平差随机模型的验后估计

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1、第三章 平差随机模型的验后估计 平差随机模型的验后估计 由高马平差时不但要已知函数模型，还必须知道随机模型。 对高马模型中的随机模型进行估计，主要是对观测值的方差进行估计。 一、 、 进行验前方差估计 验前估计： 在平差前，根据一定的观测条件，利用某种计算公式估算 。1、测角网：菲列罗公式2、导线网：按环线闭合差或按方位角闭合差3、测边：PD D P 平差随机模型的验后估计 验前方差（估计）不准确，则平差结果不可靠。 验后估计： 通过平差后得到的一些信息，主要是改正数向量，来估计各类观测值的方差、权。 验后估计的基本思想： 先对各观测量定初权，利用预平差后得观测值改正数 V，按验后估计的方法，

2、由 来估计各类观测值的方差 目的：1.检验不同类观测值权是否合理； 2.通过重复平差 V 的过程，使 使不合理的权得以修正。Ti i iV PV20 i 20 i20202201 . n 函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。 随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质的模型。平差数学模型测量平差数学模型 R（ A） =U R（ Q） =n X为 非 随 机 参 数 1 1 1 nunun XAL 12020 PQD min)()( LXAPLXAPVV TT函数模型: 随机模型: AXLE 0 E, Q VLL )AX

3、-L( )( 2020 1XX o11 XXX T TTT QD un PVVNXAV PANPAPAAX 平差随机模型的验后估计二、赫尔默特（Helmert）方差分量估计（基本思想）1.两类相互独立的观测值：权阵分别为： 且 1211 21 , nn LL2211 21 , nnnn PP 012 P 则误差方程分别为：其中， 第一类观测值的个数， 第二类观测值的个数， 1n 2n 21222111 NNAPAAPAPAAN TTT 21222111 UUlPAlPAPlAU TTT 2*21*2 22 lXAV tnn 1*11*1 11 lXAV tnn 通常，第一次平差给定的两类观测值

4、的权 是不适当的，即对应的单位权方差不相等：2211 21 , nnnn PP 2020 21 因此有：1220 1120 22 11 PD PD LL 方差分量估计：利用平差后各类改正数平方和111 VPVT及 来估计 、 ，使之达到222 VPVT 201 2022020 21 寻找：残差平方和 、 与 、 之间的关系式。111 VPVT 222 VPVT 201 202二次型函数数学期望公式： 1 )()()()( n TTX XAEXEXADtrAXXE的数学期望 ，方差)(XE )(XDA为任意对称可逆阵 nnnnnn APXV 1,111 )()( 11111 VDPtrVPVE

5、T 则：)( )2()( 1121120 11111111112012 1 T TTANNNA PANAANNNAVD )( )()(2()( 211120 21111120111 21 NNNNtr NNtrNNtrnVPVE T 公式： ，m2 m m m 1m 1S W T1 1 12 1 2 2 2V P V V P VW 2212122111 21112111112*2 )()(2)( )()()(2 NNtrNNtrnNNNNtr NNNNtrNNtrNNtrnS 202201 平差随机模型的验后估计法方程： tn Ttntn AAA *2*1* 21 21VVV tnTnttt

6、tnTnttt tnnn Tnttt APAN APAN APAN *22* 2*2 *11* 1*1 * 22 11 平差随机模型的验后估计v取迹： ， ， ，解：t t t t1 tr( )1NN T1 1 1V PV 2 2 2V P V 20 1 20 2 20 1 120 2 S W 2.步骤1）、将观测值按等级、类型分类，进行验前估计定出权P2；2）、进行平差 iiTiTTii VPVPlANX PlANX lXAV 1 03）、按公式WSWS 1 求出求各类观测值的验后差的估值；并检验4）、求出验后权ii DCP ，取C为120 PD ii 201 ?= 20220 i20 i

7、5）、反复2）、3）、4），直至20202201 m 三、简化公式1）、Welsch方差分量估计近似公式： i iiTiii iiTio r VPVNNtrn VPVi )( 1ir 其中第i类观测值多余观测分量 2）、周江文近似公式（略去法方程系数中非对角线元素） tk kii nnNNtr k11 )( tk kkii nnNNtr 1 2 221 )()( tk k kjkiji n nnNNNNtr 1 211 )()()(3）、Ebner 和Forsttner i TiTiiTii n AADAAtrVVq )( 112 2iq第i类观测值的方差 D为验前方差;i iTii iTii

8、 rVVDvDtr VVq i )( 1 122 iii Pq 最小范数二次无偏估计（MINQUE）、极大似然估计， 估计应具有性质，求最小迹。 平差随机模型的验后估计四、二次无偏估计法1、最小范数二次无偏估计（MINQUE）基本途径：先提出估计应具有的性质，然后把满足这些性质的所有条件构成个极值问题，在根据一定准则求极值得到结果。 最小范数二次无偏估计（最小迹）（MINQUE）最小方差二次无偏估计（BIQUE）设观测值误差向量 具有如下形式： HHHH mmn 22111 imiTiimiTiimi i THHHDHDLD ii 1 201 201 )()()( 2020202020201 2121 mmm 方差分量的任意线形函数为： Tim mi im 1 2020202201 21 选取观测量L的某个二次型去估计，即取：MLLT 在MINQUE估计中，就是要求出待定二次型对称阵M，能使估计量具有如下三个性质： 不变形； 无偏性； 最小范数条件。0MB )( ii MTtr min)( MTMTtr