微分几何曲面局部理论

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1、 微 分 几 何 第二章 曲面：局部理论第 一 节 参 数 曲 面 和 第 一 基 本 形 式第 二 节 Gauss映 射 和 第 二 基 本 形 式第 三 节 G-C方 程 和 曲 面 基 本 定 理第 四 节 协 变 微 分 ， 平 行 移 动 和 测 地 线 第二章 曲面：局部理论第 二 节 Gauss映 射 和 第 二 基 本 形 式定 义 给 定 正 则 参 数 曲 面 ， 单 位 法 向 量 对 应 的映 射 称 为 曲 面 的 Gauss映 射 。n :M M M 第二章 曲面：局部理论曲 面 的 很 多 几 何 性 质 体 现 在 其 Gauss映 射 中 ， 例 如l 平 面

2、 的 切 平 面 不 变 ， Gauss映 射 为 常 值 函 数 ；l 圆 柱 的 切 平 面 沿 着 母 线 不 变 ， 则 Gauss映 射 将 圆柱 面 映 射 到 球 面 的 一 个 圆 周 上 ；l 圆 心 在 原 点 的 球 面 ， Gauss映 射 就 是 位 置 向 量的 单 位 化 。 第二章 曲面：局部理论思 路 ： 曲 面 在 点 的 形 状 ， 可 以 由 曲 面 上经 过 点 的 曲 线 的 曲 率 来 描 述 。PM MP 第二章 曲面：局部理论定 义 在 点 由 单 位 切 方 向 和 单 位 法 向量 决 定 的 平 面 称 为 曲 面 在 点 由 此 切 方

3、 向 确 定 的 法 截 面 。 法 截 面 与 曲 面 的 交 线 称 为 曲 面在 点 的 一 条 法 截 线 。假 设 某 条 法 截 线 由 弧 长 参 数 表 示则 它 在 点 的 主 法 向 量 为 ， 曲 率 P PPV T Mn( )PP ( ), (0) , (0) .s P V ( )n PP n n (n ) (0) n( ).VN T T V D P N 第二章 曲面：局部理论命 题 对 任 意 切 向 量 ， 的 方 向 导 数 仍 然 是 切 向 量 。 由 此 定 义 的 映 射是 一 个 对 称 的 线 性 映 射 ， 即我 们 称 为 曲 面 在 点 的 形

4、状 算 子 ， 或 者Weingarten映 射 。 PV T M nn( )V PD P T M PS( ) ( ), , .P P PS U V U S V U V T M P: : n( )P P P VS T M T M V D P 第二章 曲面：局部理论证 明 假 设 法 截 线 有 弧 长 参 数 表 示考 虑 到 是 单 位 向 量 ， 满 足所 以 成 立 。另 外 关 于 向 量 自 然 是 线 性 的 。( ), (0) , (0) .s P V n ( )sn( ) n( ) (n ) (0) (n )(0) 0. VD P P n( )V PD P T Mn nVD V

5、 V 第二章 曲面：局部理论利 用 向 量 函 数 的 混 合 偏 导 来 证 明 当时 满 足 :对 于 ， 都 可 以 写 成 和 的线 性 组 合 ， 容 易 验 证 对 称 性 成 立 。 ,u vU x V x PS( ) n( ) n nn n( ) ( ) . u vP u v x v u v vvv u x u P v uS x x D P x x xx D P x S x x , PU V T M ux vx 第二章 曲面：局部理论命 题 如 果 曲 面 任 意 一 点 的 形 状 算 子 都是 零 ， 则 是 平 面 （ 的 一 部 分 ） 。证 明 由 于那 么 对 于

6、点 附 近 的 任 意 一 个 正 则 参 数 表 示有由 连 通 性 可 以 得 出 是 常 向 量 ， 即 曲 面 是 平 面 。 M P PSM n( ) 0, ,V PD P V T M n n 0. u v P ( , )x u vn 第二章 曲面：局部理论例 1 是 半 径 为 ， 中 心 在 原 点 的 的 球 面 ， 则在 局 部 参 数 表 示 下 Gauss映 射 为它 的 形 状 算 子 满 足所 以 它 在 每 点 切 平 面 上 都 是 的 数 量 线 性 变 换 。M a1n ( , ).x u va 1 1( ) n , ( ) n . P u u u P v v

7、 vS x x S x xa a 1 Ia 第二章 曲面：局部理论对 于 一 般 的 曲 面 ， 我 们 不 容 易 直 接 写 出 形 状 算 子在 切 平 面 的 局 部 标 架 下 的 矩 阵 形 式 。但 是 形 状 算 子 的 关 于 内 积 的 对 称 性 诱 导 我 们 定 义曲 面 的 第 二 基 本 形 式特 别 的 对 于 ,u vx x: ,( , ) ( ) , , . P P PP P PT M T MU V S U V U V T M ( , ) ( ) n( ) .P P VV V S V V D P V , 1,PV T M V 第二章 曲面：局部理论在 点 邻

8、 域 上 的 有 正 则 参 数 表 示 ，有 自 然 的 基 底 ， 我 们 定 义 曲 面 的第 二 类 基 本 量P PT M ,u vx x ( , )x u v( , ) n n,( , ) n n ( , ),( , ) n n. u uvP u u x u uuP u v x v uv P v uP v v x u vvl x x D x xm x x D x x x xn x x D x x 第二章 曲面：局部理论曲 面 的 第 二 基 本 形 式 局 部 参 数 表 示 下 有 对 称 矩 阵形 式类 似 第 一 基 本 形 式 ， 我 们 得 到 曲 面 的 第 二 基 本

9、 形式 的 二 次 微 分 形 式 n n n n .n n n nuu uv u u u vP vu vv v u v vx x x xl m x x x xm n ( , ) nl m dudu dv dx dm n dv 第二章 曲面：局部理论如 果 是 单 位 正 交 标 架 ， 则 矩 阵 就 是形 状 算 子 。 但 是 一 般 情 形 下 ， 有 矩 阵 表 示l 作 为 实 对 称 矩 阵 ， 可 以 对 角 化 ， 它 有 两 个 实特 征 值 ， 记 为 和 。 ,u vx x PPS PS11 . P P E F l mF G m n PS1( )k P 2( )k P

10、第二章 曲面：局部理论定 义 曲 面 在 点 处 的 形 状 算 子 的 特 征值 称 为 曲 面 在 此 点 的 主 曲 率 ； 对 应 的 特 征 方 向称 为 主 方 向 。 如 果 曲 面 上 的 曲 线 每 一 点 的 切 方向 都 是 主 方 向 ， 那 么 这 条 曲 线 称 为 曲 率 线 。l 曲 面 在 任 意 点 的 两 个 主 方 向 是 正 交 的 ， 于 是我 们 可 以 选 择 了 切 平 面 的 一 个 正 交 基 底恰 好 由 主 方 向 向 量 构 成 。 PSM PP pT M 第二章 曲面：局部理论定 理 （ Euler公 式 ） 令 为 曲 面 在 点

11、 的单 位 主 方 向 ， 分 别 对 应 主 曲 率 和 。 假 设切 向 量 ， 其 中 。 则证 明 ： 略 。 2 2 1 2( , ) cos sin .V V k k M P1 2cos sinV e e 1 2,e e 1k 2k 0,2 ) 第二章 曲面：局部理论l 注 意 到 球 面 在 任 意 一 点 的 任 意 方 向 的 法 截 线 都有 相 同 的 （ 非 零 ） 曲 率 ；l 下 图 马 鞍 面 的 有 些 法 截 线 恰 好 是 直 线 。 第二章 曲面：局部理论定 义 如 果 曲 面 切 向 量 确 定 的 法 截线 点 处 的 曲 率 为 零 ， 即 我 们

12、称 为 在 点 的 一 个 渐 近 方 向 。 如 果 曲 面 上 的 曲 线 每 一 点 的 切 方 向 都 是 渐 近 方向 ， 那 么 这 条 曲 线 称 为 渐 近 线 。l 如 果 曲 面 包 含 直 线 ， 则 直 线 为 渐 近 线 。pV T MMP ( , ) 0,P V V V M P 第二章 曲面：局部理论推 论 曲 面 在 点 处 有 渐 近 方 向 当 且 仅 当 证 明 首 先 当 且 仅 当 是 渐 近 方 向 。 然后 不 妨 设 。 如 果 ，那 么 反 过 来 ， 由 ， 我 们 很 容 易 构 造 渐 近方 向 。 1 2 0.k k M P 2e2 0k

13、 2 0k 1 2cos sinV e e 2 2 21 2 1 2cos sin 0 tan 0.k k k k 1 2 0k k V 第二章 曲面：局部理论例 2 如 图 所 示 圆 柱 螺 面 是 一 个 直 纹 面 ， 它 所 有 的 直 母 线 明 显 都 是 渐 近 线 。 另 外 ， 不 太 明 显 的 ， 其 上 的 一 族 圆 柱 螺 线 也 都 是 渐 近 线 。 第二章 曲面：局部理论事 实 上 ， 如 右 图 所 示 ， 在 点处 的 沿 圆 柱 螺 线 单 位 切 向 量 的法 截 线 在 点 为 拐 点 。 因 此 ，圆 柱 螺 线 是 圆 柱 螺 面 上 的 渐

14、近线 。具 体 计 算 为 作 业 。 PP 第二章 曲面：局部理论假 设 为 曲 面 上 一 条 弧 长 参 数 曲 线 ， 满 足那 么 由 之 前 的 计 算 得 到它 给 出 了 曲 线 的 曲 率 向 量 在 曲 面 的 单位 向 量 上 的 投 影 ， 我 们 称 它 为 在 点 处 的 法 曲率 ， 记 为 。 P( , ) n.P V V N ( )s M(0) , (0) .P V N M n 第二章 曲面：局部理论l （ Meusnier公 式 ） 假 设 为 曲 面 上 在 点 的 单 位 切 向 量 为 的 一 条 曲 线 ， 则 其 中 为 曲 线 主 法 向 量 和

15、 曲 面 单 位 法 向量 的 夹 角 。l 曲 面 上 曲 线 在 某 一 点 的 法 曲 率 只 取 决 于 此 点 的切 向 量 。l 渐 近 线 的 法 曲 率 处 处 为 零 。 M PV( , ) cos ,P nV V Nn 第二章 曲面：局部理论l 主 曲 率 是 法 曲 率 的 最 大 值 和 最 小 值 。 不 妨 假设 ， 则 由 Euler公 式 得l 法 曲 率 的 最 大 值 和 最 小 值 出 现 在 互 相 正 交 的 方向 上 。2 1k k2 2 21 2 1 2 1 1cos sin ( )sin ,k k k k k k 2 2 21 2 1 2 2 2

16、cos sin ( )cos .k k k k k k 第二章 曲面：局部理论下 面 我 们 介 绍 曲 面 理 论 中 极 其 重 要 的 一 些 概 念 。定 义 曲 面 在 点 处 的 两 个 主 曲 率 的 乘 积 称 为 在 点 的 Gauss曲 率 ； 主 曲 率 的 平 均 值称 为 在 点 的 中 曲 率 （ 平 均 曲 率 ） 。M P 1 2 det PK k k S M 1 21 1( )2 2 pH k k trS PPM 第二章 曲面：局部理论定 义 曲 面 在 点 处 的 主 曲 率 满 足则 称 为 点 为 曲 面 的 脐 点 。特 别 的 ， 称 为 平 点 。

17、如 果 ， 且 不 是 平 点 ， 则 称 为 抛 物 点 ；如 果 ， 则 称 为 椭 圆 点 ；如 果 ， 则 称 为 双 曲 点 。M P 1 2k k0K P PM1 2 0k k P P0K P0K P 第二章 曲面：局部理论例 3 环 面 的 外 侧 均 为 椭 圆 点 ， 上 下 圆 周 为 抛 物点 ， 内 侧 均 为 双 曲 点 。 第二章 曲面：局部理论例 4 伪 球 面 有 参 数 表 示 其 中 如 图 它 是 由 曳 物 线 得到 的 旋 转 面 。 0, 0,2 ).u v cos sin( , ) ( tanh , , ),cosh coshv vx u v u

18、u u u 第二章 曲面：局部理论l 经 线 是 曲 率 线 ， 并 且 在 经 线 确 定 的 平 面 上 ， 主法 向 量 和 曲 面 的 法 向 量 一 致 。 计 算 经 线的 曲 率 以 初 始 曲 线 为 例 ： 22 22 31( ) ( tanh , ,0),coshsinh tanh( ) ( , ,0),cosh cosh2tanh sinh 1( ) ( , ,0),cosh coshu u u uu uu u uu uu u u nN u 第二章 曲面：局部理论所 以 曲 面 的 一 个 主 曲 率 为 23 3( ) tanh , sinh( ) (0,0, ),co

19、sh( ) 1 .sinh( )u u uu uu uu 1 1 .sinhk u 第二章 曲面：局部理论l 圆 纬 线 是 曲 率 线 ， 曲 率 为 ， 但 这 不是 法 曲 率 。 由 于 和 的 夹 角 ， 利 用Meusnier公 式 得 到 coshu nN 2 cos(cosh )( tanh )sinh .k u uu 第二章 曲面：局部理论l 中 曲 率 为 零 的 曲 面 称 为 极 小 曲 面 ， 如悬 链 面 。 它 的 两 个 主 曲 率 为 相 反 数 ， 因 此 它 只有 平 点 或 者 双 曲 点 ， 没 有 椭 圆 点 。0H 第二章 曲面：局部理论l 中 曲

20、 率 为 非 零 常 数 的 例 子 ： 球面 ， 圆 柱 面 等 。l Gauss曲 率 为 零 的 例 子 ： 平 面 ， 圆 柱 面 ，圆 锥 面 等 。l Gauss曲 率 为 非 零 常 数 的 例 子 ：球 面 ， 伪 球 面 等 。 0H const 0K const 0K 第二章 曲面：局部理论第 三 节 Gauss-Codazzi方 程 和 曲 面 基 本 定 理 给 定 正 则 参 数 曲 面 ， 它 的 局 部 正 则 参 数 表示 给 出 了 的 一 组 基 底 。之 前 的 第 二 类 基 本 形 式 基 本 量 恰 好 是 二 阶微 分 向 量 在 单 位 法 向

21、量 上 的 投 影 。( , )x u v 3 M , ,nu vx x, , uu uv vvx x x , ,l m n( , ) n,( , ) n ( , ),( , ) n.P u u uuP u v uv P v uP v v vvl x x xm x x x x xn x x x n 第二章 曲面：局部理论现 在 我 们 考 虑 上 述 二 阶 微 分 向 量 在 基 底 下 的 线 性 表 示 ：函 数 被 称 为 Christoffel记 号 ， 满 足 对 称 性n,n,n.u vuu uu u uu v u vuv uv u uv vu vvv vv u vv vx x

22、x lx x x mx x x n , ,nu vx x* * *uv vu ( 1)eq 第二章 曲面：局部理论例 1 单 位 球 面 给 定 一 个 参 数 表 示计 算 它 的 Christoffel记 号 。解 ： 首 先 局 部 基 底 是2S( , ) (sin cos ,sin sin ,cos ).x u v u v u v u(cos cos ,cos sin , sin )( sin sin ,sin cos ,0) n ( , ).uvx u v u v ux u v u vx u v * 第二章 曲面：局部理论继 续 求 导 计 算( sin cos , sin sin

23、 , cos ) n( cos sin ,cos cos ,0) (cot )( sin cos , sin sin ,0) sin (cos ,sin ,0).uuuv vvvx u v u v ux u v u v u xx u v u v u v v 第二章 曲面：局部理论容 易 得 到又 由推 出所 以 0,u vuu uu 0, cot ,u vuv uv u (cot ) (0,0, sin )n (0,0,cos )u vv vvx u x ux u 2(sin cos ) (sin )n.vv ux u u x u sin cos , 0.u vvv vvu u 第二章 曲面：

24、局部理论对 于 一 般 的 曲 面 ， 我 们 考 虑 内 积 .u vuu u uu uuu vuu v uu uuu vuv u uv uvu vuv v uv uvu vvv u vv vvu vvv v vv vvx x E Fx x F Gx x E Fx x F Gx x E Fx x F G 第二章 曲面：局部理论观 察 得 到 1 1 1 1( ) , ( )2 2 2 21 1 1 1( ) , ( )2 2 2 21( ) 21 ( ) .2uu u u u u u uv u u u v vuv v v v u u vv v v v v vuu v u v u u uv u

25、 vvv u u v v uv v v ux x x x E x x x x Ex x x x G x x x x Gx x x x x x F Ex x x x x x F G 第二章 曲面：局部理论写 成 矩 阵 形 式 12 12u uuuv uu u vEE FF G F E 1 12 .12u uuuvuu u vEE FF G F E ( 2.1)eq 第二章 曲面：局部理论同 理 1 1212u vuvvuv uEE FF G G 1 12 .12u v uvvvvv vF GE FF G G ( 2.2)eq( 2.3)eq 第二章 曲面：局部理论利 用 (eq-2)验 证 例

26、 1的 结 果2 221 0 0 00 csc 0 01 0 0 00 csc sin cos cot1 0 sin cos sin cos .0 csc 0 0uuuvuuuuvvuvuvvvvv uu u u uu u u uu 第二章 曲面：局部理论形 状 算 子 在 基 底 下 有 矩 阵 表 示这 里 涉 及 的 是 向 量 的 一 阶 微 分 ,u vx xPS 1 21 .a c E F l mb d F G m nlG mF mG nFlF mE mF nEEG F nn n ( ) ( )n n ( ) ( ).u vu x P u u vv x P v u vD S x a

27、x bxD S x cx dx ( 3)eq 第二章 曲面：局部理论这 保 证 我 们 能 继 续 对 等 式 (eq-1） 继 续 求 偏 微 分( ) )( ) )( )n,u u u v uuuv uu v uu uv uu vv uv u v v vuu v uu uv uu vv v u vuu uu vx lc xld xm n l ( ) )( ) )( )n,u u u v uuvu uv u uv uvu uv uv uv u v v vuv u uv uu uv uv vu vuv uv ux ma xmb xl m m 第二章 曲面：局部理论由 于 ， 比 较 线 性 表

28、 示 的 系 数 得 到( ) ( )( ) ( ) .u v u u v uuu v uu vv uv u uv uvv u v v vuu v uu uv uu vvv u v v vuv u uv uu uv uvu v u vv uu uu u uv uvlc mald mbl m n m l m uuv uvux x( 4)eq 第二章 曲面：局部理论同 理 由 ， 比 较 系 数 得 到uvv vvux x( ) ( )( ) ( ) .u u u v uuv v uv uv uv vvu u u v uvv u vv uu vv uvv u v v u vuv v uv uv v

29、v u vv uuu v u vv uv uv u vv vvmc namd nbm m n n l m ( 5)eq 第二章 曲面：局部理论由 上 述 两 组 等 式 (eq-4)和 (eq-5)中 法 向 量 的 系数 得 到 的 是 曲 面 的 Codazzi方 程( )( )u v u v v u uv uv uu uuu v u vv u vv vv uv uvl m l m nm n l m n ( 6)eq 第二章 曲面：局部理论利 用 ， (eq-3)， (eq-4)和(eq-5)得 到 的 是 曲 面 的 Gauss方 程 22( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (

30、)( ) ( ) ( ) .v v u v v v u v vuu v uv u uu uv uu vv uv uu uvu u v u v uuv u uu v uv uv uu uvv v u v u vuv v vv u uv uv vv uuu u u u v u u v uvv u uv v vv uu vv uv uv uv vvEKFKFKGK 22ln mK EG F ( 7)eq 第二章 曲面：局部理论当 时 ， 由 Gauss方 程 我 们 得 到 （ 习 题 ）定 理 (Gauss s Theorema Egregium）曲 面 的 Gauss曲 率 由 曲 面 的 第

31、一 基 本 形 式 决 定 ，即 它 在 曲 面 的 局 部 等 距 对 应 下 保 持 不 变 。0F 1 ( ) ( ) ).2 v uv uE GK EG EG EG ( 8)eq 第二章 曲面：局部理论l Gauss曲 率 的 定 义 利 用 了 曲 面 在 空 间 的 位 置 ，但 实 际 上 却 并 不 依 赖 于 位 置 而 只 依 赖 于 曲 面 的度 量 结 构 （ 第 一 基 本 形 式 ） ；l 专 门 研 究 曲 面 上 由 第 一 基 本 形 式 决 定 的 几 何 学称 为 内 蕴 几 何 学 ， 它 在 高 维 的 推 广 就 是Riemann 几 何 学 。 第

32、二章 曲面：局部理论l Gauss Codazzi方 程 被 称 为 曲 面 论 的 相 容 性 方程 。l 通 过 逐 次 微 分 或 任 何 别 的 手 段 ， 我 们 不 能 在 曲面 的 第 一 基 本 形 式 和 第 二 基 本 形 式 基 本 量 及 其 导 数 之 间 得 到 更 多 的 关 系式 。 事 实 上 ， 第 一 基 本 形 式 和 第 二 基 本 形 式 局 部上 决 定 了 曲 面 。 , , , , ,E F G l m n 第二章 曲面：局部理论曲 面 论 基 本 定 理唯 一 性 ： 两 个 正 则 参 数 曲 面 只 相 差 一个 刚 体 运 动 ， 即

33、存 在 使 得 当 且 仅 当 它 们 有 相 同 的 第 一 基 本 形 式 和第 二 基 本 形 式 。 * 3, :x x U * A bx x 3A (3), bO 第二章 曲面：局部理论存 在 性 ： 给 定 区 域 上 函 数 满 足 和 Gauss Codazzi方 程 ， 则 每 一 点 局 部 上存 在 邻 域 和 正 则 参 数 曲 面 满足 2V 20, 0E EG F 3:x U , , , , ,E F G l m n2 22 222 .Edu Fdudv Gdvldu mdudv ndv P VU V 第二章 曲面：局部理论l 曲 面 论 基 本 定 理 的 存 在

34、 性 部 分 要 用 到 到 偏 微 分方 程 组 的 解 的 存 在 定 理 ， 其 中 Gauss Codazzi方 程 保 证 了 对 应 的 偏 微 分 方 程 组 的 可 积 性 。l 曲 面 论 基 本 定 理 的 唯 一 性 部 分 和 曲 线 论 基 本 定理 类 似 。 要 注 意 的 区 别 是 曲 面 的 局 部 自 然 标 架不 是 单 位 正 交 的 。 第二章 曲面：局部理论第 四 节 协 变 微 分 ， 平 行 移 动 和 测 地 线l 曲 面 的 内 蕴 几 何 概 念 之 一 ： “ 平 行 移 动 ” 。 l 如 何 比 较 曲 面 上 任 意 两 点 的

35、切 向 量 ?怎 么 判 断它 们 是 否 平 行 ？ 第二章 曲面：局部理论定 义 ： 给 定 正 则 参 数 曲 面 ， 向 量 函 数 称 为 上 一 个 （ 切 ） 向 量 场 ， 如 果 它 满 足（ 1）（ 2） 对 于 曲 面 任 意 的 正 则 参 数 表 示 函 数 都 是 连 续 可 微 的 。3:W M ( ) , ; PW P T M P M M :x U M3:W x U M 第二章 曲面：局部理论 于 是 我 们 可 以 考 虑 对 曲 面 上 的 切 向 量 场 求 关于 切 向 量 的 方 向 导 数 ： 选 取 曲 面 上 的 一 条 参 数 曲 线 满 足

36、则l 注 意 :曲 面 上 “ 居 民 ” 只 看 得 到 上 述 向 量 在 曲 面切 平 面 的 投 影 ！ W( ) (0). VD W W (0) , (0) ,P V PV T M :( , ) M 第二章 曲面：局部理论定 义 曲 面 上 的 可 微 切 向 量 场 关 于 切 向量 的 协 变 导 数 为给 定 上 曲 线 ， 如 果则 称 向 量 场 沿 参 数 曲 线 平 行 。W( ) ( n)n.TV V V VW D W D W D W ( ) 0, ,t W t I PV T M MM : I M W 第二章 曲面：局部理论例 1 单 位 球 面 上 任 意 一 个

37、大 圆 的 切 向 量场 是 单 位 切 向 量 场 ，恰 好 是 指 向 球 心 ， 所 以l 球 面 上 大 圆 的 切 向 量 场 沿 着 大 圆 平 行 。l 另 外 常 向 量 场 沿 着 球 面 的 赤 道 平 行 。( ) ( ) ( ) n( ).sD T s T s s 2S( )T s ( )s( ) ( ) 0.s T s (0,0,1) 第二章 曲面：局部理论例 2 曲 面 上 参 数 曲 线 上 对 应 的 切 向 量 场 的 协变 导 数 恰 好 可 以 由 Christoffel记 号 表 示 。 在 给 定 局 部 参 数 表 示 下M :x U M( ) ,(

38、 ) ,( ) . u uv v uv v T u vx u x u uu u uu vT u vx u x u uv u uv v x vT u vx v x v vv u vv vx D x x xx D x x x xx D x x x 第二章 曲面：局部理论命 题 设 是 曲 面 上 一 条 参 数 曲线 ， 且 ， 切 向 量 。 则 沿 着 存 在 唯 一 的 平 行 向 量 场 使 得 。证 明 ： 不 妨 设 曲 线 包 含 在 某 个 参 数 表 示中 ， 有 。 进 一 步 假 设 (0) P :0,1 M 0 PW T MM W 0( )W P W( , ):x u v

39、U M( ) ( ( ), ( )t u t v t ( ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ) ( ( ), ( )u vW t a t x u t v t b t x u t v t 第二章 曲面：局部理论由 于 ， 我 们 计 算( ) ( ) ( )u vt u t x v t x ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) )( ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( )T Tt u vT Tu v u v Tu v uu uvTvu vvu u uuu

40、 uv vudW W t a t x b t xdt d da t x b t x a t x b t xdt dta t x b t x a t u t x v t xb t u t x v t xa t a t u t v t b t u t ( )( ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) .uvv uv v v vuu uv vu vv vv t xb t a t u t v t b t u t v t x 第二章 曲面：局部理论 是 沿 着 的 平 行 向 量 场 当 且 仅 当是 下 列 方 程 组 的 解 ：由 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 定

41、理 ， 只 要 取 定 了 ， 使 得 ，我 们 就 得 到 唯 一 的 平 行 向 量 场 满 足 。( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) 0( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) 0.u u u uuu uv vu vvv v v v uu uv vu vva t a t u t v t b t u t v tb t a t u t v t b t u t v t W ( ), ( )a t b t(0), (0)a b 0( )W P WW0 (0) (0)u vW a x b x ( 1)eq 第二章 曲面：局部理论定 义 设 是 曲 面 上

42、一 条 参 数 曲线 ， 且 起 始 点 为 。 是 沿 的 平 行 向 量 场 ， 则 向 量 称 为 沿 到 点 的 平 行 移 动 。l 之 前 的 命 题 的 存 在 唯 一 性 结 论 保 证 了 平 行 移 动定 义 的 合 理 性 。l 如 果 曲 线 是 正 则 的 ， 则 平 行 移动 不 依 赖 于 的 参 数 表 示 。(0), (1)P Q :0,1 M M0 ( )W W PW ( )W Q Q (0,1):0,1 M 第二章 曲面：局部理论例 3 单 位 球 面上 纬 线 圆 ， 考 虑 向 量 从 点 出 发 沿 着 纬 线 逆 时 针 的 平 行 移 动 。0

43、vX x0 0( 0, )u u u ( , ) (sin cos ,sin sin ,cos )x u v u v u v u0( , 0)P u u v 第二章 曲面：局部理论解 ： 将 单 位 球 面 Christoffel记 号 的 计 算 结 果 带 入方 程 (eq-1)中 得 到加 上 初 始 值 条 件 ， 解 得l 观 察 到 。 平 行 移 动 保 持 切向 量 的 长 度 不 变 ？ 0 00( ) sin cos ( )( ) cot ( ).a t u u b tb t u a t (0) 0, (0) 1a b 0 0 0( ) sin sin(cos ) ), (

44、 ) cos(cos ) ).a t u u t b t u t 2 2 0( ( ) sinX t u 第二章 曲面：局部理论命 题 假 设 和 是 沿 的 两 个 平行 向 量 场 ， 则 内 积 为 常 数 。 推 论 平 行 移 动 保 持 向 量 的 长 度 和 夹 角 。证 明 ： 向 量 场 沿 平 行 ， 则 与平 行 ， 则同 理 W ( ( ) ( ( )W t V t ( ):t I M VW ( )tD W n( )( ( ) ( ( ) ( ( ) 0.tW t V t D W V t ( ( ) ( ( ) 0.W t V t ( ( ) ( ( ) 0 ( ( )

45、 ( ( ) co .d W t V t W t V t nstdt 第二章 曲面：局部理论l 平 面 中 “ 直 线 ” 在 曲 面 的 推 广 “ 测 地 线 ” 。 l 曲 面 上 两 点 之 间 的 最 短 连 线 是 什 么 ？定 义 曲 面 上 一 条 非 常 值 参 数 曲 线 称 为 测 地 线 （ geodesic） ， 如 果 切 向 量 场 沿 平 行 ， 即l 测 地 线 满 足 ， 参 数 曲 线 正 则 ， 可以 引 进 弧 长 参 数 。0. : I M ( )tM ( ) 0t c s ct 第二章 曲面：局部理论l 曲 面 上 以 弧 长 为 参 数 的 测

46、地 线 的 曲 率 向 量 在 曲 面 的 切 平 面 上 投 影 为 零 ， 即 测 地 线 在 每 点 的主 法 向 量 与 曲 面 的 法 向 量 平 行 。 这 里 曲 线 的 曲 率 向 量 在 曲 面 法 向 量 上 的 投 影恰 好 是 曲 线 的 法 曲 率 。 ( )s( )( ) ( )sN s D s 第二章 曲面：局部理论曲 面 上 一 条 弧 长 参 数 曲 线 在 考 虑 法 曲 率 时 ， 我 们 实 际 上 引 入 了 有 别 于Frenet标 架 的 另 一 个 标 架 （ Darboux标 架 ） 。 ,n ,nT T: I M M 第二章 曲面：局部理论此

47、 时 ， 曲 率 向 量 可 以 分 解 为其 中 法 曲 率 是 曲 率 的 法 分 量 ， 而 是 曲 率的 切 分 量 ， 称 为 曲 面 上 曲 线 的 测 地 曲 率（ geodesic curvature)。l 曲 线 是 曲 面 测 地 线 当 且 仅 当 它 的 测 地 曲 率 为 零 。例 1证 明 球 面 上 的 大 圆 是 测 地 线 。 ( (n )(n ) ( n)n ngN N T T N n g 第二章 曲面：局部理论定 理 （ Liouville公 式 ） 假 设 是 曲 面 上 的 正 交 参 数 表 示 ， 是 上 的一 条 曲 线 ， 其 中 是 弧 长

48、参 数 。 假 定 曲 线 与 曲 线 的 夹 角 为 ， 则 曲线 的 测 地 曲 率 为 M( ( ), ( )x u s v s ( , )x u v M 1 ln 1 lncos sin .2 2 g d E Gds v uG E us 第二章 曲面：局部理论证 明 ： 曲 线 和 曲 线 的 单 位 切 向 量 为 曲 线 的 切 向 量夹 角 满 足Darboux标 架 中 1 2,du dvT E e G eds ds 1 2n sin cos .T e e 1 21 1, .u ve x e xE G cos , sin .du dvE Gds ds u v 第二章 曲面：局部

49、理论曲 率 向 量 计 算 测 地 曲 率 得 到其 中 1 21 2( sin cos ) cos sin ,de dedT dN e eds ds ds ds 1 2(n )g dedN T eds ds 1 2 1 ( )1 ( ).2 2v vuu uvv ude du dveds ds dsEG E Gdu dvds dsEG 第二章 曲面：局部理论于 是 定 理 成 立 。 特 别 的 ， 曲 线 和 曲 线 的 测 地曲 率 分 别 为 因 此 Liouville公 式 可 以 改 写 成 1 21 ln 1 ln, .2 2g gE Gv uG E 1 2cos sin .g

50、g gdds u v 第二章 曲面：局部理论 一 般 情 况 ， 利 用 (eq-1)， 其 中我 们 得 出 测 地 线 满 足 方 程由 常 微 分 方 程 组 解 的 存 在 唯 一 性 得 到 以 下 推 论 2 22 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0.u u uuu uv vvv v vuu uv vvu t u t u t v t v tv t u t u t v t v t ( ) ( ), ( ) ( )a t u t b t v t ( ) ( ( ), ( )t x u t v t ( 2)eq 第二章 曲面：局

51、部理论命 题 在 曲 面 上 给 定 点 和 非 零 切 向 量 存 在 和 唯 一 的 测 地 线 满 足l 由 上 面 命 题 中 的 唯 一 性 可 推 出 球 面 上 测 地 线 只能 是 大 圆 ；l 平 面 上 的 测 地 线 只 能 是 直 线 。, 0PV T M V M :( , ) M P M0 (0) , (0) .P V 第二章 曲面：局部理论定 理 测 地 线 在 局 部 上 使 得 弧 长 极 小 。证 明 思 路 ： 曲 面 上 取 定 任 意 一 点 和 过 点 的 测 地 线 。 假 设 是 上 过 点 并 且 与 正 交 的 曲 线 。我 们 可 以 构 造

52、 曲 面 局 部 参 数 表 示 满 足 ,并 且l 曲 线 都 是 与 正 交 的 测 地 线 ；l 曲 线 与 曲 线 正 交 。M 0C P ( , )x u v PM P(0,0)x P uuv 0C 第二章 曲面：局部理论 第二章 曲面：局部理论对 于 曲 线 上 任 意 一 点 ， 考 察 曲 面 上 和 的 连 线 ， 不 妨 设 其 有 参 数 表 示曲 面 的 第 一 基 本 量 在 此 构 造 下 满 足 （ 习 题 2） MQ 0( ,0)Q x uP ( ) ( ( ), ( ) : , .t x u t v t a b M ( ), 0, ( , ).E E u F

53、G G u v 第二章 曲面：局部理论则 的 弧 长 满 足其 中 是 连 接 和 的 测 地 线 弧 长 。l 平 面 上 两 点 之 间 的 连 线 以 直 线 段 最 短 。 （ 整 体 ） 00 ( )u E u du Q 02 20( ) ( ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) . bab ualength E u t u t G u t v t v t dtE u t u t dt E u du P 第二章 曲面：局部理论例 5 如 图 所 示 ， 连 接 球 面 上 的 任 意 两 点 和 的 测 地 线 可 以 是 两 个 弧 长 不 等 的 大 圆 弧 （ 共 同组 成 一 个 大 圆 ） 。曲 面 上 连 接 两 点的 测 地 线 的 弧 长不 一 定 是 最 小 。 P Q