《全微分打印》PPT课件

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1、1. 偏 导 数 的 概 念 及 有 关 结 论 定 义 ; 记 号 ; 几 何 意 义 函 数 在 一 点 偏 导 数 存 在 函 数 在 此 点 连 续 混 合 偏 导 数 连 续 与 求 导 顺 序 无 关2. 偏 导 数 的 计 算 方 法 求 一 点 处 偏 导 数 的 方 法 先 代 后 求 (复 杂 时 )如 P69 4先 求 后 代利 用 定 义 求 高 阶 偏 导 数 的 方 法 逐 次 求 导 法 、(与 求 导 顺 序 无 关 时 , 应 选 择 方 便 的 求 导 顺 序 ) 9.2内 容 回 顾 公 式 法 在 原 点 的 各 偏 导 数 是 否 存 在 ？ 0,0

2、0,),( 22 2222 yx yxyx yxyxfz讨 论 ： 是 否 连 续 ？2 显 然 0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx yxyxfz (0,0)xf (0,0)yf 00 ( ( ,0) 0)f x ( (0, ) 0)f y 求 的 一 阶 偏 导 数 及解 : 2 2 0 x y 当 时 , ( , )xf x y 2 22 2 2( )( )y y xx y( , )yf x y 2 22 2 2( )( )x x yx y(0,0)xxf 及 (0,0)点 处 的 二 阶 偏 导 数 .0 (0 ,0) (0,0)lim x xx f x fx 0, (0

3、,0) 0yyf 同 理(0,0)xyf (0,0)yxf 不 存 在 与而 显 然 (0,0)xf (0,0)yf 00 ( ( ,0) 0)f x ( (0, ) 0)f y 解 : 2 2 0 x y 当 时 , ( , )xf x y 2 22 2 2( )( )y y xx y( , )yf x y 2 22 2 2( )( )x x yx y(0,0)xxf 0 (0 ,0) (0,0)lim x xx f x fx 0,(0,0)xyf 0 (0,0 ) (0,0)lim x xy f y fy 10lim yy y 不 存 在 ,(0,0)yxf 0 (0 ,0) (0,0)l

4、im y yx f x fx 10lim xx x 不 存 在 ,(0,0) yyf 0 (0,0 ) (0,0)lim y yy f y fy 0. 第 九 章 *二 、 全 微 分 在 数 值 计 算 中 的 应 用 (简 介 ) 应 用 一 元 函 数 y = f (x) 的 微 分 )( xoxAy xxfy )(d 近 似 计 算本 节 内 容 :一 、 全 微 分 的 定 义 9.3 全 微 分 一 、 全 微 分 的 定 义 定 义 : 如 果 函 数 z = f ( x, y )在 定 义 域 D 的 内 点 ( x , y ),(),( yxfyyxxfz 可 表 示 成,)

5、(oyBxAz 其 中 A , B 不 依 赖 于 x , y , 仅 与 x , y 有 关 ，称 为 函 数 ),( yxf在 点 (x, y) 的 全 微 分 , 记 作 yBxAfz dd若 函 数 在 域 D 内 各 点 都 可 微 , 22 )()( yx 则 称 函 数 f ( x, y ) 在 点 ( x, y) 可 微 ，处 全 增 量 则 称 此 函 数 在 D 内 可 微 . A x B y (2) 偏 导 数 连 续 ),(),( yxfyyxxfz )()(lim0 oyBxA 下 面 两 个 定 理 给 出 了 可 微 与 偏 导 数 的 关 系 :(1) 函 数

6、可 微函 数 z = f (x, y) 在 点 (x, y) 可 微由 微 分 定 义 得 可 微 必 连 续 :0lim z 0函 数 在 该 点 连 续偏 导 数 存 在 函 数 可 微 则 定 理 1(必 要 条 件 )若 函 数 z = f (x, y) 在 点 (x, y) 可 微 ,则 该 函 数 在 该 点 偏 导 数 yzxz , yyzxxzz d( , ) ( , )xz f y f y xz同 理 可 证 .z By 证 : 由 全 增 量 公 式 ,)(oyBxAz ,0y令)( xoxA 必 存 在 ,且 有得 到 对 x 的 偏 增 量 xx xxzxx 0lim

7、A 另 也 必 连 续 反 例 : 函 数 ),( yxf易 知 fx(0,0)= fy(0,0)=0注 意 : 定 理 1 的 逆 定 理 不 成 立 .偏 导 数 存 在 函 数 不 一 定 可 微 !即 : 2 20, 0 x y 我 们 已 知 道 函 数 f(x,y)在 (0,0)处 不 连 续 ,则 当 然 不 可 微 .2 22 2 , 0 xy x yx y ( , ) xf yx y 定 理 2 (充 分 条 件 ) yzxz ,证 ： ),(),( yxfyyxxfz )1,0( 21 xyxfx ),( yyyxfy ),( 2 xyyxxfx ),( 1 ( , )f

8、yx y ( , )f x y ( , )yf yx yyxfy ),(若 函 数 ),( yxfz 的 偏 导 数,),(连续在点yx 则 函 数 在 该 点 可 微 . lim 0 lim 0, ( , ) ( , )=f a f ab c( ) ( )f a f b 2( , ( ) ( )f a c b c b c ( ( ) ( )f b a b a b z yyxfxyxf yx ),(),( yyxfxyxfz yx ),(),(x y 所 以 函 数 ),( yxfz ),( yx yx 在 点 可 微 . lim 0 lim 0, 注 意 到故 有 )(o0 例 如 考 查

9、函 数 ),( yxf易 知 (0,0) (0,0) 0,x yf f 函 数 在 点 (0,0)也 连 续 ,但定 理 3 (可 微 的 充 要 条 件 )! 0, 2222 yxyx yx 0,0 22 yx0 0 0 00lim ( , ) ( , ) / 0 x yz f x y x f x y y (0,0) (0,0) x yz f x f y 因 此 ,函 数 在 点 (0,0) 不 可 微 .)(o 22 )()( yx yx 0 (0,0) (0,0) x yz f x f y 在 原 点 ： 偏 导 数 是 否 存 在 ？ 0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx

10、 yxyxfz讨 论 ： 是 否 连 续 ？ 是 否 可 微 ？2 )0,0()0,0( yfxfz yx 22 2( )( ) ( )x yx y 22 2( )( ) ( )x yx y 3222 2( )( ) ( ) x yx y 2cos sin 0.所 以 不 可 微 . xxu推 广 : 类 似 可 讨 论 三 元 及 三 元 以 上 函 数 的 可 微 性 问 题 .例 如 , 三 元 函 数 ),( zyxfu ud习 惯 上 把 自 变 量 的 增 量 用 微 分 表 示 ,ud记 作 dx u 故 有 下 述 叠 加 原 理d d d dx y zu u u u 称 为

11、偏 微 分 . yyud zzuddu xx uyd uzd的 全 微 分 为 yyu zzu 于 是uuu zyx d,d,d (一 阶 偏 导 数 连 续 ) 例 1. 计 算 函 数 在 点 (2,1) 处 的 全 微 分 . yxez 解 : xz 22 2)1,2(,)1,2( eyzexz yexez d2dd 22)1,2( 例 2. 计 算 函 数 的 全 微 分 . zyeyxu 2sin解 : ud 1 dx yy d) cos( 221 dyzye zyz,yxey yxex )d2d(2 yxe zyez 可 知 当*二 、 全 微 分 在 数 值 计 算 中 的 应

12、用仅 从 理 论 上 简 单 讲 述 在 近 似 计 算 方 面 的 应 用由 全 微 分 定 义x y )(),(),( oyyxfxyxfz yx ),( yyxxf yyxfxyxf yx ),(),(较 小 时 , yyxfxyxfzz yx ),(),(d zd及 有 近 似 等 式 : ),( yxf(可 用 于 近 似 计 算 函 数 的 增 量 )(可 用 于 近 似 计 算 函 数 值 ) 例 3.计 算 的 近 似 值 . 02.204.1解 : 设 ( , ) yf x y x ,则),( yxfx取 1, 2,x y 则 2.021.04 (1.04, 2.02) (1

13、 0.04, 2 0.02)f f (1,2) (1,2) (1,2)x yf f x f y 08.102.0004.021 ),( yxfy,1yxy xxy ln0.04, 0.02x y 9.3内 容 小 结1. 微 分 定 义 : ),( yxfz z ( , ) ( , )x yf x y x f x y y dz yyxfxyxf yx d),(d),( 22 )()( yx 2. 重 要 关 系 : )( o 函 数 可 导函 数 可 微偏 导 数 连 续函 数 连 续3. 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 (略 ) | | | |z x y 2 2 2 22 2,

14、0 ( , ) 00,xyx y x yz f x y x y ( , )z f x y | | | |z x y ( , )z f x y(反 例 略 ) 思 考 与 练 习 1. P129 题 1 (总 习 题 九 )函 数 ),( yxfz 在 ),( 00 yx 可 微 的 充 分 条 件 是 ( );),(),()( 00连续在yxyxfA ),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx在 的 某 邻 域 内 存 在 ;0 0 0 0( ) ( , ) ( , )x yC z f x y x f x y y 0)()( 22 yx当时 是 无 穷 小 量 ;0 0 0 02

15、 2( , ) ( , )( ) ( ) ( )x yz f x y x f x y yD x y 0)()( 22 yx当时 是 无 穷 小 量 .2. 选 择 题 D zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0( 3. 设 ,coscoscos1 coscoscos),( zyx xzzyyxzyxf .d )0,0,0(f求解 : xxxf cos3)0,0,( 0cos3)0,0,0( xxxfx 41同 理 可 得 41)0,0,0()0,0,0( zy ff )dd(d41 zyx 作 业 P751 (3) , (4) ; 3 . 预

16、习 9.4 4). f (x,y)在 点 (0,0) 可 微 .备 用 题1).在 点 (0,0) 连 续 ; 2).偏 导 数 存 在 ;不 连 续 ; ( , )f x y 2 21sin , ( , ) (0,0)xy x yx y 0, ( , ) (0,0)x y 证 : 1) ( , ) (0,0)lim ( , ) 0 x y f x y (0,0)f故 函 数 在 点 (0, 0) 连 续 ; 3).偏 导 数 在 点 (0,0) 证 明 函 数显 然2) ( ,0) 0,f x (0,0) 0;xf (0,0) 0.yf 同 理 ( , )xf x y( , ) (0,0),

17、x y y 2 21sin x y 22 2 3( )x yx y 2 21cos x y( , ) (0,0)lim ( , )xx x f x y极 限 不 存 在 , ( , )xf x y 在 点 (0,0)不 连 续 ;同 理 , ( , )yf x y 在 点 (0,0)也 不 连 续 .0lim(x x 1sin 2| |x 3 32 2| |x x 1cos )2| |x3) 2 21( , ) sinf x y xy x y ( , ) (0,0) ,P x y y x当点沿趋于时 2 2( ) ( ) ,x y 4) 下 面 证 明 ( , ) (0,0)f x y在可 微 :(0,0) (0,0)x yf f x f y 1sinx y x 0 0( , ) (0,0) .f x y在可微说 明 : 此 题 表 明 , 偏 导 数 连 续 只 是 可 微 的 充 分 条 件 .令 则