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1、第四节、一阶微分方程应用举例一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量代换因变量代换某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 例1. 求下列方程的通解;01)1( 32 xyeyy提示: (1) ,33 xyxy eee 因故为分离变量方程:通解;)2( 22 yyxyx ;2 1)3( 2yxy .23 36)4( 32 23 yyx yxxy xeyey xy
2、dd32 Cee xy 331 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时x yyxyx 22)2(时，0 x 21 uux 21 uux xyxyy 21 xyxyy 21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,22 1)3( yxy ,2dd 2yxyx 用线性方程通解公式求解 .化为 32 23 23 36)4( yyx yxxy 方法 1 这是一个齐次方程 .方法 2 化为微分形式 0d)23(d)36( 3223 yyyxxyxx故这是一个全微分方程 . xyu令xQyxyP 6 例2. 求下列方程的通解: )lnln()1( yxyyyx 提示: (1
3、)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(dln2)2( 2 xxyyyxx yyx xyxy 22 363)3( 22 0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy uxuxu lndd )(ln)( yxyyx xyyxxxy 2ln2 1dd 3 (贝努里方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为 令 y = u tyyx xyxy 22 363)3( 22 )1(2 )1(3dd 22 xy yxxy (齐次方程)yt ytty 23dd 22 令 t = x 1 , 则tyxttyxy dddddddd 可分离变量方程求解化方程为 0d)31(d)3()4(
4、 22 yyxxyxy变方程为yxxy dd2 两边乘积分因子2 y 0)dd(3dd 2 yxxyyyxx用凑微分法得通解: Cyxyx 321 12 0)dd(3 2 yxxyy 例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件: ,0)0(),()(),()( fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解: (1) )()()()()( xgxfxgxfxF )()( 22 xfxg )()(2)()( 2 xgxfxfxg )(2)2( 2 xFex 所以F(x) 满
5、足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()( xexgxf (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 CxeeexF xxx d4)( d22d2 Cxee xx d4 42代入上式，将0)0()0()0( gfF 1C得于是 xx eexF 22)( xexFxF 24)(2)( xx Cee 22 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O , h提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b
6、 P求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 ),( ab )0,(aa aby xAo则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为 定解条件 a由此得微分方程yxvvyx dd yxyb yxa 22即v鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考P273例3 ).0hyxyxdd yxyxba 12 ( 齐次方程 )b0PObb ,dd,dd tytxvbav h P aby xAo2222 , yx ybyx xb 2222 , yx yyx x 思考: 能否根据草图列方程? ),( yxMy xo练习题:1、 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点
7、的横坐标 , 求它的方程 .提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),)( xXyyY 令 X = 0, 得截距,xyyY 由题意知微分方程为xxyy 即11 yxy定解条件为.11 xy yxx tan此点处切线方程为它的切线在纵 、 已知某车间的容积为,m63030 3,CO%12.0 2的其中含的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空2CO气中的含量不超过 0.06 % ?提示: 设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含 2CO,m3x为则在, ttt 内车间内2COx两端除以 ,t并令0t25005400dd kxktx 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )得微分方程tk 10004.0 txk 5400 5400( 假定输入的新鲜空气 2CO%04.0现以含输入 , 的改变量为 t = 30 时5406.0540010006.0 x2504ln180 k 25005400dd kxktx 5412.00 tx解定解问题)04.008.0(54 5400 tkex因此每分钟应至少输入 250 3m新鲜空气 .初始条件540010012.00 tx 5412.0 得 k = ? 作业 P162 1、 、
一阶微分方程应用举例
