激光原理第三章 华中科技大学课件 光学谐振腔

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1、 光 学 谐 振 腔 是 激 光 器 的 重 要 组 成 部 分 ， 它的 主 要 功 能 有 两 个 ： 提 供 光 学 正 反 馈 ； 对 产 生 的 激 光 模 式 进 行 控 制 ； 研 究 光 学 谐 振 腔 的 主 要 理 论 包 括 ： 几 何 光 学 理 论 ； 波 动 光 学 理 论 ； 菲 涅 尔 -基 尔 霍 夫 衍 射 积 分 ； 3.1.1光 学 谐 振 腔 的 构 成 与 分 类 光 学 谐 振 腔 的 稳 定 性 条 件 当 光 线 在 周 期 性 透 镜 波 导 中 传 播 而 不 溢 出 波 导 之 外 ， 称 为 稳 定 的 透 镜波 导 ； 一 个 薄 透

2、 镜 可 以 等 效 为 一 个 球 面 反 射 镜 ， 因 此 周 期 性 透 镜 波 导 可 以 等效 于 一 个 共 轴 球 面 光 学 谐 振 腔 ， 当 光 束 在 光 腔 中 传 播 而 不 溢 出 ， 则 光腔 为 稳 定 腔 。 透 镜 波 导 的 稳 定 性 条 件 为 ： 代 入 等 效 光 学 谐 振 腔 的 光 线 矩 阵 元 素 得 到 ： 引 入 g参 数 后 可 以 将 上 式 写 为 ： 此 式 为 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 反 射 镜 的 凹 面 向 着 腔 内 时 ， R取正 值 ， 凸 面 向 着 腔 内 时 ， R取 负 值 。1 (

3、)/2 1A D 1 20 1 / 1 / 1L R L R 1 21 21 20 11 , 1g g L Lg gR R 光 学 谐 振 腔 的 构 成 与 分 类 最 早 的 谐 振 腔 ： 平 行 平 面 腔 ， 在 光 学 中 两 块 平 行 平 面 镜 构 成 了 法 布 里 -珀 罗 干 涉 仪 ， 因 此 这 种 腔 也 被 称 为 F-P腔 ； Maiman的 第 一 台 激 光 器 采用 的 就 是 此 腔 ； 此 后 被 大 量 采 用 的 是 共 轴 球 面 腔 ， 这 些 腔 有 共 同 的 特 点 ： 侧 面 无 光 学 边 界 ； 轴 向 尺 寸 远 大 于 产 生

4、 振 荡 的 波 长 ， 一 般 也 远 大 于 横 向 尺 寸 (反 射 镜 尺 寸 )； 具 有 这 样 特 点 的 腔 被 称 为 开 放 式 光 学 谐 振 腔 。 除 此 以 外 ， 还 有 由 两 块 以 上 的 反 射 镜 构 成 的 折 叠 腔 与 环 形 腔 ， 以 及 由开 腔 内 插 入 光 学 元 件 的 复 合 腔 ； 对 于 常 用 的 共 轴 反 射 镜 腔 ， 当 满 足 前 面 得 到 的 稳 定 性 条 件 时 ， 称 为 稳 定 腔 ； 当 时 ， 称 为 非 稳 腔 ； 当 时 ， 称 为 临 界 腔 ； 1 20 1g g 1 2 1 20 1g g

5、g g 或1 2 1 20 1g g g g 或 常 见 开 腔 的 构 成 及 分 类 ： 1、 平 行 平 面 腔 ：平 行 平 面 腔 属 于 临 界 腔 。 2、 双 凹 腔 ：由 共 轴 双 凹 面 镜 构 成 的 光 腔 ， R10,R20 当 R1d,R2d时 ， 有则 此 腔 为 稳 定 腔 ； 当 R 1d且 R2d， 此 腔 也 为 稳 定 腔 ； 当 R1=R2=d时 ， 构 成 对 称 共 焦 腔 ， 根 据 稳 定 性 条件 可 以 得 到 g1=g2=1， 该 腔 为 临 界 腔 ； 当 满 足 条 件 R1+R2=d时 ， 构 成 实 共 心 腔 ， 根 据 稳定

6、 性 条 件 可 以 得 到 g1g2=1， 因 此 也 是 临 界 腔 ； 其 他 参 数 的 双 凹 腔 都 是 非 稳 腔 ； 1 2,R R 1 21 21 1, 1 1d dg gR R 1 2 1g g 1 20 / 1;0 / 1d R d R 1 20 1 2 1 / 1 / 1g g d R d R 平 面 、 凹 面 反 射 镜 腔 由 一 个 平 面 反 射 镜 和 一 个 凹 面 反 射 镜 构 成的 光 腔 ， ， R20； 当 R2d时 ， 求 得 0g1g21， 构 成 稳 定 腔 ； 当 R2=d时 ， 构 成 半 共 焦 腔 ， g1g2=0， 构 成临 界

7、腔 ； 当 R2d时 ， g1g20， 构 成 非 稳 腔 ； 凹 凸 腔 由 一 个 凹 面 反 射 镜 ， 一 个 凸 面 反 射 镜 构 成的 光 腔 ，R 10； 如 果 要 求 满 足 稳 定 性 条 件 ， 可 以 求 出 ：1R 2 1 1 2R R L R R L 或 平 凸 腔 由 一 个 平 面 反 射 镜 和 一 个 凸 面反 射 镜 构 成 的 光 腔 ， ，R21， 故 所 有 的 平凸 腔 都 是 非 稳 腔 。 双 凸 腔 由 两 个 凸 面 反 射 镜 构 成 的 光 腔 ，R10,R21， 故 所 有 的 双凸 腔 都 是 非 稳 腔 。 1R 提 供 光 学

8、 正 反 馈 作 用光 学 正 反 馈 是 使 振 荡 光 束 在 腔 内 行 进 一 次 时 ,除 了 由 腔 内损 耗 和 通 过 反 射 镜 输 出 激 光 束 等 因 素 引 起 的 光 束 能 量 减 少外 ,还 能 保 证 有 足 够 能 量 的 光 束 在 腔 内 多 次 往 返 经 过 受 激活 介 质 的 受 激 辐 射 放 大 而 维 持 继 续 振 荡 。 决 定 光 学 反 馈 的 因 素 组 成 腔 的 两 个 反 射 镜 面 的 反 射 率 ; 反 射 镜 的 几 何 形 状 以 及 它 们 之 间 的 组 合 方 式 ； 对 振 荡 光 束 参 数 进 行 控 制

9、 有 效 地 控 制 腔 内 实 际 振 荡 的 模 式 数 目 ； 可 以 直 接 控 制 激 光 束 的 横 向 分 布 特 性 、 光 斑 大 小 、 振 荡 频 率 及 光束 发 散 角 等 ； 可 改 变 腔 内 损 耗 ， 在 增 益 一 定 的 情 况 下 能 控 制 激 光 束 输 出 的 能 力 。 对 光 学 谐 振 腔 的 评 价 标 准 光 学 谐 振 腔 应 具 有 较 小 的 损 耗 ， 可 以 形 成 正 反馈 ， 达 到 预 期 输 出 ； 应 具 有 良 好 的 激 光 模 式 鉴 别 能 力 ； 光 学 谐 振 腔 的 选 择 原 则根 据 实 际 应 用

10、的 需 要 选 择 不 同 的 光 学 谐 振 腔 。 “ 稳 定 ” 与 “ 非 稳 定 ” 指 的 是 什 么 ？ 常 常 用 稳 区 图 来 表 示 共 轴 球面 腔 的 稳 定 条 件 ， 以 光 腔的 两 个 反 射 面 的 g参 数 为 坐标 轴 绘 制 出 的 图 为 稳 区 图 ： 图 中 空 白 部 分 是 谐 振 腔 的 稳定 工 作 区 ， 其 中 包 括 坐 标 原点 。 图 中 阴 影 区 为 不 稳 定 区 ； 在 稳 定 区 和 非 稳 区 的 边 界 上是 临 界 区 。 对 工 作 在 临 界 区的 腔 ， 只 有 某 些 特 定 的 光 线才 能 在 腔 内

11、 往 返 而 不 逸 出 腔外 。 稳 定 性 简 单 判 别 法 若 一 个 反 射 面 的 曲 率 中 心与 其 顶 点 的 连 线 与 第 二 个反 射 面 的 曲 率 中 心 或 反 射面 本 身 二 者 之 一 相 交 ， 则为 稳 定 腔 ； 若 和 两 者 同 时 相 交 或 者 同时 不 相 交 ， 则 为 非 稳 腔 ； 若 有 两 个 中 心 重 合 ， 则 为临 界 腔 ； R 1 R2O 稳 定 性 判 断 圆 法 分 别 以 两 个 反 射 镜 的 曲 率 半 径为 直 径 ， 圆 心 在 轴 线 上 ， 作 反射 镜 的 内 切 圆 ， 该 圆 称 为 圆 ； 若

12、两 个 圆 有 两 个 交 点 ， 则 为 稳定 腔 ； 若 没 有 交 点 ， 则 为 非 稳 腔 ； 若 只 有 一 个 交 点 或 者 完 全 重 合 ，则 为 临 界 腔 ； 3.2.1平 平 腔 的 驻 波 均 匀 平 面 波 近 似一 般 的 开 放 式 光 学 谐 振 腔 都 满 足 条 件 ：在 满 足 该 条 件 时 ， 可 以 将 均 匀 平 面 波 认 为 是 腔 内 存 在的 稳 定 电 磁 场 的 本 征 态 ， 为 平 行 平 面 腔 内 的 电 磁 场 提供 一 个 粗 略 但 是 形 象 的 描 述 ；严 格 的 理 论 证 明 ， 只 要 满 足 条 件 ，

13、则 腔内 损 耗 最 低 的 模 式 仍 可 以 近 似 为 平 面 波 ， 而是 光 腔 的 菲 涅 尔 数 ， 它 描 述 了 光 腔 衍 射 损 耗 的 大 小 。,a L 2/ 1a L 2/a L 沿 z方 向 传 播 的 平 面 波 可 以 表 示 为 ： 沿 -z方 向 传 播 的 平 面 波 为 ：发 生 重 叠 时 的 电 磁 场 分 布 为 ：该 叠 加 的 场 分 布 的 振 幅 在 沿 z方 向 上 有 一 个 余 弦 分 布 。 在 z点 处 的 振 幅 为 当 时 ， 振 幅 有 最 大 值 ， 称 此位 置 为 波 腹 ； 当 时 ， 振 幅 有 最 大 值 ，

14、称 此 位置 为 波 节 ； 驻 波 频 率 为 平 面 波 频 率 ， 而 且 可 以 为 任 意 值 。01( , ) cos2 ( / )e z t E t z 2 0( , ) cos2 ( / )e z t E t z 1 2 02 cos 2 / cos 2e e e E z t 0( ) 2 cos 2 /e x E z , 0,1,2,2z q q max 02e E(2 1), 0,1,2,4z q q min 0e 平 行 平 面 腔 中 的 驻 波 当 光 波 在 腔 镜 上 反 射 时 ， 入 射 波 与 反 射 波 发 生 干 涉 ， 而 多 次 往 复反 射 形 成

15、 的 多 光 束 干 涉 ， 稳 定 的 振 荡 要 求 干 涉 加 强 ， 发 生 相 长 干涉 的 条 件 为 ： 波 从 某 一 点 出 发 ， 经 腔 内 往 返 一 次 再 回 到 原 位 时 ，相 位 应 与 初 始 出 发 时 相 差 2的 整 数 倍 。 以 表 示 往 返 一 周 后 的 相 位 差 ： 其 中 的 q为 任 意 正 整 数 ， 将 满 足 上 式 的 波 长 以 来 标 记 ， 则 有 ： 上 式 意 味 着 一 定 长 度 的 谐 振 腔 只 能 对 一 定 频 率 的 光 波 形 成 正 反 馈 ， 为 腔 的 谐 振 频 率 ， 同 时 表 明 腔 内

16、 的 谐 振 频 率 是 分 立 的 。2 42 2L L q 0q 0 0 2 2q q cL L q q L 或0q 当 发 生 谐 振 时 ， 腔 内 的 光 学 长 度 为 光 波 半 波 长 的 整 数 倍 ，这 是 腔 内 驻 波 的 特 征 。 当 腔 内 为 均 匀 的 折 射 率 为 的 物 质 时 有 ：其 中 L为 腔 的 几 何 长 度 ， 则 ，其 中 的 是 物 质 中 的 谐 振 波 长 。 当 腔 内 物 质 为 分 段 均 匀 ， 则 有 ： 当 物 质 沿 轴 线 分 布 不 均 匀 时 有 ： 2qL Lcq L /2qL q0 /qq i iiL L 0

17、 ( )LL dL z dz 将 腔 内 稳 定 存 在 的 、 由 整 数 q表 征 的 光 波 纵 向 分布 称 为 腔 的 纵 模 (Longitudinal mode)。 在 简 化模 型 中 ， q单 值 的 决 定 模 的 谐 振 频 率 。 腔 的 两 相 邻 纵 模 的 频 率 之 差 称 为 纵 模 间 隔 ： 对 于 腔 内 是 均 匀 介 质 的 谐 振 腔 则 有 ：1 2 q q q cL L L2 q cL 例 ： 对 于 L=10cm的 气 体 激 光 器 ， =1， 则 有 ； 对 于 L=100cm的 气 体 激 光 器 ， ； 对 于 L=10cm， =1.

18、76的 固 体 激 光 器 ， ； 当 其 他 参 数 固 定 时 ， 光 腔 的 腔 长 增 加 ， 频 率 间 隔 减 小 ； 对 于 微 波 腔 ， 其 尺 寸 可 以 与 波 长 相 比 拟 ， 则 在 腔 中 只 会 激发 低 阶 本 征 模 式 ， 而 在 光 学 谐 振 腔 中 ， ， 它 工 作 在极 高 的 谐 波 上 ， 既 q是 一 个 很 大 的 整 数 。例 如 L=100cm， =632.8nm的 He-Ne激 光 器 ： 91.5 10q Hz 6150 10q Hz 6850 10q Hz L 62 / 3.16 10q L 某 个 纵 模 q能 够 在 腔 内

19、 存 在 必 须 满 足 以 下 条 件 ： 满 足 腔 内 谐 振 频 率 条 件 ： q必 须 落 在 激 活 介 质 发 光 的 原 子 谱 线 内 ， 此 时 激 活 介质 才 能 对 该 纵 模 提 供 增 益 ； 满 足 振 荡 阈 值 条 件 ； 在 光 学 谐 振 腔 中 能 够 存 在 的纵 模 数 最 多 只 能 有 ： 2q cq L 0G L 1 TqN 频 率 漂 移 对 某 个 腔 内 纵 模 q： 由 此 可 知 ， 当 腔 长 L或 者 折 射 率 发 生变 化 时 ， 纵 模 的 谐 振 频 率 也 会 发 生 变 化 。这 种 振 荡 频 率 随 外 界 环

20、 境 变 化 而 发 生 缓慢 变 化 的 现 象 称 为 频 率 漂 移 。 假 设 腔 内 纵 模 频 率 会 随 温 度 发 生 变 化 ，如 图 所 示 ， 当 温 度 为 T0时 ， 只 有 q能够 振 荡 ； 当 温 度 为 T2时 ， q漂 出 T的 范 围 ， 而 q+1漂 进 T ， 则 腔 内 模式 发 生 了 变 化 ， 成 为 跳 模 现 象 频 率 漂 移 现 象 都 是 有 害 的 吗 ？2q cq L 我 们 关 心 的 问 题 ： 在 由 无 侧 面 的 共 轴 反 射镜 构 成 的 开 放 光 学 谐 振 腔 区 域 中 ， 是 否 存在 不 随 时 间 变

21、化 的 稳 定 的 电 磁 场 分 布 ？ 如 何 求 出 这 个 分 布 的 具 体 形 式 ？ 在 考 察 光 学 谐 振 腔 中 电 磁 场 的 分 布 时 ， 我们 首 先 关 心 的 是 镜 面 上 的 分 布 ， 因 为 镜 面一 般 作 为 激 光 输 出 窗 口 ， 而 输 出 激 光 的 场分 布 就 直 接 与 镜 面 上 的 场 分 布 有 关 。 开 腔 中 有 多 种 损 耗 ： 由 于 反 射 镜 尺 寸 有 限 ， 在 反 射 镜 边 界 处 引 起 的衍 射 损 耗 ， 该 损 耗 会 影 响 开 腔 中 振 荡 的 激 光 模式 的 横 向 分 布 ； 反 射

22、 镜 不 完 全 反 射 、 介 质 吸 收 等 因 素 引 起 的 损耗 不 影 响 模 式 的 横 向 分 布 ； 开 腔 的 理 想 模 型 ： 两 块 反 射 镜 片 处 于 均 匀的 各 向 同 性 介 质 中 ； 假 设 初 始 时 在 镜 面 1上 有 分 布 为 u1的 电 磁 场 从 镜 面 1向 镜 面2传 输 ， 经 过 一 次 渡 越 ， 在 镜 面 2上 有 分 布 为 u2的 场 ， 在 经过 反 射 后 再 次 渡 越 回 到 镜 面 1时 场 的 分 布 为 u3， 如 此 反 复 。 受 到 各 种 损 耗 的 影 响 ， 不 仅 每 次 渡 越 会 造 成

23、能 量 的 衰 减 ，而 且 振 幅 横 向 分 布 也 会 由 于 衍 射 损 耗 的 存 在 而 发 生 改 变 ； 由 于 衍 射 损 耗 仅 发 生 在 镜 面 的 边 缘 ， 因 此 只 有 中 心 振 幅 大 ，边 缘 振 幅 小 的 场 才 会 尽 可 能 少 的 受 到 衍 射 损 耗 的 影 响 。 经过 多 次 渡 越 后 ， 这 样 的 模 式 除 了 振 幅 整 体 下 降 ， 其 横 向 分布 将 不 发 生 变 化 ， 即 在 腔 内 往 返 传 输 一 次 后 可 以 “ 再 现 ”出 发 时 的 振 幅 分 布 。 将 开 腔 中 这 种 经 一 次 往 返 可

24、 再 现 的 稳 定 电磁 场 分 布 称 为 开 腔 的 自 再 现 模 ； 自 再 现 模 经 一 次 往 返 所 发 生 的 能 量 损 耗 定义 为 模 的 往 返 损 耗 ， 它 等 于 衍 射 损 耗 ； 自 再 现 模 经 一 次 往 返 所 产 生 的 相 位 差 定 义为 往 返 相 移 ， 往 返 相 移 应 为 2的 整 数 倍 ，这 是 由 腔 内 模 的 谐 振 条 件 决 定 的 。 孔 阑 传 输 线 开 腔 物 理 模 型 中 衍 射 的 作 用 腔 内 会 随 机 的 产 生 各 种 不 同 的 模 ， 而 衍 射 效 应 将 其 中 可 以 实 现 自再 现

25、 的 模 式 选 择 出 来 ； 由 于 衍 射 的 影 响 ， 镜 面 上 每 一 点 的 电 磁 场 都 可 以 视 作 前 一 个 镜 面上 每 一 点 作 为 次 级 子 波 源 发 出 光 波 场 的 叠 加 ， 因 此 每 点 的 相 位 之间 的 关 联 就 越 来 越 紧 密 ， 即 相 干 性 越 来 越 好 ； 菲 涅 尔 -基 尔 霍 夫 衍 射 积 分 惠 更 斯 -菲 涅 尔 原 理 ： 波 前 上 每 一 点 都 可 以 看 成是 新 的 波 源 ， 发 出 次 级 子 波 ， 空 间 中 的 任 意 一点 的 光 场 就 是 这 些 子 波 在 该 点 相 干 叠

26、 加 的 结 果 ； 该 原 理 是 研 究 光 学 衍 射 现 象 的 基 础 ， 因 此 也 必然 是 开 腔 模 式 的 物 理 基 础 ； 该 原 理 的 数 学 表 达 式 是 基 尔 霍 夫 衍 射 积 分 方 程 ； 设 已 知 空 间 某 一 曲 面 S上 光 波 长 的 振 幅 和 相 位 分 布 函 数 为 u(x,y)，则 空 间 任 一 点 P处 的 光 场 分 布 ， 可 以 看 作 曲 面 S上 每 点 作 为 次 级 子波 源 发 出 的 非 均 匀 球 面 波 在 P点 的 叠 加 ， 由 菲 涅 尔 -基 尔 霍 夫 衍 射积 分 公 式 来 描 述 ： 为

27、什 么 用 菲 涅 尔 -基 尔 霍 夫 衍 射 积 分 公 式 ？ 其 中 k=2/为 波 矢 的 模 ， 也 称 为 波 数 ； dS是 S面 上 的 面 积 元 ； 为 源 点 与 P点 之 间 连 线 的 长 度 ； 为 源 点 处 S面 法 线 与 P点 连 线 之 间 的 夹 角 ； 表 示 球 面 波 ， (1+cos)为 倾 斜 因 子 ， 表 示 非 均 匀 球 面 波 ；( , ) ( , ) (1 cos ) 4 ikSik eu x y u x y ds /ike 将 该 公 式 应 用 于 研 究 谐 振 腔 问 题 ， 它 描 述 了 镜 面 S1上 光 场u1(x

28、,y)经 过 衍 射 后 在 镜 面 S2上 面 形 成 光 场 分 布 u2; 要 做 出 如 下 假 设 ： 1、 在 小 角 度 近 似 下 有 ： 并 且 在 此情 况 下 可 以 将 光 场 的 两 种 偏振 状 态 作 为 独 立 变 量 分 别 求 解 ； 2、 ， 被 积 函 数 中 的 指数 因 子 不 能 简 单 将 用 L代替 ， 只 能 根 据 不 同 谐 振 腔 情 况来 简 化 ； 3、 腔 内 振 幅 衰 减 是 缓 慢 的 ；L a(1 cos )/ 2/L a ike 经 过 q次 传 播 后 ： 将 第 一 个 假 设 带 入 其 中 有 ： 由 开 腔 理

29、 论 中 描 述 的 自 再 现 模 的 定 义 可 知 ， 在 开 腔 内 稳 定传 输 的 光 波 模 式 应 满 足 关 系 ： 在 稳 定 情 况 下 ， uq从 镜 面 S1传 播 到 S2时 ， 除了 一 个 表 示 振 幅 衰 减 和 相 位 移 动 的 、 与 坐 标无 关 的 复 常 数 因 子 外 ， 其 分 布 能 够 被u q+1再 现 。 11( , ) ( , ) (1 cos ) 4 ikq qSik eu x y u x y ds 11( , ) ( , ) (1 cos ) ikq qSiu x y u x y e dsL 1 2 111q qq qu uu

30、u 腔 内 存 在 的 稳 定 光 波 场 ， 它 们 由 一 个 腔 面传 播 到 另 一 个 腔 面 的 过 程 中 ， 虽 然 会 受 到衍 射 效 应 的 影 响 ， 但 是 这 些 光 波 长 在 两 个腔 面 处 的 相 对 振 幅 分 布 和 相 位 分 布 保 持 不变 。 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ikq qS ikq qSiu x y u x y e dsLiu x y u x y e dsL 以 E(x,y)表 示 开 腔 中 的 稳 定 光 场 分 布 函 数 u，则 上 式 可 以 简 化 为 ： 该 式 是 开 腔 自 再 现 模 满 足

31、 的 积 分 方 程 ， 满足 以 上 方 程 的 函 数 E成 为 本 征 函 数 ， 为 本征 值 ， 而 K为 积 分 方 程 的 核 ； 对 于 对 称 腔 ： ( , , , )( , ) ( , , , ) ( , ) ( , , , )S ik x y x yE x y K x y x y E x y dsiK x y x y eL ( , , , ,) ( , , , )K x y x y K x y x y 满 足 上 式 的 本 征 函 数 E就 是 腔 的 自 再 现 模 ， 也 称 为 腔 的 横模 ， E一 般 是 复 函 数 ， 其 模 |E(x,y)|描 述 的

32、是 镜 面 上 的 振 幅分 布 ， 其 幅 角 argE(x,y)表 示 镜 面 上 的 相 位 分 布 ； 为 复 常 数 ， 不 妨 设 为 ： 其 中 的 a、 为 与 坐 标无 关 的 实 常 数 ， 则 自 再 现 模 可 以 表 示 为 ： 由 此 可 见 ， e-a表 示 腔 内 渡 越 一 次 后 自 再 现 模 的 振 幅 衰 减 ，a越 大 损 耗 越 大 ， a=0表 示 无 损 耗 传 输 ； 表 示 渡 越 一 次 后 自 再 现 模 的 相 位 滞 后 ， 越 大 相 位 滞 后越 多 。 ie 1 1 ( ) iq q qu u e u e 从 镜 面 S1出

33、射 的 光 功 率 为 ： 被 镜 面 S2反 射 后 的 自 再 现 模 的 功 率 为 ： 自 再 现 模 在 腔 内 渡 越 一 次 时 受 到 的 功 率 损 失 ， 称 为 模 的 单程 损 耗 ： | |越 大 ， 模 的 单 程 损 耗 越 大 ， 这 个 损 耗 中 包 含 了 几 何 光学 的 光 束 横 向 偏 折 损 耗 和 镜 面 边 缘 的 衍 射 损 耗 。2 2 21 2 2 11 1q qqu u eu 2qW u221 1 qW u W 自 再 现 模 在 腔 内 经 过 一 次 渡 越 的 总 相 移 定 义为 ： 由 ， 可 得 ； 从 开 腔 的 谐 振

34、 条 件 可 知 要 形 成 稳 定 的 自 再 现 模 ，必 然 要 求 其 在 腔 内 往 返 传 输 一 次 的 总 相 移 为 2 的整 数 倍 ： 即 ， q为 正 整 数 ， 此 公 式 对 称 开腔 的 谐 振 条 件 。 1arg argq qu u 1 /q qu u arg 1/ 2 2q arg 1/ q 平 行 平 面 腔 优 点 ： 光 束 方 向 性 好 、 模 体 积 较 大 、 容 易 获 得单 横 模 振 荡 ； 缺 点 ： 调 整 精 度 要 求 较 高 、 损 耗 比 稳 定 腔 大 ； 分 析 平 行 平 面 腔 的 方 法 分 析 平 平 腔 的 主

35、要 内 容 就 是 分 析 其 振 荡 模 式 ，也 就 是 求 解 平 平 腔 条 件 下 的 菲 涅 尔 -基 尔 霍 夫 衍射 积 分 公 式 ； 公 式 的 解 存 在 ， 但 是 很 难 求 解 ， 因 此 多 使 用 数值 方 法 来 求 近 似 解 ； Fox-Li数 值 迭 代 法 Gardner Fox 和 厉 鼎 毅 在 1961年 发 表 文 章Resonant Modes in a Maser Interferometer 首 次 提 出 了 用 计 算 机 迭 代 方 法 求 解 衍 射 积 分 方 程来 研 究 平 平 腔 内 模 式 的 方 法 ； 优 点 理 论

36、 上 可 以 研 究 任 何 类 型 的 光 学 谐 振 腔 ； 通 过 迭 代 法 近 似 计 算 证 明 了 自 再 现 模 的 存 在 性 ； 计 算 过 程 与 开 腔 模 式 的 物 理 机 制 类 似 ， 方 便 理 解 ； 缺 点 收 敛 性 不 好 ， 计 算 量 大 ； 对 高 阶 模 式 的 计 算 误 差 较 大 ； 1 q qSu Ku ds 平 行 平 面 镜 腔 如 图 所 示 的 矩 形 镜 平 平 腔 ， 满 足 条 件 ： 两 腔 镜 上 两 点 之 间 距 离 为 ： 将 其 作 级 数 展 开 ： L aL b 2 2 2( ) ( )x x y y L

37、22 22 ( , , , ) 1 1 1 1 2 2x x y yx y x y L L Lx x y yL L L 4 2 241 1 1 8 8 4x x y y x x y yL L L L L L 当 时 ， 相 对于 可 以 忽 略 不 计44 28 8L x x L aL L 2k 43ak L 2aN L 22LN a或 者 当 满 足 条 件 时 ， 积 分 核 可 以 写 成 ： 则 衍 射 积 分 公 式 改 写 为 ： 对 方 形 或 矩 形 反 射 镜 能 够 对 光 场 表 达 式 进 行 分 离 变 量 ：2 2; /L a N L a 2 2 2 2 1 1ex

38、p exp2 2 2 2ikLik x x y y x x y ye ik L e ikL L L L 2 2 ( , ) ( , )exp a bikL a b x x y yiE x y e E x y ik dx dyL L L ( , ) ( ) ( )E x y E x E y 22( ) ( , ) ( ) (1)( ) ( , ) ( ) (2)( , ) exp 2 ( , ) exp 2ax xaay ya ikLx ikLxx yE x K x x E x dxE y K y y E y dy x xiK x x e ikL Ly yiK y y e ikL L 式 (1)

39、表 示 一 个 平 平 腔 ， 其 反射 镜 在 x方 向 上 的 宽 度 为 2a，y方 向 上 无 限 延 伸 的 条 状 腔 的自 再 现 模 ； 式 (2)表 示 的 是 另一 个 方 向 的 条 状 腔 的 自 再 现模 。 满 足 上 述 方 程 的 函 数 E(x)和 E(y)可 以 有 很 多 个 ， 用 Em(x)和 En(Y)分 别表 示 其 中 的 第 m和 第 n个 解 ， 对 应 的 复 常 数 为 m、 n， 则 上 述 方 程 可以 表 示 为 ： (1)式 在 数 学 上 称 为 本 征 方 程 ， 只 有 在 m和 n为 一 系 列 分 立 的 值 ， 对应

40、m、 n取 不 同 的 正 整 数 时 ， 方 程 才 成 立 ， 因 此 m和 n又 被 称 为 方 程的 本 征 值 ； 对 不 同 的 m和 n， 能 够 使 方 程 成 立 的 解 Em(x)和 En(y)被 称 为 相 应 的本 征 函 数 ； 本 征 函 数 决 定 了 镜 面 上 的 场 分 布 ； 本 征 值 决 定 了 光 波 模 的 传 播 特 性 ， 例 如 模 的 衰 减 、 相 移 、 谐 振 频 率 等 ；( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) am m x mabn y nn bE x K x x E x dxE y K y y E y dy 此

41、时 的 自 再 现 模 为 ：复 常 数 为 ： ( , ) ( ) ( )mn m nE x y E x E ymn m n 由 此 可 得 到 数 值 计 算 中 的 迭 代 公 式 为 ： 要 进 行 迭 代 需 要 设 置 初 始 值 u1， 从 前 面 我 们 对 开 腔 物 理 模型 的 分 析 知 道 ， 理 论 上 任 何 形 式 的 初 始 模 式 在 经 过 足 够 多次 的 传 播 后 都 会 产 生 稳 定 的 自 再 现 模 ， 因 此 不 妨 设u1(x)=1， 由 于 argu1(x)=0， 它 代 表 了 一 个 等 相 位 面 就 是反 射 镜 平 面 ， 且

42、 在 等 相 位 面 上 振 幅 均 匀 分 布 的 平 面 波 。 22 12 23 ( ) exp ( ) 2 ( ) exp ( ) 2aikL aaikL a x xiu x e ik u x dxL Lx xiu x e ik u x dxL L 将 u1带 入 迭 代 公 式 可 以 求 出 第 二 个 镜 面 上 的 光 波 u2。 由 于我 们 只 对 相 位 和 振 幅 的 相 对 分 布 感 兴 趣 ， 因 此 对 u2进 行 归一 化 。 将 归 一 化 后 的 u2作 为 输 入 参 数 带 入 迭 代 公 式 可 以 求 出 u3，依 次 循 环 计 算 下 去 ，

43、直 到 得 到 的 归 一 化 的 uq+1和 uq之 间 只相 差 一 个 与 坐 标 无 关 的 常 数 因 子 为 止 ； 此 时 求 出 的 uq是 迭 代 方 程 的 稳 定 解 ， 也 就 是 本 征 函 数 ； 此 时 求 出 的 与 坐 标 无 关 的 常 数 因 子 是 本 征 值 ； 1/q qu u Fox-Li对 条 件 下 的 平 平 腔 进 行 了 迭 代 计算 ， 得 到 了 稳 定 存 在 的 自 再 现 模 并 分 析 了 其 特 征 。 1、 镜 面 上 的 振 幅 分 布 右 图 是 300次 迭 代 后 得 到 的 稳 定 自 再现 模 的 相 对 振

44、幅 分 布 ， 具 有 以 下 的 特 点 ： 镜 面 中 心 处 振 幅 最 大 ； 从 中 心 到 边 缘 振 幅 逐 渐 下 降 ； 振 幅 分 布 具 有 藕 对 称 性 ； 具 有 这 种 特 征 的 模 是 腔 的 最 低 阶 偶 对 称 模 ， 或 者 称 为 基 模 。 在 条状 腔 中 用 TEM 0， 在 矩 形 镜 和 圆 形 镜 腔 中 用 TEM00来 表 示 基 模 。 菲 涅 耳 数 N描 述 了 光 腔 衍 射 损 耗 的 大 小 ， N越 大 ， 衍 射 损 耗 越 小 ，镜 边 缘 处 的 相 对 振 幅 越 小 ； 25 , 100a L 在 平 平 腔

45、中 除 了 基 模 外 ， 还 有 其 他类 型 的 模 。 在 平 平 腔 迭 代 中 如 果 选取 初 值 条 件 为 ： 可 以 通 过 迭 代 得 到 另 一 种 形 式 的 稳定 解 ， 如 右 图 所 示 ， 图 中 的 相 对 振幅 在 镜 中 心 处 为 零 ， 在 镜 边 缘 处 也为 最 小 值 ， 然 而 在 镜 中 心 和 边 缘 中间 存 在 两 个 极 值 ， 在 镜 面 上 出 现 了场 振 幅 为 零 的 节 线 位 置 ， 整 体 的 分布 具 有 奇 对 称 特 性 ， 这 样 的 模 称 为条 状 腔 的 最 低 阶 奇 对 称 模 ， 以TEM 1表 示

46、 。 腔 中 还 存 在 着 其 他 的 高 阶 模 式 ； 0 1 ,01 0,x au x a 2、 镜 面 上 的 相 位 分 布 右 上 图 是 基 模 在 镜 面 上 的 相 位 分 布 ，从 其 分 布 可 知 TEM0模 不 是 严 格 意 义的 平 面 波 ， 但 当 菲 涅 耳 数 较 大 时 ，仍 然 可 以 近 似 为 平 面 波 ， 特 别 是 在镜 面 中 心 及 附 近 区 域 ； 只 有 在 镜 边缘 波 前 才 发 生 微 小 的 弯 曲 ； 右 下 图 是 TEM1模 的 相 位 分 布 ， 在 节线 附 近 相 位 会 发 生 突 变 ， 在 被 波 节隔

47、开 的 各 个 区 域 中 都 可 以 被 近 似 为平 面 波 。 3、 单 程 相 移 与 谐 振 频 率A、 单 程 总 相 移 计 算 方 法 ： 在 迭 代 过 程 中 ， 对 镜 面 上 的 任 一 点 ， 计算 光 波 在 腔 内 渡 越 一 次 后 ， 在 另 一 个 镜 面 上 坐 标 相同 的 点 的 振 幅 和 相 位 的 相 对 变 化 ， 即 可 得 到 相 移 ； 表 达 式 ：其 中 kL为 几 何 相 移 ， 为 附 加 相 移 ， 与 N有 关 ，不 同 的 横 模 有 不 同 的 附 加 相 移 ；2mn mnkL L mn 右 图 为 不 同 横 模 的

48、单 程相 移 随 N变 化 的 曲 线 ，从 曲 线 中 可 以 得 出 结 论 ：N相 同 时 ， 基 模 的 附 加 相移 最 小 ， 高 阶 模 的 附 加相 移 较 大 ；N较 大 时 ， 在 对 数 坐 标 中附 加 相 移 随 N的 变 化 曲 线基 本 为 直 线 ； B、 谐 振 频 率 由 自 再 现 模 稳 定 存 在 的 条 件 可 知 ： 以 mnq表 示 TEMmn模 的 谐 振 频 率 ， 则 ： 与 前 面 得 到 的 平 面 波 理 论 中 的 谐 振 频 率 公 式 相 比 较 ，多 了 一 项 ， 它 是 由 TEMmn模 的 附 加 相 移 引 起 的 。

49、 2 2 2kL mn q 2 2mnq mnqmnqk c 2 mnmnq c qL 2 q c qL 2mnq mnc L 4、 单 程 功 率 损 耗 对 于 横 模 ， 无 论 是 什 么 类 型 的谐 振 腔 ， 其 单 程 功 率 损 耗 的 大小 都 是 菲 涅 耳 数 的 函 数 ， 右 图是 不 同 腔 型 的 不 同 模 式 的 单 程功 率 损 耗 随 N变 化 的 曲 线 。 基 模 是 平 行 平 面 腔 的 一 切 横 模 中损 耗 最 小 的 ； 对 确 定 的 横 模 ， 单 程 损 耗 由 N单值 决 定 ， N越 大 ， 损 耗 越 小 ； 低 阶 模 ，

50、特 别 是 基 模 ， 其 损 耗 均低 于 均 匀 平 面 波 的 损 耗 ； 3.5.1方 形 镜 共 焦 腔 的 自 再 现 模 1、 衍 射 积 分 方 程 及 其 解 析 解 如 右 图 所 示 的 方 形 镜 共 焦 腔 ， 满 足 如下 条 件 ： 则 两 点 之 间 的 距 离 为 ： 从 平 平 腔 推 导 可 知 ： 由 球 面 镜 几 何 关 系 ： 2 2, a LL a L a 1 2 1 2 1 1 2 2( , , , ) x y x y P P P P P P P P 221 2 ( ) ( ) 2 2x x y yP P L L L 2 21/ 22 2 21

51、 1 1 ( ) 2x yP P L L x y L 2 21/ 22 2 22 2 2 ( ) 2x yP P L L x y L 其 自 再 现 模 mn满 足 的 积 分 方 程 为 ： 作 如 下 变 换 ： 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( , , , ) 2 2 2 2 2x x y y x y x yx y x y L L L L Lxx yyL L ( , ) ( , )exp a bikLmn mn mna bi xx yyx y e x y ik dx dyL L 2 2,2 2c cX x Y ya aa k ac NL L ( , ) ( ) ( )m nmn

52、x y F X G Y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ikL c c YYiXX im n m n m nc cieF X G Y F X e dX G Y e dY 1m n mn 其 中 通 过 分 离 变 量 求 得 ： 寻 找 方 形 镜 共 焦 腔 自 再 现 模 的 问 题 等 价 于 求 解 这 两 个 本 征积 分 方 程 的 本 征 值 。 该 方 程 可 以 求 出 解 析 解 ：1/ 2 1/ 2 ( ) ( ) 2( ) ( ) 2 ikL c iXXm m mcikL c iYYn n ncieF X F X e dXieG Y G Y e dY ( , ) (

53、 ) ( ) ( , / ) ( , / )mn m n om onx y F X G Y S c X c S c Y c , / , /, / , / om omononS c X c S c x aS c Y c S c y a 其 中 为 角 向 长 椭 球 函 数ikLm n m nie 本 征 值 ( )( )2 / ( , ) 0,1,22 / ( , ) 0,1,2m lm omn ln onc i R c l mc i R c l n 式 中( ) ( )( , ), ( , )l lom onR c l R c l 是 径 向 长 椭 球 函 数 将 长 椭 球 函 数 表

54、达 式 代 入 本 征 值 表 达 式 可 得 ： 长 椭 球 函 数 满 足 关 系 ： 该 公 式 与 衍 射 积 分 公 式 形 式 类 似 ， 其 右 边 是 角 向 长 椭 球 函数 的 傅 立 叶 变 换 ， 该 公 式 说 明 长 椭 球 函 数 的 傅 立 叶 变 换 等于 其 本 身 ， 即 长 椭 球 函 数 是 实 函 数 ； (1)式 同 (2)式 共 同 决 定 了 矩 形 腔 中 模 式 的 相 移 与 损 耗 ； 以 TEM mn表 示 共 焦 腔 自 再 现 模 ； ( 1) /2 ( ) ( )4 ( , ) ( , ) (1)i kL m n l lm n

55、om onNe R c l R c l 1 ( ) 12 ( , ) ( , ) ( , ) m icTTlom om omi R c l S c T e S c T dT( , ) ( , / ) ( , / ) (2) mn om onx y S c X c S c Y c 2、 镜 面 上 场 的 振 幅 和 相 位 分 布 A、 厄 米 -高 斯 近 似 在 时 ， 在 共 焦 反 射 镜 面 中 心 附 近 ， 角 向 长 椭 球 函 数可 以 表 示 为 厄 米 多 项 式 与 高 斯 函 数 的 乘 积 ： 其 中 Cm、 Cn为 常 系 数 ， Hm(x)为m阶 厄 米 多 项

56、 式 。 厄 米 多 项 式 的 最 初 几 阶 为 ：,x a y a 2 2 22( ) , ( )( ) , ( ) Xm om m m Yn on n nXF X S c C H X ecYG Y S c G H Y ec 22/2 20( ) ( 1) ( 1) ! (2 ) 0,1,2!( 2 )!mm XXm mkm m kk dH X e edXm X mk m k 0 1 322 3 244( ) 1; ( ) 2 ;( ) 4 2; ( ) 8 12 ;( ) 16 43 12;H X H X XH X x H X X XH X X X 当 c 时 ， 厄 米 -高 斯 函

57、 数 是 分 离变 量 后 的 本 征 方 程 的 本 征 函 数 ； c为 有 限 值 时 ， 只 要 满 足 条 件 c=2 N1， 厄 米 -高 斯 函 数仍 能 非 常 好 的 满 足 本 征 方 程 ； 若 不 满 足 该 条 件 ， 在 镜 面 的 中 心 附 近 ， 仍 然 能 够 用 厄 米 -高 斯 函 数 正 确 描 述 共 焦 腔 模 的 振 幅 与 相 位 分 布 ； 将 长 椭 球 函 数 的 厄 米 -高 斯 近 似 带 入 本 征 方 程 的 本 征 解 ，并 且 用 x， y替 代 X， Y可 以 得 到 自 再 现 模 的 表 达 式 ： 其 中 Cmn为 常

58、 系 数 。 22 22( ) , ( ) YXm nH X e H Y e 2 22 2 22 /( , ) 2 2 c x yamnmn m n x yLmn m nc cx y C H x H y ea aC H x H y eL L B、 厄 米 -高 斯 近 似 下 的 基 模 当 m=n=0时 ， 可 以 得 到 TEM00模 的 分 布 函 数 ： 基 模 振 幅 在 镜 面 上 的 分 布 为 高 斯 型 ， 在 距 离 中 心 距 离 为 ：处 ， 振 幅 降 为 中 心 处 振 幅 的 1/e。 其 中 L为 共 焦 腔 长 度 ， 为 激 光 波 长 ，通 常 用 半 径

59、 为 r的 圆 来 规 定 基 模 光 斑 的 半 径 ， 并 定 义为 共 焦 腔 中 基 模 在 镜 面 上 的 光 斑 尺 寸 或 光 斑 半 径 。 光 场 并 不 局 限 于 0S内 ， 而 是 扩 展 到 无 穷 远 处 ， 只 是 当 r 0S时 ， 光 强 已经 很 微 弱 。 共 焦 腔 基 模 在 镜 面 上 光 斑 的 大 小 与 反 射 镜 的 尺 度 无 关 ， 而 只与 腔 长 L， 或 共 焦 腔 反 射 镜 焦 距 f=L/2有 关 ， 但 只 在 厄 米 -高 斯 函 数 近 似 下才 成 立 。 2 2/00 00( , ) x yLx y C e 22 /

60、r x y L 0 /S L 2 220 0 02 2( , )mn mn m nS S Sx yx y C H x H y e 例 使 用 共 焦 腔 的 CO2激 光 器 ， 若 L=1m， 输 出 波长 为 10.6um， 则 0S约 为 1.84mm；使 用 共 焦 腔 的 He-Ne激 光 器 ， L=0.3m， 输 出 波 长为 0.6328um， 则 0S约 为 0.25mm； 说 明 共 焦 腔 光 斑 半 径 通 常 很 小 ， 比 反 射 镜 尺 寸 小得 多 ， 因 此 其 广 场 主 要 集 中 在 镜 面 中 心 附 近 ； 除 了 1/e半 径 0S ， 还 有 另

61、 一 种 光 斑 半 径 的 定 义方 式 ， 即 强 度 最 大 值 的 1/2处 （ 半 功 率 点 ） 的 光斑 尺 寸 为 0S 。 2 22 22 /00 00 00( ) ( , ) x yLI r x y C e 00 001( ) (0)2I r I 0 0 0ln2 ln2 0.58892 2S S SL C、 高 阶 横 模 当 m、 n取 不 同 时 为 0的 一 系 列 整 数 时 ， 为 高 阶 横 模 ： TEM mn在 镜 面 上 的 振 幅 分 布 特 点 取 决 于 厄 米 多 项 式 与 高 斯 分 布 函数 的 乘 积 ， 厄 米 多 项 式 的 零 点

62、决 定 场 的 节 线 ， 而 厄 米 多 项 式 的 正负 交 替 与 高 斯 函 数 的 特 性 决 定 场 分 布 的 轮 廓 。 2 22 22 20 02 22 22 20 02 22 22 20 02 22 22010 10 10001 01 010 2 2 220 20 20 02011 11 11202 2 ( , ) 2 2( , ) 2( , ) 4 2 42( , ) 4 S SS SS SSx y x yS x y x yS x y x ySS x y x ySx y C xe C x ex y C ye C yexx y C e C x ex y C xye C xy

63、e 20S D、 相 位 分 布 镜 面 上 等 相 位 面 由 mn(x,y)的 幅 角 决 定 。 由 于 长 椭 球 函 数 为 实 函 数 ， 则 mn(x,y)也 是 实函 数 ， 其 幅 角 为 0， 说 明 镜 面 上 各 点 的 相 位 相同 ， 即 球 面 镜 共 焦 腔 的 反 射 镜 与 自 再 现 模 的 等相 位 面 完 全 重 合 ， 这 一 结 论 对 基 模 和 高 阶 模 都成 立 。 共 焦 腔 与 平 平 腔 的 相 位 分 布 不 同 ；( , ) ( , / ) ( , / )mn om onx y S c X c S c Y c 3、 单 程 损 耗

64、 共 焦 腔 自 再 现 模 的 单 程 损 耗 ： 通 过 计 算 可 以 得 到 不 同 腔 的 损耗 ， 如 右 图 所 示 。 均 匀 平 面 波 夫 琅 和 费 衍 射 的 衍 射损 耗 大 于 平 平 腔 自 再 现 模 的 衍 射损 耗 ， 而 平 平 腔 的 损 耗 大 于 共 焦腔 的 衍 射 损 耗 ； 基 模 的 损 耗 是 所 有 模 式 的 损 耗 中最 少 的 ； 菲 涅 耳 数 越 大 ， 衍 射 损 耗 越 小 ； 2 211 1mn m nmn 共 焦 腔 中 各 个 模 式 的 损 耗 与 腔 的 具 体 尺 寸 无 关 ， 而 单 值 地由 菲 涅 尔 数

65、 确 定 ， TEM00模 的 损 耗 可 近 似 按 下 述 公 式 计 算 ： He-Ne激 光 器 采 用 共 焦 腔 ， L=30cm， 放 电 管 半 径a=0.1cm， 输 出 波 长 0.6328um， 对 应 菲 涅 耳 数 为 5.627，可 以 求 出 而 如 果 采 用 平 平 腔 ， 。 以 上 例 子 说 明 当 采 用 共 焦 腔 时 ， 对 于 通 常 尺 寸 的 激 光 器 ，当 N不 太 小 时 ， 衍 射 损 耗 可 以 忽 略 不 计 。 当 N相 同 时 ， 不 同 的 横 模 有 不 同 的 损 耗 ， 因 此 可 以 利 用 衍射 损 耗 的 差 别

66、 来 进 行 横 模 选 择 。 4.9400 10.9 10 N 25.500 10 00 2% 4、 单 程 相 移 和 谐 振 频 率 单 程 相 移 由 本 征 值 决 定 ： 其 中 除 了 几 何 相 移 以 外 ， 还 存 在 一 个 附 加 相 移 ：该 相 移 与 N无 关 ， 而 是 由 横 模 的 阶 次 决 定 的 ， 这 与 平 平 腔 情 况 不同 ； 由 谐 振 腔 的 谐 振 条 件 可 得 ： 则 谐 振 频 率 为 ： 1arg argmn m nmn 1 /2 ( ) ( )4 ( , ) ( , )i kL m n l lm n om onNe R c l R c l ( 1) /2mn KL m n ( 1) /2m n 2 2 mn q ( 1) /2KL q m n ( 1)/22mnq c q m nL 纵 模 间 隔 ： 当 m、 n不 变 时 ， 由 q变 化 引 起 的 相 邻 纵 模 间 的 频 率 间 隔 为 ： 当 q、 n不 变 时 ， 由 m变 化 引 起 的 相 邻 纵 模 间 的 频 率 间 隔 为 ： 当 q、 m不