剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)

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1、弯 曲第 9 章 9-4 求 惯 性 矩 的 平 行 移 轴 公 式 9-2 剪 力 图 和 弯 矩 图 的 进 一 步 研 究 9-3 弯 曲 正 应 力 9-6 梁 的 强 度 条 件 9-5 弯 曲 切 应 力 9-8 弯 曲 应 变 能 9-10 超 静 定 梁 9-7 挠 度 和 转 角 9-1 剪 力 和 弯 矩 剪 力 图 和 弯 矩 图 9-9 斜 弯 曲 材 料 力 学 发 展 大 事 记 梁 的 弯 曲 问 题 在 关 于 力 学 和 局 部 运 动 的 两 门 新 科 学 的 对 话 和 数 学 证明 一 书 中 ， 伽 利 略 讨 论 的 第 二 个 问 题 是 梁 的

2、 弯 曲 强 度 问题 。 按 今 天 的 科 学 结 论 ， 当 时 作 者 所 得 的 弯 曲 正 应 力 公 式并 不 完 全 正 确 ， 但 该 公 式 已 反 映 了 矩 形 截 面 梁 的 承 载 能 力和 bh2（ b、 h分 别 为 截 面 的 宽 度 和 高 度 ） 成 正 比 ， 圆 截 面 梁承 载 能 力 和 d3（ d为 横 截 面 直 径 ） 成 正 比 的 正 确 结 论 。 对 于空 心 梁 承 载 能 力 的 叙 述 则 更 为 精 彩 ， 他 说 ， 空 心 梁 “ 能 大大 提 高 强 度 而 无 需 增 加 重 量 ， 所 以 在 技 术 上 得 到 广

3、 泛 的 应用 。 在 自 然 界 就 更 为 普 遍 了 。 这 样 的 例 子 在 鸟 类 的 骨 骼 和各 种 芦 苇 中 可 以 看 到 ， 它 们 既 轻 巧 ， 而 又 对 弯 曲 和 断 裂 具有 相 当 高 的 抵 抗 能 力 ” 。 梁 在 弯 曲 变 形 时 ， 沿 长 度 方 向 的 纤 维 中 有 一 层 既 不 伸 长也 不 缩 短 者 ， 称 为 中 性 层 。 早 在 1620年 荷 兰 物 理 学 家 和 力 学家 比 克 门 （ Beeckman I） 发 现 ， 梁 弯 曲 时 一 侧 纤 维 伸 长 、 另一 侧 纤 维 缩 短 ， 必 然 存 在 既 不

4、 伸 长 也 不 缩 短 的 中 性 层 。 英 国科 学 家 胡 克 （ Hooke R） 于 1678年 也 阐 述 了 同 样 的 现 象 ， 但 他们 都 没 有 述 及 中 性 层 位 置 问 题 。 首 先 论 及 中 性 层 位 置 的 是 法国 科 学 家 马 略 特 （ Mariotte E, 1680年 ） 。 其 后 莱 布 尼 兹（ Leibniz G W） 、 雅 科 布 伯 努 利 （ Jakob Bernoulli，1694） 、 伐 里 农 （ Varignon D, 1702年 ） 等 人 及 其 他 学 者 的研 究 工 作 尽 管 都 涉 及 了 这 一

5、问 题 ， 但 都 没 有 得 出 正 确 的 结 论 。18世 纪 初 ， 法 国 学 者 帕 伦 （ Parent A） 对 这 一 问 题 的 研 究 取得 了 突 破 性 的 进 展 。 直 到 1826年 纳 维 （ Navier， C. L. M. H） 才 在 他 的 材 料 力 学 讲 义 中 给 出 正 确 的 结 论 ： 中 性 层 过 横 截 面 的 形 心 。 平 截 面 假 设 是 材 料 力 学 计 算 理 论 的 重 要 基 础 之 一 。 雅 科布 伯 努 利 于 1695年 提 出 了 梁 弯 曲 的 平 截 面 假 设 ， 由 此 可 以 证 明梁 （ 中

6、性 层 ） 的 曲 率 和 弯 矩 成 正 比 。 此 外 他 还 得 到 了 梁 的 挠 曲线 微 分 方 程 。 但 由 于 没 有 采 用 曲 率 的 简 化 式 ， 且 当 时 尚 无 弹 性模 量 的 定 量 结 果 ， 致 使 该 理 论 并 没 有 得 到 广 泛 的 应 用 。 梁 的 变 形 计 算 问 题 ， 早 在 13世 纪 纳 莫 尔 （ Nemore J de） 已 经 提 出 ， 此 后 雅 科 布 伯 努 利 、 丹 尼 尔 伯 努 利（ Daniel Bernoulli） 、 欧 拉 （ Euler L） 等 人 都 曾 经 研究 过 这 一 问 题 。 18

7、26年 纳 维 在 他 材 料 力 学 讲 义 中 得 出 了 正确 的 挠 曲 线 微 分 方 程 式 及 梁 的 弯 曲 强 度 的 正 确 公 式 ， 为 梁的 变 形 与 强 度 计 算 问 题 奠 定 了 正 确 的 理 论 基 础 。 俄 罗 斯 铁 路 工 程 师 儒 拉 夫 斯 基 （ ）于 1855年 得 到 横 力 弯 曲 时 的 切 应 力 公 式 。 30年 后 ， 他 的 同 胞 别斯 帕 罗 夫 （ ） 开 始 使 用 弯 矩 图 ， 被 认 为 是历 史 上 第 一 个 使 用 弯 矩 图 的 人 。 内 容 提 要剪 力 和 弯 矩 剪 力 图 和 弯 矩 图

8、9 1 剪 力 和 弯 矩 剪 力 图 和 弯 矩 图在 外 力 作 用 下 主 要 发 生 弯 曲 变 形 的 杆 件 称 为 梁 。a P A B一 、 梁 的 剪 力 （ FS ） 和 弯 矩 （ M ） 的 定 义 与 计 算mmx1、 用 截 面 法 求 横 截 面 上 的 内 力 FS用 截 面 法 假 想 地 在 横 截 面 mm处 把 梁 分为 两 段 ， 先 分 析 梁 左 段 。 xx mA my C a PA Bmmx00 FFy SA由 平 衡 方 程 得可 得 FS = FAFS 称 为 FA 可 得 M = FAx由 平 衡 方 程 0mC 0 xFM A M内 力

9、 偶 M 称 为 a PA Bmmx FS xx mA my CFA Ma PA Bmmx FS xx mA my CFA梁 在 弯 曲 变 形 时 ，横 截 面 上 的 内 力 有两 个 ， 即 ，结 论剪 力 FS弯 矩 M FSM其 上 剪 力 的 指 向 和 弯 矩的 转 向 则 与 取 右 段 梁 为研 究 对 象 所 示 相 反 。 MFS xx mA my CFA取 右 段 梁 为 研 究 对 象 。 Bmm FBP dx + （ 1） 剪 力 FS 的 符 号2、 FS 和 M 的 正 负 号 的 规 定剪 力 FS 使 梁 的 微 段 发 生 “ 左 上 右 下 ” 的 错

10、动 为 正 。F SFS或 使 考 虑 的 脱 离 体 有 顺 时 针 转 动 趋 势 的 剪 力 为 正 。 dx剪 力 FS 使 梁 的 微 段 发 生 “ 左 下 右 上 ” 的 错 动 为 负 。FSFS或 使 考 虑 的 脱 离 体 有 逆 时 针 转 动 趋 势 的 剪 力 为 负 。 +横 截 面 上 的 弯 矩 使 考 虑 的 脱 离 体 下 边 受 拉 ， 上 边 受 压 时 为 正 。（ 2） 弯 矩 符 号 （ 受 拉 ）M M（ 受 压 ） 横 截 面 上 的 弯 矩 使 考 虑 的 脱 离 体 上 边 受 拉 ， 下 边 受 压 时 为 负 。-（ 受 压 ） MM

11、（ 受 拉 ） 例 题 ： 求 外 伸 梁 1-1， 2-2， 3-3， 4-4 横 截 面 上 的 剪 力 和 弯 矩 。12K N.mA B2m 2m 2m 2K N11 22 33 44F BFA解 ： 求 支 座 反 力 ， 取 整 体 为 研 究 对 象 )(6),(4 KNFKNF BA 12K N.mA B2m 2m 2m 2K N11 2 33 44FBFA )(.8),(4 11 mKNMKNFSF A 11 M1FS1求 1-1 横 截 面 上 的 内 力 （ 假 设 剪 力 和 弯 矩 为 正 ） 。02,0 0,0 11 MFM FFF AC SAy 2 12K N.m

12、A B2m 2m 2m 2K N22 33 44FBFA mkNMkNFS .4 ,)(4 22 M2FS2求 2-2 横 截 面 上 的 内 力 （ 假 设 剪 力 和 弯 矩 为 正 ） 。FA 12K N.m22 11 )(.8),(4 11 mKNMKNFS 0122 0 0 0 22 MFM FFF AC SAy 12K N.mA B2m 2m 2m 2K N22 33 44FBFA mkNMkNF S ., 4 )(4 22 11 )(.8),(4 11 mKNMKNF S在 集 中 力 偶 两 侧 的 相 邻 横 截 面 上 , 剪 力 相 同 而 弯 矩 发 生 突 变 , 且

13、 突 变 值 等 于 外 集 中 力 偶 之 矩 . 12K N.mA B2m 2m 2m 2K N22 33 44FBFA 11 )(.4),(4 33 mKNMKNFS求 3-3 横 截 面 上 的 内 力 （ 假 设 剪 力 和 弯 矩 为 正 ） 。F A 12K N.m 33 M3FS3 0124 0 0 0 33 MFM FFF AC SAy 12K N.mA B2m 2m 2m 2K N22 33 44FBFA 11 )(.4),(4 33 mKNMKNFS求 4-4 横 截 面 上 的 内 力 （ 假 设 剪 力 和 弯 矩 为 正 ） 。M4 F S4 )(.4),(2 44

14、 mKNMKNFS 2K N44 12K N.mA B2m 2m 2m 2K N22 33 44FBFA 11 )(.4),(4 33 mKNMKNFS )(.4),(2 44 mKNMKNFS在 集 中 力 两 侧 的 相 邻 横 截 面 上 , 剪 力 发 生 突 变 , 且 突 变 值 等 于集 中 力 的 数 值 。 而 弯 矩 保 持 不 变 。 横 截 面 上 的 剪 力 在 数 值 上 等 于 此 横 截 面 的 左 侧 或 右侧 梁 段 上 所 有 竖 向 外 力 （ 包 括 斜 向 外 力 的 竖 向 分 力 ） 的代 数 和 。 外 力 正 负 号 的 规 定 与 剪 力

15、正 负 号 的 规 定 相 同 。求 剪 力 和 弯 矩 的 简 便 方 法剪 力 符 号 ： 当 截 面 上 的 剪 力 使 考 虑 的 脱 离 体 有 顺 时 针 转 动趋 势 时 的 剪 力 为 正 ； 反 之 为 负 。 横 截 面 上 的 在 数 值 上 等 于 此 横 截 面 的 左 侧 或 右 侧 梁段 上 的 外 力 （ 包 括 外 力 偶 ） 对 该 截 面 形 心 的 力 矩 之 代 数 和 。 外力 矩 的 正 负 号 规 定 与 弯 矩 的 正 负 号 规 定 相 同 。弯 矩 符 号 ： 当 横 截 面 上 的 弯 矩 使 考 虑 的 脱 离 体 凹 向 上 弯 曲

16、（ 下半 部 受 拉 ， 上 半 部 受 压 ） 时 ， 横 截 面 上 的 弯 矩 为 正 ； 反 之 凹 向下 弯 曲 （ 上 半 部 受 拉 ， 下 半 部 受 压 ） 为 负 。不 论 在 截 面 的 左 侧 或 右 侧 向 上 的 外 力 均 将 引 起 正 值 的 弯 矩 ， 而 向 下 的 外 力 则 引 起 负 值 的 弯 矩 。 熟 练 掌 握简 便 法 梁 的 不 同 截 面 上 的 内 力 是 不 同 的 ， 即 剪 力 和 弯 矩 是 随 截 面 的位 置 而 变 化 。 为 了 便 于 形 象 的 看 到 内 力 的 变 化 规 律 ， 通 常 是 将 剪 力 和 弯

17、 矩沿 梁 长 的 变 化 情 况 用 图 形 来 表 示 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 剪 力 图 和 弯 矩 图 都 是 函 数 图 形 ， 其 横 坐 标 表 示 梁 的 截 面 位 置 ，纵 坐 标 表 示 相 应 的 剪 力 和 弯 矩 。 剪 力 图 和 弯 矩 图 的 画 法 是 ： 先 列 出 剪 力 和 弯 矩 随 截 面 位 置 变化 的 函 数 式 ， 再 由 函 数 式 画 出 函 数 图 形 。二 、 列 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 ， 画 剪 力 图 和 弯 矩 图 弯 矩 : 正 值 弯 矩 画 在 x 轴 的 下 侧 ； 负 值 弯 矩 画 在 x 轴

18、 上 侧 。 剪 力 : 正 值 剪 力 画 在 x 轴 上 侧 ， 负 值 剪 力 画 在 x 轴 下 侧 。剪 力 图 和 弯 矩 图 即 Fs = Fs (x ) M = M（ x）*剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 ： 以 梁 的 左 端 点 为 坐 标 原 点 ， x 轴 与 梁的 轴 线 重 合 , 找 出 横 截 面 上 剪 力 和 弯 矩 与 横 截 面 位 置 的 关 系 , 这 种 关 系 称 为 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 。 绘 剪 力 图 和 弯 矩 图 的 基 本 方 法 ： 首 先 分 别 写 出 梁 的 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 ， 然 后

19、根 据 它 们 作 图 。 xM(x) M 图 的 坐 标系oxFs(x)F s 图 的 坐 标 系o 例 题 ： 图 示 为 一 受 均 布 荷 载 作 用 的 悬 臂 梁 。 试 作 此 梁 的 剪 力 图和 弯 矩 图 。 x l解 : 将 梁 在 任 意 x 处 用 横 截 面 截 开 , 取 左 段 为 研 究 对 象q xq MFS横 截 面 上 有 剪 力 和 弯 矩 , 假 设 均 为 正 值 x lq xq MFS根 据 研 究 对 象 的 平 衡 条 件 列 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程)0(21)( )0()( 2 lxqxxM lxqxxFS 括 号 里 的 不

20、等 式 说 明 对 应 的 内 力 方 程 所 使 用 的 区 段 。 x lq)0(21)( )0()( 2 lxqxxM lxqxxFS 剪 力 图 为 一 斜 直 线qllFFSS )( 0)0( FS x- ql弯 矩 图 为 二 次 抛 物 线qllM qllMM 2 221)( 81)2( 0)0( - ql 2/2l/2 ql2/8 xM x lqFS x- ql- ql 2/2l/2 ql2/8 xM qlM qlFS 2m axm ax, 21 2qlFF BA 解 ： 求 得 两 个 支 反 力例 题 ： 图 示 简 支 梁 ， 在 全 梁 上 受 集 度 为 q 的 均

21、布 荷 载 作 用 。试 作 此 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 。A Blq FBFA )0(22)( )0(2)( 2 lxqxqlxxM lxqxqlxFS 取 距 左 端 为 x 的 任 意 横 截 面 。 写 出 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 。A Blq FBFA x qxqlxF S 2)(剪 力 图 为 一 倾 斜 直 线 。绘 出 剪 力 图 。x = 0 处 ， 2qlF S x = l 处 ， 2qlF S +A Blq FBFA x 2ql2ql _ 22)( 2qxqlxxM 弯 矩 图 为 一 条 二 次 抛 物 线 。0)( 8)2( 0)0( 2 lM

22、 qllMMA Blq FBFA x 绘 出 弯 矩 图 +82ql2( ) (0 )2 2 2A x qlx qxM x F x qx x l A Blq FBFA x 梁 跨 中 截 面 上 的 弯 矩 值 为 最 大8 2qlM max但 此 截 面 上 ， FS = 02qlF S max,两 支 座 内 侧 横 截 面 上 剪 力绝 对 值 为 最 大A Blq FBFA x + 82ql2l2ql 2ql+ lPbFA解 ： 求 梁 的 支 反 力 lPaFB 例 题 : 图 示 的 简 支 梁 在 C 点 处 受 集 中 荷 载 P作 用 。 试 作 此 梁的 剪 力 图 和 弯

23、 矩 图 。 lPA BCa bFA FB 因 为 AC 段 和 CB 段 的 内 力 方 程 不 同 ， 所 以 必 须 分 段写剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 。 lPA BCa bFA FB lPA BCa bx AC段 ：FA FB)0( )( axlPbxFS )0( )( axxlPbxM lPA BCa bx x ( )( ) ( ) ( ) ( )s BPb PaF x P a x ll lPb PaM x F l x x P x a l x a x ll l CB段 ： FA FB lPA BCa bFA x1 x2lPbxFS )( 1 lPaxFS )( 2 Pb/l

24、 Pa/l+ - FB lPA BCa bx1 x2xlPbxM 11)( )()( 22 xllPaxM +Pab/lFA FB lPA BCa bx1 x2+ Pab/lPb/l Pa/l+ - 在 集 中 荷 载 作 用 处 的 左 、右 两 侧 截 面 上 剪 力 值 （ 图 ）有 突 变 。 突 变 值 等 于 集 中荷 载 P 。 弯 矩 图 形 成 尖 角 ，该 处 弯 矩 值 最 大 。 FA FB 例 题 : 试 作 简 支 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 .0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2m解 : 求 支 座 反 力FA FB )(6);(2 KNFK

25、NF BA 0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2mFA FB分 段 列 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程xAC段 : )2.00(2)( )2.00(2)( xxxFxM xFxF AAS )(6);(2 KNFKNF BA 0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2mFA FBxCB段 : )6.02.0(8.15)2.0(102122)( )6.02.0(10)2.0(102)( 22 xxxxxM xxxxFS x )(6);(2 KNFKNF BA 0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2mFA FBx)6.02.0(10)( xxxFS x)2.00

26、(2)( xxFS - 62剪 力 图 0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2mFA FBx x)6.02.0(8.15)( 2 xxxM )2.00(2)( xxxM 弯 矩 图AC段 为 斜 直 线 , CB段 为 二 次抛 物 线 .CB段 取 三 个 截 面 的 弯 矩 值0)6.0( 0.1)4.0( 6.1)2.0( MMM +- 1.60.40.4m 1.0 0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2mFA FB+- 1.60.4 - 62 mKNM KNFS .6.16m axm ax, 最 大 剪 力 位 于 B 支 座 稍 左 横截 面 上 .最 大 弯

27、 矩 位 于 集 中 力 偶 作 用处 稍 右 横 截 面 上 . 0.4mA BC2K N.m 10K N/m0.2mFA FB+- 1.60.4 - 62 集 中 力 偶 作 用 处 弯 矩 值 发 生 突变 , 突 变 值 等 于 集 中 力 偶 之 矩 . 以 集 中 力 、 集 中 力 偶 作 用 处 ， 分 布 荷 载 开 始 或 结 束 处 ，及 支 座 截 面 处 为 界 点 将 梁 分 段 。 分 段 写 出 剪 力 方 程 和 弯矩 方 程 ， 然 后 绘 出 剪 力 图 和 弯 矩 图 。取 梁 的 左 端 点 为 坐 标 原 点 ， x 轴 向 右 为 正 ； 剪 力

28、图 向上 为 正 ； 弯 矩 图 向 下 为 正 。 梁 上 集 中 力 作 用 处 左 、 右 两 侧 横 截 面 上 ， 剪 力 值（ 图 ） 有 突 变 ， 其 突 变 值 等 于 集 中 力 的 数 值 。 在 此 处 弯 矩 图则 形 成 一 个 尖 角 。梁 上 集 中 力 偶 作 用 处 左 、 右 两 侧 横 截 面 上 的 弯 矩 值（ 图 ） 也 有 突 变 ， 其 突 变 值 等 于 集 中 力 偶 矩 的 数 值 。 但 在此 处 剪 力 图 没 有 变 化 。 梁 上 的 最 大 剪 力 发 生 在 全 梁 或 各 梁 段 的 边 界 截 面 处 ；梁 上 的 最 大

29、 弯 矩 发 生 在 全 梁 或 各 梁 段 的 边 界 截 面 ，或 FS = 0的 截 面 处 。 总 结1. 截 面 法 求 指 定 截 面 上 的 剪 力 和 弯 矩 。2. 简 便 法 求 指 定 截 面 上 的 剪 力 和 弯 矩 。3. 列 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 ， 然 后 作 剪 力 图 和 弯矩 图 。4. 作 剪 力 图 和 弯 矩 图 的 几 条 规 律 。 重 点 、 难 点 1、 剪 力 和 弯 矩 符 号 的 规 定 2、 简 便 法 求 指 定 截 面 上 的 剪 力 和 弯 矩 3、 根 据 剪 力 方 程 和 弯 矩 方 程 作 剪 力 图和 弯 矩 图 。 作 业 ：9-1(c), (f) ; 9-3(c),(d), (e)