投影的形成及常用的投影方法

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1、2.1 投 影 的 形 成 及 常 用 的 投 影 方 法2.2点 、 线 、 面 的 投 影 2.3 几 何 元 素 的 相 对 位 置2.4 换 面 法2.5 体 的 投 影 及 三 视 图2.6 平 面 体 与 回 转 体 的 截 切2.7 两 立 体 相 交 2.2.1 点 的 投 影2.2.2 直 线 的 投 影2.2.3 平 面 的 投 影点 线 面 2.6.1 平 面 立 体 的 截 切2.6.2 回 转 体 体 的 截 切截 切 21 投 影 的 形 成 及 常 用 的 投 影 方 法投 影 方 法 中 心 投 影 法平 行 投 影 法 直 角 投 影 法 （ 正 投 影 法

2、）斜 角 投 影 法画 透 视 图 画 斜 轴 测 图画 工 程 图 样及 正 轴 测 图 中 心 投 影 法 投 射 中 心 、 物 体 、 投 影 面 三 者 之 间的 相 对 距 离 对 投 影 的 大 小 有 影 响 。度 量 性 较 差 投 影 特 性投 射 线投 射 中 心物 体投 影 面 投 影 物 体 位 置 改变 ， 投 影 大小 也 改 变 平 行 投 影 法 斜 角 投 影 法投 影 特 性投 影 大 小 与 物 体 和 投 影 面 之 间 的 距 离 无 关 。度 量 性 较 好工 程 图 样 多 数 采 用 正 投 影 法 绘 制 。投射线互相平行且垂直于投影面 投射

3、线互相平行且倾斜于投影面直 角 （ 正 ） 投 影 法 P bA P采 用 多 面 投 影 。 过 空 间 点 A的 投 射 线与 投 影 面 P的 交 点 即 为 点A在 P面 上 的 投 影 。 B1B2B3 点 在 一 个 投 影 面 上的 投 影 不 能 确 定 点 的 空间 位 置 。一 、 点 在 一 个 投 影 面 上 的 投 影 a2.2.1 点 的 投 影解 决 办 法 ？ H WV二 、 点 的 三 面 投 影投 影 面 正 面 投 影 面 （ 简 称 正 面 或 V面 ） 水 平 投 影 面 （ 简 称 水 平 面 或 H 面 ） 侧 面 投 影 面 （ 简 称 侧 面

4、或 W面 ）投 影 轴 oX ZOX轴 V面 与 H 面 的 交 线OZ轴 V面 与 W面 的 交 线OY轴 H 面 与 W面 的 交 线 Y三 个 投 影 面互 相 垂 直 WHV oX空 间 点 A在 三 个 投 影 面 上 的 投 影a 点 A的 正 面 投 影a 点 A的 水 平 投 影a 点 A的 侧 面 投 影空 间 点 用 大 写 字 母表 示 ， 点 的 投 影 用小 写 字 母 表 示 。 aaa A Z Y WVH X YZ OV H WAa aaxa az ay向 右 翻向 下 翻不 动投 影 面 展 开 a aZaa ya yaX Y YO az x X YZ OV H

5、 WAa aa点 的 投 影 规 律 : aa OX轴 aax= aaz=y=A到 V面 的 距 离aax= aay=z=A到 H 面 的 距 离aay= aaz=x=A到 W面 的 距 离xa az ay YZ az aX Y ayOaax aya aa OZ轴 aa ax 例 ： 已 知 点 的 两 个 投 影 ， 求 第 三 投 影 。 aaa ax az az解 法 一 : 通 过 作 45 线使 aaz=aax解 法 二 : 用 圆 规 直 接 量取 aa z=aax a 三 、 两 点 的 相 对 位 置 两 点 的 相 对 位 置 指 两点 在 空 间 的 上 下 、 前 后 、

6、左 右 位 置 关 系 。判 断 方 法 ： x 坐 标 大 的 在 左 y 坐 标 大 的 在 前 z 坐 标 大 的 在 上 baa a bb B点 在 A点 之前 、 之 右 、 之下 。 X YH YWZ 四 、 重 影 点 ： 空 间 两 点 在 某 一 投影 面 上 的 投 影 重 合 为 一点 时 ， 则 称 此 两 点 为 该投 影 面 的 重 影 点 。 A、 C为 H 面 的 重 影 点 a acc被 挡 住 的 投影 加 ( ) ( )A、 C为 哪 个 投影 面 的 重 影 点呢 ？a c aa a bbb 2.2.2直 线 的 投 影 两 点 确 定 一 条 直 线

7、， 将 两点 的 同 名 投 影 用 直 线 连 接 ，就 得 到 直 线 的 同 名 投 影 。 直 线 对 一 个 投 影 面 的 投 影 特 性一 、 直 线 的 投 影 特 性 A B a b直 线 垂 直 于 投 影 面投 影 重 合 为 一 点 积 聚 性 直 线 平 行 于 投 影 面投 影 反 映 线 段 实 长 ab=AB 直 线 倾 斜 于 投 影 面投 影 比 空 间 线 段 短 ab=ABcos A B a bAMBabm 直 线 在 三 个 投 影 面 中 的 投 影 特 性投 影 面 平 行 线 平 行 于 某 一 投 影 面 而与 其 余 两 投 影 面 倾 斜投

8、 影 面 垂 直 线 正 平 线 （ 平 行 于 面 ）侧 平 线 （ 平 行 于 面 ）水 平 线 （ 平 行 于 面 ）正 垂 线 （ 垂 直 于 面 ）侧 垂 线 （ 垂 直 于 面 ）铅 垂 线 （ 垂 直 于 面 ）一 般 位 置 直 线 与 三 个 投 影 面 都 倾 斜 的 直 线统 称 特 殊 位 置 直 线 垂 直 于 某 一 投 影 面 baab ab ba abba 投 影 面 平 行 线 在 其 平 行 的 那 个 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 长 ， 并 反 映 直 线 与 另 两 投 影 面 倾 角 的 实 大 。 另 两 个 投 影 面 上 的 投 影

9、平 行 于 相 应 的 投 影 轴 。水 平 线 侧 平 线正 平 线投 影 特 性 ：与 H 面 的 夹 角 : 与 V面 的 角 :与 W面 的 夹 角 : 实 长 实 长 实 长 b aaa b b 反 映 线 段 实 长 。 且 垂 直于 相 应 的 投 影 轴 。 投 影 面 垂 直 线铅 垂 线 正 垂 线 侧 垂 线 另 外 两 个 投 影 ， 在 其 垂 直 的 投 影 面 上 ， 投 影 有 积 聚 性 。投 影 特 性 : c(d)cd d caba(b) ab e fe f e(f) 一 般 位 置 直 线 投 影 特 性 ： 三 个 投 影 都 缩 短 。即 : 都 不

10、 反 映 空 间 线 段的 实 长 及 与 三 个 投 影 面夹 角 的 实 大 ， 且 与 三 根投 影 轴 都 倾 斜 。a bba ba 二 、 直 线 与 点 的 相 对 位 置 若 点 在 直 线 上 , 则点 的 投 影 必 在 直 线 的 同名 投 影 上 。 并 将 线 段 的同 名 投 影 分 割 成 与 空 间相 同 的 比 例 。 即 ： 若 点 的 投 影 有 一 个 不在 直 线 的 同 名 投 影 上 ， 则该 点 必 不 在 此 直 线 上 。判 别 方 法 ：AC/CB=ac/cb= ac / cb A BCV Hbcc ba a定 比 定 理 点 C不 在直

11、线 AB上例 1： 判 断 点 C是 否 在 线 段 AB上 。a bca bc c a bca b点 C在 直线 AB上 例 2： 判 断 点 K 是 否 在 线 段 AB上 。a b k 因 k不 在 a b上 ， 故 点 K 不 在 AB上 。应 用 定 比 定 理abkabk 另 一 判 断 法 ? 三 、 两 直 线 的 相 对 位 置空 间 两 直 线 的 相 对 位 置 分 为 ：平 行 、 相 交 、 交 叉 。 两 直 线 平 行 投 影 特 性 ： 空 间 两 直 线 平行 ， 则 其 各 同 名 投影 必 相 互 平 行 ， 反之 亦 然 。a V Hcb c dA B

12、C Db da a bc dca b d例 1： 判 断 图 中 两 条 直 线 是 否 平 行 。 对 于 一 般 位 置 直线 ， 只 要 有 两 个 同 名投 影 互 相 平 行 ， 空 间两 直 线 就 平 行 。AB/CD b dc ac badd bac 对 于 特 殊 位 置 直 线 ，只 有 两 个 同 名 投 影 互 相平 行 ， 空 间 直 线 不 一 定平 行 。求 出 侧 面 投 影 后 可 知 ：AB与 CD不 平 行 。例 2： 判 断 图 中 两 条 直 线 是 否 平 行 。 求 出 侧 面 投 影如 何 判 断 ？ HV A BC DKa bc dka bc

13、k d a bc d ba c dkk 两 直 线 相 交判 别 方 法 ： 若 空 间 两 直 线 相 交 ， 则 其 同 名 投 影 必相 交 ， 且 交 点 的 投 影 必 符 合 空 间 一 点 的 投影 规 律 。 交 点 是 两 直线 的 共 有 点 ca bba c dkk d例 ： 过 C点 作 水 平 线 CD与 AB相 交 。先 作 正 面 投 影 d baa bc dc 1(2 )3(4 ) 两 直 线 交 叉 投 影 特 性 ： 同 名 投 影 可 能 相 交 ，但 “ 交 点 ” 不 符 合 空 间一 个 点 的 投 影 规 律 。 “交 点 ” 是 两 直 线 上的

14、 一 对 重 影 点 的 投 影 ，用 其 可 帮 助 判 断 两 直 线的 空 间 位 置 。 、 是 面 的 重 影 点 ， 、 是 H 面 的 重 影 点 。 为 什 么 ？12 3 4 两 直 线 相 交 吗 ？ 两 直 线 垂 直 相 交 （ 或 垂 直 交 叉 ）直 角 的 投 影 特 性 ： 若 直 角 有 一 边 平 行 于 投 影 面 ， 则 它 在 该 投 影 面上 的 投 影 仍 为 直 角 。 设 直 角 边 BC/H 面因 BC AB, 同 时 BC Bb所 以 BC ABba平 面直 线 在 H 面 上 的 投 影 互 相 垂 直即 abc为 直 角因 此 bc a

15、b故 bc ABba平 面又 因 BC bcA B Ca b cHa cba b c. 证 明 ： da bca bc d例 ： 过 C点 作 直 线 与 AB垂 直 相 交 。AB为 正 平 线 , 正面 投 影 反 映 直 角 。. 小 结 点 与 直 线 的 投 影 特 性 ， 尤 其 是 特 殊 位 置 直 线 的 投 影 特 性 。 点 与 直 线 及 两 直 线 的 相 对 位 置 的 判 断 方 法 及 投 影 特 性 。 定 比 定 理 。 直 角 定 理 ， 即 两 直 线 垂 直 时 的 投 影 特 性 。重 点 掌 握 ： 一 、 点 的 投 影 规 律 a aZa ya

16、 yaX Y YO xa z a aa OX轴 aax= aaz=y=A到 V面 的 距 离aax= aay=z=A到 H 面 的 距 离aay= aaz=x=A到 W面 的 距 离 aa OZ轴 二 、 各 种 位 置 直 线 的 投 影 特 性 一 般 位 置 直 线三 个 投 影 与 各 投 影 轴 都 倾 斜 。 投 影 面 平 行 线 在 其 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 线 段 实 长及 与 相 应 投 影 面 的 夹 角 。 另 两 个 投 影 平 行 于 相应 的 投 影 轴 。 投 影 面 垂 直 线 在 其 垂 直 的 投 影 面 上 的 投 影 积 聚

17、为 一 点 。另 两 个 投 影 反 映 实 长 且 垂 直 于 相 应 的 投 影 轴 。 三 、 直 线 上 的 点 点 的 投 影 在 直 线 的 同 名 投 影 上 。 点 分 线 段 成 定 比 ， 点 的 投 影 必 分 线 段 的 投 影 成 定 比 定 比 定 理 。四 、 两 直 线 的 相 对 位 置 平 行 相 交 交 叉 （ 异 面 ） 同 名 投 影 互 相 平 行 。 同 名 投 影 相 交 ， 交 点 是 两 直 线 的 共 有 点 ，且 符 合 空 间 一 个 点 的 投 影 规 律 。 同 名 投 影 可 能 相 交 ， 但 “ 交 点 ” 不 符 合 空间

18、一 个 点 的 投 影 规 律 。 “ 交 点 ” 是 两 直 线 上 一对 重 影 点 的 投 影 。 五 、 相 互 垂 直 的 两 直 线 的 投 影 特 性 两 直 线 同 时 平 行 于 某 一 投 影 面 时 ， 在 该 投 影 面 上 的 投 影 反 映 直 角 。 两 直 线 中 有 一 条 平 行 于 某 一 投 影 面 时 ， 在 该 投 影 面 上 的 投 影 反 映 直 角 。 两 直 线 均 为 一 般 位 置 直 线 时 ， 在 三 个 投 影 面 上 的 投 影 都 不 反 映 直 角 。 直 角 定 理 2.2.3 平 面 的 投 影一 、 平 面 的 表 示

19、法 a b ca b c不 在 同 一直 线 上 的三 个 点 a b ca b c直 线 及线 外 一点 a b ca b c d d两 平 行 直线 a b ca b c 两 相 交直 线 a b ca b c平 面图 形 二 、 平 面 的 投 影 特 性平 行 垂 直 倾 斜投 影 特 性 平 面 平 行 投 影 面 -投 影 就 把 实 形 现 平 面 垂 直 投 影 面 -投 影 积 聚 成 直 线 平 面 倾 斜 投 影 面 -投 影 类 似 原 平 面 实 形 性类 似 性积 聚 性 平 面 对 一 个 投 影 面 的 投 影 特 性 平 面 在 三 投 影 面 体 系 中 的

20、 投 影 特 性平 面 对 于 三 投 影 面 的 位 置 可 分 为 三 类 ：投 影 面 垂 直 面 投 影 面 平 行 面一 般 位 置 平 面特 殊 位 置 平 面垂 直 于 某 一 投 影 面 ，倾 斜 于 另 两 个 投 影 面平 行 于 某 一 投 影 面 ，垂 直 于 另 两 个 投 影 面与 三 个 投 影 面 都 倾 斜 正 垂 面 侧 垂 面 铅 垂 面 正 平 面 侧 平 面 水 平 面 a b ca cb c b a 投 影 面 垂 直 面类 似 性 类 似 性积 聚 性 铅 垂 面投 影 特 性 ： 在 它 垂 直 的 投 影 面 上 的 投 影 积 聚 成 直线

21、。 该 直 线 与 投 影 轴 的 夹 角 反 映 空 间 平 面与 另 外 两 投 影 面 夹 角 的 大 小 。 另 外 两 个 投 影 面 上 的 投 影 有 类 似 性 。为 什 么 ？ 是 什 么 位 置的 平 面 ？ a b c a bca b c 投 影 面 平 行 面积 聚 性 积 聚 性实 形 性 水 平 面投 影 特 性 ：在 它 所 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 形 。 另 两 个 投 影 面 上 的 投 影 分 别 积 聚 成 与 相 应的 投 影 轴 平 行 的 直 线 。 a b c a cba b c 一 般 位 置 平 面 三 个 投 影

22、都 类 似 。投 影 特 性 ： 三 、 平 面 上 的 直 线 和 点判 断 直 线 在 平 面内 的 方 法 定 理 一若 一 直 线 过 平 面上 的 两 点 ， 则 此直 线 必 在 该 平 面内 。 定 理 二若 一 直 线 过 平 面 上 的一 点 ， 且 平 行 于 该 平面 上 的 另 一 直 线 ， 则此 直 线 在 该 平 面 内 。 平 面 上 取 任 意 直 线 a b cb ca a b cb ca dm nnm d例 1： 已 知 平 面 由 直 线 AB、 AC所 确 定 ， 试 在 平 面 内 任 作 一 条 直 线 。解 法 一 解 法 二 根 据 定 理 二

23、根 据 定 理 一有 多 少 解 ？有 无 数 解 。 例 2： 在 平 面 ABC内 作 一 条 水 平 线 ， 使 其 到 H 面 的 距 离 为 10mm。nm nm10 cab cab 唯 一 解 ！有 多 少 解 ？ 平 面 上 取 点 先 找 出 过 此 点 而 又 在 平 面 内 的 一 条 直 线 作为 辅 助 线 ， 然 后 再 在 该 直 线 上 确 定 点 的 位 置 。例 1： 已 知 K 点 在 平 面 ABC上 ， 求 K 点 的 水 平 投 影 。b a cca k b k 面 上 取 点 的 方 法 ： 首 先 面 上 取 线 a b ca bk cdk d利

24、用 平 面 的 积 聚 性 求 解 通 过 在 面 内 作 辅 助 线 求 解 b cka da d b c a da d b ck b c例 2： 已 知 AC为 正 平 线 ， 补 全 平 行 四 边 形 ABCD的 水 平 投 影 。解 法 一 解 法 二 2.3 几 何 元 素 的 相 对 位 置相 对 位 置 包 括 平 行 、 相 交 和 垂 直 。一 、 平 行 问 题 直 线 与 平 面 平 行 平 面 与 平 面 平 行包括 直 线 与 平 面 平 行定 理 ： 若 一 直 线 平 行 于 平 面 上 的 某 一 直线 ， 则 该 直 线 与 此 平 面 必 相 互 平 行

25、。 n a c b ma b c m n例 1： 过 M点 作 直 线 MN平 行 于 平 面 ABC。有 无 数 解有 多 少 解 ？ 正 平 线例 2： 过 M点 作 直 线 MN平 行 于 V面 和 平 面 ABC。 cba ma b cm n 唯 一 解n 两 平 面 平 行 若 一 平 面 上 的 两 相交 直 线 对 应 平 行 于 另一 平 面 上 的 两 相 交 直线 ， 则 这 两 平 面 相 互平 行 。 若 两 投 影 面 垂 直 面相 互 平 行 ， 则 它 们 具有 积 聚 性 的 那 组 投 影必 相 互 平 行 。 f ha bc d e f ha bc d ec

26、 fb d eaa b c d e f 二 、 相 交 问 题 直 线 与 平 面 相 交平 面 与 平 面 相 交 直 线 与 平 面 相 交 直 线 与 平 面 相 交 ， 其 交 点 是 直 线 与 平面 的 共 有 点 。要 讨 论 的 问 题 ： 求 直 线 与 平 面 的 交 点 。 判 别 两 者 之 间 的 相 互 遮 挡 关 系 ， 即 判 别 可 见 性 。 我 们 只 讨 论 直 线 与 平 面 中 至 少 有 一 个处 于 特 殊 位 置 的 情 况 。 a b cm nc nbam 平 面 为 特 殊 位 置例 ： 求 直 线 MN与 平 面 ABC的 交 点 K 并

27、 判 别 可 见 性 。空 间 及 投 影 分 析 平 面 ABC是 一 铅 垂 面 ，其 水 平 投 影 积 聚 成 一 条 直线 ， 该 直 线 与 mn的 交 点 即为 K 点 的 水 平 投 影 。 求 交 点 判 别 可 见 性由 水 平 投 影 可 知 ， K N段 在 平 面 前 ， 故 正 面 投影 上 kn为 可 见 。还 可 通 过 重 影 点 判 别 可 见 性 。k1(2) 作 图k 21 km(n)b mn cbaa c 直 线 为 特 殊 位 置 空 间 及 投 影 分 析 直 线 MN为 铅 垂 线 ， 其水 平 投 影 积 聚 成 一 个 点 ，故 交 点 K

28、的 水 平 投 影 也 积 聚在 该 点 上 。 求 交 点 判 别 可 见 性 点 位 于 平 面 上 ， 在前 ； 点 位 于 MN上 ， 在后 。 故 k 2为 不 可 见 。1(2)k 21 作 图 用 面 上 取 点 法 两 平 面 相 交 两 平 面 相 交 其 交 线 为 直 线 ， 交 线 是 两 平面 的 共 有 线 ， 同 时 交 线 上 的 点 都 是 两 平 面 的共 有 点 。要 讨 论 的 问 题 ： 求 两 平 面 的 交 线方 法 ： 确 定 两 平 面 的 两 个 共 有 点 。 确 定 一 个 共 有 点 及 交 线 的 方 向 。 只 讨 论 两 平 面

29、中 至 少 有 一 个 处 于 特殊 位 置 的 情 况 。 判 别 两 平 面 之 间 的 相 互 遮 挡 关 系 ， 即 ： 判 别 可 见 性 。 可 通 过 正 面 投 影直 观 地 进 行 判 别 。a b cd e f cfd b ea m(n) 空 间 及 投 影 分 析 平 面 ABC与 DEF都为 正 垂 面 ， 它 们 的 正 面 投影 都 积 聚 成 直 线 。 交 线 必为 一 条 正 垂 线 ， 只 要 求 得交 线 上 的 一 个 点 便 可 作 出交 线 的 投 影 。 求 交 线 判 别 可 见 性作 图 从 正 面 投 影 上 可 看 出 ，在 交 线 左 侧

30、 ， 平 面 ABC在 上 ， 其 水 平 投 影 可 见 。n m 能 否 不 用 重影 点 判 别 ？能 !如 何 判 别 ？例 ： 求 两 平 面 的 交 线MN并 判 别 可 见 性 。 b cf ha ea b ce f h1(2) 空 间 及 投 影 分 析 平 面 EFH 是 一 水 平 面 ， 它 的正 面 投 影 有 积 聚 性 。 ab与 ef的 交 点 m 、 b c与 f h的 交 点n即 为 两 个 共 有 点 的 正 面 投 影 ，故 mn即 MN的 正 面 投 影 。 求 交 线 判 别 可 见 性点 在 FH 上 ， 点 在 BC上 ，点 在 上 ， 点 在 下

31、 ， 故 fh可 见 ， n2不 可 见 。作 图m n 2n m 1 cd efa ba b cd ef 投 影 分 析 N点 的 水 平 投 影 n位 于 def的 外 面 ， 说明 点 N位 于 DEF所 确定 的 平 面 内 ， 但 不 位于 DEF这 个 图 形 内 。 所 以 ABC和DEF的 交 线 应 为 MK 。n nm k m k 互 交 小 结重 点 掌 握 ：二 、 如 何 在 平 面 上 确 定 直 线 和 点 。三 、 两 平 面 平 行 的 条 件 一 定 是 分 别 位 于 两 平 面 内 的 两 组 相 交 直 线 对 应 平 行 。四 、 直 线 与 平 面

32、 的 交 点 及 平 面 与 平 面 的 交 线 是 两 者 的 共 有 点 或 共 有 线 。解 题 思 路 ： 空 间 及 投 影 分 析 目 的 是 找 出 交 点 或 交 线 的 已 知 投 影 。 判 别 可 见 性 尤 其 是 如 何 利 用 重 影 点 判 别 。一 、 平 面 的 投 影 特 性 ， 尤 其 是 特 殊 位 置 平 面 的 投 影 特 性 。 要 点一 、 各 种 位 置 平 面 的 投 影 特 性 一 般 位 置 平 面 投 影 面 垂 直 面 投 影 面 平 行 面三 个 投 影 为 边 数 相 等 的 类 似 多 边 形 类 似 性 。在 其 垂 直 的

33、投 影 面 上 的 投 影 积 聚 成 直 线 积 聚 性 。另 外 两 个 投 影 类 似 。 在 其 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 形 实 形 性 。 另 外 两 个 投 影 积 聚 为 直 线 。 二 、 平 面 上 的 点 与 直 线 平 面 上 的 点一 定 位 于 平 面 内 的 某 条 直 线 上 平 面 上 的 直 线 过 平 面 上 的 两 个 点 。 过 平 面 上 的 一 点 并 平 行 于 该 平 面 上 的 某 条 直 线 。三 、 平 行 问 题 直 线 与 平 面 平 行 直 线 平 行 于 平 面 内 的 一 条 直 线 。 两 平 面 平

34、 行 必 须 是 一 个 平 面 上 的 一 对 相 交 直 线 对 应 平 行 于 另 一 个 平 面 上 的 一 对 相 交 直 线 。 四 、 相 交 问 题 求 直 线 与 平 面 的 交 点 的 方 法 一 般 位 置 直 线 与 特 殊 位 置 平 面 求 交 点 ， 利 用 交 点 的 共 有 性 和 平 面 的 积 聚 性 直 接 求 解 。 投 影 面 垂 直 线 与 一 般 位 置 平 面 求 交 点 ， 利 用 交 点 的 共 有 性 和 直 线 的 积 聚 性 ， 采 取 平 面 上 取 点 的 方 法 求 解 。 求 两 平 面 的 交 线 的 方 法 两 特 殊 位

35、 置 平 面 相 交 ， 分 析 交 线 的 空 间 位 置 ， 有 时 可 找 出 两 平 面 的 一 个 共 有 点 ， 根 据 交 线 的 投 影 特 性 画 出 交 线 的 投 影 。 一 般 位 置 平 面 与 特 殊 位 置 平 面 相 交 ， 可 利 用 特 殊 位 置 平 面 的 积 聚 性 找 出 两 平 面 的 两 个 共 有 点 ， 求 出 交 线 。 2.4 换 面 法一 、 问 题 的 提 出 如 何 求 一 般 位 置 直 线 的 实 长 ？ 如 何 求 一 般 位 置 平 面 的 真 实 大 小 ？ 换 面 法 ： 物 体 本 身 在 空 间 的 位 置 不 动

36、， 而 用 某一 新 投 影 面 （ 辅 助 投 影 面 ） 代 替 原 有 投 影面 ， 使 物 体 相 对 新 的 投 影 面 处 于 解 题 所 需要 的 有 利 位 置 ， 然 后 将 物 体 向 新 投 影 面 进行 投 射 。解 决 方 法 ： 更 换 投 影 面 。 V HA B a b a b二 、 新 投 影 面 的 选 择 原 则1. 新 投 影 面 必 须 对 空 间 物 体 处 于 最 有 利 的 解 题 位 置 。 平 行 于 新 的 投 影 面 垂 直 于 新 的 投 影 面2. 新 投 影 面 必 须 垂 直 于 某 一 保 留 的 原 投 影 面 ， 以 构 成

37、 一 个 相 互 垂 直 的 两 投 影 面 的 新 体 系 。Pa1b1 V HA a a axX 更 换 一 次 投 影 面 旧 投 影 体 系 X VH 新 投 影 体 系 P1HX1 A点 的 两 个 投 影 ： a， a A点 的 两 个 投 影 ： a， a1 新 投 影 体 系 的 建 立三 、 点 的 投 影 变 换 规 律X1P1a1ax1 VHX P1H X1 aa a1ax ax1. ax1 VHX P1H X1 aa a1V HA a axX X1P1a1ax1 新 旧 投 影 之 间 的 关 系 aa1 X1 a1ax1 = aax 点 的 新 投 影 到 新 投 影

38、 轴 的 距 离 等 于 被 代 替 的 投 影 到 原 投 影 轴 的 距 离 。 axa 一 般 规 律 ： 点 的 新 投 影 和 与 它 有 关 的 原 投 影 的 连 线 ， 必 垂 直 于 新 投 影 轴 。 . XVH aa ax更 换 H 面 求 新 投 影 的 作 图 方 法VHX P1H X1 由 点 的 不 变 投 影 向 新 投 影 轴 作 垂 线 ，并 在 垂 线 上 量 取 一 段 距 离 ， 使 这 段 距 离 等于 被 代 替 的 投 影 到 原 投 影 轴 的 距 离 。aa X1P1V a1ax ax1 ax1更 换 V面 a1作 图 规 律 ： . . 更

39、 换 两 次 投 影 面先 把 V面 换 成 平 面 P 1， P1H ， 得 到 中 间 新 投 影 体 系 : P1HX1 再 把 H 面 换 成 平 面 P2， P2 P1， 得 到 新 投 影 体 系 : X2 P1 P2 新 投 影 体 系 的 建 立 按 次 序 更 换AaV H aaxX X1P1a1ax1P2 X2 ax2a2 ax2 aaXVH 求 新 投 影 的 作 图 方 法 a2X1H P1 X2P1 P2 作 图 规 律 a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1a1axax1 . . V HA B a b a b四 、 换 面 法 的 四 个 基 本 问 题1.

40、把 一 般 位 置 直 线 变 换 成 投 影 面 平 行 线用 P1面 代 替 V面 ， 在 P1/H 投 影 体 系 中 ， AB/P1。X1HP1P1a1b1空 间 分 析 ： 换 H 面 行 吗 ？ 不 行 ！ 作 图 ：例 ： 求 直 线 AB的 实 长 及 与 H 面 的 夹 角 。 a ba bX VH新 投 影 轴 的 位 置 ？a1 b1与 ab平 行 。. a1 b1V H a aX B b b A2. 把 一 般 位 置 直 线 变 换 成 投 影 面 垂 直 线空 间 分 析 ： a ba bXVHX1H 1P1 P1 P2X2作 图 ：X1P1a1b1X2P2 二 次

41、 换 面 把 投 影 面 平 行 线 变 成 投 影 面 垂 直 线 。X2轴 的 位 置 ？a2b2 ax2 a2b2.与 a1b1垂 直一 次 换 面 把 直 线 变 成 投 影 面 平 行 线 ； 一 般 位 置 直 线 变 换成 投 影 面 垂 直 线 ， 需 经几 次 变 换 ？ a b ca b cdV HA B CDX d3. 把 一 般 位 置 平 面 变 换 成 投 影 面 垂 直 面 如 果 把 平 面 内 的 一 条 直 线 变 换 成 新 投 影 面 的 垂直 线 ， 那 么 该 平 面 则 变 换 成 新 投 影 面 的 垂 直 面 。 P1 X1c1 b1 a1d1

42、空 间 分 析 ： 在 平 面 内 取 一 条投 影 面 平 行 线 ， 经 一次 换 面 后 变 换 成 新 投影 面 的 垂 直 线 ， 则 该平 面 变 成 新 投 影 面 的垂 直 面 。作 图 方 法 ： 两 平 面 垂 直 需 满 足 什 么 条 件 ？能 否 只 进 行 一 次 变 换 ？ 思 考 ：若 变 换 H 面 ， 需 在 面内 取 什 么 位 置 直 线 ？正 平 线 ！ a b ca c bX VH例 ： 把 三 角 形 ABC变 换 成 投 影 面 垂 直 面 。H P1X1 作 图 过 程 ： 在 平 面 内 取 一 条 水 平 线 AD。 dd 将 AD变 换

43、成 新 投 影 面 的 垂 直 线 。d1a1d1c1 反 映 平 面 对 哪个 投 影 面 的 夹 角 ？. a1b1需 经 几 次 变 换 ？一 次 换 面 , 把 一 般 位 置 平 面 变 换 成 新 投 影 面 的 垂 直 面 ；二 次 换 面 ， 再 变 换 成 新 投 影 面 的 平 行 面 。 X2P1 P24. 把 一 般 位 置 平 面 变 换 成 投 影 面 平 行 面a b a c bX VH c作 图 ： AB是 水 平线空 间 分 析 ： a2c2b2c1X2轴 的 位 置 ？ 平 面 的 实 形.X1H P1.与 其 平 行 b1 距 离d d1X1H P1 X2

44、P1 P2 c2 d例 1： 求 点 C到 直 线 AB的 距 离 ， 并 求 垂 足 D。c c b aa bX VH 五 、 换 面 法 的 应 用 如 下 图 ： 当 直 线 AB垂 直 于 投 影 面 时 ， CD平行 于 投 影 面 ， 其 投 影 反 映实 长 。 AP B D Ccabd 作 图 : 求 C点 到 直 线 AB的 距 离 ，就 是 求 垂 线 CD的 实 长 。空 间 及 投 影 分 析 ： c1a1 a2b2d2过 c1作 线 平 行 于 x2轴 。. .如 何 确 定 d1点 的 位 置 ？ baa bc dc例 2： 已 知 两 交 叉 直 线 AB和 CD

45、的 公 垂 线 的 长 度 为 MN， 且 AB为 水 平 线 ， 求 CD及 MN的 投 影 。 M N m d a1b1m1 n1c1 d1n 空 间 及 投 影 分 析 ：VHX H P 1X1 圆 半 径 =MN n m 当 直 线 AB垂 直 于 投 影面 时 ， MN平 行 于 投 影 面 ，这 时 它 的 投 影 m1n1=MN,且m1n1 c1d1。 P 1 AC DN Mc1 d1a1m1b1n1 B 作 图 ：请 注 意 各 点 的 投影 如 何 返 回 ？求 m点 是 难 点 。 . . 空 间 及 投 影 分 析 ： AB与 CD都 平 行 于 投 影 面 时 ， 其

46、投 影的 夹 角 才 反 映 实 大 （ 60 ） ， 因 此 需 将 AB与 C点 所 确 定 的平 面 变 换 成 投 影 面 平 行 面 。例 3: 过 C点 作 直 线 CD与 AB相 交 成 60角 。 d X1H P1 X1P1P2a b a c bX VH c作 图 ： c2 c1a1b1 a2d2d b2 几 个 解 ？两 个 解 ！ 已 知 点 C是 等 边 三 角 形 的 顶 点 ， 另 两 个 顶 点 在 直 线 AB上 ，求 等 边 三 角 形 的 投 影 。思 考 ： 如 何 解 ？解 法 相 同 ！60 D点 的 投 影如 何 返 回 ？. . P2P1 X2H P

47、1X1cd bad ac b d1c1a1 d2b1 c2 a2 b2 VHX 例 4： 求 平 面 ABC和 ABD的 两 面 角 。空 间 及 投 影 分 析 ： 由 几 何 定 理 知 ： 两 面 角 为 两 平 面 同 时 与 第 三 平 面 垂 直 相 交时 所 得 两 交 线 之 间 的 夹 角 。 在 投 影 图 中 , 两 平 面 的 交 线 垂 直 于 投 影 面 时 ， 则 两 平 面垂 直 于 该 投 影 面 ， 它 们 的 投 影 积 聚 成 直 线 ， 直 线 间 的 夹 角 为所 求 。 . . 小 结 本 章 主 要 介 绍 了 投 影 变 换 的 一 种 常 用

48、 方 法 换 面 法 。一 、 换 面 法 就 是 改 变 投 影 面 的 位 置 ， 使 它 与 所 给 物 体 或 其 几 何 元 素 处 于 解 题 所 需 的 特 殊 位 置 。二 、 换 面 法 的 关 键 是 要 注 意 新 投 影 面 的 选 择 条 件 ， 即 必 须 使 新 投 影 面 与 某 一 原 投 面 保 持 垂 直 关 系 ， 同 时 又 有 利 于 解 题 需 要 ， 这 样 才 能 使 正 投 影 规 律 继 续 有 效 。三 、 点 的 变 换 规 律 是 换 面 法 的 作 图 基 础 ， 四 个 基 本 问 题 是 解 题 的 基 本 作 图 方 法 ，

49、必 需 熟 练 掌 握 。 换 面 法 的 四 个 基 本 问 题 ： 2. 把 一 般 位 置 直 线 变 成 投 影 面 垂 直 线1. 把 一 般 位 置 直 线 变 成 投 影 面 平 行 线3. 把 一 般 位 置 平 面 变 成 投 影 面 垂 直 面4. 把 一 般 位 置 平 面 变 成 投 影 面 平 行 面变 换 一 次 投 影 面变 换 一 次 投 影 面变 换 两 次 投 影 面变 换 两 次 投 影 面需 先 在 面 内 作 一 条 投 影 面 平 行 线 四 、 解 题 时 一 般 要 注 意 下 面 几 个 问 题 ： 分 析 已 给 条 件 的 空 间 情 况

50、， 弄 清 原 始 条 件 中 物 体 与 原 投 影 面 的 相 对 位 置 ， 并 把 这 些 条 件 抽 象 成 几 何 元 素 （ 点 、 线 、 面 等 ） 。 根 据 要 求 得 到 的 结 果 ， 确 定 出 有 关 几 何 元 素 对 新 投 影 面 应 处 于 什 么 样 的 特 殊 位 置 （ 垂 直 或 平 行 ） ， 据 此 选 择 正 确 的 解 题 思 路 与 方 法 。 在 具 体 作 图 过 程 中 ， 要 注 意 新 投 影 与 原 投 影 在 变 换 前 后 的 关 系 ， 既 要 在 新 投 影 体 系 中 正 确 无 误 地 求 得 结 果 ， 又 能

51、将 结 果 返 回 到 原 投 影 体 系 中 去 。 V WH2.5.1 体 的 投 影 及 三 视 图一 、 体 的 投 影 体 的 投 影 ， 实 质 上 是 构 成 该 体 的 所有 表 面 的 投 影 总 和 。 二 、 三 面 投 影 与 三 视 图1.视 图 的 概 念主 视 图 (front view) 体 的 正 面 投 影俯 视 图 (vertical view) 体 的 水 平 投 影左 视 图 (left view) 体 的 侧 面 投 影2.三 视 图 之 间 的 度 量 对 应 关 系 三 等 关 系主 视 俯 视 长 相 等 且 对 正主 视 左 视 高 相 等

52、且 平 齐俯 视 左 视 宽 相 等 且 对 应 长 高宽 宽长 对 正宽 相 等高 平 齐 视 图 就 是 将 物 体 向 投影 面 投 射 所 得 的 图 形 。 3.三 视 图 之 间 的 方 位 对 应 关 系 主 视 图 反 映 ： 上 、 下 、 左 、 右 俯 视 图 反 映 ： 前 、 后 、 左 、 右 左 视 图 反 映 ： 上 、 下 、 前 、 后上下左 右后前 上下 前后左 右 2.5.2基 本 体 的 形 成 及 其 三 视 图 常 见 的 基 本 几 何 体平 面 基 本 体 曲 面 基 本 体 点 的 可 见 性 规 定 ： 若 点 所 在 的 平 面 的 投

53、影可 见 ， 点 的 投 影 也 可 见 ； 若平 面 的 投 影 积 聚 成 直 线 ， 点的 投 影 也 可 见 。 由 于 棱 柱 的 表 面 都 是 平面 ， 所 以 在 棱 柱 的 表 面 上 取点 与 在 平 面 上 取 点 的 方 法 相同 。一 、 平 面 基 本 体1.棱 柱 棱 柱 的 三 视 图 棱 柱 面 上 取 点 aa a (b)b 棱 柱 的 组 成 b 由 两 个 底 面 和 几 个 侧 棱 面组 成 。 侧 棱 面 与 侧 棱 面 的 交 线叫 侧 棱 线 ， 侧 棱 线 相 互 平 行 。 在 图 示 位 置 时 ， 六 棱 柱 的 两底 面 为 水 平 面

54、 ， 在 俯 视 图 中 反 映实 形 。 前 后 两 侧 棱 面 是 正 平 面 ，其 余 四 个 侧 棱 面 是 铅 垂 面 ， 它 们的 水 平 投 影 都 积 聚 成 直 线 ， 与 六边 形 的 边 重 合 。 ( ) s s2.棱 锥 棱 锥 的 三 视 图 在 棱 锥 面 上 取 点 kk k b a ca b c a(c) bs n n 棱 锥 的 组 成 n 由 一 个 底 面 和 几 个侧 棱 面 组 成 。 侧 棱 线 交于 有 限 远 的 一 点 锥顶 。同 样 采 用 平 面 上 取 点 法 。 棱 锥 处 于 图 示 位 置 时 ，其 底 面 ABC是 水 平 面

55、， 在俯 视 图 上 反 映 实 形 。 侧 棱面 SAC为 侧 垂 面 ， 另 两 个侧 棱 面 为 一 般 位 置 平 。 圆 柱 面 的 俯 视 图 积 聚 成 一个 圆 ， 在 另 两 个 视 图 上 分 别 以两 个 方 向 的 轮 廓 素 线 的 投 影 表示 。二 、 回 转 体1.圆 柱 体 圆 柱 体 的 三 视 图 轮 廓 线 素 线 的 投 影 与 曲 面 的 可 见 性 的 判 断 圆 柱 面 上 取 点 aa a 圆 柱 面 上 与 轴 线 平 行 的 任一 直 线 称 为 圆 柱 面 的 素 线 。 圆 柱 体 的 组 成由 圆 柱 面 和 两 底 面 组 成 。

56、圆 柱 面 是 由 直 线 AA1绕 与它 平 行 的 轴 线 OO1旋 转 而 成 。 A1AOO1 直 线 AA1称 为 母 线 。 利 用 投 影的 积 聚 性 在 图 示 位 置 ， 俯 视 图 为 一圆 。 另 两 个 视 图 为 等 边 三角 形 ， 三 角 形 的 底 边 为 圆锥 底 面 的 投 影 ， 两 腰 分 别为 圆 锥 面 不 同 方 向 的 两 条轮 廓 素 线 的 投 影 。 圆 锥 面 是 由 直 线 SA绕 与它 相 交 的 轴 线 OO1旋 转 而成 。 S称 为 锥 顶 ， 直 线 SA称为 母 线 。 圆 锥 面 上 过 锥 顶的 任 一 直 线 称 为

57、 圆 锥 面 的素 线 。 O1O 圆 锥 体 的 组 成 s s2.圆 锥 体 圆 锥 体 的 三 视 图 轮 廓 线 素 线 的 投 影 与 曲 面 的 可 见 性 的 判 断 圆 锥 面 上 取 点 k 辅 助 直 线 法 辅 助 圆 法 (n)s n k (n) k 由 圆 锥 面 和 底 面 组 成 。 SA如 何 在 圆 锥 面上 作 直 线 ？过 锥 顶 作一 条 素 线 。圆 的 半 径 ？ 三 个 视 图 分 别 为 三个 和 圆 球 的 直 径 相 等 的圆 ， 它 们 分 别 是 圆 球 三个 方 向 轮 廓 线 的 投 影 。3.圆 球 圆 母 线 以 它 的 直径 为

58、 轴 旋 转 而 成 。 圆 球 的 三 视 图 轮 廓 线 的 投 影 与 曲 面 可 见 性 的 判 断 圆 球 面 上 取 点 k辅 助 圆 法 k k 圆 球 的 形 成 圆 的 半 径 ？ 2.6 平 面 体 及 回 转 体 的 截 切截 切 ： 用 一 个 平 面 与 立 体 相 交 ， 截 去 立 体 的 一部 分 。 截 平 面 用 以 截 切 物 体 的 平 面。 截 交 线 截 平 面 与 物 体 表 面 的 交 线 。 截 断 面 因 截 平 面 的 截 切 ， 在 物 体 上 形 成 的 平 面 。讨 论 的 问 题 ： 截 交 线 的 分 析 和 作 图 。 2.6.

59、1 平 面 体 的 截 切一 、 平 面 截 切 的 基 本 形 式 截 交 线 是 一 个 由 直 线 组 成 的 封 闭 的 平 面 多 边 形 ， 其 形 状 取 决 于 平 面 体 的 形 状 及 截 平 面 对 平 面 体 的 截 切 位 置 。 截 交 线 的 每 条 边 是 截 平 面 与 棱 面 的 交 线 。求 截 交 线 的 实 质 是 求 两 平 面 的 交 线截 交 线 的 性 质 ： 二 、 平 面 截 切 体 的 画 图 求 截 交 线 的 两 种 方 法 ： 求 各 棱 线 与 截 平 面 的 交 点 棱 线 法 。 求 各 棱 面 与 截 平 面 的 交 线 棱

60、 面 法 。关 键 是 正 确 地 画 出 截 交 线 的 投 影 。 求 截 交 线 的 步 骤 ： 截 平 面 与 体 的 相 对 位 置 截 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置 确 定 截 交 线的 投 影 特 性确 定 截 交线 的 形 状 空 间 及 投 影 分 析 画 出 截 交 线 的 投 影 分 别 求 出 截 平 面 与 棱 面的 交 线 ， 并 连 接 成 多 边 形 。 例 1： 求 四 棱 锥 被 截 切 后 的 俯 视 图 和 左 视 图 。3 21(4) 1 2 4 31 24 空 间 分 析交 线 的 形 状 ？3 投 影 分 析 求 截 交 线 分 析

61、棱 线 的 投 影 检 查 尤 其 注 意 检 查 截 交 线 投 影 的 类 似 性截 平 面 与 体 的几 个 棱 面 相 交？截 交 线 在 俯 、左 视 图 上 的 形状 ？ 例 1： 求 四 棱 锥 被 截 切 后 的 俯 视 图 和 左 视 图 。我 们 采 用 的 是哪 种 解 题 方 法？棱 线 法 ！ 例 2： 求 四 棱 锥 被 截 切 后 的 俯 视 图 和 左 视 图 。121(2) 、 两 点 分 别同 时 位 于 三 个 面上 。 三 面 共 点 ：2 1 注 意 ：要 逐 个 截 平 面 分 析 和 绘 制截 交 线 。 当 平 面 体 只 有 局部 被 截 切

62、时 ， 先 假 想 为 整体 被 截 切 ， 求 出 截 交 线 后再 取 局 部 。 例 2： 求 四 棱 锥 被 截 切 后 的 俯 视 图 和 左 视 图 。 例 3: 求 八 棱 柱 被 平 面 P截 切 后 的 俯 视 图 。P 截 交 线 的 形 状 ？ 15 43 287 6 截 交 线 的 投 影特 性 ？2 3 6 71 8 4 5 求 截 交 线 1 5476328 分 析 棱 线 的投 影检 查 截 交线 的 投 影 例 3: 求 八 棱 柱 被 平 面 P截 切 后 的 俯 视 图 。 2.6.2 回 转 体 的 截 切一 、 回 转 体 截 切 的 基 本 形 式截

63、交 线 的 性 质 ： 截 交 线 是 截 平 面 与 回 转 体 表 面 的 共 有 线 。 截 交 线 的 形 状 取 决 于 回 转 体 表 面 的 形 状 及 截 平 面 与 回 转 体 轴 线 的 相 对 位 置 。 截 交 线 都 是 封 闭 的 平 面 图 形 。 二 、 求 平 面 与 回 转 体 的 截 交 线 的 一 般 步 骤 空 间 及 投 影 分 析 分 析 回 转 体 的 形 状 以 及 截 平 面 与 回 转 体 轴 线 的 相 对 位 置 ， 以 便 确 定 截 交 线 的 形 状 。 分 析 截 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置 ， 明 确 截 交

64、线 的 投 影 特 性 ， 如 积 聚 性 、 类 似 性 等 。 找 出 截 交 线 的 已 知 投 影 ， 予 见 未 知 投 影 。 画 出 截 交 线 的 投 影当 截 交 线 的 投 影 为 非 圆 曲 线 时 ， 其 作 图 步 骤 为 ： 将 各 点 光 滑 地 连 接 起 来 ， 并 判 断 截 交 线 的 可 见 性 。 先 找 特 殊 点 ， 补 充 中 间 点 。 圆 柱 体 的 截 切 截 平 面 与 圆 柱 面 的 截 交 线 的 形 状 取 决 于截 平 面 与 圆 柱 轴 线 的 相 对 位 置垂 直圆 椭 圆 平 行两 平 行 直 线倾 斜PV PPV P PV

65、 P 例 1： 求 左 视 图 空 间 及 投 影 分 析 求 截 交 线 分 析 圆 柱 体 轮 廓 素 线 的 投 影截 平 面 与 体 的 相 对 位 置截 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置 解 题 步 骤 ： 同 一 立 体 被 多个 平 面 截 切 ， 要 逐个 截 平 面 进 行 截 交线 的 分 析 和 作 图 。 例 1： 求 左 视 图 空 间 及 投 影 分 析 求 截 交 线 分 析 圆 柱 体 轮 廓 素 线 的 投 影截 平 面 与 体 的 相 对 位 置截 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置解 题 步 骤 ： 例 2： 求 左 视 图 例 2： 求

66、 左 视 图 例 3： 求 俯 视 图 例 3： 求 俯 视 图 截 交 线 的 已 知 投 影 ？ 例 4： 求 左 视 图 找 特 殊 点 补 充 中 间 点 光 滑 连 接 各 点 分 析 轮 廓 素 线 的 投 影截 交 线 的 侧 面 投影 是 什 么 形 状 ？截 交 线 的空 间 形 状？ 例 4： 求 左 视 图 找 特 殊 点 找 中 间 点 光 滑 连 接 各 点 分 析 轮 廓 素 线 的 投 影 椭 圆 的 长 、短 轴 随 截 平 面 与圆 柱 轴 线 夹 角 的变 化 而 改 变 。45 什 么 情 况 下投 影 为 圆 呢？截 平 面 与 圆 柱轴 线 成 45 时。 例 5： 求 左 视 图例 ： 求 左 视 图 虚 实 分 界 点 圆 锥 体 的 截 切 根 据 截 平 面 与 圆 锥 轴 线 的 相对 位 置 不 同 ， 截 交 线 有 五 种 形 状。 过 锥 顶两 相 交 直 线PV圆 PV = 90 PV 椭 圆 抛 物 线 PV = 双 曲 线PV = 0 例 : 圆 锥 被 正 垂 面 截 切 ， 求 截 交 线 ， 并 完 成 三 视 图