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1、 5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理ABCcba先利用平面几何知识来研究这个问题？先利用平面几何知识来研究这个问题？在在RtABC中，若中，若BC=a,AC=b,AB=c.则则sinA=()sinB=()sinC=()c=c=c=1问题：问题：在任意三角形中，上式能否继续成立？在任意三角形中，上式能否继续成立？同理可得：同理可得：SABC=BACcab在在ABC中，若中，若BC=a,AC=b,AB=c，作作AC边的高边的高BD，在在RtADB中中 sinA=cBDDBD=c.sinA SABC=设设BB12，则有：，则有：BAB1=90，C
2、=B1 在在ABC中，已知中，已知BC=a,AC=b,AB=c，BACcba作作ABC的外接圆，圆心为，的外接圆，圆心为，连接连接BO并延长交圆于并延长交圆于 B1,连接连接AB1.oB1 sinC=sinB1=同理可得同理可得:=再利用向量的方法来研究这个问题：再利用向量的方法来研究这个问题：1向量的数量积向量的数量积 ，为向量为向量a 与与b 的夹角的夹角 如何构造向量及等式？如何构造向量及等式？jACB在在锐角锐角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 .等式等式怎样建立三角形中边和角间的关系？怎样建立三角
3、形中边和角间的关系？即即同理，过同理，过C作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得2 5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理 在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？入单位向量？怎样取数量积？同样可证得：同样可证得：ACBj在在钝角钝角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 .等式等式 .在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即相等，即正弦定理正弦定理正弦定理的变形
4、形式正弦定理的变形形式:1 RCcBbAa2sinsinsin=23 a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC4 a:b:c=sinA:sinB;sinC5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？2 已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。1 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；ABCabcABCacb5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理问题问题 如图，如图，在河岸一侧有在河岸一
5、侧有 中，已知中，已知 ，求，求b（保保留两个有效数字）留两个有效数字）.解：解：且且5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理例题讲解例题讲解解：由解：由 得得 在在 中中 A 为锐角为锐角 例例2 在在 中，已知中，已知 ，求，求 。5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理例题讲解例题讲解 例例3 在在 中，中，求，求 的面积的面积S hABC三角形面积公式三角形面积公式解：解：由正弦定理得由正弦定理得 5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理练习：练习：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（）C（2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是()A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形D5.9 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理练习：练习：（3）在任一）在任一 中，求证：中，求证：证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 左边左边 代入左边得：代入左边得：等式成立等式成立=右边右边
正弦定理余弦定理1
