dxwuf概率论与数理统计PPT课件

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1、2021-5-12 1 概 率 论 与 数 理 统 计 2 3 u第 一 章 概 率 论 的 基 本 概 念 1.1 随 机 试 验 1.2 样 本 空 间 1.3 概 率 和 频 率 1.4 等 可 能 概 型 （ 古 典 概 型 ） 1.5 条 件 概 率 1.6 独 立 性u第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布 2.1 随 机 变 量 2.2 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 2.3 随 机 变 量 的 分 布 函 数 2.4 连 续 型 随 机 变 量 及 其 概 率 密 度 2.5 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布u第 三 章 多 维 随 机 变 量 及 其 分

2、 布 3.1 二 维 随 机 变 量 3.2 边 缘 分 布 3.3 条 件 分 布 3.4 相 互 独 立 的 随 机 变 量 3.5 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 4 u 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 4.1 数 学 期 望 4.2 方 差 4.3 协 方 差 及 相 关 系 数 4.4 矩 、 协 方 差 矩 阵u 第 五 章 大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理 5.1 大 数 定 律 5.2 中 心 极 限 定 理 u 第 六 章 数 理 统 计 的 基 本 概 念 6.1 总 体 和 样 本 6.2 常 用 的 分 布 5 u 第 七 章

3、参 数 估 计 7.1 参 数 的 点 估 计 7.2 估 计 量 的 评 选 标 准 7.3 区 间 估 计 u 第 八 章 假 设 检 验 8.1 假 设 检 验 8.2 正 态 总 体 均 值 的 假 设 检 验 8.3 正 态 总 体 方 差 的 假 设 检 验 8.4 置 信 区 间 与 假 设 检 验 之 间 的 关 系 8.5 样 本 容 量 的 选 取 8.6 分 布 拟 合 检 验 8.7 秩 和 检 验u 第 九 章 方 差 分 析 及 回 归 分 析 9.1 单 因 素 试 验 的 方 差 分 析 9.2 双 因 素 试 验 的 方 差 分 析 9.3 一 元 线 性 回

4、 归 9.4 多 元 线 性 回 归 6 u 第 十 章 随 机 过 程 及 其 统 计 描 述 10.1 随 机 过 程 的 概 念 10.2 随 机 过 程 的 统 计 描 述 10.3 泊 松 过 程 及 维 纳 过 程u 第 十 一 章 马 尔 可 夫 链 11.1 马 尔 可 夫 过 程 及 其 概 率 分 布 11.2 多 步 转 移 概 率 的 确 定 11.3 遍 历 性u 第 十 二 章 平 稳 随 机 过 程 12.1 平 稳 随 机 过 程 的 概 念 12.2 各 态 历 经 性 12.3 相 关 函 数 的 性 质 12.4 平 稳 过 程 的 功 率 谱 密 度 7

5、 8 关 键 词 ： 样 本 空 间 随 机 事 件频 率 和 概 率条 件 概 率事 件 的 独 立 性第 一 章 概 率 论 的 基 本 概 念 9 1 随 机 试 验确 定 性 现 象 ： 结 果 确 定不 确 定 性 现 象 ： 结 果 不 确 定 确 定 性 现 象不 确 定 性 现 象确 定不 确 定不 确 定自 然 界 与 社 会 生 活 中 的 两 类 现 象例 ： 向 上 抛 出 的 物 体 会 掉 落 到 地 上 明 天 天 气 状 况 买 了 彩 票 会 中 奖 10 概 率 统 计 中 研 究 的 对 象 ： 随 机 现 象 的 数 量 规 律 对 随 机 现 象 的

6、观 察 、 记 录 、 试 验 统 称 为 随 机 试 验 。 它 具 有 以 下 特 性 ：1. 可 以 在 相 同 条 件 下 重 复 进 行2. 事 先 知 道 可 能 出 现 的 结 果3. 进 行 试 验 前 并 不 知 道 哪 个 试 验 结 果 会 发 生 例 ： 抛 一 枚 硬 币 ， 观 察 试 验 结 果 ； 对 某 路 公 交 车 某 停 靠 站 登 记 下 车 人 数 ； 对 某 批 电 子 产 品 测 试 其 输 入 电 压 ； 对 听 课 人 数 进 行 一 次 登 记 ； 11 2 样 本 空 间 随 机 事 件(一 )样 本 空 间 定 义 ： 随 机 试 验

7、E的 所 有 结 果 构 成 的 集 合 称 为 E的 样 本 空 间 ， 记 为 S=e， 称 S中 的 元 素 e为 基 本 事 件 或 样 本 点 S=0,1,2, ； S=正 面 ， 反 面 ；S=(x,y)|T 0 y x T1；S= x|a x b 记 录 一 城 市 一 日 中 发 生 交 通 事 故 次 数 例 ： 一 枚 硬 币 抛 一 次 记 录 某 地 一 昼 夜 最 高 温 度 x， 最 低 温 度 y 记 录 一 批 产 品 的 寿 命 x 12 (二 ) 随 机 事 件 一 般 我 们 称 S的 子 集 A为 E的 随 机 事 件 A， 当 且仅 当 A所 包 含

8、的 一 个 样 本 点 发 生 称 事 件 A发 生 。S 0,1,2, ；记 A 至 少 有 10人 候 车 10,11,12, S，A为 随 机 事 件 ， A可 能 发 生 ， 也 可 能 不 发 生 。例 ： 观 察 89路 公 交 车 浙 大 站 候 车 人 数 ， 如 果 将 S亦 视 作 事 件 ， 则 每 次 试 验 S总 是 发 生 ， 故 又 称 S为 必 然 事 件 。为 方 便 起 见 ， 记 为 不 可 能 事 件 ， 不 包 含任 何 样 本 点 。 13 (三 ) 事 件 的 关 系 及 运 算v 事 件 的 关 系 （ 包 含 、 相 等 ）例 ：记 A=明 天

9、 天 晴 ， B=明 天 无 雨 记 A=至 少 有 10人 候 车 ， B=至 少 有 5人 候 车 一 枚 硬 币 抛 两 次 ， A=第 一 次 是 正 面 ， B=至 少 有 一 次 正 面 2 A BA B B A 1 A B A B ： 事 件 发 生 一 定 导 致 发 生 B A B A B A SAB 14 v 事 件 的 运 算 | A B x x A x B A B 或 ： 与 至 少 有 一 发 生 。 1 21 1 21 , , ,n i nin i ni A A A AA A A A ： 至 少 有 一 发 生： 同 时 发 生 SBA SA B SBAA B A与

10、 B的 和 事 件 ， 记 为 , ,A B A B AB A与 B的 积 事 件 ， 记 为 | A B x x A x B A B 且 ： 与 同 时 发 生 。 当 AB= 时 ， 称 事 件 A与 B不 相 容 的 ， 或 互 斥 的 。 15 “和 ” 、 “ 交 ” 关 系 式 1 21 1n ni i ni iA A AA A ；1 21 1n ni i ni iA A A A A ；A B A BA B AB A B AB SA BASA | AB A B x x A x B 且 , , A A S A B SA A A BABAA 的 记 为 , 逆 事 件 互若 ,称 逆

11、、 互 斥 例 ： 设 A= 甲 来 听 课 ， B= 乙 来 听 课 ， 则 ：甲 、 乙 至 少 有 一 人 来 甲 、 乙 都 来 甲 、 乙 都 不 来 甲 、 乙 至 少 有 一 人 不 来 16 3 频 率 与 概 率(一 )频 率 定 义 ： 记 其 中 A发 生 的 次 数 (频 数 )； n 总 试 验 次 数 。 称 为 A在 这 n次 试 验 中 发 生 的 频 率 。例 ：中 国 国 家 足 球 队 ， “ 冲 击 亚 洲 ” 共 进 行 了 n次 ， 其 中 成 功 了一 次 ， 则 在 这 n次 试 验 中 “ 冲 击 亚 洲 ” 这 事 件 发 生 的 频 率 为

12、某 人 一 共 听 了 17次 “ 概 率 统 计 ” 课 ， 其 中 有 15次 迟 到 ， 记A=听 课 迟 到 ， 则 # 频 率 反 映 了 事 件 A发 生 的 频 繁 程 度 。An( ) nAf An n ；( )nf A 1 n；( ) 1517 88%nf A ( )nf A 试 验序 号 n =5 n =50 n =500nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.420.3

13、60.480.540.62 251249256253251246244258262247 0.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表 1 例：抛硬币 出现 的正面的频 率 18 实 验 者 n nH fn(H)德摩根 2048 1061 0.5181蒲 丰 4040 2048 0.5069K皮 尔 逊 12000 6019 0.5016K皮 尔 逊 24000 12012 0.5005表 2 19 * 频 率 的 性 质 ：且 随 n的 增 大 渐 趋 稳 定 ， 记 稳 定 值 为 p( ) nf A 1 2 11 1 0 ( )

14、12 ( ) 13 , ( ) ( )nn k kk n i n iiif Af SA A A f A f A 。 。 。 若 , , 两 两 互 不 相 容 ， 则 20 (二 ) 概 率 定 义 1： 的 稳 定 值 p定 义 为 A的 概 率 ， 记 为 P(A)=p 定 义 2： 将 概 率 视 为 测 度 ， 且 满 足 ： 称 P(A)为 事 件 A的 概 率 。( )nf A1 0 ( ) 1P A 。 2 ( ) 1P S 。 1 2 113 , ( ) ( )k kk i iiiA A A P A P A 。 若 , , 两 两 互 不 相 容 ， 则 21 2 ( ) (

15、) ( ) ( ) ( )A B P B A P B P A P B P A ，若 则 有 3 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB 概 率 的 加 法 公 式 ：1 ( ) 1 ( )P A P A 性 质 ： A A S ( ) ( ) 1P A P A ( ) 0P B A AB ( ) ( ) ( )P B P A P AB ( ) ( ) ( ) ( ) 0P B P A P AB P B A ( ) ( )P B P A ( )A B A B AB ( ) ( ) ( )P A B P A P B AB 2 ( ) ( ) ( )B AB P B AB

16、 P B P AB 。又 ， 由 知( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB #3 。 的 推 广 ： 1 11 1 1 21( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( )n ni i i ji i j ni ni j k ni j k nP A P A P AAP AA A P AA A ( ) 0( ) 1P A AP A A S 不 能 ；不 能 ； 22 4 等 可 能 概 型 （ 古 典 概 型 ）定 义 ： 若 试 验 E满 足 ：1.S中 样 本 点 有 限 (有 限 性 )2.出 现 每 一 样 本 点 的 概 率 相 等 (等 可 能 性 ) AP

17、A S 所 包 含 的 样 本 点 数中 的 样 本 点 数称 这 种 试 验 为 等 可 能 概 型 (或 古 典 概 型 )。 23 例 1： 一 袋 中 有 8个 球 ， 编 号 为 1 8， 其 中 1 3 号 为 红 球 ， 4 8号 为 黄 球 ， 设 摸 到 每 一 球 的 可 能 性 相 等 ， 从 中 随 机 摸 一 球 ， 记 A= 摸 到 红 球 ， 求 P(A) 解 ： S=1,2, ,8 A=1,2,3 3 8P A 24 例 2： 从 上 例 的 袋 中 不 放 回 的 摸 两 球 ， 记 A=恰 是 一 红 一 黄 ， 求 P(A) 解 ： 1 1 23 5 8

18、15( ) / 53.6%28P A CC C ( ) / , 0,1, , k n k nk D N D NP A C C C k n 0LmC （ 注 ： 当 Lm或 L0， i=1,2, ,n；则 称 ： 1 2 nA AS AB AB AB 1 ( ) ( | )( | ) ( ) ( | )i ii n j jj P B P A BP B A P B P A B ( )( | ) ( )ii P BAP B A P A i jAB ABi j与不 相 容1( ) ( ) ( | )n j jjP A P B P A B 为 全 概 率 公 式1( ) ( )n jjP A P AB

19、1 ( ) ( | )n j jj P B P A B B1B2 BnSA 证 明 ： 定 理 ： 接 上 定 理 条 件 ， 称 此 式 为 Bayes公 式 。 37 * 全 概 率 公 式 可 由 以 下 框 图 表 示 ：设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2, ,n易 知 ： 1 1n jj p S P1P 2Pn. B2B1Bn. q2q1qn A 1 |n j jjP A P B P A B 38 例 ： 一 单 位 有 甲 、 乙 两 人 ， 已 知 甲 近 期 出 差 的 概 率 为 80%，若 甲 出 差 ， 则 乙 出 差 的 概 率 为 20%； 若

20、 甲 不 出 差 ，则 乙 出 差 的 概 率 为 90%。 (1)求 近 期 乙 出 差 的 概 率 ；(2)若 已 知 乙 近 期 出 差 在 外 ， 求 甲 出 差 的 概 率 。 ( ) 0.80, ( | ) 0.20, ( | ) 0.90P A P B A P B A 已 知 1 ( ) ( )P B P AB AB ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B A PAP B A 0.8 0.2 0.2 0.9 34 % ( ) ( ) 16 82 ( | ) ( ) ( ) ( ) 34 17PAB PABPAB PB PAB PAB AB AB与 不 相 容Baye

21、s公 式全 概 率公 式 ( ) ( )P AB P AB 解 ： 设 A=甲 出 差 ， B=乙 出 差 39 例 ： 根 据 以 往 的 临 床 记 录 ， 某 种 诊 断 癌 症 的 试 验 具 有 5%的 假 阳 性 及 5%的 假 阴 性 ： 若 设 A=试 验 反 应 是 阳 性 ，C=被 诊 断 患 有 癌 症 则 有 ： 已 知 某 一 群 体P(C)=0.005， 问 这 种 方 法 能 否 用 于 普 查 ？( | ) 5%, ( | ) 5%,P A C P A C ( )( | ) ( )P ACPC A P A ( ) ( | ) 0.087( ) ( | ) ( )

22、 ( | )P C P A CP C P A C P C P A C 若 P(C)较 大 ， 不 妨 设 P(C)=0.8推 出 P(C|A)=0.987说 明 这 种 试 验 方 法 可 在 医 院 用解 ： 考 察 P(C|A)的 值若 用 于 普 查 ， 100个 阳 性 病 人 中 被 诊 断 患 有 癌 症 的大 约 有 8.7个 ， 所 以 不 宜 用 于 普 查 。 40 6 独 立 性 例 ： 有 10件 产 品 ， 其 中 8件 为 正 品 ， 2件 为 次 品 。 从 中 取 2 次 ,每 次 取 1件 ， 设 Ai=第 i次 取 到 正 品 ， i=1,22 1 27 8

23、( | ) ( )9 10P A A P A 2 1 28( | ) ( )10P A A P A ( ) 0, ( ) 0P A P B 不 放 回 抽 样 时 ，放 回 抽 样 时 ，即 放 回 抽 样 时 ， A1的 发 生 对 A2的 发 生 概 率 不 影 响 同 样 ， A2的 发 生 对 A1的 发 生 概 率 不 影 响定 义 ： 设 A， B为 两 随 机 事 件 ， 若 P(B|A)=P(B)， 即 P(AB)=P(A)*P(B) 即 P(A|B)=P(A)时 ， 称 A， B相 互 独 立 。 41 注 意 ： , , , , 1A B A B A B A BP AB P

24、 A P BP AB P A AB P A P AB P A P B P A P B 相 互 独 立 相 互 独 立 相 互 独 立 相 互 独 立当 时 1 21 2 11 2, , , 2 , , , , k jn ki i i ijnA A A n k nP A A A P AA A A 定 义 ： 设 为 个 随 机 事 件 ， 若 对 均 有 ：则 称 相 互 独 立1 两 两 独 立 不 能 相 互 独 立2 实 际 问 题 中 ， 常 常 不 是 用 定 义 去 验 证 事 件 的 独 立 性 ， 而 是 由 实 际 情 形 来 判 断 其 独 立 性 。 42 例 ： 甲 、

25、乙 两 人 同 时 向 一 目 标 射 击 ， 甲 击 中 率 为 0.8， 乙 击 中 率 为 0.7， 求 目 标 被击 中 的 概 率 。 ( ) ( ) ( ) ( )C A B P C P A P B P AB 则 ： ， ( ) 0.7 0.8 0.56 0.94P C 解 ： 设 A=甲 击 中 ,B=乙 击 中 C=目 标 被 击 中 甲 、 乙 同 时 射 击 ， 其 结 果 互 不 影 响 ， A， B相 互 独 立 43 例 ： 有 4个 独 立 元 件 构 成 的 系 统 (如 图 )， 设 每 个 元 件 能 正 常 运 行 的 概 率 为 p， 求 系 统 正 常

26、运行 的 概 率 。 , 1,2,3,4 iA i iA 解 ： 设 第 个 元 件 运 行 正 常系 统 运 行 正 常 1 4 32 注 意 ： 这 里 系 统 的 概 念 与 电 路 中 的 系 统 概 念 不 同 1 2 3 4A A A A A 则 ： 1 2 3 4, , ,A A A A由 题 意 知 ， 相 互 独 立 2 31 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A A p p p p 3 2 51 2 3 1 4( ) ( )P A P AA A AA p p p 另 解 ， ， 对 吗 ？ 44 1, ,2p p例 ： 甲 、 乙 两 人 进

27、行 乒 乓 球 比 赛 ， 每 局 甲 胜 的 概 率 为 对 甲 而 言 ， 采 用 三 局 二 胜 制 有 利 ， 还 是 采 用 五 局 三 胜 制 有 利 ？ 设 各 局 胜 负 相 互 独 立 。 , 1,2, ,5i iA i P A p i 解 ： 设 第 局 甲 胜 A再 设 甲 胜 2 21 2 1 2 3 1 2 3 11 2 1P A P AA AA A AA A p p p p 三 局 二 胜 制 ： 22 2 1 3 1 2 1P P P P P 1 2 3 4 523 1 3 2 33 4 22 1 1P A P AA A A Ap C p p C p p p 五

28、局 三 胜 制 ： 前 三 次 有 一 次 输 前 四 次 有 两 次 输2 12 1 1, 2 1, 2p p pp p p 当当 45 总 结 ： 1. 2. ; ; ;3. 0 1; 1 1 1 2An S e A SA B A BA B A B Anf A n P A P SAB P A B P A P BP A P AA B P A P 样 本 空 间 随 机 事 件事 件 的 关 系 ：事 件 的 运 算 ：频 率 ：概 率 的 定 义 ： 满 足 当 时 ，概 率 的 性 质 ： 当 时 1 2 1 1 3 = 4. | |, , , ( ) ( | ) ( ) ( ) ( |

29、), ( | ) ( ) ( | )5. nn i ij j i nj j jj BP A B P A P B P ABP ABP B A P AB P A P B AP AB B B S P B P A BP A P B P A B P B A P B P A B 条 件 概 率 ： 当 为 的 一 划 分 时 ，事 件 独 立 性 46 复 习 思 考 题 1 , , ,3. , , A B A B AB AB AB ABAB AB AB AB AB 设 和 为 两 事 件 即 “ 至 少 有 一 发 生 ” 事 件 为 “ 恰 有 一 发 生 ” 事 件 与 “ 同 时 发 生 ” 事

30、件 的 和 事 件 。 此 结 论 成 立 吗 ？1.“ 事 件 A不 发 生 ， 则 A=” ,对 吗 ？ 试 举 例 证 明 之 。2. “ 两 事 件 A和 B为 互 不 相 容 ， 即 AB=,则 A和 B互 逆 ” ， 对 吗 ？ 反 之 成 立 吗 ？ 试 举 例 说 明 之 。4. 甲 、 乙 两 人 同 时 猜 一 谜 ， 设 A=甲 猜 中 ， B=乙 猜 中 ， 则 A B=甲 、 乙 两 人 至 少 有 1人 猜 中 。 若 P(A)=0.7,P(B)=0.8, 则 “ P(A B)=0.7+0.8=1.5” 对 吗 ？ 5. 满 足 什 么 条 件 的 试 验 问 题

31、称 为 古 典 概 型 问 题 ？ 12 10 , 1 9 , , , , , , ,6. A A S S A AS A P A 一 口 袋 中 有 个 球 其 中 有 个 白 球 及 个 红 球 。 从 中 任 意 取 一 球 设 取 到 白 球 则 取 到 红 球 且 设 样 本 空 间 为中 有 两 个 样 本 点 而 是 其 中 一 个 样 本 点 问 对 吗 ？ 47 7.如 何 理 解 样 本 点 是 两 两 互 不 相 容 的 ？8.设 A和 B为 两 随 机 事 件 ， 试 举 例 说 明 P(AB)=P(B|A)表 示 不 同 的 意 义 。10.什 么 条 件 下 称 两

32、事 件 A和 B相 互 独 立 ？什 么 条 件 下 称 n个 事 件 A1,A2, ,An相 互 独 立 ？11.设 A和 B为 两 事 件 ， 且 P(A)0,P(B)0,问 A和 B相 互 独 立 、 A和 B互 不 相 容 能否 同 时 成 立 ？ 试 举 例 说 明 之 。 12.设 A和 B为 两 事 件 ， 且 P(A)=a,P(B)=b,问 ：(1) 当 A和 B独 立 时 ,P(A B)为 何 值 ？(2) 当 A和 B互 不 相 容 时 , P(A B)为 何 值 ？ , 0, | | | 1 |9. A B P A P B A P B P B AP B A P B A 设

33、 和 为 随 机 事 件 问 是 否 成 立 ？是 否 成 立 ？ 48 13.当 满 足 什 么 条 件 时 称 事 件 组 A1,A2, ,An为 样 为 本 空 间 的 一 个 划 分 ？14.设 A,B,C为 三 随 机 事 件 ， 当 AB， 且 P(A)0, P(B)0时 ，P(C|A)+P(C|B)有 意 义 吗 ？ 试 举 例 说 明 。15.设 A,B,C为 三 随 机 事 件 ,且 P(C)0,问 P(A B|C)=P(A|C)+P(B|C) P(AB|C)是 否 成 立 ？若 成 立 ， 与 概 率 的 加 法 公 式 比 较 之 。 49 第 二 章 随 机 变 量 及

34、 其 分 布关 键 词 ： 随 机 变 量 概 率 分 布 函 数 离 散 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 随 机 变 量 的 函 数 50 1 随 机 变 量* 常 见 的 两 类 试 验 结 果 ：示 数 的 降 雨 量 ； 候 车 人 数 ； 发 生 交 通 事 故 的 次 数 示 性 的 明 天 天 气 （ 晴 ， 多 云 ） ； 化 验 结 果 （ 阳 性 ， 阴 性 ） es x 离 散 型 的连 续 型 的X=f(e) 为 S上 的 单 值 函 数 ， X为 实 数 * 中 心 问 题 ： 将 试 验 结 果 数 量 化* 定 义 ： 随 试 验 结 果 而 变

35、的 量 X为 随 机 变 量* 常 见 的 两 类 随 机 变 量 51 2 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 定 义 ： 取 值 可 数 的 随 机 变 量 为 离 散 量离 散 量 的 概 率 分 布 (分 布 律 ) 10, 1i iip p 样 本 空 间 S X=x 1， X=x2， ， X=xn， 由 于 样 本 点 两 两 不 相 容1 11 ( ) ( )i ii iP S P X x p 1、 写 出 可 能 取 值 即 写 出 了 样 本 点2、 写 出 相 应 的 概 率 即 写 出 了 每 一 个 样 本 点 出 现 的 概 率P 1x 2x ix1p 2p

36、ipX# 概 率 分 布 52 例 ： 某 人 骑 自 行 车 从 学 校 到 火 车 站 ， 一 路 上 要 经 过 3个 独 立 的 交 通 灯 ， 设 各 灯 工 作 独 立 ， 且 设 各 灯 为 红 灯 的 概 率 为 p， 0p1， 以 X表 示 首 次 停 车 时 所 通 过 的 交 通 灯 数 ， 求 X的 概 率 分 布 律 。 1( 0) ( ) P X P A p ； 1 2( 1) ( ) (1 ) P X P AA p p ；21 2 3( 2) ( ) (1 ) P X P AA A p p ；31 2 3( 3) ( ) (1 ) P X P AA A p ；pX

37、 0 1 2 3p p(1-p) (1-p)2p (1-p)3 0 , 1 , 2 3X X XX S 注 意 ： 为 的 一 个 划 分 解 ： 设 Ai=第 i个 灯 为 红 灯 ， 则 P(Ai)=p， i=1,2,3 且 A1,A2,A3相 互 独 立 。 53 例 ： 从 生 产 线 上 随 机 抽 产 品 进 行 检 测 ， 设 产 品 的 次 品 率 为 p， 0p1， 若 查 到 一 只 次 品 就 得 停 机 检 修 ， 设 停 机 时 已 检 测 到 X只 产 品 ， 试 写 出 X的 概 率 分 布 律 。 11 2 1( ) ( ) (1 ) , 1,2,kk kP X

38、 k P AA A A p p k 解 ： 设 Ai=第 i次 抽 到 正 品 ， i=1,2, 则 A1,A2, 相 互 独 立 。 亦 称 X为 服 从 参 数 p的 几 何 分 布 。 54 三 个 主 要 的 离 散 型 随 机 变 量 0 1(p) 分 布 二 项 分 布 Xp q0 1p 样 本 空 间 中 只有 两 个 样 本 点即 每 次 试 验 结 果 互 不 影 响 在 相 同 条 件 下重 复 进 行(p+q=1) ,A A * n重 贝 努 利 试 验 ： 设 试 验 E只 有 两 个 可 能 的 结 果 ： p(A)=p,0p1,将 E独 立 地 重 复 进 行 n次

39、 ， 则 称 这 一 串的 试 验 为 n重 贝 努 利 试 验 。 55 例 ： 1. 独 立 重 复 地 抛 n次 硬 币 ， 每 次 只 有 两 个 可 能 的 结 果 ： 正 面 ， 反 面 ， 如 果 是 不 放 回 抽 样 呢 ？, ,A A , ,A A 1 2P 出 现 正 面 1 6P A 1 2P A 2.将 一 颗 骰 子 抛 n次 ， 设 A=得 到 1点 ， 则 每 次 试 验 只 有 两 个 结 果 ： 3.从 52张 牌 中 有 放 回 地 取 n次 ， 设 A=取 到 红 牌 ， 则 每 次 只 有 两 个 结 果 ： 56 设 A在 n重 贝 努 利 试 验

40、中 发 生 X次 ， 则并 称 X服 从 参 数 为 p的 二 项 分 布 ， 记( ) (1 ) 01k k n knP X k C p p k n ， ， ， ， ( )X b n p，3 1 2 3( 0) ( ) (1 )P X P AA A p 31 2 3( 3) ( )P X P AA A p 2 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 2) ( ) (1 )P X P AA A AA A AA A C p p 1 1 3 11 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 1) ( ) (1 )P X P AA A AA A AA A C p p ( ) (1 ) , 0,

41、1,2, ,k k n k nP X k C p p k n 一 般 0 1 ( ) 1nn k k n knkp q C p q q p 注 ： 其 中推 导 ： 设 Ai= 第 i次 A发 生 ， 先 设 n=3 57 例 ： 设 有 80台 同 类 型 设 备 ， 各 台 工 作 是 相 互 独立 的 ， 发 生 故 障 的 概 率 都 是 0.01， 且 一 台 设 备的 故 障 能 有 一 个 人 处 理 。考 虑 两 种 配 备 维 修 工 人 的 方 法 ， 其 一 是 由 4个 人 维 护 ， 每 人 负 责 20台 ； 其 二 是 由 3个 人 共 同 维 护 80台 。 试

42、 比 较 这 两 种 方 法 在 设 备 发 生 故 障 时 不 能 及 时维 修 的 概 率 的 大 小 。 58 1,2,3,4 20iXA i i解 ： 以 记 “ 第 一 人 维 护 的 20台 中 同 一 时 刻 发 生 故 障 的 台 数 ” 。 以 表 示 事 件 “ 第 人 维 护 的 台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不按 第 一 种 方 法 。 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ： 1 2 3 4 1 2P A A A A P A P X 20,0.01 ,X b而 故 有 ： 102 1 kP X P X k 1

43、 202001 0.01 0.99 0.0169k kkk C 1 2 3 4 0.0169P A A A A 即 有 ： 80, 80,0.01 ,80 YY b按 第 二 种 以 记 台 中 同 一 时 刻 发 生 故 障 的 台 数 ，此 时故 台 中 发 生 故 障 而 不 能 及 时 维 修方 法 。 的 概 率 为 ： 3 808004 1 0.01 0.99 0.0087k kkkP Y C 59 例 ： 某 人 骑 了 自 行 车 从 学 校 到 火 车 站 ， 一 路 上 要 经 过 3个 独 立 的 交 通 灯 ， 设 各 灯 工 作 独 立 ， 且 设 各 灯 为 红 灯

44、 的 概 率 为 p， 0p1， 以 Y表 示 一 路 上 遇 到 红 灯 的 次 数 。(1)求 Y的 概 率 分 布 律 ；(2)求 恰 好 遇 到 2次 红 灯 的 概 率 。 (3, )Y b p 331 ( ) (1 ) , 0,1,2,3k k kPY k C p p k 2 232 ( 2) (1 )PY C p p 解 ： 这 是 三 重 贝 努 利 试 验 60 例 ： 某 人 独 立 射 击 n次 ， 设 每 次 命 中 率 为 p， 0p0为 常 数 ， 则 称 X服 从 参 数 为 的 指 数分 布 。 记 为 0( ) 0 0 xe xf x x ( )X EP 1

45、0( ) 0 0 xe xF x x 0 0( | )P X t t X t 0 0( )( )P X t tP X t 0 01 ( )1 ( ) tF t t eF t ( )P X t X具 有 如 下 的 无 记 忆 性 ： 72 2 10t N tt Poisson TT 例 ： 某 大 型 设 备 在 任 何 长 度 为 的 区 间 内 发 生 故 障 的 次 数 服 从 参 数 为 的 分 布 ， 记 设 备 无 故 障 运 行 的 时 间 为 1 求 的 概 率 分 布 函 数 ； 已 知 设 备 无 故 障 运 行 个 小 时 ， 求 再 无 故 障 运 行 8个 小 时 的

46、 概 率 。 / !, 0,1,2,ktP N t k e t k k 解 ： 1 0 0 Tt F t 当 时 ， 1TF t P T t P T t 0 1 0 1 tTt F t P N t e 当 时 ， 8182 18| 10 810P TP T T e P TP T 73 正 态 分 布定 义 ： 设 X的 概 率 密 度 为其 中 为 常 数 ， 称 X服 从 参 数 为 的 正 态 分 布 (Gauss分 布 )，记 为可 以 验 算 ： 22( )21( ) 2 xf x e x ，2( , )X N ( ) 1f x dx + ( )f x dx 22 tI e dt 记

47、2212xt te dt 令 2212 te dt 2 2( )2 2x yI e dxdy 22 20 0 rd re dr 2I ( ) 1f x dx 2, 2, 74 称 为 位 置 参 数 (决 定 对 称 轴 位 置 ) 为 尺 度 参 数 (决 定 曲 线 分 散 性 )max 21 ( ) 12 ( ) 23 ( ) 0 ( , )xf x xf flim f xX N 关 于 对 称0 f x 1 x55 0.5 1.0 f x x1.50.7980.3990.2660 75 X的 取 值 呈 中 间 多 ， 两 头 少 ， 对 称 的 特 性 。 当 固 定 时 ， 越 大

48、 ， 曲 线 的 峰 越 低 ， 落在 附 近 的 概 率 越 小 ， 取 值 就 越 分 散 ， 是 反 映 X的 取 值 分 散 性 的 一 个 指 标 。 在 自 然 现 象 和 社 会 现 象 中 ， 大 量 随 机 变 量服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 。 762 ( , ) X N 当 时 (0 1) Z N Z记 ， ， 称 服 从 标 准 正 态 分 布( ) ( ) ( )b aP a X b ( )P a X b x t 作 变 换 ： 221 2 xZ x e 的 概 率 密 度 ： 221 ( ) 2 txZ x e dt 的 分 布 函 数 ： 1x x

49、22( )212 xba e dx ( )P a X b 2212b ta e dt ( )y x ( )x( )x 0 y xxx 77 例 ： 2 ( , )X N ( ) ( ) (1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826P X P X ( 2 ) 2 (2) 1 0.9544P X ( 3 ) 2 (3) 1 0.9974P X 查 书 后 附 表 99.74%3 2 68.26% 2 3 95.44% 78 例 ： 一 批 钢 材 (线 材 )长 度(1)若 =100， =2， 求 这 批 钢 材 长 度 小 于 97.8cm的 概 率 ； (2)若 =100， 要 使 这 批

50、钢 材 的 长 度 至 少有 90%落 在 区 间 (97,103)内 ， 问 至 多 取 何 值 ？2( ) ( , )X cm N ( 97.8)P X 解 ：(1) 97.8 100( )2 1 (1.1) 1 0.8643 0.1357 查 附 表= 97 103 90%P X (2) 令 ： 103 100 97 100 3 ( ) ( ) 2 ( ) 1 90% 即 3( ) 0.95 3 1.645 1.8237 79 例 ： 设 某 地 区 男 子 身 高(1) 从 该 地 区 随 机 找 一 男 子 测 身 高 ， 求 他 的 身 高 大 于175cm的 概 率 ； (2)

51、若 从 中 随 机 找 5个 男 子 测 身 高 ,问 至少 有 一 人 身 高 大 于 175cm的 概 率 是 多 少 ？ 恰 有 一 人 身高 大 于 175cm的 概 率 为 多 少 ？ 2( ) (169.7,4.1 )X cm N ( 175)P X 解 ： (1) 5 175 (5, ), 0.0985 cm b pp (2) 设 人 中 有 Y人 身 高 大 于 ， 则 Y其 中 175 169.71 ( )4.1 1 (1.293) 1 0.9015 0.0985 查 表 5( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 0.4045PY PY p 1 1 45( 1) (1 ) 0.

52、3253PY C p p 80 5 随 机 变 量 的 函 数 分 布问 题 ： 已 知 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 ， 且 已 知 Y=g(X)， 求 Y的 概 率 分 布 。 2( , )X N ，( 0)PY Xpi 0.2-1 0 10.5 0.3( 0) 0.5P X ( 1)PY ( 1) ( 1)P X X ( 1) ( 1) 0.5P X P X 例 如 ， 若 要 测 量 一 个 圆 的 面 积 ， 总 是 测 量 其 半 径 ， 半 径 的测 量 值 可 看 作 随 机 变 量 X， 若 则 Y服 从 什 么 分 布 ？例 ： 已 知 X具 有 概 率 分 布 且

53、 设 Y=X2， 求 Y的 概 率 分 布 。解 ： Y的 所 有 可 能 取 值 为 0,1即 找 出 (Y=0)的 等 价 事 件 (X=0)；(Y=1)的 等 价 事 件 (X=1)或 (X=-1) 81 例 ： 设 随 机 变 量 X具 有 概 率 密 度 求 Y=X2的 概 率 密 度 。 , 0 4( ) 80, X x xf x 其 他 2( )YF y P Y y P X y P y X y 0 ( ) 0;Yy F y 当 时 ， 16 ( ) 1Yy F y 当 时 ， 0 16 y 当 时 , 1 1 , 0 168 162 0, y yy 其 他( )( ) ( ) (

54、 ) ( ) ( ( ) ( )xau xadf x f t dt f xdxd f t dt f u x u xdx 连 续 时 ，( ) ( )X YF x F y，解 ： 分 别 记 X,Y的 分 布 函 数 为 ( ) 0YF y P X y ( )XF y ( )y Xf t dt1 ( ), 0 162( ) 0, XY f y yyf y 其 他Y在 区 间 (0,16)上 均 匀 分 布 。 82 一 般 ， 若 已 知 X的 概 率 分 布 ， Y=g(X)， 求 Y的 概 率 分 布 的 过 程 为 ： 1 2 , , , ,( ), ( ) ( );j jiY Yy y

55、y Y yX D PY y P X D 1. 若 为 离 散 量 ， 则 先 写 出 的 可 能 取 值 ：再 找 出 的 等 价 事 件 得 2. ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) Y Y YY YF y PY y Y y X DF y P X D Y f y 若 为 连 续 量 ， 则 先 写 出 的 概 率 分 布 函 数 ：， 找 出 的 等 价 事 件得 ； 再 求 出 的 概 率 密 度 函 数 ；关 键 是 找 出 等 价 事 件 。 83 例 ： 设 Y=2X,Z=X2,求 Y,Z的 概 率 分 布 。13X -1 10p 1313 2 3Z 0 1p 1 3

56、13Y -2 20p 1313解 ： Y的 可 能 取 值 为 -2,0,2 Z的 可 能 取 值 为 0,1(Y=-2)的 等 价 事 件 为 (X=-1)(Z=1)的 等 价 事 件 为 (X=1) (X=-1)故 得 ： 84 例 ： 2( ) ( )YX f x x Y XY f y 设 的 概 率 密 度 为 ， ， ，求 的 概 率 密 度 ( )YY F y解 ： 设 的 概 率 分 布 函 数 为 0 ( )Yy F y当 时 ， ( )PY y 2( )P X y ( )yy f t dt 0 0( ) ( )y yf t dt f t dt ( ) ( )Y Yf y F

57、y 1 ( ) ( ) , 02 0 , 0f y f y yy y 85 ( ), ( ) 0 ( ( ) 0)( ) XX f x x g x g xY g X Y 定 理 ： 设 ， 或 。， 则 具 有 概 率 密 度 为 ：( ( ) ( ), ( ) 0, XY f h y h y yf y 其 他min( ( ), ( ) max( ( ), ( )( ) ( )g g g gh y x y g x 其 中 ， ，( ) 0,g x 证 明 ： 不 妨 设 ( ) 0h y 且 ： ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )Y X Xf y f h y h y f h y h

58、 y ( ) 0 g x 同 理 可 证 ： 当 时 ， 定 理 为 真 xh(y),yy0 y=g(x)y g x则 为 单 调 增 函 数 , ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0Yy F y PY y P g X y P X 当 时 ， ； y 当 时 ， ( ) 1YF y ； y 当 时 ， ( ) ( )YF y PY y ( ( ) )P g X y ( ( )P X h y ( ) ( )h y Xf t dt 86 ( ), ( ) 0 ( , ),( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( ( ) ( ), ( ) 0, min( ( ), ( ) max( ( ), (

59、 )( ) ( )X XYX f x x f x a ba x b g x g xY g X Yf h y h y yf yg a g b g a g bh y x y g x 推 论 ： 设当 时 或 。， 则 具 有 概 率 密 度 为 ： 其 他其 中 ， ， 87 例 ： 2 ( , ) ( )YXX N Y Y f y 设 ， ， 求 的 概 率 密 度( ) xy g x ， 3, 0 4( ) ( )80, Yx xX f x Y X f y 。若 ， 求 其 他3( ) y g x x ， 131 , 0 64( ) 24 0 , Y y yf y 其 他 2 2 2 ( ,

60、) ( , )X N Y aX b Y N a b a 一 般 若 ， 1 ( ) 0g x ， ( )x h y y ( ) ( )Y Xf y f y 2212 ye (0,1)Y N13 ( )x y h y 2( ) 3 0g x x ， 2 13 31( ) ( )3Y Xf y y f y 解 ：例 ： 解 ： 88 1 2 , 0,1X F x XF xY F X Y U例 ： 设 服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 ， 为 的 分 布 函 数 。求 ；设 试 证 即 均 匀 分 布 。 , 01 0 , 0 xe xX f x x 解 ： 由 前 知 , 1 , 0 0 ,

61、 0 xe xF x x 1 , 02 0 , 0Xe XY F X X 0 1Y YF y Y记 为 的 概 率 分 布 函 数 , 0 0Yy F y P Y y 当 时 ， 1 1Yy F y P Y y 当 时 ， 0 1 1 XYy F y P e y 当 时 ， 1XP e y 1 1P X ln y 0, 0 , 0 1, 0,11, 1 Y yF y y y Y Uy 即 1 11 ln ye y 89 复 习 思 考 题 21.什 么 量 被 称 为 随 机 变 量 ？ 它 与 样 本 空 间 的 关 系 如 何 ？2.满 足 什 么 条 件 的 试 验 称 为 “ n重 贝

62、 努 里 试 验 ” ？3.事 件 A在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为 p,0p1。 若 在 n次 独 立 重 复 的 试验 中 ， A发 生 的 总 次 数 为 X,则 X服 从 什 么 分 布 ？ 并 请 导 出 ：4.什 么 条 件 下 使 用 泊 松 近 似 公 式 等 式 较 为 合 适 ？5.什 么 样 的 随 机 变 量 称 为 连 续 型 的 ？6.若 事 件 A为 不 可 能 事 件 ， 则 P(A)=0,反 之 成 立 吗 ？ 又 若 A为 必 然 事 件 ， 则 P(A)=1， 反 之 成 立 吗 ？7.若 连 续 型 随 机 变 量 X在 某 一 区 间 上 的 概 率 密 度 为 0， 则 X落 在 该 区 间 的 概 率 为 0， 对 吗 ？ 8.若 随 机 变 量 X在 区 间 (a,b)上 均 匀 分 布 ， 则 X落 入 (a,b)的 任 意 一 子 区 间 (a1,b1)上 的 概 率 为 (b1-a1)/(b-a),对 吗 ？9.若 X N(,2)， 则 X的 概 率 密 度 函 数 f(x)在 x=处 值 最 大 ， 因 此 X落 在附 近 的 概 率 最 大 ， 对 吗 ？ 1 , 0,1, ,n kk knP X k C p k k n 2021-5-12 课 件 待 续 !