f(2 -x)f 272023年（新高考）数学预

37、测模拟卷本试卷共2 2小题，满 分1 50分。考试用时1 2 0分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .己知集合 A=2,3,4 ,集合 B =4?+2 ,若 408 =2 ,则机=（）A.0 B.1 C.2 D.42 .i是虚数单位,复数粤为纯虚数,则实数。为（）2-1A.2 B.-2 C.-D.一2 24 .已知随机变量4服从正态分布N（l,b 2）,若4）=0.9,则P（-2 J 0,则，-一 二 的 最 大 值 为（）a+b a+2bA.2-V 2 B.2+V2 C.3-2 V 2 D.3+2V2二、选择题：本题

38、共4小题，每小题5分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9 .已知由样本数据点集合(七,V 州=1,2,求得的回归直线方程为y=1.5 x+0.5.且嚏=3,现发现两个数据点(1 2 2.2)和(4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线/的斜率为1.2,贝 i()A.变量x 与 y 具有正相关关系 B.去除后的回归方程为y=1.2 x+1.4C.去除后y 的估计值增加速度变快 D.去除后相应于样本点(2,3.7 5)的残差为0.0 51 0 .设函数/(x)=5 凶，g(x)=a x2-x(a 7?),若/g

39、(l)=5,则 Q=()A.1 B.2 C.3 D.0TT1 1 .已知函数，/(x)=2 s i a x-a c o s x的图象的一条对称轴为x=-,则()A.点(三,0)是函数，/(X)的一个对称中心7TB.函数/(x)在区间(一，万)上无最值2C.函数/(x)的最大值一定是4TTD.函数/(x)在区间(-g,3)上单调递增6 61 2 .在平行四边形A B C。中，|福 卜 2,|而 卜 1,瓦=2反,AE 交 80于尸且AE.B。=一2，则下列说法正确的有()A.AE=-AC +-AD3 3C.（AB,AD）=B.DF=-DB5D.JB FC=2 5三、填空题：本题共4小题，每小题5

40、 分，共 2 0 分。1 3 .若 s i n(a _=g,则s i n2 a =.1 4 .若 函 数/(力=3%2+入山工+双在(1,2)上存在两个极值点，则6(3。+6+9)的取值范围是.1 5 .。为坐标原点，尸为抛物线C：V=4x 的焦点，P为 C上一点，若|P 耳=4,则 dO尸的面积为一.1 6.已知正方体A B C。-4旦 。的棱长为4,P是 AA中点，过点。作平面a,满足C P _ L 平面。，则平面a与正方体A B C。4g 2 的 截 面 周 长 为.四、解答题：本题共6小题，共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 0 分）设等差数列%的前项

41、和为S“，已知邑=2%，邑=2%+4.（1）求数列 4 的通项公式；令=器，设数列也 的前项和为，求证：Tn0,求实数。的取值范围;求证：存在正实数。，使得？(x)2 0 总成立.2023年(新高考)数学预测模拟卷本试卷共2 2小题，满 分1 50分。考试用时1 2 0分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 人=2,3,4,集合8 =?,?+2 ,若A Q8=2,则加=()A.0 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【详解】因为4口5=2,所以根=2或帆+2 =2.当加=2时，A c 3 =2,4,不符合题意

42、，当2 +2 =2时，加=0.故选A.2 .i是虚数单位,复 数 央 为 纯 虚 数,则 实 数”为()2-1A.2 B.2 C.D.2 2【答案】Al +a z _(l+m)(2 +z)2-a +(2a +l)i 2-a(2 a +l).【邛 用牛】-=-=-=-1-12-z (2-/)(2 +0 5 5 5复数三二为纯虚数2-12 a 02 a +lw0解得4=2,故选：A.4.已知随机变量J服从正态分布N(1,2),若P 4)=0.9,则P(-2 J 4)=()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8【答案】D【详解】因为随机变量服从正态分布N(l,b2),所以正态曲线的对称轴为x =l

43、,因为 PC 4)=0.9,所以P C 4)=P C -2)=0.1,所以 P(2 4 1 7|欢|=/，=由题设得 j,解得：30.357 x 0,则，-&的 最 大 值 为（）a +b a +2bA.2-72 B.2 +72 C.3-2 V 2 D.3+2 V 2【答案】C【详解】由题意，a a _ +2。匕）一（。+。匕）_ a ba +b a +2Z?+a2 3a b -2b2 0 .储 一2 0 32 2 0/.a2+2b1 2y/2a ba2+3a b +2b2 3a b +2y/2a ba2+3a b +2b2 的最 0二 当。2+3a b +2b2=3a b +242a b，即

44、。二 丘 时，a ba2+3QZ?+2Z?2的值最大a b a b 1 .c z 2 2 的最大值是:，一 人 ,=3TV =3-2j 2/+3次?+2。“3a b +212a b 3 +2V2a +b篇的最大值为3-2&-故选：c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9.已知由样本数据点集合（%丫 亦=1,2,.,求得的回归直线方程为y=L5x+0.5,且1=3,现发现两个数据点（1 2 2.2）和（4.8,7.8）误差较大，去除后重新求得的回归直线/的斜率为1.2,贝i （）A.变量x与

45、y具有正相关关系 B.去除后的回归方程为y=1.2x+1.4C.去除后y的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点（2,3.75）的残差为0.05【答案】AB【详解】因为回归直线方程为y=1.5x+0.5，L50,所以变量x与3，具有正相关关系.故A正确.当工=3时，7=3xl.5+O.5=5,样本点为（3,5）,去掉两个数据点（1.2,2.2）和（4.8,7.8）后，样 本 点 还（3,5）,又因为去除后重新求得的回回直线/的斜率为1.2,所以 5=3xl.2+a,解得a=1.4.所以去除后的回归方程为y=1.2x+1.4,故B止确.因为1.5 1.2,所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C

46、错误.因为 y=L2x2+1.4=3.8，所以 y y=3.75 3.8=-0.0 5,故 D错误10.设 函 数/（力=5凶，g（x）a x2-x（a R）,若/g（l）=5,则 a=（）A.1 B.2 C.3 D.0【答案】BD【详解】由/（犬）=5凶，g（x）=a2-x（a e/?）,/g(l)=/(a T)=T=5,可得|。一1|=1,解得a =0 或 a =2.故选：B DJI1 1.已知函数，/a)=2s i a w z c o s x 的图象的一条对称轴为工二一二，贝 lj()6A.点(三,0)是函数，f(x)的一个对称中心B.函数f(x)在区间(万,左)上无最值C.函数，(x)

47、的最大值一定是4T T 5 万D.函数/(x)在区间(-9，兰)上单调递增【答案】A C D【详解】由题意，得/(x)=2s i n x-c o s x =j 4 +a 2 s i n(x-6),夕为辅助角，因为对称轴为 =一2，所以/(_ 马=_ 1-且。，即“+称=|_ 1-且“|,解得&=2班.6 6 2 2所以/(x)=4 s i n(x-5)；故/(?)=(),所以 A 正确；J T J T 5 7 又当 x =+2k.it(Z WZ),即当 X =-卜 2k 兀(Z WZ)时，3 2 6函数/(x)取得最大值4,所以B错误，C正确；-F 2k ji x F 2k it(/G Z)-

48、F I k it x 则下列说法正确的有()_ _ _ I _ 2 _ _ _._ _ _.2 _ _ _A.AE-AC +-AD B.D F-D B3 3 5C.(A B,A D)=D.而.而=|【答案】B C DG O 1 r对于选项 A：AE=AD+DE=AD+-D C =AD+-（A C-A b -A b +-A C,项A不正确；DF DE 2 _.2 _ 2 _ _对于选项B：易证）石尸所以=,所以。/=-F8=-DBBF AB 3 3 5选 项B正确；对于选项C：通.丽=一2,即（而+g而）（而-通）=-2,所以*2 1 一 2 1 2 1 -2 LILU1 L1L1UAD AB

49、A D-A B =-2,所以 1 A 6.AO x 4 =2,解得：AB ADcos例，码=高瑞=；,因为伊西目0,柯，所 以 何，到:故选项C正确；对于选项D：3 FBFC=-DB5（FD+DC=-（AB-AD -BD+AB故选,故1 -7t3=|（而-珂.（而-碉+通 卜|（通-利（I而+|同9 .2 .6-2 9 3 6 27=xAB-3 A B A D-XAD=x 4-=,故选项 D 正确.25 25 25 25 25 25 一故选：BCD三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.若s i n 32,则 sin 1 a 【答案】I解析】【分析】由已知利用两角差的正弦函

50、数公式可得sin a-c o sa=2Z，两边平方，由同角三角函数3基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解.【详解】.-sin a-.71.71=sin a cos-cos asm =当32,442 i 7 3得 sin a-cos a=?母3等式sina cosa=)&两边平方得l-sin2a=g,解得sin2a=!3 9 9故答案为：一914.若 函 数/(%)=万x2+lnx+tzx在(1,2)上存在两个极值点，贝i8(3a+/7+9)的取值范围是【答案】4,萼I 16【解析】【分析】先求导，设g(x)=/+。，把问题转化为g(x)在(1,2)上存在两个零点，设为冷且%声 W，再利

51、用韦达定理求解，代入b(3a+A+9),整理利用:次函数求取值范围即可.【详解】因为/(x)=!工2+lnx+公(x 0),所以/0）上 的点尸（毛,%）到焦点的距离为与+勺抛物线f =2 py（p 0）上的点P（%o,%）到焦点的距离 为%+|.16 .已知正方体A 5 C。A4G A的棱长为4,P是A4中点，过点4作平面。，满足C P_L平面a ,则平面a与正方体ABCD的 截 面 周 长 为.【答案】6 7 2 +4 7 5【解析】【详解】解：取中点E，A B中 点F，连接P O,*,EF,B】F ,B R ,A C,B D 如下图所小：因为E为A D中点，F为A B中点，则 E F/B

52、 D,B D H B.D,所以 E F B Q、,所 以E，F,Bi，D,四点共面.根据正方形性质可知C D _L平 面A D R A，而 Ku平面A。小,所以易得 DlD E=A D A P ,可知 N E Q D =N P D A,而 Z P D A+Z P D D =9 0，所以/印。+/2。/5 1 =9(T，即 P D V DXE.因为 CODPO=。，所 以 2E,平 面P D C,而 CPu 平 面P D C,所 以D y E L C PE为A D中点，F为A B中点，由正方形和正方体性质可知 所，A C,P A L E F，且 PAQAC=A,所以 瓦 ，平 面P A C,而

53、CPu 平 面P A C，所 以E F Y C P又因为 DE 工 C P ,D E c E F =E ,所 以 CPL平 面E F B R ,即 平 面E F B R 为 平 面a与正方体A6CO-ACQ 的截面，正 方 体A B C D-A Q D,棱 长 为4,所以 E F BtD的周长为：BiDl+DiE+E F +BlF=4拒74+*+2拒+依 S=4后+6叵故答案为：4 君+60.四、解答题：本题共6小题，共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)设等差数列%的前项和为S,已知邑=2%，54=2 4+4.(1)求数列 6,的通项公式；(2)令4=矢，设数

54、列 2 的前项和为(,，求证：T 所 以 小2.1 8.(1 2分)为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验4轮试验后，就停止试验.2 3 4甲、乙两种药的治愈率分别是和力(尸e j,-).3(1)若 =t,求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率；(2)已知A公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和(1 0/?-1)千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研

55、机构和A公司各承担该轮试验耗材总费用的5 0%；若甲药治愈，乙药未治愈，则4公司承担该轮试验耗材总费用的7 5%,其余由科研机构承担，若甲药未治愈，乙药治愈，则A公司承担该轮试验耗材总费用的2 5%,其余由科研机构承担.以A公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求4公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？【答案】生；1 440 0元.6 2 5【解析】【分析】(1)利用和事件的概率公式、独立事件的概率公式，结合独立重复试验概率公式进行求解即可；(2)设随机变量X为每轮试验A公司需要支付的试验耗材费用的取值，根据题意求出随机变量X的可能取值，以及相应的概率，列出分布列，计算数学期望，最后

56、利用二次函数的单调性进行求解即可.【详解】解析：(1)记事件A为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”，事件8为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”，事件C为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，则P厂，3 2.3 3.1 0 8C2(-x-)x(-x-)=P(C)=C (-x-)x C；(-x-)=2 5 5 2 5 5 6 2 5P(A)=P(B)+P(C)1 0 8 1 0 8 2 1 6-H-6 2 5 6 2 5 6 2 5(2)一次实验耗材总费用为(1 0 4+2)千元.设随机变量X为每轮试验A公司需要支付的试验耗材费用的取值,1 1 3则

57、 X=a(1 0 +2),-(1 0/?+2),彳(1 0 4+2)1 3P(X =-(1 0 +2)=-,1 7 2 3 1P(X =-(1 0 +2)=+=3 2P(X=(1 0/7 +2)=-(l-/7).X：(1 0夕 +2)$1 0 4+2)-3(1 0 +2)pI f23 1 3 1 1 9 3E(X)=-P(1 0/?+2)+(-p)(1 0/?+2)H (1 B)(1 0月 +2)D 4 3 3 Z D2 2 5令/(4)=_ 2 4 2+1 1 4+9=_ 3(4_ 1 1)2+啰，2 2 5 2 1 0 40i i3 4函数/(/?)的对称轴为：4=,所以/(4)在区间1

58、uL J J/min W =/(|)=y (千元)1 Q则A公司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为4 x 二即1 4 4 0 0元.1 9.(1 2分)在43。中，内角A,民。的对边分别为a,0,c/、s in C(1)求 一 的 值s in A(2)若co s B =L b =2 ,求A A B C的面积.4【答案】(1)竺 =2 (2)史s in A 4【解析】【分析】4-3 4 5 r上单调递增，7 2y =1 4.4 (千元)，心 co s A-2 co s c 2c-a.已知-=co s B b（1）正弦定理得边化角整理可得s in（A+B）=2 s in（B+C）,化简即得答案.

59、（2）由（1）知 工=2,结合题意由余弦定理可解得。=1 ,s in 8=15,从而计算出a s in A 4面积.（详解】由正弦定理得a=2/?s inA,b =2 Rs inb,c =2/?s in C,所以co s A-co s C _ 2c a _ 2 s in C-s in Aco s B b s in B即 s in B co s A-2 s in B co s C =2 s in C e o s B-s in A co s B即有s in（A+B）=2 s in（B+C）,即s in C =2 s in A所以犯 =2s in Ac s in C（2）山（1）知一=-=2,即 c

60、=2 a,a s in A又因为/?=2 ,所以由余弦定理得：h1=c +a1 2 t z cco sB H P 22 +a -2ax 2ax,解得 a=l,4所以c=2,又因为co s B =，所以s in B =5，4 4故 A A B C 的面积为-acs in B =-xl x2 x2 2叵二叵 4 42 0.（1 2分）如图，四棱锥P乂B C D的底面为正方形，平面平面A B C。，PA =PD.（1）求证：P D V AB-.（2）若直线PA与8 c所成角为四，求平面以。与平面P B C所成锐二面角的余弦值.4【答案】（1）证明见解析；（2）好.5【解析】【分析】(1)由面面垂直的

61、性质有A6_L平面以。，进而根据线面垂直的性质证明线线垂直；(2)A8 c的中点。，N,连接PO,O N,构建以0为坐标原点，04,ON,OP分别为x轴，y轴,z轴的空间直角坐标系，令A5=2即可标识出R C 5的坐标，再求二面角的两个半面的法向量，根据发向量夹角与二面角关系求二面角的余弦值即可.【详解】(I)、四棱锥P 7 8 c o的底面为正方形，.-.ABAE 又 ABi 面 A8CD,面/)_1_面43。),而 PADCl 血 A8co=AZ，.A3_L平面外，又P Z)u平面方D，P D A B(2)取AO,3 c的中点O,N,连接尸O,O N,则QW/AB,结 合 知ON _1_平

62、面 以。，因为Q4=P。有PO L A D，以0为坐标原点，。4,O N,。尸分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系ORZ,TT rr因为A 8 C且直线 附 与8 c所成的角为一，所以N PW =,又P A =P D，即4 4P O =AO,令 A B =2,则 P(O,O,1),C(T,2,0),B(l,2,0),所以CB=(2,0,0),CP=(l,-2,l).设沅=(x,y,z)是平面BPC的-个法向量,m-CB =O x=0则 一 ，即 c 八，取y=l,则Z=2,所以而=(0,1,2),而。=0 x-2y +z=0又力=(0,1,0)是平面P A D的一个法向量,所以,

63、cos =m-nm n 1 V5石xl-5旦所以，所 求 二 面 角 余 弦 值 为52 1.（1 2分）已知椭圆C：0 +g =l（a 8 O）的 离 心 率 为 走，其右顶点为A，下顶点为B,定点C（0,2）,A 4 B C的面积为3,过点。作与y轴不重合的直线/交椭圆C于P,Q两点，直线分别与x轴交于M,N两点.（1）求椭圆。的方程；（2）试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【答案】（1）工+：/=1；（2）是，理由见解析.4 -【解析】【分析】（1）求出。代入即可；设直线PQ的方程为丁 =履+2,p,。的坐标分别为尸（石/）,。（工2，%），求出M，xxx2N的横坐标，xM

64、-xN=（X+1）（%+1）左%/2+3&（芯+无2）+9,利用直线和椭圆联立,由韦达定理得为比2 =1216k,即可求出.【详解】由已知，43的坐标分别是43（）,8（0,一为由于人钻。的面枳为3,:.-(2+b)a =3,又由e=走 得a=2 b,2 2解得：b=,或 氏-3（舍去）,a=2,b-r2 椭圆方程 为 土+丁=1；4(2)设直线P Q的方程为y =k x+2,P,Q的坐标分别为P(玉,y),。(9，%)V.+1-X.则直线8尸的方程为y=一x-i,令y=o,得点M的横坐标x”=、%y +1此线5Q的方程为y二2y29+1x-l,令y =0,得点N的横坐标4%+1xx2 _ X

65、xX2(y +1)(为+1)(g +3)(5 +3)xx2k2xx2+3&(%+%)+9把直线丁 =履+2代入椭 圆 工+y 2=i得(1+4 2 2)/+16履+12 =04.1 .、_ ”，12 16k由韦达定理得芯2 =由 不+=一 立 充12-xM xN _ _1_2_ 1+44_82 _二_ _ _ _ _-_1_2_ _ _-_4_ _94+9曰+J3 6百 外 一 屋 心 值.U4FTMF+92 2.(12 分)2 2.设函数/(x)=e-as i nx-l.(jr JT 当X G-万,万 时，尸(力0,求实数”的取值范围；求证：存在正实数。，使得必(x)0总成立.【答案】8,缶

66、J；(2)证明见详解.【解析】【分析】求出导函数，分离参数可得令g(x)=,利用导数求出g(x)2n即可c os X c os X求解.(2)取。=；,令(x)=x-s i nx,利用导数证出X 0时，x 0,x s i nx,讨论X的取值范围，证明y =/(x)与y =，一;X 1之间的关系即可证明.【详解】V x e -万，51 /(x)=e*-ac os x 0,即/6(一今，3),a dC OS X j,x(.A V 2 s i n x+/、e(c os x+s i nx)I 4),g 3=-3-=-r-COS-X COS-X时，g x)。，XG时，g，(x)0,上递增,1 _ 1(2)取a=-2 ,则/(x)=e*-s i nx-1.2 2令(x)=x-s i nx,(x)=1-c os x,则/z(x)在R上单调递增.又(0)=0,故x v O时,/z(x)0时,(x)0,即x s i nx.x0时，/(x)/-g x-l,令/(x,ne-g x-l,%0 .Fx)=ex-0,故/(X)在 0,+8)递 增,因 此 产(%)2尸(0)=0,所以x0时，/(x)0,即 犷(x