随机信号分析

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1、 2.2 随 机 过 程 一 般 描 述 2.3 平 稳 随 机 过 程 2.4平 稳 随 机 过 程 的 相 关 函 数 与 功 率 谱 2.5高 斯 过 程 2.6窄 带 随 机 过 程 2.7正 弦 波 加 窄 带 高 斯 噪 声 2. 8随 机 过 程 通 过 线 性 系 统第 2 章 随 机 信 号 分 析 2.2 随 机 过 程 一 般 描 述确 定 性 信 号 是 时 间 的 确 定 函 数 ， 随 机 信号 是 时 间 的 不 确 定 函 数 。通 信 中 干 扰 是 随 机 信 号 ， 通 信 中 的 有 用信 号 也 是 随 机 信 号 。描 述 随 机 信 号 的 数 学

2、 工 具 是 随 机 过 程 ，基 本 的 思 想 是 把 概 率 论 中 的 随 机 变 量 的概 念 推 广 到 时 间 函 数 。 随 机 过 程 的 数 学 定 义 ：设 随 机 试 验 E的 可 能 结 果 为 (t)， 试 验 的 样本 空 间 S为 x1(t), x2(t)， , xn(t),， xi(t)是 第 i次 试 验 的 样 本 函 数 或 实 现 ， 每 次 试 验得 到 一 个 样 本 函 数 ， 所 有 可 能 出 现 的 结 果的 总 体 就 构 成 一 随 机 过 程 ， 记 作 (t)。两 层 含 义 ：l随 机 过 程 (t)在 任 一 时 刻 都 是 随

3、 机 变 量 ；l随 机 过 程 (t)是 大 量 样 本 函 数 的 集 合 。 随 机 过 程 举 例 ： 随 机 过 程 基 本 特 征 其 一 ， 它 是 一 个 时 间 函 数 ； 其 二 ， 在 固 定 的 某 一 观 察 时 刻 t1， (t1)是 随机 变 量 。 随 机 过 程 具 有 随 机 变 量 和 时 间 函 数 的 特 点 。l随 机 过 程 (t)在 任 一 时 刻 都 是 随 机 变 量 ；l随 机 过 程 (t)是 大 量 样 本 函 数 的 集 合 。 随 机 过 程 的 统 计 描 述设 (t)表 示 随 机 过 程 ， 在 任 意 给 定 的 时 刻t1

4、 T， (t1)是 一 个 一 维 随 机 变 量 。一 维 分 布 函 数 ： 随 机 变 量 (t1)小 于 或 等 于某 一 数 值 x1的 概 率 ， 即 F1(x1,t1)=P (t1)x1 一 维 概 率 密 度 函 数 1 111111 ),(),( x txFtxf n维 分 布 函 数 ： Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)P (t1)x1,(t2)x2, (tn)xnn维 概 率 密 度 函 数 n nnnnn xxx tttxxFtttxxxf . ).,.;,().,;.,( 21 2,1212121 随 机 过 程 的 一 维 数 字 特 征数 学 期 望方

5、 差 )(),()( 1 tadxtxxftE 21 )(),(2 tadxtxfx 2)()()( tatEtD 随 机 过 程 的 二 维 数 字 特 征自 协 方 差 函 数 B(t1,t2)=E (t1)-a(t1) (t2)-a(t2) 自 相 关 函 数 R(t1,t2)=E (t1)(t2)设 (t)和 (t)分 别 表 示 两 个 随 机 过 程 ， 互相 关 函 数 R(t1, t2)=E (t1)(t2) 2. 3平 稳 随 机 过 程统 计 特 性 不 随 时 间 的 推 移 而 变 化 的 随 机 过程 称 为 平 稳 随 机 过 程 。设 随 机 过 程 (t), 若

6、 对 于 任 意 n和 任 意 选 定 t1 t2 tn, tk T， k=1, 2, , n， 以 及 为任 意 值 ， 且 x1, x2, , xn R， 有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn) =fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+ )则 称 (t)是 平 稳 随 机 过 程 。 平 稳 随 机 过 程 的 定 义 说 明 ： 当 取 样 点 在 时间 轴 上 作 任 意 平 移 时 ， 随 机 过 程 的 所 有 有限 维 分 布 函 数 是 不 变 的 。推 论 ： 一 维 分 布 与 时 间 t无 关 ， 二 维 分 布只

7、与 时 间 间 隔 有 关 。 从 而 有R(t1, t2)=E (t1)(t1+) =R(t 1, t1+)=R() adxxfxtE 1111 ),()( 广 义 平 稳 随 机 过 程平 稳 随 机 过 程 的 定 义 对 于 一 切 n都 需 成 立 ， 这 在 实 际 应 用 上 很 复 杂 。 由 平 稳 随 机 过程 的 均 值 是 常 数 ， 自 相 关 函 数 是 的 函 数还 可 以 引 入 另 一 种 平 稳 随 机 过 程 的 定 义 ：若 随 机 过 程 (t)的 均 值 为 常 数 ， 自 相 关 函数 仅 是 的 函 数 ， 则 称 它 为 宽 平 稳 随 机 过

8、程 或 广 义 平 稳 随 机 过 程 。 平 稳 随 机 过 程 在 满 足 一 定 条 件 下 有 一 个有 趣 而 又 非 常 有 用 的 特 性 ， 称 为 “ 各 态历 经 性 ” 。若 平 稳 随 机 过 程 的 数 字 特 征 （ 均 为 统 计平 均 ） 完 全 可 由 随 机 过 程 中 的 任 一 实 现的 数 字 特 征 （ 均 为 时 间 平 均 ） 来 替 代 ，则 称 平 稳 随 机 过 程 具 有 “ 各 态 历 经 性 ” 。各 态 历 经 性 各 态 历 经 随 机 过 程 2/ 2/ )(1)( lim TTT dttxTtxa 2/ 2/ )()(1)()

9、()( lim TTT dtTXtxTTXtxR “各 态 历 经 ” 的 含 义 ： 随 机 过 程 中 的 任 一 实 现都 经 历 了 随 机 过 程 的 所 有 可 能 状 态 。 因 此 ， 我们 无 需 获 得 大 量 用 来 计 算 统 计 平 均 的 样 本 函 数 ，而 只 需 从 任 意 一 个 随 机 过 程 的 样 本 函 数 中 就 可获 得 它 的 所 有 的 数 字 特 征 ， 从 而 使 “ 统 计 平 均 ”化 为 “ 时 间 平 均 ” ， 使 实 际 测 量 和 计 算 的 问 题大 为 简 化 。 2.4 平 稳 过 程 的 相 关 函 数 与 功 率

10、谱自 相 关 函 数 的 意 义 ：l平 稳 随 机 过 程 的 统 计 特 性 ， 如 数 字 特 征等 ， 可 通 过 自 相 关 函 数 来 描 述l自 相 关 函 数 与 平 稳 随 机 过 程 的 谱 特 性 有着 内 在 的 联 系 。 因 此 ， 我 们 有 必 要 了 解平 稳 随 机 过 程 自 相 关 函 数 的 性 质 。自 相 关 函 数 定 义 ： R()=E (t)(t+) 自 相 关 函 数 主 要 性 质 ：lR(0)=E2(t)=S-(t)的 平 均 功 率lR()= R(-) -偶 函 数l|R()| R(0) -上 界lR()=E2(t) -(t)的 直

11、流 功 率lR(0)-R()=2 -(t)的 交 流 功 率 。(t)的 任 一 样 本 函 数 的 功 率 谱 密 度 为式 中 ， F T()是 fT(t)的 频 谱 函 数 ； fT(t)是 f(t)的短 截 函 数 ； f(t)是 (t)的 任 一 实 现 。TFP TTs 2)()( lim 由 于 (t)是 无 穷 多 个 实 现 的 集 合 ， 因 此 ，某 一 实 现 的 功 率 谱 密 度 不 能 作 为 过 程 的功 率 谱 密 度 。 过 程 的 功 率 谱 密 度 应 看 做是 任 一 实 现 的 功 率 谱 的 统 计 平 均 ， 即 (t)的 平 均 功 率 S可

12、表 示 成 TFEPEP TTs 2)()()( lim dTFEdpS TT 2)(21)(21 lim 由 (t)功 率 谱 密 度 的 定 义 ， 很 难 直 接 计 算功 率 谱 。 确 知 信 号 的 自 相 关 函 数 与 其 功率 谱 密 度 是 傅 氏 变 换 对 。 对 于 平 稳 随 机过 程 ， 也 有 类 似 的 关 系 ， 即 deRP rj)()( TFE T 2)( 2/ 2/ 2/ 2/ )()(1 TT tjTTT tjT dtetdtetTE 2/ 2/ 2/ 2/ )( )(1 TT TT ttj dtdtettRTE 利 用 二 重 积 分 换 元 法

13、， 则 上 式 可 化 简 成 ：于 是简 记 为 R() P()。上 称 为 维 纳 -辛 钦 关 系 ， 在 平 稳 随 机 过 程 的理 论 和 应 用 中 是 一 个 非 常 重 要 的 工 具 。 它是 联 系 频 域 和 时 域 的 基 本 关 系 式 。 2 )(1)( TT jT deRTTFE TFEp TT 2)()( lim deR j)( 例 2-1随 机 相 位 余 弦 波 (t)=Acos(ct+)， 其 中A和 c均 为 常 数 ， 是 在 (0,2)内 均 匀 分 布 的 随机 变 量 。 求 (t)的 自 相 关 函 数 与 功 率 谱 密 度 。解 ： (1

14、) 先 考 察 (t)是 否 广 义 平 稳 。 (t)的 数 学期 望 为 dtAtEta c 21)cos()()( 20 dttA cc )sinsincos(cos2 20 常 数 ）(0sinsin(coscos2 2020 dtdtA cc (t)的 自 相 关 函 数 为 ： )()(),( 2121 ttEttR )sin()sin( 2010 ttE )sin()sin( 000 ttE 0cos21令 t1=t, t2=t+,经 过 推 导 得 ： deRP j)()( 因 为 cosc (-c)+(+c)所 以 ， P()= (- c)+(+ c)2仅 与 有 关 。 由

15、 此 看 出 ， (t)是 宽 平 稳 随 机过 程 。 它 的 功 率 谱 密 度 为 ： 定 义 若 随 机 过 程 (t)的 任 意 n维 （ n=1, 2, ） 分 布 都 是 正 态 分 布 ， 则 称 它 为 高斯 随 机 过 程 或 正 态 过 程 。 其 n维 正 态 概 率密 度 函 数 表 示 如 下 ： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 2.5 高 斯 过 程 21 2121 .)2( 1 Bn )(2 1exp. 11 k kkj kjnk jknj axaxBB 式 中 , ak=E(tk)， 2k=E(tk)-ak2， |B|为 归一 化 协 方 差 矩

16、 阵 的 行 列 式 ， 即 B b12 b1n B21 1 b2n Bn1 bn2 1 |B|jk为 行 列 式 |B|中 元 素 bjk的 代 数 余 因 子 ，bjk为 归 一 化 协 方 差 函 数 ： jk kkjjjk atatEb )()( 高 斯 过 程 的 特 点 ：l高 斯 过 程 的 n维 分 布 完 全 由 n个 随 机 变 量的 数 学 期 望 、 方 差 和 两 两 之 间 的 归 一 化协 方 差 函 数 所 决 定 。 因 此 ， 对 于 高 斯 过程 ， 只 要 研 究 它 的 数 字 特 征 就 可 以 了 。l如 果 过 程 是 宽 平 稳 的 ， 即 其

17、 均 值 与 时 间无 关 ， 协 方 差 函 数 只 与 时 间 间 隔 有 关 ，而 与 时 间 起 点 无 关 ， 则 它 的 M维 分 布 也与 时 间 起 点 无 关 ， 故 它 也 是 严 平 稳 的 。l如 果 高 斯 过 程 在 不 同 时 刻 的 取 值 是 不 相关 的 ， 则 即 对 所 有 jk， 有 b jk=0， 于 是 =f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn)这 就 是 说 ， 如 果 高 斯 过 程 中 的 随 机 变 量 是 互不 相 关 的 ， 则 它 们 也 是 统 计 独 立 的 。fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , t

18、n)= nj j jjnj jn ax1 2 212 2 )(exp)2( 1 Nj j jjj ax1 2 22 )(exp21 常 用 的 是 高 斯 过 程 的 一 维 分 布 。 高 斯 过程 在 任 一 时 刻 上 的 样 值 是 一 维 高 斯 随 机变 量 ， 其 概 率 密 度 函 数 可 表 示 为概 率 密 度 函 数 的 曲 线 为 2 22 )(exp21)( axxf f (x) 1 2 O a x 特 点lf(x)对 称 于 x=a这 条 直 线 。l ，l a表 示 分 布 中 心 ， 表 示 集 中 程 度 ， f(x)图 形 将 随 着 的 减 小 而 变 高

19、 和 变 窄 。 当a=0， =1时 ， 称 f(x)为 标 准 正 态 分 布 的密 度 函 数 。正 态 分 布 函 数 1)( dxxf 21)()( 00 dxxfdxxf axdzazxF x 2 22 )(exp21)( 这 里 的称 为 正 态 概 率 积 分 。 这 个 积 分 无 法 用 闭 合形 式 计 算 ， 我 们 要 设 法 把 这 个 积 分 式 和 可以 在 数 学 手 册 上 查 出 积 分 值 的 特 殊 函 数 联系 起 来 ， 一 般 常 用 以 下 特 殊 函 数 ： 误 差 函 数互 补 误 差 函 数 x z dzx 22exp21 x t dtex

20、erf 0 22)( x t dtexerfxerfc 22)(1)( 几 种 函 数 的 关 系 为 )2(22)( xxerfc 1)2(2)( xxerf 高 斯 白 噪 声 一 类 特 殊 的 高 斯 过 程 高 斯 白 噪 声 ， 它 的 功 率 谱 密 度 均 匀 分 布 在 整 个 频 率 范围 内 ， 即 这 种 噪 声 被 称 为 白 噪 声 ， 它 是 一 个 理想 的 宽 带 随 机 过 程 。 式 中 n0为 一 常 数 ，单 位 是 瓦 /赫 。 显 然 ， 白 噪 声 的 自 相 关 函数 可 借 助 于 下 式 求 得 ， 即 ,2)( 0nP 随 机 过 程 通

21、 过 以 fc为 中 心 频 率 的 窄 带 系 统 的 输 出 ， 即是 窄 带 过 程 。 所 谓 窄 带 系 统 ， 是 指 其 通 带 宽 度 ffc， 且 fc远 离 零 频 率 的 系 统 。 实 际 中 ， 大 多数 通 信 系 统 都 是 窄 带 型 的 ， 通 过 窄 带 系 统 的 信 号 或噪 声 必 是 窄 带 的 ， 如 果 这 时 的 信 号 或 噪 声 又 是 随 机的 ， 则 称 它 们 为 窄 带 随 机 过 程 。 如 用 示 波 器 观 察 一个 实 现 的 波 形 ， 则 如 图 2 - 4所 示 ， 它 是 一 个 频 率近 似 为 f c， 包 络

22、和 相 位 随 机 缓 变 的 正 弦 波 。 2.6 窄 带 随 机 过 程 图 2-4 窄 带 过 程 的 频 谱 及 示 意 波 形fc O S( f ) f ffc f(a) tO S( f ) 缓 慢 变 化 的 包 络 a(t)频 率 近 似 为 fc(b) 因 此 ， 窄 带 随 机 过 程 (t)可 用 下 式 表 示 :(t)=a(t) cos ct+(t) , a(t)0 (2.6 - 1) 等 价 式 为 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.6 - 2) 其 中 c(t)=a(t)cos(t) (2.6 - 3) s(t)=a(t) sin(t) (2.

23、6 - 4)式 中 , a (t)及 (t)分 别 是 (t)的 包 络 函 数 和 随 机 相 位 函 数 ，c(t)及 s(t)分 别 称 为 (t)的 同 相 分 量 和 正 交 分 量 。 由 式 （ 2.6 - 1） 至 (2.6 - 4)看 出 ， (t)的 统 计 特 性 可由 a(t)， (t)或 c(t),s(t)的 统 计 特 性 确 定 。 反 之 ， 如 果已 知 (t)的 统 计 特 性 则 可 确 定 a(t),(t)以 及 c(t)， s(t)的 统 计 特 性 。 同 相 和 正 交 分 量 的 统 计 特 性 设 窄 带 过 程 (t)是 平 稳 高 斯 窄

24、带 过 程 ， 且 均 值 为零 ,方 差 为 2。 下 面 将 证 明 它 的 同 相 分 量 c(t)和 正 交分 量 s(t)也 是 零 均 值 的 平 稳 高 斯 过 程 ， 而 且 与 (t)具有 相 同 的 方 差 。 1. 数 学 期 望 对 式 （ 2.6 - 2） 求 数 学 期 望 :E(t)=E c(t)cosct-Es(t)sinct (2.6- 5)可 得 Ec(t)=0 Es(t)= 0 (2.6 - 6)2. 自 相 关 函 数 R(t, t+)=E (t)(t+) =E c(t)cosct-s(t) sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t

25、+) =Rc(t,t+)cosctcosc(t+)- Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)- R c(t, t+) sinctcosc(t+) Rs(t, t+) sinctsinc(t+) (2.6-7) =Rc(t,t+)cosctcosc(t+)- Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)- Rc(t, t+) sinctcosc(t+) Rs(t, t+) sinctsinc(t+) 式 中 Rc(t, t+)=E c(t)c(t+) Rcs(t, t+)=E c(t)s(t+) Rsc(t, t+)=E s(t)c(t+) Rs(t, t+)=E s(t)s(t+) 因

26、为 (t)是 平 稳 的 ， 故 有 R(t, t+)=R () 这 就 要 求 式 （ 2.6 - 7） 的 右 边 也 应 该 与 t无 关 ， 而 仅与 时 间 间 隔 有 关 。 若 取 使 sin ct=0 的 所 有 t值 ， 则式 （ 2.6 - 7） 应 变 为 R()=Rc(t, t+) cosc- Rcs(t, t+)sinc (2.6 - 8) 这 时 ， 显 然 应 有 Rc(t, t+)=Rc() Rcs(t, t+)=Rcs() 所 以 ， 式 （ 2.6 - 8） 变 为 R()=Rc()cosc- Rcs() sinc (2.6 - 9)再 取 使 cosct=

27、0的 所 有 t值 ， 同 理 有 R()=Rs()cosc+ Rsc()sinc (2.6 -10） 由 以 上 的 数 学 期 望 和 自 相 关 函 数 分 析 可 知 ， 如果 窄 带 过 程 (t)是 平 稳 的 ， 则 c(t)与 s(t)也 必 将 是 平稳 的 。 进 一 步 分 析 ， 式 （ 2.6 - 9） 和 式 （ 2.6 - 10） 应 同时 成 立 ， 故 有 Rc()=Rs() (2.6 - 11) Rcs()= Rsc() (2.6 - 12) 可 见 ， 同 相 分 量 c(t)和 正 交 分 量 s(t)具 有 相 同 的自 相 关 函 数 ， 而 且 根

28、 据 互 相 关 函 数 的 性 质 ， 应 有 Rcs()=Rsc(-) 将 上 式 代 入 式 （ 2.6 - 12） ， 可 得 Rsc()=-Rsc(-) (2.6- 13) 同 理 可 推 得 Rcs()=-Rcs(-) (2.5 - 14) 式 （ 2.6 - 13） 、 （ 2.6- 14） 说 明 ， c(t)、 s(t)的互 相 关 函 数 R sc()、 Rcs()都 是 的 奇 函 数 ， 在 =0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.6 - 15) 于 是 ， 由 式 （ 2.6 - 9） 及 式 （ 2.6 - 10） 得 到 R(0)=Rc(0)=Rs(0) (

29、2.6 - 16) 即 2=2c=2s (2.6 - 17) 这 表 明 (t)、 c(t)和 s(t)具 有 相 同 的 平 均 功 率 或 方差 （ 因 为 均 值 为 0） 。 另 外 ， 因 为 (t)是 平 稳 的 ， 所 以 (t)在 任 意 时 刻 的取 值 都 是 服 从 高 斯 分 布 的 随 机 变 量 ， 故 在 式 （ 2.6 - 2）中 有 当 t=t1=0 时 ， (t1)=c(t1) 当 t=t2=/2c时 ， (t2)=-s(t2) 所 以 c(t1)， s(t2)也 是 高 斯 随 机 变 量 ， 从 而 c(t)、 s(t)也 是 高 斯 随 机 过 程 。

30、 又 根 据 式 （ 2.6- 15） 可 知 ，c(t)、 s(t)在 同 一 时 刻 的 取 值 是 互 不 相 关 的 随 机 变量 ， 因 而 它 们 还 是 统 计 独 立 的 。 综 上 所 述 ， 我 们 得 到 一 个 重 要 结 论 ： 一 个 均 值为 零 的 窄 带 平 稳 高 斯 过 程 (t)， 它 的 同 相 分 量 c(t)和正 交 分 量 s(t)也 是 平 稳 高 斯 过 程 ， 而 且 均 值 都 为 零 ，方 差 也 相 同 。 此 外 ， 在 同 一 时 刻 上 得 到 的 c和 s是互 不 相 关 的 或 统 计 独 立 的 。 包 络 和 相 位 的

31、 统 计 特 性 由 上 面 的 分 析 可 知 ， c和 s的 联 合 概 率 密 度 函 数 为)2exp(2 1),( 2 222 cscsf 设 a,的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 f(a, )， 则 利 用 概率 论 知 识 ， 有 ),( ),(),(),( afaf cssc 根 据 式 （ 2.6 - 3） 和 式 （ 2.6 - 4） 的 关 系 c=acos s=asin (2.6-18） 得 到 于 是 2exp2 2 )sin()cos(exp2),(),( 222 2 222 aa aaafaaf cs aaaaa sc cscca sc cossin sin

32、cos),( ),( (2.6-19） 注 意 ， 这 里 a0, 而 在 (0， 2)内 取 值 ， 再 利 用概 率 论 中 边 际 分 布 知 识 可 分 别 求 得 daadafaf 2exp2),()( 20 22 )()( faf 及02exp 222 aaa可 见 a服 从 瑞 利 分 布 ； 而 )2exp(21),()( 0 22 daaadaaff (2.6-20）上 式 方 括 号 中 的 积 分 值 为 1(根 据 瑞 利 分 布 的 性 质 )， 故 2021)( f (2.6-21）可 见 ， 服 从 均 匀 分 布 。综 上 所 述 ， 我 们 又 得 到 一 个

33、 重 要 结 论 ： 一 个 均 值为 零 ， 方 差 为 2的 窄 带 平 稳 高 斯 过 程 (t)， 其 包络 a(t)的 一 维 分 布 是 瑞 利 分 布 ， 相 位 (t)的 一 维 分布 是 均 匀 分 布 ， 并 且 就 一 维 分 布 而 言 ， a(t)与 (t)是 统 计 独 立 的 ， 即 有 下 式 成 立 ： f(a ,)=f(a)f() 白 噪 声 信 号 在 信 道 中 传 输 时 ， 常 会 遇 到 这 样 一 类 噪 声 ， 它 的 功 率 谱 密 度 均 匀 分 布 在 整 个 频 率 范 围 内 ， 即 P()= (2.6 - 22) 这 种 噪 声 被

34、 称 为 白 噪 声 ， 它 是 一 个 理 想 的 宽 带随 机 过 程 。 式 中 n0为 一 常 数 ， 单 位 是 瓦 /赫 。 显 然 ，白 噪 声 的 自 相 关 函 数 可 借 助 于 式 (2.4-10)求 得 ， 即20n R()= )(20 n 这 说 明 ， 白 噪 声 只 有 在 =0时 才 相 关 ， 而 它 在 任意 两 个 时 刻 上 的 随 机 变 量 都 是 互 不 相 关 的 。 图 2 - 5 画 出 了 白 噪 声 的 功 率 谱 和 自 相 关 函 数 的 图 形 。 如 果 白 噪 声 被 限 制 在 (-f0,f0)之 内 ， 即 在 该 频 率

35、区上 有 P()= n0/2， 而 在 该 区 间 之 外 P()= 0， 则 这 样的 白 噪 声 被 称 为 带 限 白 噪 声 。 带 限 白 噪 声 的 自 相 关函 数 为 0 00020 sin2)( 00 nfdfenR fjff (2.6-24) 00 2 f 式 中 ， 由 此 看 到 ， 带 限 白 噪 声 只 有在 上 得 到 的 随 机 变 量 才不 相 关 。 它 告 诉 我 们 ， 如 果 对 带 限 白 噪 声 按抽 样 定 理 抽 样 的 话 ， 则 各 抽 样 值 是 互 不 相 关的 随 机 变 量 。 带 限 白 噪 声 的 自 相 关 函 数 与 功率

36、谱 密 度 如 图 2-5(b)所 示 。),3,2,1(2/ 0 kfk 2.7正 弦 波 加 窄 带 高 斯 过 程 现 在 我 们 来 求 正 弦 波 加 窄 带 高 斯 噪 声 的 包 络 及 相应 的 概 率 密 度 函 数 。 在 这 种 情 况 下 ， 被 考 察 的 混 合 信号 形 式 为 ty(t)sinsintx(t)cos Acos ty(t)sintx(t)cos )tAcos( n(t)tAcos(r(t) cc ccc c A (2.7-1)式 中 ， 为 窄 带 高 斯 过程 ， 其 均 值 为 零 ； 正 弦 波 的 在 (0,2 )上 均 匀 分 布， 且

37、假 定 振 幅 A和 频 率 已 知 。 显 然 ， 信 号 r(t)的 包 络函 数 为 ty(t)sintcos)()( cc txtn 1/222 y(t)sinAx(t)Acoscz(t) 则 有令 ),(sin)(),(cos)( tyAtztxAtz sc )()()( 22 tztztz sc 利 用 上 一 节 的 结 果 ， 如 果 值 已 给 定 ， 则 zc及 zs都 是相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 故 有 E zc =Acos E zs =Asin 的 方 差)(2 tnDzDz sc 所 以 ， 在 给 定 相 位 的 条 件 下 的 zc和 zs的 联 合

38、 概率 密 度 函 数 为 f(zc, zs/)= )sin()cos(21exp2 1 2222 AzAz sc 因 为 式 （ 2.7-1)可 以 改 写 成 r(t)=zcos(ct+)的 形式 ， 所 以 其 包 络 随 机 变 量 为 0 22 zzzz sc而 其 相 位 随 机 变 量 为 20arctan cszz sincos zzzz sc 于 是 )cos(2exp2 22212 2 AzAzz所 以 ， 以 相 位 为 条 件 的 z和 的 联 合 概 率 密 度 函 数为 zzzfzz zzzzzzfzf scsc scsc )/,()/,()/,( 而 以 相 位

39、为 条 件 的 包 络 z的 概 率 密 度 为 dzfzf )/,()/( 20 202 exp2 z dAzAz )cos(2 22212 dAzAzz )cos(exp)2exp(2 20 22 222 由 于 )(cosexp21 020 xIdx 故 有 )(2)cos(exp 2020 2 AzIdAzn （ 2.7-2) 式 中 ， I0(x)为 零 阶 修 正 贝 塞 尔 函 数 。 当 x0时 ，I0(x)是 单 调 上 升 函 数 ， 且 有 I0(0)=1。 因 此 f(z/)= 由 上 式 可 见 ， f(z/)与 无 关 ， 故 正 弦 波 加 窄 带 高斯 过 程

40、的 包 络 概 率 密 度 函 数 为 )()(21exp 202222 AzIAzz 0)()(21exp)( 202222 zAzIAzzzf 这 个 概 率 密 度 函 数 称 为 广 义 瑞 利 分 布 ， 也 称 莱 斯（ Rice ） 密 度 函 数 。 如 果 A 0， 则 上 式 便 是 式（ 2.6-20） ， 即 为 瑞 利 公 式 ， 这 是 预 料 的 结 果 。 (2.7-3) 现 在 来 求 f(/)， 它 可 由 下 式 得 到 ： dzAzz Adzzfzf 2/)cos(exp )(sin)2/(exp)2/1()/,()/( 220 0 2222 2 )co

41、s(1)(sin2exp )2(2 )cos(2 )2/exp()/( 2/1222 2/122 AerfA AAzf上 式 经 积 分 和 整 理 后 得 到 (2.7-4)dzexerf x z 0 2)/2()( 式 中 因 为 f(,)=f(/)f(),所 以 正 弦 波 加 窄 带 高 斯过 程 得 相 位 概 率 密 度 函 数 f()为 dffdff )()/()/()( 2020 这 个 积 分 比 较 复 杂 ， 这 里 就 不 再 演 算 了 。 图 2-6绘 出 了 在 几 个 特 定 的 下 的 f(z)曲线 及 f(/)曲 线 。 22 2/ A (2.7-5) 图

42、2 6 正 弦 波 加 窄 带 高 斯 过 程 的 包 络 与相 位 分 布 n f (z)0.50.40.30.20.1 r0n A z(a) 0 r0f ()(b)0 r1 r1 2.8随 机 过 程 通 过 线 性 系 统 通 信 的 目 的 在 于 传 输 信 号 ， 通 信 系 统 中 的 信 号 或噪 声 一 般 都 是 随 机 的 ， 因 此 在 以 后 的 讨 论 中 我 们 必 然会 遇 到 这 样 的 问 题 ： 随 机 过 程 通 过 系 统 （ 或 网 络 ） 后 ，输 出 过 程 将 是 什 么 样 的 过 程 ？ 这 里 ， 我 们 只 考 虑 平 稳过 程 通 过

43、 线 性 时 不 变 系 统 的 情 况 。 随 机 信 号 通 过 线 性系 统 的 分 析 ， 完 全 是 建 立 在 确 知 信 号 通 过 线 性 系 统 的分 析 原 理 的 基 础 之 上 的 。 我 们 知 道 ， 线 性 系 统 的 响 应v o(t)等 于 输 入 信 号 vi(t)与 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h(t)的 卷积 ， 即 vo(t)=vi(t)*h(t)= dthvi )()( (2.8-1) 若 vo(t) Vo(), vi(t) Vi(), h(t) H()， 则 有 Vo()=H()Vi() (2.8 - 2) 若 线 性 系 统 是 物 理

44、可 实 现 的 ， 则 vo(t)= dthvt i )()( 或 dtvhtv i )()()( 00 如 果 把 vi(t)看 作 是 输 入 随 机 过 程 的 一 个 样 本 ， 则vo(t)可 看 作 是 输 出 随 机 过 程 的 一 个 样 本 。 显 然 ， 输 入过 程 i(t)的 每 个 样 本 与 输 出 过 程 o(t)的 相 应 样 本 之 间都 满 足 下 式 (2.8 - 3) o(t)= (2.8 - 4) 假 定 输 入 i(t)是 平 稳 随 机 过 程 ， 现 在 来 分 析 系 统的 输 出 过 程 o(t)的 统 计 特 性 。 我 们 先 确 定 输

45、 出 过 程 的数 学 期 望 、 自 相 关 函 数 及 功 率 谱 密 度 ， 然 后 讨 论 输 出过 程 的 概 率 分 布 问 题 。 1. 输 出 过 程 o(t)的 数 学 期 望根 据 式 （ 2.2 - 3） 的 定 义 ， 有 dth i )()(0 000 )()()()()( dtEhdthEtE ii dtthtE i )()( 00 (2.8-5) 0 )()( dtethH tj因 为 由 此 可 见 , 输 出 过 程 的 数 学 期 望 等 于 输 入 过 程 的数 学 期 望 与 H(0)的 乘 积 ， 且 Eo(t)与 t无 关 。 再 利 用 了 平 稳

46、 性 假 设 Ei(t-)=Ei(t)=i(常 数 )故上 式 为求 得 0 )()0( dtthH所 以 )0()( 0 HtE i (2.8-6) 2. 输 出 过 程 o(t)的 自 相 关 函 数 根 据 自 相 关 函 数 的 定 义 ， 则 有 )()(),( 1010110 ttEttR ddttEhh dthdthE ii ii )()()()( )()()()( 110 0 100 1 根 据 平 稳 性 0 00110 11 )()()()(),( )()()( RddRhahttR RttE iiii 于 是 (2.8-7) 可 见 , o(t)的 自 相 关 函 数 只

47、 依 赖 时 间 间 隔 而 与 时间 起 点 t1无 关 。 由 以 上 输 出 过 程 的 数 学 期 望 和 自 相 关函 数 证 明 ， 若 线 性 系 统 的 输 入 过 程 是 平 稳 的 ， 那 么输 出 过 程 也 是 平 稳 的 。 3. 输 出 过 程 o(t)的 功 率 谱 密 度 对 式 （ 2.4 - 9） 进 行 傅 里 叶 变 换 , 有 deRP j )()( 00 deRhahdad ji )()()(0 0 令 则 有 deRdehdeahP jijaj 000 )()()()( )()()()()( 2 iPHPHH i (2.8-8) 例 2.8.1 试

48、 求 功 率 谱 密 度 为 n0/2的 白 噪 声 通 过理 想 矩 形 的 低 通 滤 波 器 后 的 功 率 谱 密 度 、 自 相 关 函数 和 噪 声 平 均 功 率 。 理 想 低 通 的 传 输 特 性 为 其 他,0 ,)( 0 Htj deKH HKH ,)( 202可 见 根 据 式 (2.8-8)输 出 功 率 谱 密 度 为 HnKPHP i ,2)()()( 02020 而 自 相 关 函 数 R( )为 )/(sin )4/)(21)( 020 0200 0 HHH jjfnK denKdePR HH （2H Hf 其 中 HfnkRN 0200 )0(于 是 ，

49、输 出 噪 声 功 率 N即 为 R0(0)， 即 dth i )()(00 总 可 以 确 定 输 出 过 程 的 分 布 。 其 中 一 个 十 分 有 用的 情 形 是 ： 如 果 线 性 系 统 的 输 入 过 程 是 高 斯 型 的 ， 则系 统 的 输 出 过 程 也 是 高 斯 型 的 。 因 为 从 积 分 原 理 来 看 ， 上 式 可 表 示 为 一 个 和 式 的 极 限 ，即 kkkkr htt k )()(lim)( 0 100 4. 输 出 过 程 o(t)的 概 率 分 布 从 原 理 上 看 ， 在 已 知 输 入 过 程 分 布 的 情 况 下 ，通 过 式

50、（ 2.8 - 4） ， 即 (2.8-9) 由 于 i(t)已 假 设 是 高 斯 型 的 ， 所 以 ， 在 任 一 时 刻的 每 项 i(t-k)h(k)k都 是 一 个 高 斯 随 机 变 量 。 因 此 ，输 出 过 程 在 任 一 时 刻 得 到 的 每 一 随 机 变 量 ， 都 是 无限 多 个 高 斯 随 机 变 量 之 和 。 由 概 率 论 得 知 ， 这 个“ 和 ” 的 随 机 变 量 也 是 高 斯 随 机 变 量 。 这 就 证 明 ，高 斯 过 程 经 过 线 性 系 统 后 其 输 出 过 程 仍 为 高 斯 过 程 。更 一 般 地 说 ， 高 斯 过 程 经 线 性 变 换 后 的 过 程 仍 为 高斯 过 程 。 但 要 注 意 ， 由 于 线 性 系 统 的 介 入 ， 与 输 入高 斯 过 程 相 比 ， 输 出 过 程 的 数 字 特 征 已 经 改 变 了 。